5.2.2 同角三角函数的基本关系（1知识点+6题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（湘教版2019必修第一册）

5.2.2 同角三角函数的基本关系 课程标准 学习目标 （1）理解同角三角函数的基本关系式: 。 （1）理解同角三角函数的基本关系式: ; （2）在正弦、余弦、正切中，能够根据一个三角函数值，求另外两个； （3）掌握齐次式的处理方法； （4）掌握“”在化简三角函数式中的作用.（难点) 知识点01 同角三角函数基本关系 拓展 【即学即练1】 若，，则（    ） A． B． C． D． 【题型一：, ,知一求二】 例1．已知，则 . 变式1-1．若为第二象限角，且，则（    ） A． B． C． D． 变式1-2．已知，，则（    ） A． B． C． D． 变式1-3．已知，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 若已知, ,中的一个，便可利用同角三角函数关系求出另外两个量. 【题型二：根据等式求三角函数值】 例2．若，且，则（    ） A． B． C． D． 变式2-1．已知，，则（    ） A． B． C．或 D． 变式2-2．《九章算术》是我国古代的数学著作，在《方田》章节中给出了“弦”和“矢”的定义，“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，记圆心角，若“弦”为，“矢”为1时，则等于（    ）    A．1 B． C． D． 变式2-3．已知，则 （    ） A． B． C． D． 变式2-4．若，则 . 【方法技巧与总结】 若题中有的等式，可与联立方程求出；若等式中含，一般可以“切化弦”在进行化简. 【题型三：，，知一求二】 例3．(多选)已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 变式3-1．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 变式3-2．已知，则（    ）． A． B． C． D． 变式3-3．已知在中，，则（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 若已知，，中的一个，便可利用同角三角函数关系求出另外两个量，只需要利用完全平方公式.同时也可以与联立方程把直接求出来，但这计算量有些大. 【题型四：正弦、余弦齐次式的计算】 例4．已知角的终边在函数的图象上，则的值为（ ） A． B． C． D． 变式4-1．若，则（    ） A． B． C． D． 变式4-2．若，则（    ） A． B． C． D． 变式4-3．已知，则（   ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 1 遇到或等齐次化的形式，均可利用把形式转化为的式子. 2 遇到的式子，则可利用，把式子化为齐次式. 【题型五：三角函数恒等式的证明】 例5．证明下列恒等式： (1)；(2)． 变式5-1．求证： (1)；(2). 变式5-2．求证:. 【方法技巧与总结】 等式的证明，可以从等式的左边入手直接证明等于右边，这一般有些难度；往往把等式左边与右边分别独立进行化简，再想办法证明化简后的式子相等. 【题型六：三角函数恒等式的化简、求值】 例6．已知是三角形的内角，是方程的两根. (1)求角； (2)若，求. 变式6-1．已知是第二象限的角，化简：． 变式6-2．已知. (1)化简：； (2)若，求的值. 变式6-3．已知关于的方程的两根为和，其中 (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值 一、单选题 1．已知，为第二象限角，则（    ） A． B． C． D． 2.已知，则（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 3.已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上一点，则（    ）. A． B． C． D． 4.已知，则（    ） A． B． C． D． 5.已知，则（    ） A． B． C．3 D．7 6.若，则的值为（    ） A． B． C． D． 7. 若，则（ ） A． B． C． D． 8.《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大的正方形，若下图中所示的角为（），且小正方形与大正方形面积之比为，则的值为（    ）    A． B． C． D． 二、多选题 9．已知，且，则关于表述正确的是（    ） A． B． C． D． 10.下列计算或化简结果正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若α为第一象限角，则 11.已知，，则下列选项中正确的有（      ） A． B． C． D． 三、填空题 12．若，且，则 ． 13.若，且，则的取值范围是 ． 14.中，边为最大边，且，则的最大值是 ． 四、解答题 15．（1）已知，且是第四象限的角．求及； （2）已知，求及． 16. 已知，其中是的一个内角． (1)求的值，并判断是锐角三角形还是钝角三角形； (2)求的值． 17.已知． (1)求的值；(2)求的值；(3)若，求的值． 18.已知关于的方程的两个根分别为和，且． (1)求的值；(2)求的值；(3)求方程的两根及的值． 19．人脸识别技术在各行各业的应用改变着人类的生活，所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份，在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.