精品解析：广东省佛山市高明区2024-2025学年高一上学期期中数学试卷

2024-2025学年广东省佛山市高明区高一（上）期中数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，若，则（ ） A. -1 B. 1 C. 0 D. 2 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 3. 已知命题，，若命题是假命题，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. “是函数且）的图象经过第三象限”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 函数的图像大致是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数满足，且在上是增函数，则，，的大小顺序是（ ） A. B. C. D. 7. 已知定义在上的偶函数，若正实数a、b满足，则的最小值为（ ） A. B. 9 C. D. 8 8. 已知函数是三次函数且幂函数，，则（ ） A. 4047 B. 8092 C. 8094 D. 9086 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 在下列四个命题中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 已知，则 D. 为互不相等的正数，且，则 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 存在最小值，则 C. 的单调递减区间为 D. 若，则 11. 已知是定义在上的不恒为零的函数，对于任意都满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是奇函数 C. 若，则 D. 若当时，，则在单调递减 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知幂函数满足，则________. 13. 甲乙两家服装店同时对一款原价500元的服装减价促销，甲店每天比前一天减价20元，乙店每天比前一天减价5%，例如：甲店这款减价服装第1天售价为480元，乙店的第1天售价475元，假设甲乙两店的这款减价服装在20天内均没有售完，则从第______天起，甲店这款减价服装的售价开始低于乙店. 14. 已知函数，若关于的不等式恰有两个整数解，则实数的取值范围是____． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. （1）已知，，求的值； （2）化简：. 16. 已知函数． （1）用定义法证明是减函数； （2）解关于t的不等式． 17. 某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某珍稀水果树的单株产量W（单位：千克与施用肥料x（单位：（千克）满足如下关系：，肥料成本投入为10x元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）20x元．已知这种水果的市场售价大约为15元/千克，且销路畅通供不应求．记该水果树的单株利润为（单位：元）． （1）求的函数关系式； （2）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？ 18. 已知a为实数，函数，． （1）设，，若函数的最大值等于2，求a的值； （2）若对任意，都存在，使得，求a的取值范围； （3）设，求的最小值． 19. 已知函数的图象可由函数（且）的图象先向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度得到，且. （1）求的值； （2）若函数，证明：； （3）若函数与在区间上都是单调的，且单调性相同，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年广东省佛山市高明区高一（上）期中数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，若，则（ ） A. -1 B. 1 C. 0 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合相等的定义，即可求解. 【详解】由可知，. 故选：A 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用函数有意义列出不等式求解即得. 【详解】函数有意义，则，解得， 所以原函数的定义域为. 故选：A 3. 已知命题，，若命题是假命题，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知：，是真命题，解不等式即可求解. 【详解】由于命题是假命题，则是真命题， 即，是真命题， ，解得． 故选：B． 4. “是函数且）的图象经过第三象限”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数函数的图象特征，结合与0的关系，即可分别求解充分性和必要性，进而根据充要条件的定义求解. 【详解】解：对于函数且）， 当时，，结合指数函数的图象特征，可知的图象经过第一、三、四象限，所以充分性成立； 对于函数且），当时，且单调递减，此时它不经过第三象限， 当时，为增函数且，经过第三象限，故符合题意，必要性成立， 综上所述，“”是“函数且）的图象经过第三象限”的充要条件． 故选：C． 5. 函数的图像大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过求函数的零点判断图像与轴的交点，结合函数值的正负区间以及时的极限状态（或求导分析单调性）即可排除错误选项。 【详解】令，即，因为恒成立，所以， 解得或，数图像与轴有两个交点和。 观察选项：A选项：当时图像一直在轴下方，不符合时，故排除A； B选项：当时图像有部分在轴下方，而当时，，，所以，故排除B； D选项： 由导数可知，当时，函数单调递增，D 选项在时单调递减，故排除D； C选项：图像过原点，在时函数值为正且先增后减（存在极大值），在后先减后增（存在极小值），符合函数性质. 6. 已知函数满足，且在上是增函数，则，，的大小顺序是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，确定函数图象的对称轴，再结合单调性比较大小即得. 【详解】由函数满足，得函数的图象关于直线对称， 显然，，而，在上是增函数， 因此，所以. 故选：B 7. 已知定义在上的偶函数，若正实数a、b满足，则的最小值为（ ） A. B. 9 C. D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】根据偶函数的对称性可得，由题意分析可得，结合基本不等式分析运算. 【详解】若函数为偶函数，则， 即，可得， 整理得，故，解得， ∴. 若正实数a、b满足，即，可得， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， ∴的最小值为. 故选：A. 8. 已知函数是三次函数且幂函数，，则（ ） A. 4047 B. 8092 C. 8094 D. 9086 【答案】C 【解析】 【分析】函数是三次函数且是幂函数得，然后再结合函数的奇偶性即可求解. 【详解】 因为是三次函数且是幂函数，所以，所以. 令，， 则是奇函数，所以: . 故C项正确. 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 在下列四个命题中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 已知，则 D. 为互不相等的正数，且，则 【答案】CD 【解析】 【分析】根据不等式的性质，即可求解ACD，举反例即可求解B. 