14 专题训练三 解直角三角形的应用-【一飞冲天·同步训练】2023-2024学年九年级数学下册（人教版）

专题训练(三) 解直角三角形的应用 题型一 仰角、俯角问题 1.如图,某座山AB 的顶部有一座通信塔BC,且 点A,B,C 在同一条直线上.从地面P 处测得 塔顶C 的仰角为42°,测得塔底B 的仰角为 35°.已知通信塔BC 的高度为32 m,求这座山 AB 的高度(结果取整数). 参考数据:tan 35°≈0.70,tan 42°≈0.90. A B C P c c 2.如图,学校数学兴趣小组同学计划测量建筑物 AB 的高度,先在 D 处测得该建筑物顶端A 的仰角为28°,然后从D 处前进40 m到达C 处,在 C 处测得该建筑物顶端A 的仰角为 60°,点B,C,D 在同一条直线上,且AB⊥CD. 求建筑物AB 的高度(结果精确到0.1 m). 参考 数 据:sin 28°≈0.47,cos 28°≈0.88, tan 28°≈0.53,3≈1.73. A B C D c c 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 一 飞 冲 天 一 飞 冲 天一 飞 冲 天一 飞 冲 天 一 飞 冲 天一 飞 冲 天 一 飞 冲 天一 飞 冲 天一 飞 冲 天 3.亮亮同学用所学知识在自家阳台测对面大楼 CD 的高度,如图,他利用自制的测角仪测得 该大楼顶部C 的仰角是45°,底部D 的俯角是 38°,又用绳子测得测角仪到地面的高度AB 为 31.6 m,求该大楼CD 的高度(精确到0.1 m). 参考 数 据:sin 38°≈0.62,cos 38°≈0.79, tan 38°≈0.78. B D A C 4.位于河南省登封市境内的元代观星台,是中国 现存最早的天文台,也是世界文化遗产之一. 某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测 角仪测量观星台的高度.如图所示,他们在地 面一条水平步道 MP 上架设测角仪,先在点 M 处测得观星台最高点A 的仰角为22°,然后 沿MP 方向前进16 m到达点N 处,测得点A 的仰角为45°,测角仪的高度为1.6 m. (1)求观星台最高点A 距离地面的高度(结果 精确到0.1 m); (2)“景点简介”显示,观星台的高度为12.6 m,请 计算本次测量结果的误差. 参考数据:sin 22°≈0.37,cos 22°≈0.93, tan 22°≈0.40,2≈1.41. A B M C N P c c 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 一 飞 冲 天 一 飞 冲 天一 飞 冲 天一 飞 冲 天 一 飞 冲 天一 飞 冲 天 一 飞 冲 天一 飞 冲 天一 飞 冲 天 题型二 方向角问题 1.如图,某旅游景区为方便游客,修建了一条东 西走向的栈道AB,栈道AB 与景区道路CD 平行.在C 处测得栈道一端A 位于北偏西45° 方向,在D 处测得栈道另一端B 位于北偏东 32°方向.已知AC=60 m,CD=46 m,求栈道 AB 的长度(结果保留整数). 参考 数 据:sin 32°≈0.53,cos 32°≈0.85, tan 32°≈0.62,2≈1.414. B DC A  c c 2.如图,一艘海轮位于灯塔 P 的北偏东54°方 向,距离灯塔90 n mile的A 处,它沿正南方向 航行一段时间后,到达位于灯塔P 的南偏东 45°方向上的B 处.这时,B 处距离灯塔P 有 多远(结果取整数)? 参考 数 据:sin 54°≈0.81,cos 54°≈0.59, tan 54°≈1.38,2≈1.414. A C P B   c c 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 一 飞 冲 天 一 飞 冲 天一 飞 冲 天一 飞 冲 天 一 飞 冲 天一 飞 冲 天 一 飞 冲 天一 飞 冲 天一 飞 冲 天 3.如图,一艘小船以11 n mile/h的速度向正北 方向航行,在A 处测得灯塔C 在北偏东37°方 向,航行2 h后到达B 处,测得灯塔C 在南偏 东42°方向,求B 处距离灯塔C 的距离BC(结 果保留1位小数). 参考 数 据:tan 37°≈0.75,sin 42°≈0.67, tan 42°≈0.90. B C A c c   4.如图,C 地在A 地的正东方向,因有大山阻隔, 由A 地到C 地需要绕行B 地,已知B 地位于 A 地北偏东67°方向,距离A 地520 km,C 地 位于B 地南偏东30°方向,若打通穿山隧道,建 成两地直达高铁,求A 地到C 地之间高铁线 路AC 的长(结果保留整数). 参考数据:sin 67°≈0.92,cos 67°≈0.39,3≈ 1.732. B CA  cc 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 一 飞 冲 天 一 飞 冲 天一 飞 冲 天一 飞 冲 天 一 飞 冲 天一 飞 冲 天 一 飞 冲 天一 飞 冲 天一 飞 冲 天 题型三 坡度、坡角问题 1.如图是东方货站传送货物的平面示意图,为了 提高安全性,工人师傅打算减小传送带与地面 的夹角,由原来的45°改为36°,已知原传送带 BC 长为4米,求新传送带AC 的长及新、原传 送带触地点之间AB 的长(结果精确到0.1米). 参考 数 据:sin 36°≈0.59,cos 36°≈0.81, tan 36°≈0.73,2≈1.414. B A C 2.如图,为测量一座山峰CF 的高度,将此山的 某侧山坡划分为AB 和BC 两段,每一段山坡 近似是“直”的,测得坡长AB=800米,BC= 200米,坡角∠BAF=30°,∠CBE=45°. (1)求AB 段山坡的高度EF; (2)求山峰的高度 CF.(结果取整数,2≈ 1.414) F E C B A 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 一 飞 冲 天 一 飞 冲 天一 飞 冲 天一 飞 冲 天 一 飞 冲 天一 飞 冲 天 一 飞 冲 天一 飞 冲 天 飞 冲 天 3.如图,已知斜坡 AB 长为60 2米,坡角(即 ∠BAC)为45°,BC⊥AC.现计划在斜坡中点 D 处挖去部分斜坡,修建一个平行于水平线 AC 的休闲平台DE 和一条新的斜坡BE,若修 建的斜坡 BE 的坡度为 3∶1,求休闲平台 DE 的长是多少米(结果保留根号). D B E CA 4.如图,有一段斜坡BC 长为10米,坡角∠CBD= 12°,为方便残疾人的轮椅车通行,现准备把坡 角降为5°. (1)求坡高CD; (2)求斜坡新起点A 到原起点B 的距离(精确 到0.1米). 参考 数 据:sin 12°≈0.21,cos 12°≈0.98, tan 5°≈0.09. BA D C 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 一 飞 冲 天 一 飞 冲 天一 飞 冲 天一 飞 冲 天 一 飞 冲 天一 飞 冲 天 一 飞 冲 天一 飞 冲 天 飞 冲 天 一冲天 参考答案 参考答案 专题训练（三）解直角三角形的应用 :4.解：(1)如图，过点A作AE⊥MP,交MP的延长线于点 题型一 E,连接BC并延长，交AE于点D. 1.解：在R1△APB中，∠APB=35°， .AB=AP·tan35°， 在Rt△APC中，∠APC=42°， B22°C45 --f-tD .AC=AP·tan42, E .AC-AB=BC=32. 则CD⊥AE,BM=CN=DE=1.6m,BC=MN= AP·tan42°-Ap·tan35°=32， 16m,∠ABC=22,∠ACD=45°， 32 .AP- tan42°-tan35, 在R△ACD中，AD=CD, AB=AP·tan35°= 32×tan35 在Rt△ABD中， tan42°-tan35≈112(m), AD=BD·tan22°=(16+CD)·tan22°， .这座山AB的高度约为112m. ∴(16+CD)·tan22=CD, 2.解：AB1CD,∴∠ABC=90°， .CD= 16×tan22 1-tan 22" 10.7(m), 在Rt△ABC中，∠ACB=60°， AB .AE=AD+DE=10.7+1.6=12.3(m). .BC-tan 60 即观星台最高点A距离地面的高度约为12.3m. AB (2)12.6-12.3=0.3(m). 在Rt△ABD中，∠D=28°，.BD= Lan 28 .本次测量结果的误差为0.3m .BD-BC=CD=10, 题型二 :A8 AB tan28°tan60=40, 1,解：如图，过C作CH⊥AB丁点H,过点D作DG⊥AB ∴AB=40Xtan28Xtan60 于点G, tan60°-tan28° ≈30.6(m), G ∴.建筑物AB的高度约为30.6m 3.解：如图，过点A作AH⊥CD,垂足为H, 459 329 77777 7777777777 77777 .AB//CD. ∴.CH∥DG, ∴.四边形CHGD是矩形， .CH=DG,HG=CD. D 在Rt△ACH中，∠ACH=15°，AC=60m, 则DH=AB=31.6m, ∴CH=AC·cos45=60X2=302, 出题意得：∠CAH=45°，∠DAH=38°， 在Rt△AHD中，AH= DH AH=CH=30√2」 tan 385 在Rt△BDG中，∠BDG=32,DG=CH=302, 在R△AHC中，CH=AH·an45=AH, ∴.BG-DG·tnn32°-302Xtan32 DH ..CD-CH+DH- an38+DH≈72.1(m, .AB=AH+HG+BG≈302+46+30w2×0.62 .该大楼(CD的高度约为72.1m 115(m). 一心冲天 参考答案 参考答案 .栈道AB的长度约为115m. 4.解：如图，过点B作BDLAC于点D. 2.解：山题意得，∠4=54°，∠B=45°， 北 AP-90 n mile, 67 09 在Rt△APC中，，sinA PC C AP' .PC=AP·sin54°， 由题意得，∠ABD=67°，AB=520,∠CBD=30°， PC 在R1△ABD中， 在R△BPC中，：simB=PB' AD=AB·sin67°，BD=AB·os67, PCAP·sin54 在Rt△CBD巾， .PB= sin 45 sin 45 103(n mile). CD=BD·tan30°， ∴.B处距离灯塔P大约103 n mile. ∴.AC=AD+CD=AB·sin67+AB·cos67°·tan30 3.解：如图，过C作CH⊥AB于H. ≈520X0.92+520×0.39×:732≈595（km. 3 ,东 ∴.A地到C地之间高铁线路AC的长约为595km 题型三 1.解：如图，作CD⊥AB于点D. H C 37 A D 由题意得，∠HBC=42°，∠HAC=37°， H题意可得：∠A=36°，∠CBD=45°，BC=4, AB-11×2-=22(n mile). 在Rt△BCD中，sin∠CBD CD BC 在K△CBH中，tan∠HBC一BH CH ÷cD=bn∠CBD=4xg=2,2. 2 ..BH=_CH tan 423. ∠CBD=45,∴BD=CD=22, 在R△ACH中，tan∠HAC-CH AH 在Rt△ACcD中，mA-.tan d-D AD AH-- CH AC=CD=22.22 n373: i4sin36≈0.59≈4.8（米）， :AB=BH+AH, CD 22 CHCH AD= tan A tan 36' an42十an37=AB, .CH= AB·tan42°，tan37≈22X0.90×0.75 六AB=AD-D-品原-2,2=1.0C米. tan42°+tan37 0.90+0.75 ∴新传送带AC的长约为4.8米，新、原传送带触地点之 9.00(n mile). 间AB的长约为1.0米 CH 在Rt△.CBH中，sin∠HBC 2.解：(1)如图，作BH⊥AF于H, BC· 在Rt△ABH中，∠BAF=30, ∴.BC= CH sin42≈13,4(n mile). .B处距离灯塔C的距离BC约为13.4 n mile.. AB-400. .EF=BH=400米， ,AB段山坡的高度EF为400米： 一冲天 参考答案 参考答案 (2)在Rt△CBE中，，sin∠CBE CE BC· ∴.CE=BC·sim∠CBE=200Xsin45=1002≈141.4， .CF=CE十EF=141.4+400≈541（米）. ,.山峰的高度C下约为541米. 3.解：如图，延长DE交BC于点F. 0 :DF∥AC. ,∴∠BDF=∠BAC=45 :AB=602,D是AB的中点， .BD=30N2. 在R1△BDF中， DF=BD·os∠BDF=302Xos5=302× 2 =30. ∴.BF=DF=30 :斜坡BE的坡度为√3：1， 帮-气球 =103. 5 .DE=DF-EF=(30-10W3)米 .休闲平台DE的长是(30一103)米. 4.解：(1)在R1△BCD巾， CD=BCsin12°≈10×0.21=2.1（米）， ∴坡高CD约为2.1米： (2)在Rt△BCD中， BD=BCcos12°≈10×0.98=9.8（米）， 在Rt△ACD中，AD=CD」 tan55 AB=AD-BDm-D≈21 0.09 -9.8≈13.5（米）， 斜坡新起点A与原起点B的距离约为13.5米