若二维空间有两个点，，则曼哈顿距离为：，余弦相似度为：，余弦距离为 (1)若，，求A，B之间的曼哈顿距离和余弦距离； (2)已知，，，若，，求的值 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 5.2.2 同角三角函数的基本关系 课程标准 学习目标 （1）理解同角三角函数的基本关系式: 。 （1）理解同角三角函数的基本关系式: ; （2）在正弦、余弦、正切中，能够根据一个三角函数值，求另外两个； （3）掌握齐次式的处理方法； （4）掌握“”在化简三角函数式中的作用.（难点) 知识点01 同角三角函数基本关系 拓展 【即学即练1】 若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同角三角函数平方关系和角的范围可构造方程求得，进而得到，由同角三角函数商数关系可求得结果. 【详解】由得：， ， 解得：或， 又，，即，， . 故选：C. 【题型一：, ,知一求二】 例1．已知，则 . 【答案】0 【分析】利用同角的三角函数关系直接求解，注意分类讨论． 【详解】因为且，可知为第二象限角或第三象限角， 由得 （1）当为第二象限角时，，，； （2）当为第三象限角时，，，； 综上可知：. 故答案为：0. 变式1-1．若为第二象限角，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件，利用平方关系和商数关系，即可求出结果. 【详解】因为为第二象限角，且，所以， 得到， 故选：B. 变式1-2．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用给定条件确定的位置，再结合同角三角函数的基本关系求解即可. 【详解】因为，，所以是第四象限角， 所以，而，故，化简得， 而，代入得， 解得(正根舍去)，故B正确. 故选：B 变式1-3．已知，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由的正切值，求出正弦及余弦值，即可得出结果. 【详解】因为，且， 所以 ，则，. 则. 故选：A. 【方法技巧与总结】 若已知, ,中的一个，便可利用同角三角函数关系求出另外两个量. 【题型二：根据等式求三角函数值】 例2．若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据已知结合平方关系求出，再代入即可得解. 【详解】因为，所以， 又， 所以，即， 又，所以，所以， 所以. 故选：B. 变式2-1．已知，，则（    ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】由已知可得出，解方程，可得出的值，再利用同角三角函数的基本关系可求得的值. 【详解】因为，则，由已知可得，解得， 故. 故选：D. 变式2-2．《九章算术》是我国古代的数学著作，在《方田》章节中给出了“弦”和“矢”的定义，“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，记圆心角，若“弦”为，“矢”为1时，则等于（    ）    A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用图形以及“弦”和“矢”的定义，由平方关系可求得角的三角函数值，即可计算得出结果. 【详解】根据题意可设半径长， 可得， 由同角三角函数值之间的基本关系可得， 解得； 即可得,； 所以. 故选：D 变式2-3．已知，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接由平方关系以及商数关系化简求解即可. 【详解】由题意，所以， 化简得，因为，所以， 所以，解得. 故选：B. 变式2-4．若，则 . 【答案】1 【分析】根据同角三角函数的平方关系化解得，再将化解为即可. 【详解】因为,且， 所以， 所以. 故答案为：. 【方法技巧与总结】 若题中有的等式，可与联立方程求出；若等式中含，一般可以“切化弦”在进行化简. 【题型三：，，知一求二】 例3．(多选)已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】当时，则由求得的值，进而根据各选项的要求逐项判断. 【详解】由题意，代入，即， 整理得，即， 解得或，因为，所以， 于是，故B正确. 因为，所以，故A正确； ，故C错误； ，故D正确； 故选：ABD. 变式3-1．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由同角三角函数关系式求得，代入即可求解. 【详解】因为，所以， 又，即，解得， 所以. 故选：B. 变式3-2．已知，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用和立方和公式即可得出答案. 【详解】， ． 故选: A. 变式3-3．已知在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】已知式两边平方求得，确定，然后求出，联立解得，再由商数关系得． 【详解】，， ， 是三角形内角，所以，从而， 所以，所以， 由，解得， 所以． 故选：A． 【方法技巧与总结】 若已知，，中的一个，便可利用同角三角函数关系求出另外两个量，只需要利用完全平方公式.同时也可以与联立方程把直接求出来，但这计算量有些大. 【题型四：正弦、余弦齐次式的计算】 例4．已知角的终边在函数的图象上，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分母变为，可得正余弦齐次式，弦化切求解即可. 【详解】因为角α的终边在函数的图象上，所以， = 故选：A. 变式4-1．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题设有，结合平方关系可得，再求出目标式的值. 【详解】由题设，又， 所以， 则. 故选：C 变式4-2．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角函数关系式中的商关系，结合平方差公式，三角函数关系中平方和为1进行代换求解即可. 【详解】. 故选：B 变式4-3．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把已知同除，得到的值，再把看成分母是1的齐次式，代入即可求值. 【详解】由已知，同除可得，，即. 所以 . 故选：B. 【方法技巧与总结】 1 遇到或等齐次化的形式，均可利用把形式转化为的式子. 2 遇到的式子，则可利用，把式子化为齐次式. 【题型五：三角函数恒等式的证明】 例5．证明下列恒等式： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 【分析】（1）由左边，利用同角间正弦、余弦的关系，化简变形即可的证； （2）由右边，展开，利用同角间正弦、余弦的关系，化简后分解因式，即可得到左边，恒等式的证. 【详解】（1）左边 右边. 则恒等式成立. （2）右边 左边. 则恒等式成立. 变式5-1．求证： (1)； (2). 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用平方关系和商关系可证结论； （2）利用平方关系可证结论. 【详解】（1）证明：左边= =右边. （2）证明：左边= =右边. 变式5-2．求证:. 【答案】证明见解析 【分析】方法一：先将左侧分式通分，分子分母同时乘以2，结合平方关系式将分母整理成完全平方的形式，再化简求值. 方法二：在等式的左侧同时乘以，创造右侧的分母，然后把所乘代数式的分子与左侧代数式的分子相乘，再化简计算得出结果. 【详解】方法一:左边= = = = = =右边. 方法二:左边 = = = = =     =右边. 【方法技巧与总结】 等式的证明，可以从等式的左边入手直接证明等于右边，这一般有些难度；往往把等式左边与右边分别独立进行化简，再想办法证明化简后的式子相等. 【题型六：三角函数恒等式的化简、求值】 例6．已知是三角形的内角，是方程的两根. (1)求角； (2)若，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先可根据韦达定理得出，然后与联立，解得的值和的值，最后将的值代入中检验，即可得出结果； （2）通过同角三角函数关系将转化为，求出的值，然后通过即可得出结果. 【详解】（1）因为是方程的两根， 所以， 又， 则，解得（舍去）或， 所以或， 将或代入中易知当时不成立， 故； （2），即， 则，则，解得或， 因为，所以， 故. 变式6-1．已知是第二象限的角，化简：． 【答案】 【分析】根据条件，利用平方关系和三角函数在各个象限的符号，进行化简，即可求出结果. 【详解】因为 ， 又是第二象限的角，所以，故， 所以. 变式6-2．已知. (1)化简：； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用所给范围，结合同角关系式进行化简； （2）利用关系式和范围，求出、的值，化简式子代入即可. 【详解】（1）原式 因为，所以，所以原式 （2）因为，所以，即， 所以. 所以. 因为，所以.所以. 所以. 所以. 变式6-3．已知关于的方程的两根为和，其中 (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值 【答案】(1)35 (2) (3) 【分析】（1）由条件利用韦达定理求出，再对左右两边同时平方即可得出答案； （2）利用同角三角函数的基本关系化简已知式可得，再将的值代入即可得出答案. （3）由立方差化简，法一：利用同角三角函数的基本关系求出代入即可得出答案；法二：求出，代入即可得出答案. 【详解】（1）由得， 方程的两根为和， 于是，进而，即， 由，对左右两边同时平方， 得.解得.经检验符合. （2）原式 原式 （3）由得. 由可得. 因此. 另解：原方程即，两根为， 由得，于是， 因此. 一、单选题 1．已知，为第二象限角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同角三角关系运算求解，注意象限角的三角函数值符号. 【详解】因为，为第二象限角，则， 所以. 故选：C. 2.已知，则（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】弦化切代入即可得到答案. 【详解】. 故选：A. 3.已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上一点，则（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合三角函数的定义求解，再利用三角函数定义求解即可. 【详解】由角终边经过点，可得， 根据三角函数的定义，可得，即， 解得或（舍去），所以或（舍去）， 所以. 故选：A 4.已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用同角三角函数的基本关系求出、，即可得解. 【详解】因为， 所以， 即，即， 显然，所以，则， 又，所以， 所以. 故选：D 5.已知，则（    ） A． B． C．3 D．7 【答案】C 【分析】根据同角三角函数的基本关系求解. 【详解】因为， 所以 . 故选：C 6.若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用同角的三角函数关系求出，判断的范围，确定，结合齐次式法求值求出，即可求得答案. 【详解】因为，故， 即，得， 则，且， 所以， 所以，则， 故， 故选：B 7. 若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正余弦的齐次式法即可得解. 【详解】因为， 所以 . 故选：D 8.《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大的正方形，若下图中所示的角为（），且小正方形与大正方形面积之比为，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设大正方形的边长为，求出小正方形的边长，根据小正方形与大正方形面积之比得，再利用弦化切求解可得答案. 【详解】如图，设大正方形的边长为， 则小正方形的边长为， 所以小正方形与大正方形面积之比为， 化简得，且， 由， 解得. 故选：D.    二、多选题 9．已知，且，则关于表述正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据，且，由同角三角函数的基本关系式求解. 【详解】解：因为，且， 所以， 则，，， 故选：AD 10.下列计算或化简结果正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若α为第一象限角，则 【答案】AD 【分析】由同角三角函数的商数关系可判断A、D，由同角三角函数的商数关系结合平方关系可判断B，由三角函数的符号可判断C. 【详解】对于A， ，A正确； 对于B，，B不正确，； 对于C，∵的范围不确定，∴的符号不确定，故C不正确． 对于D，∵α为第一象限角， ∴原式，D正确． 故选：AD. 11.已知，，则下列选项中正确的有（      ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由题意，，两边平方得到，进而求得求解. 【详解】解：由题意知，，， 所以，即， 所以； 又因为，且， 所以， 所以; 由，解得，. 故选：ACD 三、填空题 12．若，且，则 ． 【答案】/ 【分析】由已知条件结合平方和关系求出和即可求. 【详解】因为，所以， 又即， 故由平方和关系得即， 所以即，故， 所以. 故答案为：. 13.若，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据平方关系及条件可得，解得计算可得. 【详解】因为 ， ∴，又，∴， 即的取值范围是． 故答案为： 14.中，边为最大边，且，则的最大值是 ． 【答案】 【分析】根据重要不等式，结合同角三角函数的关系式，可得答案. 【详解】． 当且仅当时，两个等号同时成立. 故答案为：. 四、解答题 15．（1）已知，且是第四象限的角．求及； （2）已知，求及． 【答案】答案见解析 【分析】（1）先根据象限角判断，然后根据同角三角函数的关系求解； （2）先根据判断角所在象限，然后根据同角三角函数的关系求解 【详解】（1）是第四象限的角，则，于是，则； （2），则是第二或四象限的角， 当是第二象限角时，，由，解得； 当是第四象限角时，，由，解得； 16. 已知，其中是的一个内角． (1)求的值，并判断是锐角三角形还是钝角三角形； (2)求的值． 【答案】(1)，钝角三角形； (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用同角公式，结合三角函数值的符号法则求解即得. （2）由（1）的结论，结合同角公式计算即得. 【详解】（1）由，两边平方得，即， 所以； 由是的一个内角，得，则，而，则，有， 所以是钝角三角形. （2）由（1）知，，， 所以. 17.已知． (1)求的值； (2)求的值； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用商数关系求解即可； （2）利用平方关系构建齐次式求解即可； （3）将所求式子平方，根据角的范围讨论符号，开平方即可, 【详解】（1）由，得， 将上式左边分子、分母同除以，得，解得． （2）由（1）知， 所以． （3）由，得， 又由（1）知，，故与同号， 所以，于是， ， ． 18.已知关于的方程的两个根分别为和，且． (1)求的值； (2)求的值； (3)求方程的两根及的值． 【答案】(1) (2) (3)两根为，；或. 【分析】（1）由和是方程的两个根得，利用商数关系，求出代数式的值； （2）利用平方关系，和，求得m的值. （3）解方程，得和的值，由，得的值. 【详解】（1）因为和是方程的两个根，所以， 原式. （2）因为，所以， 所以，解得. （3）由（2）可知，，所以方程的两根为，， 所以或，又因为，所以或. 19．人脸识别技术在各行各业的应用改变着人类的生活，所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份，在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.若二维空间有两个点，，则曼哈顿距离为：，余弦相似度为：，余弦距离为 (1)若，，求A，B之间的曼哈顿距离和余弦距离； (2)已知，，，若，，求的值 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据公式直接计算即可. （2）根据公式得到，，计算得到答案. 【详解】（1）， ，故余弦距离等于； （2） ； 故，，则. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$