【详解】对于A，由，则，故，因此A错误； 对于B,取，则， 显然，因此B错误； 对于C，由， 故， 则，即，因此C正确； 对于D，由为互不相等的正数，则，又， 即，即， 又，，即，因此D正确． 故选：CD． 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 存在最小值，则 C. 的单调递减区间为 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据分段函数解析式直接求得函数值可判断AD选项，再根据分段函数的单调性判断方法分别判断BC选项. 【详解】A选项：，，所以，解得，A选项正确； B选项：当时，，所以，即函数在上的最小值为， 又当时，，所以函数在上单调递减，所以当时，， 所以若函数存在最小值，则，B选项正确； C选项：在上单调递减，在上单调递减，不能说函数在上单调递减； D选项：由已知得，所以， 又函数在上的最小值为， 所以，解得，D选项正确； 故选：ABD. 11. 已知是定义在上的不恒为零的函数，对于任意都满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是奇函数 C. 若，则 D. 若当时，，则在单调递减 【答案】ABD 【解析】 【分析】令即可判断A；令，求出，再令，即可判断B；令即可判断C；由，得，再根据函数单调性定义即可判断D. 【详解】因为， 令，得，所以，故A正确； 令，得， 所以，令，得，又， 所以，又因为定义域为，所以函数是奇函数，故B正确； 令，得， 又，所以，故C错误； 当时，由， 可得，又， ，在上任取，不妨设， ， ， 故在单调递减，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于对和准确的赋值以及对单调性定义计算的精简. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知幂函数满足，则________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用幂函数的解析式可得，再代入计算即得. 【详解】设，则，所以. 故答案为： 13. 甲乙两家服装店同时对一款原价500元的服装减价促销，甲店每天比前一天减价20元，乙店每天比前一天减价5%，例如：甲店这款减价服装第1天售价为480元，乙店的第1天售价475元，假设甲乙两店的这款减价服装在20天内均没有售完，则从第______天起，甲店这款减价服装的售价开始低于乙店. 【答案】11 【解析】 【分析】设从第天起，由题设条件列出不等式，再借助计算器计算即得. 【详解】假设从第天起，甲店这款减价服装的售价开始低于乙店， 则，整理得， 由计算器计算， 当时，， 当时，， 所以从第11天开始，甲店这款减价服装的售价开始低于乙店. 故答案为：11 14. 已知函数，若关于的不等式恰有两个整数解，则实数的取值范围是____． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数解析式，作出函数图象，解不等式可得：，讨论和的大小关系，确定不等式的解集，结合函数图象确定解集中的两个整数解，进而确定的取值范围. 【详解】由于函数，作出图象如图所示： 由可得：. 当时，，不等式无解； 当时，由得：， 若不等式恰有两个整数解，由于，，， 则整数解为和，又， ∴； 当时，由得：， 若不等式恰有两个整数解，由于，则整数解为和， 又， ，∴， 综上所述：实数的取值范围为：. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. （1）已知，，求的值； （2）化简：. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】利用指数幂的运算法则即可得解. 【详解】（1）因为，， 所以. （2） . 16. 已知函数． （1）用定义法证明是减函数； （2）解关于t的不等式． 【答案】（1），且，则， 由，得，而， 因此，即， 所以是减函数. （2）. 【解析】 【分析】（1）利用减函数的定义推理论证即得. （2）判断函数的奇偶性，结合单调性求解不等式. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由，得，，即函数是奇函数， 不等式，而是减函数， 因此，解得， 所以原不等式的解集是. 17. 某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某珍稀水果树的单株产量W（单位：千克与施用肥料x（单位：（千克）满足如下关系：，肥料成本投入为10x元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）20x元．已知这种水果的市场售价大约为15元/千克，且销路畅通供不应求．记该水果树的单株利润为（单位：元）． （1）求的函数关系式； （2）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）当时取得最大利润，最大利润为480元. 【解析】 【分析】（1）利用销售额减去成本投入可得出利润解析式； （2）利用分段函数的单调性及基本不等式计算最值即可. 【小问1详解】 由已知 ； 【小问2详解】 由（1）得， 即由二次函数的单调性可知，当时，， 由基本不等式可知，当时， ， 当且仅当，即时取得最大值， 综上，当时取得最大利润，最大利润为480元. 18. 已知a为实数，函数，． （1）设，，若函数的最大值等于2，求a的值； （2）若对任意，都存在，使得，求a的取值范围； （3）设，求的最小值． 【答案】（1）或. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）因为,的最大值等于2,只能在或处取到，分别讨论和的情况，即可求得结果； （2）因为对任意，都存在，使，由此可得，解不等式组即可； （3）先去绝对值，得到，对a的范围进行分类讨论，从而得出的单调性，即可求出的最小值． 【小问1详解】 因为， 当时，，即，解得：（舍）或. 当时，，即，解得：（舍）或. 综上，或. 【小问2详解】 设在区间上的值域为A，在区间上的值域为B， 则，． 因为对任意，都存在，使， 所以得， 所以a的取值范围是 【小问3详解】 ①当时，在上单调递减，上单调递增， ； ②当时，在上单调递减，上单调递增， ； ③当时，在上单调递减，上单调递增， ； 综上． 19. 已知函数的图象可由函数（且）的图象先向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度得到，且. （1）求的值； （2）若函数，证明：； （3）若函数与在区间上都是单调的，且单调性相同，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 由（1）可知 所以； （3） 【解析】 【分析】（1）根据图象平移的性质得到平移后的解析式即可求出的值； （2）由（1）求出解析式，代入即可证明； （3）由（1）求出和解析式，根据函数性质列出关于增函数的不等式即可求出取值范围. 【小问1详解】 函数的图象向下平移2个单位长度后得到的图象， 再向左平移1个单位长度得到的图象， 所以.又， 所以（负值舍去）； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（1）可知， 若两函数在区间上都是增函数， 则在区间上恒成立， 可得解得， 若两函数在区间上都是减函数， 则在区间上恒成立， 可得该不等式组无解, 综上，实数的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于对函数增减性以及函数性质列出正确的不等式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $