精品解析：山东省淄博市淄川区般阳中学2025届高三上学期期中考试数学试题

淄川区般阳中学2022级期中考试 数学试题 2024年11月 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则 A. B. C. D. 2. 若复数，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. A. B. C. D. 4. 已知函数是定义域为的偶函数，则“”是“在上单调递增”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知，且，则的最小值为（ ） A. 4 B. 8 C. 7 D. 6 6. 下列四个函数中，在区间上单调递增的是（　　） A. B. C. D. 7. 已知为第二象限角，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知的值域为，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知数列的前项和，则下列结论正确的是（ ） A. 数列是等差数列 B. C. 的最大值为10 D. 10. 已知函数，则（ ） A. 的定义域为 B. 的图像在处的切线斜率为 C. D. 有两个零点，且 11. 已知函数的部分图像如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 函数的周期为 B. 函数的图像关于直线对称 C. 函数在单调递减 D. 该图像向右平移个单位可得的图像 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 5个人站成一排,其中甲不能站排头的方法共有_____种. 13. 若向量满足，则______． 14. 已知偶函数若方程有且只有6个不相等的实数根，则实数m的取值范围为_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若， （1）求角A； （2）如果，，求△ABC的面积. 16. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面是的中点，作交于点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的大小. 17. 已知正项等比数列的前项和为，，且，，成等差数列. （1）求数列的通项公式； （2）设数列满足，求数列的前项和 18. 已知函数 （1）讨论的单调性； （2）若函数有一个零点，求的取值范围． 19. 为响应绿色出行，某市在：推出“共享单车”后，又推出“新能源分时租赁汽车”，其中一款新能源分时租赁汽车具体收费标准为日间元分钟，晚间时30分至次日上午7时30分收费35元小时，已知孙先生家离上班地点20公里，每天日间租用该款汽车上、下班各一次由于堵车、红绿灯等因素，每次路上开车花费的时间分钟是一个随机变量现统计了50次路上开车花费时间，在各时间段内的频数分布情况如表所示： 时间分钟 频数 4 16 18 10 2 将各时间段发生的频率视为概率，每次路上开车花费的时间视为用车时间，范围为分钟． （1）若孙先生一次开车时间不超过40分钟为“路段畅通”，设X表示4次租用新能源分时租赁汽车中“路段畅通”的次数，求X的分布列和期望； （2）若公司每月给1000元的车补，请估计孙先生每月按22天计算的车补是否足够上、下班租用新能源分时租赁汽车？并说明理由同一时段，用该区间的中点值作代表． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 淄川区般阳中学2022级期中考试 数学试题 2024年11月 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意，分别求得集合，，再根据集合的交集的运算，即可求解. 【详解】由题意，集合，， 则，故选B. 【点睛】本题主要考查了集合的交集的运算问题，其中解答中正确求解集合，再根据集合的交集的运算求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题. 2. 若复数，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数除法的运算法则，结合复数虚部定义进行求解即可. 【详解】因为， 所以的虚部为， 故选：D 3. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用诱导公式进行化简，再根据特殊角的三角函数值求出正确选项. 【详解】依题意，原式，故选D. 【点睛】本小题主要考查利用诱导公式进行化简求值，考查特殊角的三角函数值，属于基础题. 4. 已知函数是定义域为的偶函数，则“”是“在上单调递增”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用函数的单调性和函数的值的关系，利用充分条件和必要条件的应用求出结果． 【详解】由题意，函数的定义域为的偶函数，当“”时， 根据偶函数，，“在不一定单调递增”； 当“在上单调递增”时，有， 故“”是“在上单调递增”的必要不充分条件． 故选：B． 5. 已知，且，则的最小值为（ ） A. 4 B. 8 C. 7 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件利用均值不等式构造不等式，解二次不等式即可求解. 【详解】, ,当且仅当，即时等号成立， 解得或（舍去）， 的最小值为6 故选：D 6. 下列四个函数中，在区间上单调递增的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一次函数、二次函数、绝对值函数、分式型函数的单调性逐一判断即可. 【详解】A：一次函数是实数集上的减函数，不符合题意； B：因为二次函数的对称轴为， 所以该二次函数的单调递增区间为，因此不符合题意； C：当时，，此时该函数单调递减，因此不符合题意； D：因为的单调递增区间为和， 所以在区间上也单调递增，符合题意. 故选：D. 7. 已知为第二象限角，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二倍角公式以及同角关系即可求解. 【详解】由于为第二象限角，则, 则， 由可得， ， ， 由于， 所以，故， 所以， 故选：B 8. 已知的值域为，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分段函数在两段上分别根据自变量范围求函数值的范围，跟值域对比求实数的取值范围. 【详解】①若， 当时，在上单调递减，此时， 当时，，当且仅当时，等号成立， 又函数的值域D满足，则解得； ②若， 当时，在上单调递增，此时， 当时，，当且仅当时，等号成立， 又函数的值域D满足，不合题意； ③当时，， 若，有（当且仅当时取等号）符合题意， 综上所述：. 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知数列的前项和，则下列结论正确的是（ ） A. 数列是等差数列 B. C. 的最大值为10 D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据已知条件利用求得，验证符合上式，得出，利用等差数列定义求出判断是等差数列；根据判断数列为递减数列，判断；利用求的最大值为10；根据计算出即可. 【详解】因为，当时，, 当时，， 所以， 所以，检验符合上式， 所以，所以，， 所以是首项为，公差的等差数列，所以A正确； 因为，所以数列是递减数列，所以，B正确； 因为，所以时有最大值， ，所以的最大值为10，所以C正确； ，，，所以D错误. 故选：ABC 10. 已知函数，则（ ） A. 的定义域为 B. 的图像在处的切线斜率为 C. D. 有两个零点，且 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意直接求出的范围即可判断；求出导函数，进而求得即可判断B；求得即可判断C；易知的单调性，结合零点存在定理及C即可判断D． 【详解】由题意，， 对于选项A，易知且，故选项A错误， 对于选项B，因为，则，故选项B正确， 对于选项C，因为，所以，故选项C正确， 对于选项D，由选项可知，易知在和上单调递增， 因为， ， 所以，使得， 又因为，则，结合选项C，得， 即也是的零点，则，，故，故选项D正确， 故选：BCD. 11. 已知函数的部分图像如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 函数的周期为 B. 函数的图像关于直线对称 C. 函数在单调递减 D. 该图像向右平移个单位可得的图像 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据函数图像可确定参数的值以及最小正周期，判断A，利用特殊点坐标可求得，即得函数解析式，将代入验证可判断B；根据，，结合正弦函数的单调性，可判断C；根据三角函数的图像平移可得平移后的函数解析式，判断D. 【详解】由函数图像可知： 设函数最小正周期为T，则 ,A正确； 将代入函数解析式可得， 即， 由于，故，则， 将代入得， 即函数的图像关于直线对称，B正确； 当时，， 由于正弦函数在上递减，在递增， 故在上递减，在递增，C错误； 将的图像向右平移个单位可得的图像，D正确， 故选：ABD 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 5个人站成一排,其中甲不能站排头的方法共有_____种. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，先分析排头位置，由分步计数原理计算可得答案． 【详解】先从甲以外的4人中选1人站在排头,有种选法,其他4人再按顺序站好,共有种站法,所以,总共有=96种站法. 故答案为96 【点睛】本题考查排列、组合的应用，用直接法应该优先分析受到限制的元素（或位置），如本题中的排头． 13. 若向量满足，则______． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】将平方，把代入即可. 【详解】因为， 所以， 即， 即， 所以， 故答案为：. 14. 已知偶函数若方程有且只有6个不相等的实数根，则实数m的取值范围为_______． 【答案】 【解析】 【分析】若方程f(x)−m=0有且只有6个不相等的实数根，转化为y=f(x)与y=m有6个不同的交点. 对y=f(x)求导，画出图形即可得出m的取值范围. 【详解】(1)当 时， 由 得 ；由 得 . 所以在 上单调递增，在 上单调递减. ， . (2)当 时， ， 于是可画出右边的函数图象，又因为为偶函数，其图象关于y轴对称，从而可画出左边的图象. 由图象知： . 故答案为： . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若， （1）求角A； （2）如果，，求△ABC的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知式子，利用正弦定理进行边角转化，然后整理，使用余弦定理即可完成角度的求解； （2）结合第（1）问的角度和第（2）问给的边长关系，借助余弦定理可以求解出bc，然后再使用面积公式即可完成求解. 【详解】解： （1）因为 由正弦定理得， 即， 所以， ，所以. （2）又， ，所以， 所以. 16. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面是的中点，作交于点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的大小. 【答案】（1）证明：以为原点，所在直线分别为轴､轴､轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，设. 依题意得， 故， 故，所以. 由已知，且，平面EFD，平面EFD， 所以平面EFD. （2） 【解析】 【分析】（1）由向量数量积坐标运算证明，结合已知线面垂直可证； （2）利用垂直关系找到二面角的平面角，转化为两向量与的夹角运算求解可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 已知，由（1）平面EFD，又平面EFD， 所以，且为锐角，故是平面与平面的夹角. 设点的坐标为，则， 由题意在线段上，所以， 所以， 即，. 设，则， 所以，点的坐标为，又点的坐标为， 所以，. 所以， 所以，即平面与平面的夹角大小为. 17. 已知正项等比数列的前项和为，，且，，成等差数列. （1）求数列的通项公式； （2）设数列满足，求数列的前项和 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）设的公比为，根据等差数列的性质列方程求得后可得通项公式； （2）写出，由分组求和法求和． 【小问1详解】 设的公比为（）， 因为，且，，成等差数列， 所以，即，解得， 所以； 【小问2详解】 由（1）， ． 18. 已知函数 （1）讨论的单调性； （2）若函数有一个零点，求的取值范围． 【答案】（1） 当时，函数在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2） 【解析】 【分析】（1）求得，分和，两种情况讨论，结合导数的符号，即可求得函数的单调区间； （2）根据题意转化为在有一个根，即直线与函数在上有一个交点，令，利用导数求得函数的单调性与最大值，进而确定的取值范围. 【小问1详解】 解：函数的定义域为，可得 当时，恒成立，函数在上单调递减； 当时，令，可得，令，可得， 故函数在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 解：函数在有一个零点，等价于方程在有一个根，即方程在有一个根， 即直线与函数在上有一个交点， 令，可得， 令，即，解得；令，即为，解得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，，又因为， 当时，，且时，，当时，， 所以当或时，函数有一个零点，即的取值范围为. 【点睛】方法技巧：已知函数零点（方程根）的个数，求参数的取值范围问题的三种常用方法： 1、直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范围2、分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决； 3、数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结合求解. 结论拓展：与和相关的常见同构模型 ①，构造函数或； ②，构造函数或； ③，构造函数或. 19. 为响应绿色出行，某市在：推出“共享单车”后，又推出“新能源分时租赁汽车”，其中一款新能源分时租赁汽车具体收费标准为日间元分钟，晚间时30分至次日上午7时30分收费35元小时，已知孙先生家离上班地点20公里，每天日间租用该款汽车上、下班各一次由于堵车、红绿灯等因素，每次路上开车花费的时间分钟是一个随机变量现统计了50次路上开车花费时间，在各时间段内的频数分布情况如表所示： 时间分钟 频数 4 16 18 10 2 将各时间段发生的频率视为概率，每次路上开车花费的时间视为用车时间，范围为分钟． （1）若孙先生一次开车时间不超过40分钟为“路段畅通”，设X表示4次租用新能源分时租赁汽车中“路段畅通”的次数，求X的分布列和期望； （2）若公司每月给1000元的车补，请估计孙先生每月按22天计算的车补是否足够上、下班租用新能源分时租赁汽车？并说明理由同一时段，用该区间的中点值作代表． 【答案】（1）分布列为： 　X 0 1 2 3 4 　P 数学期望； （2）孙先生租用一次新能源汽车上下班，平均用车时间为t， 则分钟， 每次上下班租车的费用约为元， 一个月上下班租车的总费用约为元， 因为， 估计孙先生每月的车补足够上、下班租用新能源分时租赁汽车． 【解析】 【分析】（1）计算租用一次新能源汽车为“路段畅通”的频率，并视频率为概率，知X的可能取值，且X服从二项分布，计算对应的频率值，写出X的分布列，求出数学期望值； （2）计算租用一次新能源汽车上下班平均用车时间和费用，求出一个月的总费用，比较即可． 【小问1详解】 孙先生租用一次新能源汽车，为“路段畅通”的频率为， 视频率为概率，孙先生租用一次新能源汽车，为“路段畅通”的概率为， 则X的可能取值为0，1，2，3，4；且X服从二项分布， 所以； ； ； ； ； 的分布列为： 　X 0 1 2 3　 4 　P 数学期望为； 【小问2详解】 略 【点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式，求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式求得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $