精品解析：湖南省永州市道县2024—-2025学年九年级上学期期中考试数学试题

2024年下期学情质量监测 九年级数学（试题卷） 温馨提示： 1．本试卷包括试题卷和答题卡．考生作答时，选择题和非选择题均须作答在答题卡上，在本试卷上作答无效，考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题． 2．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回． 3．本试卷满分120分，考试时间120分钟，共26个小题．如有缺页，考生须声明． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；请将你认为正确的选项填涂到答题卡上） 1. 反比例函数的图象经过点（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，根据对各选项进行逐一判断即可． 【详解】解：∵反比例函数， ∴， A、∵，∴此点不在函数图象上，故本选项不符合题意； B、∵，∴此点不在函数图象上，故本选项不合题意； C、∵，∴此点在函数图象上，故本选项符合题意； D、∵，∴此点不在函数图象上，故本选项不合题意． 故选：C． 2. 下列各组中的四条线段成比例的是（ ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了成比例线段，根据成比例线段的定义逐项判断即可得解，熟练掌握成比例线段的定义是解此题的关键． 【详解】解：A、，故四条线段不成比例，故不符合题意； B、，故四条线段成比例，故符合题意； C、，故四条线段不成比例，故不符合题意； D、，故四条线段不成比例，故不符合题意； 故选：B． 3. 方程中的根是（ ） A. B. ， C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了解一元二次方程-因式分解法．方程利用因式分解法转化为两个一元一次方程来求解． 【详解】解：方程， 所以或， 解得：． 故选：D． 4. 一元二次方程的根的情况为（ ） A. 无实数根 B. 有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根，当时，方程有两个相等的实数根，当时，方程没有实数根，先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断即可． 【详解】一元二次方程根的判别式： 方程有两个不相等的实数根 故选：D． 5. 在用公式法解一元二次方程时，代入a，b，c得到，则求解的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程．熟练掌握公式法解一元二次方程是解题的关键． 根据公式法解一元二次方程判断作答即可． 【详解】解：∵公式法解一元二次方程时，代入a，b，c得到， ∴， ∴一元二次方程为， 故选：A． 6. 如果，那么下列各式中不成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查比例，解题的关键是利用比例的性质分别判断． 【详解】解：A．由，得，那么A正确，不符合题意． B．由，得，那么B不正确，符合题意． C．由，得，那么C正确，不符合题意． D．由，得，那么D正确，不符合题意． 故选：B． 7. 关于反比例函数，下列说法中错误的是（ ） A. 时，y随x的增大而减小 B. 当时， C. 它的图象与坐标轴无交点 D. 当时，y有最小值 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了反比例函数，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键．根据反比例函数的单调性、所在的象限进行判断即可． 【详解】解：A、，反比例函数位于第一、三象限，且在每一个象限内随的增大而减小；故本选项正确，不符合题意； B、，反比例函数位于第一、三象限，且在每一个象限内随的增大而减小；当时，，故本选项正确，不符合题意； C、，反比例函数位于第一、三象限，与坐标轴无交点，故本选项正确，不符合题意； D、，反比例函数位于第一、三象限，且在每一个象限内随的增大而减小；当时，或，则无最小值，故本选项错误，符合题意； 故选：D． 8. 国家非遗“道州龙船赛”每年都吸引着数十万人现场观看比赛，据不完全统计，2023年现场观看龙船比赛人数约万人，预计2025年现场观看龙船比赛的人数约万人，则这两年现场观看龙船比赛人数的年平均增长率约为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用-增长率问题，设这两年现场观看龙船比赛人数的年平均增长率约为，由题意得，即可求解； 【详解】解：设这两年现场观看龙船比赛人数的年平均增长率约为， 由题意得， 解得：（舍去）， 故选：A 9. 反比例函数和一次函数在同一坐标系中的图像大致是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一次函数与y轴交点判断，其他选项根据图像判断k的符号，看一次函数和反比例函数判断出k的符号是否一致即可解答． 【详解】解： A． 选项中一次函数与y轴交于正半轴，则，即；反比例函数图像在一、三象限，；一次函数和反比例函数判断出k的符号是不一致，故不符合题意； B．选项中一次函数与y轴交于正半轴，则，即；反比例函数图像在二、四象限，；一次函数和反比例函数判断出k的符号是一致，故符合题意； C．选项中一次函数与y轴交于正半轴，则，即；反比例函数图像在一、三象限，；一次函数和反比例函数判断出k的符号是不一致，故不符合题意； D． 选项中一次函数与y轴交于负半轴，则，即；反比例函数图像在二、四象限，；一次函数和反比例函数判断出k的符号是不一致，故不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一次函数、反比例函数图像共存问题，熟练掌握一次函数、反比例函数图像与系数的关系是解答本题的关键． 10. 我国古代数学家曾经研究过一元二次方程的几何解法，三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载：构造如图所示的大正方形，它由四个全等的矩形和中间一个小正方形组成，以方程，即为例说明，构造如图中大正方形的面积是，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，解得，小明用此方法解关于x的方程时，构造出同样的图形，已知矩形的面积为16，则大正方形的面积S和n的值分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，理解一元二次方程的正数解的几何解法是解题的关键；仿照题意画出方程的拼图，根据矩形面积为16可求出n的值，再求出中间小正方形的边长，进而根据大正方形面积等于四个矩形面积加上中间小正方形的面积即可求出大正方形面积． 【详解】解：如图所示，∵矩形的面积为16， ∴, ∴, ∵， ∴， ∴， ∵矩形的面积为16，， ∴, 故选：C． 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．请将答案填在答题卡的答案栏内） 11. 若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值．根据题意，化简得，把代入，即可． 【详解】解：∵， 把代入， 得． 故答案为：． 12. 一元二次方程化为一般形式是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式：，属于基础题．通过移项即可得到一元二次方程的一般形式． 【详解】解：， 去括号：， 移项得：， 合并得：． 故答案为：． 13. 如图，支点O是跷跷板的中点，若支柱m，当跷跷板的一端B完全着地时，跷跷板的另一端A离地面的高度为______m． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定和性质．过点A作，垂足为D，则，得到，根据相似三角形的性质求解即可； 【详解】过点A作，垂足为D，则， ∵ O为中点， ∴，又m ∴m 故答案为： 14. 若三角形三边之比为，与它相似的三角形的最长边为，则此三角形周长为______． 【答案】34 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．根据相似三角形的性质，依题意设这个三角形三边为，，，可求其他两边分别是6，12，所以相似的三角形周长可求． 【详解】解：设这个三角形三边为，，， 与它相似的三角形最长边为， ， ， 其他两边分别是6，12， 此三角形周长为． 故答案为：34． 15. 若m是一元二次方程的一个根，则的值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．把代入方程得到，再计算即求值即可． 【详解】解：把代入方程得： ，即， 则， 故答案为：4． 16. 已知函数是关于的反比例函数，则实数的值是______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的定义，根据反比例函数的一般形式进行计算即可． 【详解】解：∵函数是关于的反比例函数， ∴，且， ∴， 故答案为：2． 17. 若点，，在反比例函数的图象上，则a，b，c的大小关系是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，根据题意，分别求出a、b、c的值，然后进行判断，即可得到答案. 【详解】解：∵点，，在反比例函数的图象上， ∴，，． ∵， ∴． 故答案为：． 18. 如图，已知为反比例函数的图象上一点，过点作轴，垂足为，若的面积为，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的知识，解题的关键是掌握反比例函数的比例系数的几何意义，根据题意，，再根据函数图象，即可求出的值． 【详解】解：∵轴， ∴， ∴， ∵函数图象过第二象限， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共66分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 用合适的方法解方程． （1）； （2）． 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）先移项，再用因式分解法求解可得； （2）先移项，再运用直接开平方法求解可得； 【小问1详解】 解：， 移项得： 因式分解得：， 所以或； 【小问2详解】 解：， 移项得：， 所以， 所以或 20. 如图，已知直线分别截直线于点A、B、C，截直线于点D、E、F，且． （1）如果，求的长； （2）如果，，求的长． 【答案】（1）6 （2）15 【解析】 【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理， （1）由平行线分线段成比例定理得到，代入已知线段长度即可得到的长； （2）由平行线分线段成比例定理得到，由得到，由得到，即可得到的长， 熟练掌握定理并找准对应线段是解题的关键． 【小问1详解】 解：， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ，， ， ． 21. 定义新运算：对于任意实数a，b，c，d有，其中等式右边是常用的乘法和减法运算．如：． （1）求的值； （2）已知关于x的方程的一个根为2，求m的值． 【答案】（1）10； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了新定义，一元二次方程的解，理解新定义是解题的关键． （1）根据定义计算即可； （2）先根据定义化简，再将代入，即可求解． 【小问1详解】 解：因为， 所以； 【小问2详解】 解：因为， 所以， 又因为方程的一个根为2， 所以， 解得． 22. 某蔬菜生产基地用装有恒温系统的大棚栽培一种新品，如图是某天恒温系统从开始到关闭及关闭后，大棚里温度随时间变化的函数图象，其中段是恒温阶段， 段是双曲线的一部分，请根据图中信息解答下列问题： （1）求k的值； （2）恒温系统在一天内保持大棚内温度不低于的时间有多少小时？ 【答案】（1）240 （2）15小时 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的性质和应用，解答此题时要先利用待定系数法确定函数的解析式，再观察图象特点，结合反比例函数和一次函数的性质作答． （1）直接将点B的坐标代入即可； （２）观察图象可知：三段函数都有的点，而且段是恒温阶段，，所以计算和两段当时对应的值，相减就是结论． 【小问1详解】 解：把代入中得： ； 【小问2详解】 解：如图， 设的解析式为：， 把、代入中得： ， 解得：， 的解析式为：， 当时，， 解得； 由（1）的双曲线的解析式为， 令，则有， ， ； 所以恒温系统在一天内保持大棚内温度不低于的时间有15小时． 23. 年“奔跑吧·少年”道县青少年篮球赛正如火如荼的在道县文体公园体育馆进行，若初中组采用单循环赛制（每两个球队之间都要进行一场比赛），则共要比赛场．试求初中组共有多少支球队参加比赛． 【答案】初中组共有支球队参加比赛． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设初中组有支球队参赛，利用比赛总场数参赛球队数参赛球队数，即可得到关于的一元二次方程，解方程即可． 【详解】设有支球队参赛，则每个队参加场比赛， 则共有场比赛， 由题意得， 整理得： 即 解得：或（舍去） 答：初中组共有支球队参加比赛． 24. 关于x的一元二次方程． （1）如果方程有实数根，求k的取值范围； （2）如果，是这个方程的两个根，且，求k的值． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查根的判别式，根与系数的关系，明确，是一元二次方程的两根时，，是解答的关键． （1）利用根的判别式进行求解即可； （2）由根与系数的关系可得，，再整理所求的式子，代入相应的值运算即可． 【小问1详解】 解：因为方程程有实数根， 所以， 解得：； 【小问2详解】 解：因为，是方程的两个根， 所以根据韦达定理有：，， 由题：， 故， 代入得：， 解得： 25. 如图，在矩形中，为上一点，，，过点作，交于，交于，． （1）求； （2）求； （3）若上存在点，使得，求． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（）由得，然后根据相似三角形的性质即可求解； （）连接交于点，则为矩形中心，设，则，证明为等腰三角形，取中点，连接，则，然后由勾股定理求出，， （）由（）可知，，，由相似三角形的性质得出，则有； 本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，连接交于点，则为矩形中心， 由题可得，， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， 取中点，连接，则， 又∵，， ∴， 在中，， 在中，， ∴； 【小问3详解】 解：由（）可知，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 26. 定义：满足不等式的实数x的所有取值的全体叫作闭区间，表示为，对于一个函数，如果它的自变量与函数值y满足：当时，有，我们称此函数是闭区间上的“闭函数”．如函数，当时，；当时，，即当时，有，所以函数是闭区间上的“闭函数”．根据定义解答下列问题： （1）试判断函数是不是闭区间上的“闭函数”并说明理由； （2）若一次函数是闭区间上的“闭函数”，求它的表达式； （3）若函数（，）是闭区间（）上的“闭函数”，求的取值范围． 【答案】（1） 反比例函数是闭区间上的“闭函数”． 理由如下： 反比例函数在第一象限内随的增大而减小， 当时，；当时，， 即图象过点和， 当时，有，符合闭函数的定义． 所以反比例函数是闭区间上的“闭函数”． （2）； （3）． 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的增减性，反比例函数的增减性，新定义，理解闭函数的定义是解答关键． （1）根据反比例函数的增减性结合闭函数的定义来求解； （2）根据闭函数的定义，结合一次函数的增减性可求出和，进而求出一次函数的解析式； （3）根据函数在时的增减性，结合闭函数的定义得到图象过点和两点，得到，结合来求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：因为一次函数是闭区间上的“闭函数”， 根据一次函数的图象与性质，当时，随的增大而增大， 即图象过点和两点，… 则， 解得， 所以，此时函数的表达式是． 【小问3详解】 解：因为函数在时，随的增大而增大， 又函数（，）是闭区间（）上的“闭函数”， 即图象过点和两点， 代入有， 即， 又， 故，是方程的两个不相等正根， 即有， 解得：， 所以的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年下期学情质量监测 九年级数学（试题卷） 温馨提示： 1．本试卷包括试题卷和答题卡．考生作答时，选择题和非选择题均须作答在答题卡上，在本试卷上作答无效，考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题． 2．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回． 3．本试卷满分120分，考试时间120分钟，共26个小题．如有缺页，考生须声明． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；请将你认为正确的选项填涂到答题卡上） 1. 反比例函数的图象经过点（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组中的四条线段成比例的是（ ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 3. 方程中的根是（ ） A. B. ， C. D. 4. 一元二次方程的根的情况为（ ） A. 无实数根 B. 有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 5. 在用公式法解一元二次方程时，代入a，b，c得到，则求解的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 6. 如果，那么下列各式中不成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 关于反比例函数，下列说法中错误的是（ ） A. 时，y随x的增大而减小 B. 当时， C. 它的图象与坐标轴无交点 D. 当时，y有最小值 8. 国家非遗“道州龙船赛”每年都吸引着数十万人现场观看比赛，据不完全统计，2023年现场观看龙船比赛人数约万人，预计2025年现场观看龙船比赛的人数约万人，则这两年现场观看龙船比赛人数的年平均增长率约为（ ） A. B. C. D. 9. 反比例函数和一次函数在同一坐标系中的图像大致是( ) A. B. C. D. 10. 我国古代数学家曾经研究过一元二次方程的几何解法，三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载：构造如图所示的大正方形，它由四个全等的矩形和中间一个小正方形组成，以方程，即为例说明，构造如图中大正方形的面积是，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，解得，小明用此方法解关于x的方程时，构造出同样的图形，已知矩形的面积为16，则大正方形的面积S和n的值分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．请将答案填在答题卡的答案栏内） 11. 若，则______． 12. 一元二次方程化为一般形式是______． 13. 如图，支点O是跷跷板的中点，若支柱m，当跷跷板的一端B完全着地时，跷跷板的另一端A离地面的高度为______m． 14. 若三角形三边之比为，与它相似的三角形的最长边为，则此三角形周长为______． 15. 若m是一元二次方程的一个根，则的值为______． 16. 已知函数是关于的反比例函数，则实数的值是______． 17. 若点，，在反比例函数的图象上，则a，b，c的大小关系是_______． 18. 如图，已知为反比例函数的图象上一点，过点作轴，垂足为，若的面积为，则的值为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共66分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 用合适的方法解方程． （1）； （2）． 20. 如图，已知直线分别截直线于点A、B、C，截直线于点D、E、F，且． （1）如果，求的长； （2）如果，，求的长． 21. 定义新运算：对于任意实数a，b，c，d有，其中等式右边是常用的乘法和减法运算．如：． （1）求的值； （2）已知关于x的方程的一个根为2，求m的值． 22. 某蔬菜生产基地用装有恒温系统的大棚栽培一种新品，如图是某天恒温系统从开始到关闭及关闭后，大棚里温度随时间变化的函数图象，其中段是恒温阶段， 段是双曲线的一部分，请根据图中信息解答下列问题： （1）求k的值； （2）恒温系统在一天内保持大棚内温度不低于的时间有多少小时？ 23. 年“奔跑吧·少年”道县青少年篮球赛正如火如荼的在道县文体公园体育馆进行，若初中组采用单循环赛制（每两个球队之间都要进行一场比赛），则共要比赛场．试求初中组共有多少支球队参加比赛． 24. 关于x的一元二次方程． （1）如果方程有实数根，求k的取值范围； （2）如果，是这个方程的两个根，且，求k的值． 25. 如图，在矩形中，为上一点，，，过点作，交于，交于，． （1）求； （2）求； （3）若上存在点，使得，求． 26. 定义：满足不等式的实数x的所有取值的全体叫作闭区间，表示为，对于一个函数，如果它的自变量与函数值y满足：当时，有，我们称此函数是闭区间上的“闭函数”．如函数，当时，；当时，，即当时，有，所以函数是闭区间上的“闭函数”．根据定义解答下列问题： （1）试判断函数是不是闭区间上的“闭函数”并说明理由； （2）若一次函数是闭区间上的“闭函数”，求它的表达式； （3）若函数（，）是闭区间（）上的“闭函数”，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $