精品解析：江西省上饶市广丰新实中学2025届高三上学期十一月测试数学试题

江西省上饶市广丰新实中学2024-2025学年高三上学期十一月测试数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数满足对任意实数，都有成立，则实数a的取值范围是（     ） A. B. C. D. 2. 如图是某市随机抽取的100户居民的月均用水量频率分布直方图，如果要让60%的居民用水不超出标准（单位：t），根据直方图估计，下列最接近的数为（ ） A. 8.5 B. 9 C. 9.5 D. 10 3. 已知函数在区间上单调递增，且在区间上有且仅有2个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，平行四边形ABCD中，，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 若圆上存在两个点到直线的距离为，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. 或. D. 或 6. 设甲、乙两人每次投进篮球的概率分别为与，两人约定如下投篮：每次由一人投篮，若投进，下一次由另一人投篮；若没有投进，则继续投篮，则前4次中甲恰好投篮3次的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：…，即，，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域都有着广泛的应用.若此数列被除后的余数构成一个新数列，则数列的前项的和为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数若直线与函数的图象有且只有一个公共点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 函数是定义在上的奇函数，下列命题中正确的有（ ） A. 若在上有最小值，则在上有最大值1 B. 若，则当时， C. 若，则的图象关于点中心对称 D. 若，则的图象关于直线对称 10. 设i为虚数单位，下列关于复数z的命题正确的有（ ） A. B. 若，互为共轭复数，则 C. 若，则z的轨迹是以原点为圆心，半径为1的圆 D. 若复数为纯虚数，则 11. 在直三棱柱中，，，E、F分别是、的中点，D在线段上，则下面说法中正确的有（ ） A. 平面 B. 直线EF与平面ABC所成角的正弦值为 C. 若D是的中点，若M是的中点，则F到平面BDM的距离是 D. 直线BD与直线EF所成角最小时，线段BD长为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，.若的零点恰为的零点，则a的最大值是__________. 13. 已知双曲线，斜率为的直线与曲线的两条渐近线分别交于两点，点的坐标为，直线分别与渐近线交于，若直线的斜率也为，则双曲线的离心率为__________. 14. 已知函数（）在上单调递增，则的最大值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 几个大学生联合自主创业拟开办一家公司，根据前期的市场调研发现：生产某种电子设备的固定成本为20万元，每生产一台设备需增加投入万元.已知总收入（单位：万元）与月产量（单位：台）满足函数：，且当时，. （1）求实数的值； （2）预测：当月产量为多少时，公司所获得的利润不低于20万元?（总收入总成本十利润） 16. 已知函数对任意实数，，都有成立，且当时，. （1）证明：对任意实数，，； （2）求证：是上的增函数； （3）若命题，为假命题，求实数的取值范围. 17. 已知向量． （1）当时，求的值； （2）设函数，且，求的值域． 18. 已知椭圆和抛物线．从两条曲线上各取两个点，将其坐标混合记录如下：，，，． （1）求椭圆和抛物线的方程； （2）设m为实数，已知点，直线与抛物线E交于A，B两点．记直线TA，TB的斜率分别为，，判断是否为定值，并说明理由． 19. 已知数列满足，对任意正整数、都有. （1）求数列的通项公式； （2）数列满足，求数列的前项和； （3）在（2）中的，设，求数列中最小项的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西省上饶市广丰新实中学2024-2025学年高三上学期十一月测试数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数满足对任意实数，都有成立，则实数a的取值范围是（     ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知可得函数在R上单调递减，根据分段函数的单调性列出不等式组，即可求得实数a的取值范围 【详解】由， 对任意实数，都有，可知函数在R上单调递减， 则有，解得，所以实数a的取值范围为. 故选：C. 2. 如图是某市随机抽取的100户居民的月均用水量频率分布直方图，如果要让60%的居民用水不超出标准（单位：t），根据直方图估计，下列最接近的数为（ ） A. 8.5 B. 9 C. 9.5 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】首先判断位于之间，再根据百分位数计算规则计算可得结论. 【详解】因为，， 所以应在， 所以，解得. 故最接近的数为. 故选：A. 3. 已知函数在区间上单调递增，且在区间上有且仅有2个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出单调区间，由题意列出不等式，求出范围；求出函数零点，根据题意得出不等式，求出范围，由交集得出最后范围. 【详解】令， 则 当时，，∴，即， 令，则， ∵时，， 且时，，时，，时，， ∴，∴， 综上，. 故选：D. 4. 如图，平行四边形ABCD中，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】取中点，证得是平行四边形，从而有，再得出，然后由向量的线性运算法则求解． 【详解】取中点，连接， 因为是平行四边形，是中点， 则且，所以是平行四边形， 所以， 又，则， ， 所以. 故选：C． 5. 若圆上存在两个点到直线的距离为，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. 或. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】将问题转化为距离距离为的直线与圆有且只有两个交点. 【详解】由两平行直线距离公式可知，与相距的直线为与. 又的圆心为，半径为，与相距. 则与中一条直线与圆相交，另一条与圆相离. 即一条直线到距离小于，另一条直线到距离大于. 则或或. 故选：C 6. 设甲、乙两人每次投进篮球的概率分别为与，两人约定如下投篮：每次由一人投篮，若投进，下一次由另一人投篮；若没有投进，则继续投篮，则前4次中甲恰好投篮3次的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分第一次甲先投篮与第一次乙先投篮，然后由独立事件的概率的乘法公式求解即可. 【详解】若第一次甲先投篮，则前4次中甲恰好投篮3次的概率为：， 若第一次乙先投篮，则前4次中甲恰好投篮3次的概率为： 故前4次中甲恰好投篮3次的概率为：. 故选：D 7. 意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：…，即，，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域都有着广泛的应用.若此数列被除后的余数构成一个新数列，则数列的前项的和为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】依据斐波那契数列性质得出数列中数字规律即可求得新数列的规律，再利用数列的周期性即可得结果. 【详解】根据斐波那契数列性质可得中的数字呈现出奇数、奇数、偶数循环的规律， 因此新数列即为按照成周期出现的数列，周期为， 易知，一个周期内的三个数字之和为； 所以数列的前项的和为. 故选：C 8. 已知函数若直线与函数的图象有且只有一个公共点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过导数求出直线与分段函数各段相切对应的值，并结合图象即可求解. 【详解】当时，函数，则， 令，解得， 故直线与相切，即. 当时，函数，则， 令，解得， 故直线与相切，即. 如图所示，当或时，直线与分段函数有且仅有一个公共点. 故实数的取值范围为或. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 函数是定义在上的奇函数，下列命题中正确的有（ ） A. 若在上有最小值，则在上有最大值1 B. 若，则当时， C. 若，则的图象关于点中心对称 D. 若，则的图象关于直线对称 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于AB，由奇函数性质即可判断；对于CD，由函数对称中心以及函数对称轴的定义即可求解. 【详解】对于A，因为函数是定义在上的奇函数，且若在上有最小值， 则在上有最大值1，故A正确； 对于B，若， 则当时，， 但与当时，矛盾，故B错误； 对于C，，，故C正确； 对于D，，，故D正确. 故选：ACD. 10. 设i为虚数单位，下列关于复数z的命题正确的有（ ） A. B. 若，互为共轭复数，则 C. 若，则z的轨迹是以原点为圆心，半径为1的圆 D. 若复数为纯虚数，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项，利用复数的乘方运算得到A正确；B选项，设，，则；C选项，由复数的几何意义得到C正确；D选项，根据纯虚数的定义得到方程，求出. 【详解】对于A：，A错； 对于B：令，，，，所以，故B正确； 对于C：，故z的轨迹是以原点为圆心，半径为1的圆，C正确； 对于D：若复数为纯虚数，则，即，故D正确. 故选：BCD 11. 在直三棱柱中，，，E、F分别是、的中点，D在线段上，则下面说法中正确的有（ ） A. 平面 B. 直线EF与平面ABC所成角的正弦值为 C. 若D是的中点，若M是的中点，则F到平面BDM的距离是 D. 直线BD与直线EF所成角最小时，线段BD长为 【答案】ABD 【解析】 【分析】以点为坐标原点，所在直线分别为坐标轴建立空间直角坐标系，利用直线的方向向量与平面法向量的数量积等于零可判断A；求得直线与平面的法向量，利用向量法可求得直线与平面所成角的正弦值可判断B；利用向量法求得到平面的距离可判断C；利用异面直线所成角的空间向量求法求得的长可判断D. 【详解】因为直三棱柱中，，所以两两互相垂直， 于是以点为坐标原点，所在直线分别为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，分别是的中点，在线段上， 所以， 对于A：因为在直三棱柱中，平面， 又，平面，所以，又，所以， 又，平面，所以平面， 所以为平面的一个法向量，又， 则， 又平面，平面，故A正确； 对于B：为平面的一个法向量，又， 设直线与平面所成角为， 则，故B正确； 对于C：若是的中点，若M是的中点，则， 则， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为，又， 所以到平面的距离是，故C错误； 对于D：设， 则， 设直线与直线所成角为，又， 则， 当，即时，取最大值，此时直线与直线所成角最小， ，，故D正确． 故选：ABD． 【点睛】方法点睛：求线线角，线面角，面面角的最大值与最小值，关键是用变量把动点的坐标或向量表示出来，进而用变量去表示这些角的余弦与正弦值，从而求得取最值时的变量值，进而解决有关问题. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，.若的零点恰为的零点，则a的最大值是__________. 【答案】3 【解析】 【分析】设，，根据三角函数的性质及集合间的基本关系计算即可. 【详解】设， 显然，集合A非空. 当时，显然， 以下设， 此时，. 易知，当且仅当对任意的，有， 即，故整数的最大值为3. 故答案为：3 【点睛】思路点睛：利用函数的迭代及集合的基本关系结合三角函数的有界性计算即可. 13. 已知双曲线，斜率为的直线与曲线的两条渐近线分别交于两点，点的坐标为，直线分别与渐近线交于，若直线的斜率也为，则双曲线的离心率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设相关直线，分别求四点坐标，再结合向量共线的坐标表示分析运算可得，即可得离心率. 【详解】设双曲线的渐近线为，且，直线，直线， 联立方程，解得，不妨令， 同理可得：，，， 且，则， 因为三点共线，则， 则， 整理可得， 同理由三点共线可得， 即， 整理可得， 因为，即，则，解得， 即，所以双曲线的离心率. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题解题关键是利用向量说明三点共线问题，可以避免斜率不存在的问题，使得问题更加严谨方便. 14. 已知函数（）在上单调递增，则的最大值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】在上恒成立，时，不合要求，时，，解得，，分，和三种情况，得到，化简可得，，由基本不等式求出的最大值为. 【详解】由题意，得， 因为在上单调递增，所以在上恒成立. 当时，，在上，，不符合题意； 当时，令，解得，. 当时，在上，，，，不符合题意； 当时，在上，，，，不符合题意； 当时，在上，，，； 在，，，；所以. 因此，有，化简可得，故 当且仅当，即时，等式成立. 故的最大值为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 几个大学生联合自主创业拟开办一家公司，根据前期的市场调研发现：生产某种电子设备的固定成本为20万元，每生产一台设备需增加投入万元.已知总收入（单位：万元）与月产量（单位：台）满足函数：，且当时，. （1）求实数的值； （2）预测：当月产量为多少时，公司所获得的利润不低于20万元?（总收入总成本十利润） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）代入函数值即可求出参数值； （2）列出利润函数，分段列出不等式，求得解集即为所求范围. 【小问1详解】 因为当时，， 所以，解得. 【小问2详解】 设公司所获得的利润为（单位：万元），所以 当时，，即， 解得，， 当时，， 综上，当且仅当时，公司所获得的利润不低于20万元. 16. 已知函数对任意实数，，都有成立，且当时，. （1）证明：对任意实数，，； （2）求证：是上的增函数； （3）若命题，为假命题，求实数的取值范围. 【答案】（1）证明：因为对任意实数，，， 所以，所以，在中， 令得，， 所以， 在中，用替换得，， 因为，所以， 所以，对任意实数，，成立. （2）证明：任意取，，且，则，因为当时，，所以， 所以，即，所以是上的增函数. （3）. 【解析】 【分析】（1）根据题目中的等式，利用特殊值研究新的等式，可得答案； （2）根据函数单调性的定义，假设参数的大小关系，利用作差法，可得答案； （3）根据题目中的等量关系，结合函数的单调性，化简不等式，结合二次函数的性质，可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 命题，为假命题， 等价于，为真命题. 在中，令得，， 所以 由（2）的结论得，， 即， 令， 因为，成立，所以，所以， 所以实数的取值范围是. 17. 已知向量． （1）当时，求的值； （2）设函数，且，求的值域． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量平行列出等式，计算的值，二倍角公式即可计算； （2）计算，并用辅助角公式化简，根据角的范围可求出值域. 【小问1详解】 因为，所以， 因为，所以，所以． 【小问2详解】 ， 因为，所以，所以， 所以的值域为． 18. 已知椭圆和抛物线．从两条曲线上各取两个点，将其坐标混合记录如下：，，，． （1）求椭圆和抛物线的方程； （2）设m为实数，已知点，直线与抛物线E交于A，B两点．记直线TA，TB的斜率分别为，，判断是否为定值，并说明理由． 【答案】（1）， （2）为定值，理由如下： 设，， 则∴∴ 为定值． 【解析】 【分析】（1）将四点分别代入抛物线得到的值相同的两个点在抛物线上，从而得到抛物线方程，剩下两点代入椭圆中得到椭圆方程； （2）联立方程组，消元得到关于的二次方程，由两个交点纵坐标为方程的两根，找到根与系数的关系，代入代数式得到固定值，即可得到结论. 【小问1详解】 将四个点代入抛物线方程解得，，，，∴，在抛物线上， 故抛物线方程为 故，为椭圆上的点 ∴解得 ∴椭圆C方程 【小问2详解】 为定值，理由略. 19. 已知数列满足，对任意正整数、都有. （1）求数列的通项公式； （2）数列满足，求数列的前项和； （3）在（2）中的，设，求数列中最小项的值. 【答案】（1） （2）. （3） 【解析】 【分析】（1）直接给赋值得到一个等比数列的关系式，求出的通项； （2）通过和前项和之间的关系求解通项即可； （3）通过判断数列的单调性，确定最大值的位置，判断单调性只需要比较的大小即可. 【小问1详解】 对任意正整数、都有成立，， 所以令，得，， ∴数列（）是首项和公比都为2的等比数列. ∴（）. 【小问2详解】 由，得 ， 故， 所以， 当时，，， 于是，， 当时，； 当时， 又时，， 综上，有，. 【小问3详解】 因为，， 所以， 所以， 数列是单调递增数列，即数列中数值最小的项是，其值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $