精品解析：浙江省杭州市采荷中学2024--2025学年九年级上学期 期中数学试卷

杭州采荷中学教育集团2024学年第一学期期中学情评价 九年级数学（问卷） 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列事件中，属于不可能事件的是（ ） A. 一匹马奔跑的速度是100米/秒 B. 射击运动员射击一次，命中10环 C. 班里有两名同学的生日在同一天 D. 在地面上向空中抛掷一石块，石块终将落下 【答案】A 【解析】 【分析】根据随机事件的相关概念可进行求解． 【详解】解：A、一匹马奔跑的速度是100米/秒，是不可能事件，故符合题意； B、射击运动员射击一次，命中10环；是随机事件，故不符合题意； C、班里有两名同学的生日在同一天，是随机事件；故不符合题意； D、在地面上向空中抛掷一石块，石块终将落下，是必然事件，故不符合题意； 故选A． 【点睛】本题主要考查随机事件，熟练掌握随机事件的相关概念是解题的关键． 2. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是比例的基本性质，将所求比例拆分为两个比例之和，利用已知条件代入计算即可． 【详解】解：∵ ， 又 ∵ ， ∴ ． 故选：A． 3. 已知的直径是10，点P到圆心O的距离是10，则点P与的位置关系是（ ） A. 点P在内 B. 点P在上 C. 点P在外 D. 点P在圆心 【答案】C 【解析】 【分析】根据的半径为r和点P到圆心的距离的大小关系判断即可． 【详解】解：∵的直径是10， ∴的半径为5， ∵点P到圆心O的距离为10，而， ∴点P在外， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系，熟练掌握若点与圆心的距离d，圆的半径为，则当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内是解题的关键． 4. 抛物线先向右平移个单位，再向下平移个单位得到的抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据平移法则“左加右减，上加下减”即可得出答案，熟练掌握平移法则是解此题的关键． 【详解】解：将抛物线先向右平移个单位，再向下平移个单位得到的抛物线解析式为， 故选：A． 5. 如图：，，那么CE的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ， 即， ∴CE＝3， 故选：A． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，正确列出比例式是解题的关键． 6. 关于二次函数，下列说法正确的（ ） A. 函数图象开口向下 B. 函数图象的对称轴是：直线 C. 该函数有最大值 D. 当时，随的增大而增大 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图形和性质，根据函数解析式可得函数图象开口向上，对称轴为直线，函数有最小值，当时，随的增大而增大，据此即可判断求解，掌握二次函数图形和性质是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数， ∴函数图象开口向上，对称轴为直线，函数有最小值，当时，随的增大而增大， ∴选项错误，选项正确， 故选：． 7. 下列关于正多边形的叙述，正确的是（　　） A. 正九边形既是轴对称图形又是中心对称图形 B. 存在一个正多边形，它的外角和为720° C. 任何正多边形都有一个外接圆 D. 不存在每个外角都是对应每个内角两倍的正多边形 【答案】C 【解析】 【分析】根据正多边形、轴对称、中心对称的性质分析，即可判断选项A；根据多边形外角和的性质，即可判断选项B；根据正多边形与圆的性质分析，即可判断选项C；根据正多边形和外角的性质分析，即可判断选项D，从而得到答案． 【详解】正九边形是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项A不正确； 任何多边形的外角和都为360°，故选项B不正确； 任何正多边形都有一个外接圆，故选项C正确； 等边三角形的每个外角都是对应每个内角两倍，故选项D不正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了正多边形、轴对称、中心对称、正多边形与圆、外角的知识；解题的关键是熟练掌握正多边形、轴对称、中心对称、正多边形与圆、外角的性质，从而完成求解． 8. 如图，在中，弦半径，与相交于M，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由圆周角定理得到∠AOC，再由平行得∠A，最后利用三角形的外角性质求出∠AMB． 【详解】解：∵∠C=20°， ∴∠AOB=40°， 又∵弦BC∥半径OA， ∴∠OAC=∠C=20°， ∵∠AMB是△AOM的外角， ∴∠AMB=∠OAC+∠AOB=60°． 故选：B． 【点睛】本题考查了圆周角定理，平行线的性质和三角形的外角定理，掌握定理并熟练运用是解题的关键． 9. 如图，AB为⊙O的直径，C为上一点，AD∥OC， AD交⊙O于点D，连接AC，CD，设∠BOC=x°，∠ACD=y°，则下列结论成立的是（ ） A. x+y=90 B. 2x+y=90 C. 2x+y=180 D. x=y 【答案】A 【解析】 【分析】连接BC，由AB是直径，得∠ACB=90°.根据圆内接四边形性质得∠ACB+∠ACD+∠BAD=180°, 由平行线性质得∠BAD=∠BOC= y°，故x+y+90=180. 【详解】连接BC， 因为，AB是直径， 所以，∠ACB=90°. 因为，四边形ADCB是圆的内接四边形， 所以，∠ACB+∠ACD+∠BAD=180°, 又因为AD∥OC， 所以，∠BAD=∠BOC= x° 所以，x+y+90=180, 所以，x+y=90 故选A 【点睛】本题考核知识点：圆的内接四边形. 解题关键点：熟记圆的内接四边形对角互补和平行线性质. 10. 已知二次函数（为常数）经过点，一元二次方程的两个解为，，当时，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据函数与方程的联系，确定抛物线过点，，然后根据题意求得抛物线的对称轴为直线，进而得到抛物线为，根据抛物线的对称性得出，即可得到，代入得到，根据图象上点的坐标特征即可求得． 【详解】解：∵二次函数，一元二次方程的两个解为，， ∴抛物线过点，， 抛物线经过点，， 抛物线的对称轴为直线， ， 抛物线为， 抛物线经过点，， ， ， ， ∵， ∴， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的图象和性质，以及二次函数与一元二次方程之间的关系，熟知二次函数的对称性是解题的关键． 二、填空题（本题有6题，每小题3分，共18分） 11. 已知线段是线段a、b的比例中项，且，，则线段的长度为______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了比例中项的定义，根据定义可得代值计算即可；掌握定义“如果作为比例内项的两条线段是相等的，即线段a，b，c 之间有，那么线段b叫做线段a，c的比例中项．”是解题的关键． 【详解】解：线段是线段a、b的比例中项， ， ， 解得：，（舍去）， 故答案：． 12. 一个不透明的布袋内只装有个红球和1个黑球，这些球除颜色外其余都相同，随机摸出一个球是红球的概率为，则的值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了概率，概率是出现某事件的频率，由红球的概率为即可求解． 【详解】解：红球的概率为，袋内只装有个红球和1个黑球， ． 13. 点是线段的黄金分割点，且，，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查黄金分割点的定义，牢记比例关系和黄金分割比是关键．根据黄金分割点的定义解答，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项． 【详解】解：点C是线段的黄金分割点，， 设， ， ， ， ， ，（舍去）， ， 故答案为：． 14. 如图，已知等边以C为旋转中心，按逆时针方向旋转，得到，若，等边三角形边长为1，则点A的运动路径长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】在等边△ABC中，由CD⊥AB可得∠ACD=30°，然后根据弧长公式可求解． 【详解】解：∵△ABC是等边三角形 ∴∠ACB=60° ∵CD⊥AB ∴∠ACD=∠ACB= ∴点A的运动路径长为 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了弧长的求法，得到∠ACD=30°是解答此题的关键． 15. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，小正方形的顶点叫格点，格点的连线与格点的连线交于点，若经过点作圆，则图中阴影部分的面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、求半圆的面积、三角形的面积，作于，延长交于，由题意可得：，从而得出，，进而得出，结合图形求出，最后根据，进行计算即可得出答案，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：如图，作于，延长交于， ， 由题意可得：， ，， ， 相似比为， ， 由图可得：， ，， ， 故答案为：． 16. 如图，以O为圆心，4为半径作圆，，直径于点H，点E为上一动点，于点F，则弦的长度为 ______；当点E在上的运动过程中，线段的长度的最小值为 _____ 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】此题考查了垂径定理、勾股定理、解直角三角形等知识．过点O作于点K，连接，由垂径定理和勾股定理求出，，由得到，由三角形外角性质和等边对等角求出，由含的直角三角形的性质求出，则，由直角三角形斜边中线的性质得到由即可得的最小值是． 【详解】解：连接，，过点O作于点K，连接， ∵直径于点H， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ∵， ∴， ∵， ∴K是的中点， ∵， ∴， ∵， ∴的最小值是， 故答案为：， 三、解答题（本题有8小题，共72分，解答需写出必要的文字说明演算步骤或证明过程） 17. 在的网格中，线段的两个端点都在格点上． （1）如图1，、也在格点上，连接、相交于点，则________； （2）如图2，仅用无刻度的直尺在线段上作点，使． 【答案】（1） （2） 如图，点M即为所求作的点． 【解析】 【分析】本题考查了相似相似三角形的判定和性质，作图构造相似三角形，数形结合并熟练掌握在网格中作相似三角形是解题的关键． （1）由图1可知，，则，即可推出，从而得出答案； （2）取格线、，使，，连接交于M即可． 【小问1详解】 解：由图1可知，， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴． 18. 某初中初三年级开展数学课题学习，设置了“视力的变化”，“哪种方式更合算”，“设计遮阳棚”三种课题供学生选择，每名同学只选择一项课题进行学习，根据初三（一）班学生的选择情况，绘制了如下表格： 课题 选择次数 频率 “视力的变化” 4 “哪种方式更合算” “设计遮阳棚” 20 请综合上述信息回答下列问题： （1）_________；_________； （2）某班有3男1女四名学生选择了“视力的变化”课题，老师决定从这四人中随机选取两人作为组长，这两人正好是1男1女的概率是多少？请你用列表或画树状图的方法说明理由． 【答案】（1）；； （2），理由： 根据题意，列表如下： 共有12种等可能的结果，其中一男一女的结果共有6种， 所以P（一男一女）． 【解析】 【分析】本题考查了频数统计表，利用样本估计总体以及采用列举法求解概率的知识，注重数形结合，并掌握采用列表法或者树状图法列举求解概率的知识，是解答本题的关键． （1）用1减去选择“哪种方式更合算”、“设计遮阳棚”课题的频率即可求出a，先根据选择“设计遮阳棚”课题的频数除以其频率求出总数，再乘以选择“哪种方式更合算”课题的频率即可求出b； （2）利用列表法得到所有可能的结果数，再求解符合条件的结果数，再利用概率公式即可求解． 【小问1详解】 解：，； 【小问2详解】 略 19. 如图，AB是⊙O的直径，点C、D是圆上两点，且OD∥AC，OD与BC交于点E． （1）求证：E为BC的中点； （2）若BC=8，DE=3，求AB的长度． 【答案】 （1）证明：∵AB是半圆O的直径， ∴∠C＝90°， ∵OD∥AC， ∴∠OEB＝∠C＝90°， ∴OD⊥BC， ∴BE＝CE， ∴E为BC的中点； （2）． 【解析】 【分析】（1）、根据直径所对的圆周角为直角可得∠C＝90°，根据OD∥AC得出OD⊥BC，从而根据垂径定理得出E为BC的中点； （2）、根据垂径定理得出BE=4，设半径为x，得出OE=x-3，然后根据Rt△BOE 的勾股定理求出x的值，从而得出AB的长度. 【详解】（1）略 （2）、设圆的半径为x，则OB＝OD＝x，OE＝x﹣3， ∵BE＝BC＝4， 在Rt△BOE中，OB2＝BE2＋OE2， ∴x2＝42＋（x﹣3）2，解得， ∴AB＝2x＝． 20. 十一黄金周期间，某商场销售一种成本为每件元的服装，经试销发现，销售量（件）与销售单价（元）符合一次函数． （1）销售单价定为多少元时，该商场获得的利润恰为元？ （2）设该商场获得利润为元，试写出利润与销售单价之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】（1）当单价定为元或元时，商场获得的利润恰为元 （2）销售单价定为元时，商场可获得最大利润，最大利润是元 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数和一元二次方程的应用，关键是求出二次函数解析式和一元二次方程． （1）根据商场获得的利润每件服装的利润销售量列出方程，然后求出值即可； （2）根据商场获得的利润每件服装的利润销售量列出函数解析式，并根据函数的性质求最值即可． 【小问1详解】 解：已知成本为每件元，销售量为件，销售单价为元， 则每件的利润为元， 且销售量与销售单价满足，， ， 整理得， 解得， 当单价定为元或元时，商场获得的利润恰为元． 【小问2详解】 已知成本为每件元，销售量为件，销售单价为元， 则每件的利润为元， 且销售量与销售单价满足，， ， 即， 当时，取最大值为， 销售单价定为元时，商场可获得最大利润，最大利润是元． 21. 如图，在平行四边形中，交于，交的延长线于，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2） 【解析】 【分析】（）由平行四边形的性质可得，即可得，再根据即可求证； （）由相似三角形的性质可得，求出即可求解； 本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 22. 已知二次函数（a为常数，）． （1）若函数经过点，求二次函数的解析式和顶点坐标． （2）当时，求该二次函数的图象与x轴的交点个数． （3）设，是该函数图象上的两点，其中，当时，都有，求a的取值范围． 【答案】（1）， （2）该二次函数的图象与x轴没有交点 （3）且 【解析】 【分析】（1）将点的坐标代入函数解析式，求出a的值，即得二次函数的解析式；利用顶点坐标公式计算，即得顶点坐标； （2）计算判别式的值，即可判断该二次函数的图象与x轴的交点个数； （3）将，得坐标代入，然后计算所表示的代数式，得到，再通过，及，即可推得a的取值范围． 【小问1详解】 将点的坐标代入函数解析式，得， 解得； 因此，二次函数的解析式为； ，， 该二次函数的顶点坐标为； 【小问2详解】 令，则， 当时， ， 则该二次函数的图象与x轴没有交点； 【小问3详解】 ，是该函数图象上的两点， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 且． 【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，用待定系数法求二次函数的解析式，求二次函数的顶点坐标，二次函数与x轴的交点问题，熟练掌握二次函数的图像与性质是解答本题的关键． 23. 根据以下素材，探索完成任务． 如何确定灌溉方案 素 材 1 图1是一种自动旋转农业灌溉摇臂喷枪，点为喷水口，喷水的区域覆盖了整个圆面．图2喷出的水柱形成的图象是以水平方向为轴，喷枪底座中心为原点建立直角坐标系，水柱喷出的外围路径可以近似抛物线和的一部分，量得． 素 材 2 现有一块四边形农田，它的四个顶点、、、恰好都在上，如图3，，如果喷水口上升时，水柱喷出的形状与原来相同，现要求喷水的区域覆盖整块四边形农田． 问题解决 任务1 确定喷枪的高度 求的长． 任务2 拟定方案1 一种高为的农作物，为了能灌溉到所有农作物的顶端，求该农作物种植的最大半径． 任务3 拟定方案2 要使喷水的区域覆盖整块四边形农田，喷水口应至少上升多少米． 【答案】任务1：；任务2：；任务3：喷水口应至少上升米． 【解析】 【分析】任务1：把点坐标代入求出值可得点坐标，即可得答案； 任务2：把代入求出的值即可得答案； 任务3：连接延长交于点，连接，根据直径所对的圆周角是直角及圆周角定理可得，，利用三角函数求出的长，确定出半径为，把代入求出值，进而可得答案． 【详解】任务1： ∵， ∴， 将代入得：， 解得：， 的长为 任务2： 当时， 解得：，（舍去） ∴最大半径为： 任务3：连接延长交于点，连接， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， 在中，， ∴， ∴覆盖四边形农田的圆半径为12， 把代入得： 解得： ∴， ∴喷水口应至少上升米． 【点睛】本题考查了二次函数解析式的确定，抛物线与轴的交点坐标，圆周角定理、解直角三角形点相关计算，熟练掌握二次函数的性质及直径所对的圆周角是直角，理解题意，确定喷枪放置的位置是解题的关键． 24. 如图1，是内接三角形，将绕点逆时针旋转至，其中点在圆上，点在线段上． （1）求证：． （2）如图2，过点作分别交、于点、，交于点，连接，求证：． （3）在（2）的条件下，若时，求的值． 【答案】（1） 证明：∵将绕点A逆时针旋转至， ∴， ∴， ∴， ∴； （2） 证明：∵， ∴． ∵, ∴， ∴． ∵将绕点A逆时针旋转至， ∴． ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， 即； （3） 【解析】 【分析】对于（1），根据旋转的性质得，根据弧，弦，圆心角的关系即可得证； 对于（2），证明，进而得出，旋转得到，再根据推导出，等量代换得，即可得证； 对于（3），等量代换得，过点E作，角平分线的性质得，进而得出，连接，推导出，将绕点A旋转至与重合得到，证明D，F，三点共线，设，则，进而得出，可推导出，然后证明，可得，得到，再进行计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ 延长经过点B， 过点E作， ∵ ∴， ∴， ∴． 连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 将绕点A旋转至与重合得到， 则， ∵， ∴， ∴点D，F，三点共线． ∵， 设，则， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 即． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，弧、弦、圆心角的关系，相似三角形的性质和判定，角平分线的性质定理，作出辅助线证明两个三角形相似是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 杭州采荷中学教育集团2024学年第一学期期中学情评价 九年级数学（问卷） 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列事件中，属于不可能事件的是（ ） A. 一匹马奔跑的速度是100米/秒 B. 射击运动员射击一次，命中10环 C. 班里有两名同学的生日在同一天 D. 在地面上向空中抛掷一石块，石块终将落下 2. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 已知的直径是10，点P到圆心O的距离是10，则点P与的位置关系是（ ） A. 点P在内 B. 点P在上 C. 点P在外 D. 点P在圆心 4. 抛物线先向右平移个单位，再向下平移个单位得到的抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 5. 如图：，，那么CE的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6. 关于二次函数，下列说法正确的（ ） A. 函数图象开口向下 B. 函数图象的对称轴是：直线 C. 该函数有最大值 D. 当时，随的增大而增大 7. 下列关于正多边形的叙述，正确的是（　　） A. 正九边形既是轴对称图形又是中心对称图形 B. 存在一个正多边形，它的外角和为720° C. 任何正多边形都有一个外接圆 D. 不存在每个外角都是对应每个内角两倍的正多边形 8. 如图，在中，弦半径，与相交于M，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，AB为⊙O的直径，C为上一点，AD∥OC， AD交⊙O于点D，连接AC，CD，设∠BOC=x°，∠ACD=y°，则下列结论成立的是（ ） A. x+y=90 B. 2x+y=90 C. 2x+y=180 D. x=y 10. 已知二次函数（为常数）经过点，一元二次方程的两个解为，，当时，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题有6题，每小题3分，共18分） 11. 已知线段是线段a、b的比例中项，且，，则线段的长度为______． 12. 一个不透明的布袋内只装有个红球和1个黑球，这些球除颜色外其余都相同，随机摸出一个球是红球的概率为，则的值为______． 13. 点是线段的黄金分割点，且，，则的长为________． 14. 如图，已知等边以C为旋转中心，按逆时针方向旋转，得到，若，等边三角形边长为1，则点A的运动路径长为_______． 15. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，小正方形的顶点叫格点，格点的连线与格点的连线交于点，若经过点作圆，则图中阴影部分的面积为___________． 16. 如图，以O为圆心，4为半径作圆，，直径于点H，点E为上一动点，于点F，则弦的长度为 ______；当点E在上的运动过程中，线段的长度的最小值为 _____ 三、解答题（本题有8小题，共72分，解答需写出必要的文字说明演算步骤或证明过程） 17. 在的网格中，线段的两个端点都在格点上． （1）如图1，、也在格点上，连接、相交于点，则________； （2）如图2，仅用无刻度的直尺在线段上作点，使． 18. 某初中初三年级开展数学课题学习，设置了“视力的变化”，“哪种方式更合算”，“设计遮阳棚”三种课题供学生选择，每名同学只选择一项课题进行学习，根据初三（一）班学生的选择情况，绘制了如下表格： 课题 选择次数 频率 “视力的变化” 4 “哪种方式更合算” “设计遮阳棚” 20 请综合上述信息回答下列问题： （1）_________；_________； （2）某班有3男1女四名学生选择了“视力的变化”课题，老师决定从这四人中随机选取两人作为组长，这两人正好是1男1女的概率是多少？请你用列表或画树状图的方法说明理由． 19. 如图，AB是⊙O的直径，点C、D是圆上两点，且OD∥AC，OD与BC交于点E． （1）求证：E为BC的中点； （2）若BC=8，DE=3，求AB的长度． 20. 十一黄金周期间，某商场销售一种成本为每件元的服装，经试销发现，销售量（件）与销售单价（元）符合一次函数． （1）销售单价定为多少元时，该商场获得的利润恰为元？ （2）设该商场获得利润为元，试写出利润与销售单价之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少？ 21. 如图，在平行四边形中，交于，交的延长线于，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 22. 已知二次函数（a为常数，）． （1）若函数经过点，求二次函数的解析式和顶点坐标． （2）当时，求该二次函数的图象与x轴的交点个数． （3）设，是该函数图象上的两点，其中，当时，都有，求a的取值范围． 23. 根据以下素材，探索完成任务． 如何确定灌溉方案 素 材 1 图1是一种自动旋转农业灌溉摇臂喷枪，点为喷水口，喷水的区域覆盖了整个圆面．图2喷出的水柱形成的图象是以水平方向为轴，喷枪底座中心为原点建立直角坐标系，水柱喷出的外围路径可以近似抛物线和的一部分，量得． 素 材 2 现有一块四边形农田，它的四个顶点、、、恰好都在上，如图3，，如果喷水口上升时，水柱喷出的形状与原来相同，现要求喷水的区域覆盖整块四边形农田． 问题解决 任务1 确定喷枪的高度 求的长． 任务2 拟定方案1 一种高为的农作物，为了能灌溉到所有农作物的顶端，求该农作物种植的最大半径． 任务3 拟定方案2 要使喷水的区域覆盖整块四边形农田，喷水口应至少上升多少米． 24. 如图1，是内接三角形，将绕点逆时针旋转至，其中点在圆上，点在线段上． （1）求证：． （2）如图2，过点作分别交、于点、，交于点，连接，求证：． （3）在（2）的条件下，若时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $