精品解析：河北省邢台市质检联盟2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题

2024—2025学年高一（上）质检联盟期中考试 数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册第一章至第四章4.2． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“小数都是无理数”的否定为（ ） A. 所有小数都不是无理数 B. 有些小数是无理数 C. 有些小数不是无理数 D. 所有小数都是无理数 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定形式可直接求得结果. 【详解】易知命题“小数都是无理数”的否定为“有些小数不是无理数”. 故选：C 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据交集的运算求解即可. 【详解】由题意得， 则. 故选：A. 3. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由函数特征得到不等式，求出定义域. 【详解】由题意得解得，故定义域为. 故选：D 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 的大小关系无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】用作差法计算比较的大小关系． 【详解】 ，故B正确． 故选：B． 5. 已知为定义在上的奇函数，当时，，则（ ） A. B. C. 9 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由函数的奇偶性可得，结合奇偶函数的定义计算即可求解. 【详解】由题意得，得， 当时，． 所以． 故选：B 6. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由或，即可判断； 【详解】或， 显然可以得到或，而或未必有， 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：A 7. 若关于的不等式恒成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据判别式可求的取值范围. 【详解】由题设有，故， 故选：B. 8. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数，以及幂函数的单调性即可比较大小. 【详解】因为是减函数，所以，即．易得， 则幂函数是增函数，所以， 又是减函数，所以．故． 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知集合，，且是的真子集，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】化简集合，分和两种情况讨论即可求. 【详解】由题意得， 因为是的真子集， 当时，，得； 当时，，得， 故的取值范围为. 故选：AD 10. 函数，且的部分图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】首先判断出为偶函数，再对分类讨论即可. 【详解】函数的定义域为，且， 则是偶函数，故D错误，． 当时，在上单调递增，且，A正确，B错误． 当时，在上单调递减，且，C正确． 故选：AC. 11. 已知函数满足对任意，均有，且当时，，则（ ） A. B. C. 当时， D. 存在，使得，且 【答案】ACD 【解析】 【分析】赋值计算判断A；求出时的解析式判断BC；作出函数在上的图象，数形结合计算判断D. 【详解】对于A，由，得，则，解得，A正确； 对于BC，当时，，则， 则，B错误，C正确； 对于D，如图，直线与在上的图象有4个交点， 则，由，得的根为和， 则，同理由，得的根为和， 则，因此，D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. ______． 【答案】 【解析】 【分析】根据指数幂的运算即可得到答案. 【详解】． 故答案为：. 13. 已知幂函数经过点，则不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】设，代入求出，再利用其单调性解出不等式即可. 【详解】设，由，得，则． 因为在上单调递增，所以由， 得，即． 故答案为：. 14. 已知函数在上单调递减，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据分段函数的单调性得到不等式组，解出即可. 【详解】由题意得解得． 则的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知正数满足. （1）求的最大值； （2）求的最小值. 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】（1）利用基本不等式可求的最大值； （2）根据，结合基本不等式可求得结果. 【小问1详解】 由， 得，当且仅当时，等号成立， 则，得，即的最大值为1. 【小问2详解】 由，得， 得， 当且仅当，即时，等号成立. 故的最小值为. 16. 已知幂函数是奇函数． （1）求的解析式； （2）根据定义证明函数在上单调递增． 【答案】（1） （2） 由题意得，且， ． 由，得， 得， 所以，即． 故在上单调递增． 【解析】 【分析】（1）根据幂函数定义得到方程，解出值，再验证其奇偶性即可； （2）化简得，再取点、作差、因式分解，最后再判断符号即可. 【小问1详解】 由题意得，得或． 当时，是偶函数，不符合题意； 当时，是奇函数，符合题意． 故． 【小问2详解】 略 17. 眼下正值金柚热销之时，某水果网店为促销金柚，提供了阶梯式购买方案，购买方案如下表： 购买的金柚重量 金柚单价/（元） 不超过5kg的部分 10 超过5kg但不超过10kg的部分 9 超过10kg的部分 8 记顾客购买的金柚重量为，消费额为元． （1）求函数的解析式． （2）已知甲、乙两人商量在这家网店购买金柚，甲、乙计划购买的金柚重量分别为，．请你为他们设计一种购买方案，使得甲、乙两人的消费总额最少，并求出此时的消费总额． 【答案】（1）； （2）一起购买，111元. 【解析】 【分析】(1)根据表格即可列出各段函数解析式; (2)分别计算各自购买的金额和一起购买金额，作差即可得到节省金额, 【小问1详解】 当时，； 当时，； 当时，； 综上可得：； 【小问2详解】 当甲、乙两人各自购买时，消费总额为（元）； 当甲、乙两人一起购买时，消费总额为（元）； 故由上可知当甲、乙两人一起购买时比他们各自购买时节省了6元，此时消费总额是111元. 18. 已知奇函数与偶函数满足 （1）求的解析式； （2）若，求的值； （3）若函数在上的最小值为，求的值． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数奇偶性得到方程组，解出即可； （2）代入得，两边同平方即可得到答案； （3）利用整体换元设，则，再对进行合理分类讨论即可. 【小问1详解】 由①，得②， ①②得，即． ①+②得，即． 【小问2详解】 由（1）得，两边平方可得，即， 则， 因为，所以． 【小问3详解】 因为在上均单调递增， 则在上单调递增，所以． 令，则． 当，即时，在上单调递减，，得． 当，即时，在上单调递增，，不符合题意． 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， ，得，不符合题意． 综上，的值为． 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是通过换元法将题目转化为含参二次函数最值问题，最后对对称轴进行合理分类讨论即可. 19. 定义：为函数在上的平均变化率． （1）若函数在上的平均变化率为3，证明：． （2）设，，，且． ①证明：； ②求的取值范围． 参考公式：． 【答案】（1） 因为在上的平均变化率为3， 所以， 由，得， 从而，则． （2）①因为， 所以， 又，所以， 则，从而， 又， 因为a，，所以，，则，即， 又，所以，即. ②． 【解析】 【分析】（1）利用在上的平均变化率的定义求解； （2）①根据，得到，再利用证明；②先利用函数单调性定义得到在上单调递减，再由，得到的范围求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②任取， 则， 即，所以在上单调递减， 由，得， 因为，所以，解得， 则， 则，即， 故的取值范围为． 【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有： （1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思； （2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言； （3）将已知条件代入新定义的要素中； （4）结合数学知识进行解答. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年高一（上）质检联盟期中考试 数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册第一章至第四章4.2． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“小数都是无理数”的否定为（ ） A. 所有小数都不是无理数 B. 有些小数是无理数 C. 有些小数不是无理数 D. 所有小数都是无理数 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 的大小关系无法确定 5. 已知为定义在上的奇函数，当时，，则（ ） A. B. C. 9 D. 6. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 若关于的不等式恒成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 若，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知集合，，且是的真子集，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 10. 函数，且的部分图象可能是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数满足对任意，均有，且当时，，则（ ） A. B. C. 当时， D. 存在，使得，且 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. ______． 13. 已知幂函数经过点，则不等式的解集为______． 14. 已知函数在上单调递减，则的取值范围为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知正数满足. （1）求的最大值； （2）求的最小值. 16. 已知幂函数是奇函数． （1）求的解析式； （2）根据定义证明函数在上单调递增． 17. 眼下正值金柚热销之时，某水果网店为促销金柚，提供了阶梯式购买方案，购买方案如下表： 购买的金柚重量 金柚单价/（元） 不超过5kg的部分 10 超过5kg但不超过10kg的部分 9 超过10kg的部分 8 记顾客购买的金柚重量为，消费额为元． （1）求函数的解析式． （2）已知甲、乙两人商量在这家网店购买金柚，甲、乙计划购买的金柚重量分别为，．请你为他们设计一种购买方案，使得甲、乙两人的消费总额最少，并求出此时的消费总额． 18. 已知奇函数与偶函数满足 （1）求的解析式； （2）若，求的值； （3）若函数在上的最小值为，求的值． 19. 定义：为函数在上的平均变化率． （1）若函数在上的平均变化率为3，证明：． （2）设，，，且． ①证明：； ②求的取值范围． 参考公式：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $