精品解析：广西壮族自治区容县七校2024-2025学年高一上学期期中联考数学试题

2024年秋季期高一年级期中七校联考质量评价检测 数 学 （本试卷满分150分，考试时间120分钟） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 3. 已知幂函数的图象经过点，则的值等于（ ） A. 16 B. C. 2 D. 4. 若函数满足，则的解析式为（ ） A. B. C. D. 5. 不等式的解集为，则函数的图象为（ ） A. B. C. D. 6. 小齐、小港两人同时相约两次到同一水果店购买葡萄，小齐每次购买3千克葡萄，小港每次购买50元葡萄，若这两次葡萄的单价不同，则小齐和小港两次购买葡萄的平均价格是（ ） A. 一样多 B. 小齐低 C. 小港低 D. 无法比较 7. 若是偶函数且在上单调递增，又，则不等式的解集为（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 8. 若两个正实数满足且存在这样的使不等式有解，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 命题“，”的否定是“，” B. “”是“”的充分不必要条件 C. 已知，，则两集合为相等集合 D. 集合的子集共有8个 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若的定义域为，则的定义域为 B. 和表示同一个函数 C. 函数满足，则 D. 函数是定义在上的奇函数，若时，，则时， 11. 已知函数的定义域为，若，且在上单调递增，，则（ ） A. B. C. 是奇函数 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则__________. 13. 已知，，则的取值范围____________．（用区间作答） 14. 用表示，两个数中的最大值，设函数，若恒成立，则的最大值是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，． （1）当时，求，； （2）若，求实数m的取值范围． 16. 已知不等式. （1）当时不等式恒成立，求实数m的取值范围； （2）当时不等式恒成立，求实数m的取值范围. 17. 春运是中国在农历春节前后发生的一种大规模全国性交通运输高峰期、高交通运输压力现象.已知某火车站候车厅，候车人数与时间t相关，时间t（单位：小时）满足，.经测算，当时，候车人数为候车厅满厅状态，满厅人数5160人，当时，候车人数会减少，减少人数与成正比，且时间为6点时，候车人数为3960人，记候车厅候车人数为. （1）求的表达式，并求当天中午12点时，候车厅候车人数； （2）若为了照顾群众的安全，每时需要提供的免费矿泉水瓶数为，则一天中哪个时间需要提供的矿泉水瓶数最少? 18. 已知幂函数为奇函数． （1）求实数m的值； （2）求函数（）的值域． （3）求函数在区间上的最小值. 19. 已知函数是定义在上的奇函数，且 （1）求的值； （2）用定义法判定的单调性； （3）求使成立的实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋季期高一年级期中七校联考质量评价检测 数 学 （本试卷满分150分，考试时间120分钟） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合并集运算法则计算即可. 【详解】因为 所以 故选：B 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用分母不为0和二次根式被开方数大于等于0可得函数的定义域. 【详解】由得且，故函数的定义域为. 故选：D. 3. 已知幂函数的图象经过点，则的值等于（ ） A. 16 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】设幂函数为，再将代入，求出函数的解析式，即可得答案. 【详解】设幂函数为， 因为幂函数的图象经过点， 将点代入得：， 所以，则， 所以. 故选：A. 4. 若函数满足，则的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】换元法求解函数解析式. 【详解】，令，则， 故， 所以. 故选：C. 5. 不等式的解集为，则函数的图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得不等式对应的二次函数开口向下，对应的一元二次方程的两个根为，即可求解得到，代入新函数分析开口和与轴的交点，即得解 【详解】由题意，不等式的解集为 故对应的二次函数开口向下 对应的一元二次方程的两个根为 解得 则函数， 为开口向下的二次函数，且与轴的交点为 故选：C 6. 小齐、小港两人同时相约两次到同一水果店购买葡萄，小齐每次购买3千克葡萄，小港每次购买50元葡萄，若这两次葡萄的单价不同，则小齐和小港两次购买葡萄的平均价格是（ ） A. 一样多 B. 小齐低 C. 小港低 D. 无法比较 【答案】C 【解析】 【分析】设两次葡萄的单价分别为，分别计算出小齐和小港两次购买葡萄的平均价格，作差比较大小，得到答案. 【详解】设两次葡萄的单价分别为， 则小齐两次购买葡萄的平均价格是， 小港两次购买葡萄的平均价格是， ， 故，小港两次购买葡萄的平均价格低. 故选：C. 7. 若是偶函数且在上单调递增，又，则不等式的解集为（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】根据偶函数的性质有在上单调递减，在上单调递增，且，再由偶函数、单调性求解集. 【详解】由题设，偶函数在上单调递减，在上单调递增，且， 所以，故或，解集为或. 故选：B 8. 若两个正实数满足且存在这样的使不等式有解，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用乘“1”法及基本不等式求出的最小值，存在，使不等式有解，即，解不等式可求. 【详解】正实数，满足， . 当且仅当且，即，时取等号， 存在，使不等式有解， ，解可得或，即， 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 命题“，”的否定是“，” B. “”是“”的充分不必要条件 C. 已知，，则两集合为相等集合 D. 集合的子集共有8个 【答案】BD 【解析】 【分析】A由全称命题的否定为特称命题判断；B根据充分、必要性定义判断；C、D由集合相等的定义及元素个数与子集个数关系判断. 【详解】A，“，”的否定为“，”，错误； B，由，得，故或，则是的充分不必要条件，正确； C，集合M，N为点集，而点与点为不同的点，错误； D，集合，所以集合的子集共有个，正确； 故选：BD 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若的定义域为，则的定义域为 B. 和表示同一个函数 C. 函数满足，则 D. 函数是定义在上的奇函数，若时，，则时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，根据抽象函数的定义域可判断；对B，根据相同函数的定义域相同，求出和的定义域判断；对C，在条件式中，令为，解方程组求解；对D，根据奇函数的定义求解判断. 【详解】对于A，因为的定义域为，对于函数，则，解得，即的定义域为，故A正确； 对于B，定义域为，定义域为，所以和不是同一个函数，故B错误； 对于C，因为，所以，两边同乘以2得， 两式相加得，解得，故C正确； 对于D，当时，，若时，则，，故D正确． 故选：ACD. 11. 已知函数的定义域为，若，且在上单调递增，，则（ ） A. B. C. 是奇函数 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定条件，结合赋值法计算判断ABC；结合选项C的结论，分段探讨的取值情况判断D. 【详解】对于A，令，得，则， 由在上单调递增，得不恒为1，因此，A正确； 对于B，令，得，则， 而，因此，B正确； 对于C，，取，则， 即有，因此函数是偶函数，又时，， 则函数不是奇函数，C错误； 对于D，，令，则， 当时，；当时，，，， 因此，当时，，， 所以，D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据分段函数解析式直接计算即可. 【详解】由题意可得，当时，， 当时，， 所以. 故答案为：. 13. 已知，，则的取值范围____________．（用区间作答） 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，得到，结合不等式的基本性质，即可求解. 【详解】根据题意，设，可得， 因为，，可得，， 所以，即的取值范围为． 故答案为：. 14. 用表示，两个数中的最大值，设函数，若恒成立，则的最大值是______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据定义，得到分段函数，再求的最小值即可求解. 【详解】因为，由，得或， 则， 当时，当时，单调递减，则， 综上，时，， 则恒成立，即，解得， 则的最大值是3. 故答案为：3 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，． （1）当时，求，； （2）若，求实数m的取值范围． 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）把代入求出，解不等式化简，再利用补集、交集、并集的定义求解即得. （2）利用交集的结果，结合集合的包含关系列式求解即得. 【小问1详解】 当时，， 或，， 所以，. 【小问2详解】 由，得， 当，即时，，满足，则； 当时，，由，得或， 解，得无解；解，得，则， 所以实数m的取值范围是. 16. 已知不等式. （1）当时不等式恒成立，求实数m的取值范围； （2）当时不等式恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据二次项系数的正负性，结合一元二次不等式解集的性质，分与两类进行讨论求解即可； （2）根据二次项系数的正负性，结合一元二次不等式解集的性质，分、和三类进行讨论求解即可； 【小问1详解】 ①若，则原不等式可化为，显然恒成立， ②若，则不等式恒成立， 等价于 ，解得， 综上，实数m的取值范围是. 【小问2详解】 ①当时，则原不等式可化为，显然恒成立， ②当时，函数的图象开口向上，对称轴为直线， 若时不等式恒成立， 则，解得， ③当时，函数的图象开口向下， 若时不等式恒成立， 则，解得， 综上，实数m的取值范围是. 17. 春运是中国在农历春节前后发生的一种大规模全国性交通运输高峰期、高交通运输压力现象.已知某火车站候车厅，候车人数与时间t相关，时间t（单位：小时）满足，.经测算，当时，候车人数为候车厅满厅状态，满厅人数5160人，当时，候车人数会减少，减少人数与成正比，且时间为6点时，候车人数为3960人，记候车厅候车人数为. （1）求的表达式，并求当天中午12点时，候车厅候车人数； （2）若为了照顾群众的安全，每时需要提供的免费矿泉水瓶数为，则一天中哪个时间需要提供的矿泉水瓶数最少? 【答案】（1），候车厅候车人数为4200人 （2）时，需要提供的矿泉水瓶数最少 【解析】 【分析】（1）根据题意，设出函数解析式，代入，可得解析式，代入，可得答案； （2）根据题意，写出函数解析式，由基本不等式和反比例函数的单调性，比较大小，可得答案. 【小问1详解】 当时，设，，则， . ， 故当天中午12点时，候车厅候车人数为4200人. 【小问2详解】 ， ①当时，，当且仅当时等号成立； ②当时，； 又，所以时，需要提供的矿泉水瓶数最少. 18. 已知幂函数为奇函数． （1）求实数m的值； （2）求函数（）的值域． （3）求函数在区间上的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 函数， 当，即时，在区间上单调递增，最小值为； 当，即时，在区间上先减后增，最小值为； 当，即时，在区间上单调递减，最小值为． 综上，当时，； 当时，； 当时，. 【解析】 【分析】（1）根据幂函数的定义及性质列式运算判断； （2）换元令，转化为二次函数求值域； （3）利用二次函数对称轴与定义域关系讨论求解. 【小问1详解】 ∵函数为幂函数， ∴，解得或5， 当时，，为奇函数， 当时，，为偶函数， 因为函数为奇函数，∴. 【小问2详解】 由（1）可知，，则，， 令，则，， 则，， 函数的图像开口向下，对称轴为， ∴当时，函数，当，函数取得最大值为1， ∴的值域为， 故函数的值域为. 【小问3详解】 略 19. 已知函数是定义在上的奇函数，且 （1）求的值； （2）用定义法判定的单调性； （3）求使成立的实数的取值范围. 【答案】（1） （2）在上是增函数. （3）. 【解析】 【分析】（1）由函数在处有定义得，联立待定系数，再利用定义证明函数的奇偶性即可； （2）按“区间取值——作差变形——符号判断”的步骤利用定义法判定即可得； （3）结合函数的奇偶性与单调性解抽象不等式的方法求解，注意函数的定义域. 【小问1详解】 因为函数是定义在上的奇函数， 所以，得，解得， 验证：当时，. 由题意，的定义域关于原点对称. 且任意，都有， 所以是奇函数，满足题意. 故. 【小问2详解】 在上是增函数. 由（1）知，，. 证明：设，且， 则， ，，， ，， 在上是增函数. 【小问3详解】 ， 因为是定义在上的奇函数， 所以， 则， 由（2）知在上是增函数， 所以，即，解得. 故实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $