精品解析：河北省廊坊市2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

河北省2025届九年级期中综合评估 数学 上册全部 注意事项：共8页．总分120分，考试时间120分钟． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 音乐课上老师带领同学们玩“抽音符、唱音符”的游戏，老师手中卡片如下（叠放的为相同卡片），卡片背面相同，洗匀后背面朝上，嘉嘉从中抽取一张卡片，抽到的卡片可能性更大的是（ ） A. C（哆）音符 B. D（来）音符 C. E（咪）音符 D. 以上都不对 2. 根据如图所示的作图方式，可说明正方形的顶点C在以的长为半径的（ ） A. 内 B. 外 C. 上 D. 以上都不对 3. 如图，与关于点中心对称，则下列结论不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列数中能使成立的的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 抛物线如图所示，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 以上都不对 6. 如图，教室内的地面上有个倾斜的畚箕，手柄与箕面垂直，手柄与水平地面的夹角，小明将它扶起（将畚箕绕点顺时针旋转）后平放在地面，箕面绕点旋转的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 淇淇作点关于原点的对称点时错看成了作轴的对称点，作得的点与正确点之间的距离为4，则的值为（ ） A. 4 B. 2 C. D. 8. 如图，正六边形内接于为的中点，连接，，四边形的面积为，正六边形剩余部分的面积为，则（ ） A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 9. 关于x的一元二次方程，当时，方程有两个相等的实数根：若将c的值在的基础上增大，则此时方程根的情况是（　　） A. 没有实数根 B. 两个相等的实数根 C. 两个不相等的实数根 D. 一个实数根 10. 如图，一块圆形钟表竖直放到一个长方体盒子中，钟表上刻度“2”和“10”恰好和盒子上边沿重合于，两点，若，的长为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 无法比较与 11. 在古代，一位智者为了保护自己的宝藏，设计了一个充满智慧挑战的宝箱，宝箱有两个钥匙孔，同时插对两把钥匙才可以开启宝箱，一位后人找到了三把外观相同的钥匙，分别为“日”“月”“星”，其中“日”和“星”为正确的钥匙，这位后人从三把钥匙中随机选择两把，能够打开宝藏的概率为（ ） A. B. C. D. 1 12. 如图，抛物线经过正方形的三个顶点，，，点在轴上，则的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 废旧电池中含有一些重金属，随意丢弃会污染环境，淇淇和同学利用假期去捡拾废旧电池，则“淇淇捡到废旧电池”是__________事件．（填“必然”“随机”或“不可能”） 14. 如图，该图案绕其中心至少旋转__________度后能与原图案完全重合． 15. 定义新运算：．若方程的两个根为和，则__________． 16. 如图，在矩形中，，，以为直径作，将矩形绕点逆时针旋转，使所得矩形的边与相切，切点为，边与相交于点．连接，则与的位置关系为__________，若，则矩形的面积为__________． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程： （1）． （2）． 18. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的方格中，是格点三角形，为格点（网格线的交点）． （1）画出关于点对称的． （2）将（1）中的绕点顺时针旋转得到，画出． 19. “记录永恒经典，传承非遗文化”，嘉嘉组织并拍摄了4部河北省非遗传承短视频，并利用自媒体平台展示和传播，记录内容分别为河北梆子，吴桥杂技，衡水内画，杨氏太极拳．为保证视频质量，嘉嘉邀请淇淇从4部作品中随机选择两部试看，并上传到自媒体平台． （1）淇淇选中“蔚县剪纸”非遗视频观看是__________事件．（填“不可能”“随机”或“必然”） （2）补全下列表格，并求出淇淇选择“A—河北梆子”和“C—衡水内画”两个短视频观看的概率． A B C D A B C D 20. 图1为中医常用碾药工具——药碾，又名惠夷槽，图2是从药碾抽象出来的几何模型，延长交于点，，于点，连接，． （1）求证：为的切线． （2）若，，求的长． 21. 中秋节期间某超市销售一款进价为20元/盒的月饼，市场调查发现，这款月饼每天的销售量y（单位：盒）与销售单价x（单位：元）满足如下关系：．设这款月饼每天的销售利润是w元． （1）求w与x之间的函数关系． （2）当这款月饼的销售单价是多少元时，这款月饼的销售利润最大？最大利润是多少元？ 22. 情景 七巧板又称“智慧板”，是我国古代劳动人民智慧的结晶．为了能更加理性地认识“七巧板”，数学杨老师带领同学们展开了以“七巧板‘巧’在何处”为主题的学习活动． 操作 制作七巧板：将一个边长为的正方形纸片沿对角线折叠，会得到一个等腰直角，再将其沿它的对称轴对折，再对折，直至点O与点D重合（图1），然后将其展平，便会得到一个带有折痕的正方形（图2），这些折痕将其分成16个全等的等腰直角三角形，最后沿图中实线进行裁剪，便可得到一副七巧板（图2）． （1）图2的成品七巧板中，三角形②绕点O顺时针至少旋转__________°能与三角形①重合，除三角形①与②外，三角形__________与__________也能通过平移与旋转重合． （2）三角形②按（1）中的旋转方式旋转与三角形①重合的过程中，求扫过的面积． 探究 用自制的“七巧板”进行创意拼图，并赋予图案一定的意义． （3）如图，“冲浪小组”用七巧板拼出了“一只飞舞的蝴蝶”，寓意：自由与追求．则__________． 23. 如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点．是第一象限内抛物线上的一个动点，连接，． （1）求抛物线的解析式． （2）如图1，连接，当时，求的面积． （3）如图2，过点作轴于点，交于点，直线能否将分成面积相等的两部分?若能，请求出点的坐标，若不能，请说明理由． 24. 如图，以为直径作，为上一点，，与交于点，，． （1）如图1，当经过点时，__________． （2）在（1）的条件下，求证：． （3）如图2，将从图1的位置开始绕点顺时针旋转与重合时停止转动），与交于点，设的中点到的距离为． ①当时，求的长； ②直接写出旋转过程中的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北省2025届九年级期中综合评估 数学 上册全部 注意事项：共8页．总分120分，考试时间120分钟． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 音乐课上老师带领同学们玩“抽音符、唱音符”的游戏，老师手中卡片如下（叠放的为相同卡片），卡片背面相同，洗匀后背面朝上，嘉嘉从中抽取一张卡片，抽到的卡片可能性更大的是（ ） A. C（哆）音符 B. D（来）音符 C. E（咪）音符 D. 以上都不对 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查事件的可能性的大小，根据3种卡片的数量可得D（来）音符数量最多，进而求解即可． 【详解】解：∵C（哆）音符有3张，D（来）音符有4张，E（咪）音符有3张， ∴D（来）音符数量最多 ∴抽到的卡片可能性更大的是D（来）音符． 故选：B． 2. 根据如图所示的作图方式，可说明正方形的顶点C在以的长为半径的（ ） A. 内 B. 外 C. 上 D. 以上都不对 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了点与圆的位置关系．根据点到圆心的距离和半径的大小关系即可得到答案． 【详解】解：根据如图所示的作图方式，可说明正方形的顶点C在以的长为半径的外， 故选：B 3. 如图，与关于点中心对称，则下列结论不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称，解题的关键是掌握中心对称的定义以及性质． 根据中心对称的两个图形，对称点的连线经过对称中心且被对称中心平分，对应线段平行（或在同一条直线上）且相等，逐一判断． 【详解】解：∵与关于点成中心对称， ， 而不一定成立， 观察四个选项，C选项符合题意， 故选：C． 4. 下列数中能使成立的的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，利用开平方法求出方程的解即可判断求解， 掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 【详解】解：, , 解得． 故选：B． 5. 抛物线如图所示，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 以上都不对 【答案】C 【解析】 【分析】考查的是二次函数的性质及二次函数的图象与系数的关系，利用数形结合求解是解答此题的关键． 据二次函数的图象与系数的关系及二次函数的性质对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、∵函数图象开口向下，∴，故本选项错误； B、由函数图象可知，对称轴在y轴的左侧，∴，∴，故本选项错误； C、∵函数图象与y轴的交点在y轴的正半轴，∴，故本选项正确，故D错误； 故选：C． 6. 如图，教室内的地面上有个倾斜的畚箕，手柄与箕面垂直，手柄与水平地面的夹角，小明将它扶起（将畚箕绕点顺时针旋转）后平放在地面，箕面绕点旋转的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质、三角形外角的性质．根据旋转的性质和三角形外角的性质计算即可得出答案． 【详解】解：手柄与水平地面的夹角，手柄与箕面垂直，即， ，即箕面绕点旋转的度数为， 故选：D． 7. 淇淇作点关于原点的对称点时错看成了作轴的对称点，作得的点与正确点之间的距离为4，则的值为（ ） A. 4 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，坐标与图形变化——轴对称，先求出点关于原点的对称点为，再求出点作轴的对称点，最后结合作得的点与正确点之间的距离为4，列式计算，即可作答． 【详解】解：依题意，点关于原点的对称点为，点作轴的对称点， ∵作得的点与正确点之间的距离为4， ∴， ∴， 解得， 故选：D． 8. 如图，正六边形内接于为的中点，连接，，四边形的面积为，正六边形剩余部分的面积为，则（ ） A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆内接正多边形，根据题意得出，即可求解． 【详解】解：连接， ∵正六边形内接于，为的中点，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设正六边形的面积为，则， ∴ 故选：C． 9. 关于x的一元二次方程，当时，方程有两个相等的实数根：若将c的值在的基础上增大，则此时方程根的情况是（　　） A. 没有实数根 B. 两个相等的实数根 C. 两个不相等的实数根 D. 一个实数根 【答案】A 【解析】 【分析】先求解，再判断当，方程的根的判别式的值的情况，从而可得答案． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程，当时，方程有两个相等的实数根， ∴有两个相等的实数根， ∴， 解得：， 当，方程化为， ∴， 由，则， ∴， ∴此时方程没有实数根． 故选A 【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，熟记根的判别式的含义是解本题的关键． 10. 如图，一块圆形钟表竖直放到一个长方体盒子中，钟表上刻度“2”和“10”恰好和盒子上边沿重合于，两点，若，的长为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 无法比较与 【答案】A 【解析】 【分析】设的半径为r，则，根据题意可得：，算出，，比较即可． 【详解】解：如图，O为圆形钟表圆心，连接，则点为切点， 设的半径为r，则， 根据题意可得：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 【点睛】该题主要考查了弧长公式、切线的性质、等腰三角形的性质、垂径定理、直角三角形的性质等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 11. 在古代，一位智者为了保护自己的宝藏，设计了一个充满智慧挑战的宝箱，宝箱有两个钥匙孔，同时插对两把钥匙才可以开启宝箱，一位后人找到了三把外观相同的钥匙，分别为“日”“月”“星”，其中“日”和“星”为正确的钥匙，这位后人从三把钥匙中随机选择两把，能够打开宝藏的概率为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，画出树状图，利用概率公式计算即可，熟练掌握用列表法或画树状图法求概率是解题的关键． 【详解】解：画树状图如下： 共有种等可能的结果，能够打开宝藏的结果有种， ∴从三把钥匙中随机选择两把，能够打开宝藏的概率为， 故选：． 12. 如图，抛物线经过正方形的三个顶点，，，点在轴上，则的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，正方形的性质，完全平方公式，先得出点，根据正方形的性质得点．再把点代入，得出，整理出，结合，则，即可作答． 【详解】解：依题意当时，则， ∴点， 四边形为正方形，， 则， 点． 将点代入中， 得． ， ． ， ， ， 的最小值为4． 故选：D． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 废旧电池中含有一些重金属，随意丢弃会污染环境，淇淇和同学利用假期去捡拾废旧电池，则“淇淇捡到废旧电池”是__________事件．（填“必然”“随机”或“不可能”） 【答案】随机 【解析】 【分析】本题主要考查了事件的分类，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，据此可得答案． 【详解】解：“淇淇捡到废旧电池”是随机事件． 故答案为：随机． 14. 如图，该图案绕其中心至少旋转__________度后能与原图案完全重合． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用旋转设计图案，旋转对称图形，根据已知图形得出最小旋转角度数是解答关键． 观察图形可得，图形由四个形状相同的部分组成，从而能计算出旋转角度． 【详解】解：图形可看作由一个基本图形每次旋转，旋转次所组成， 所以最小旋转的角为． 故答案为：． 15. 定义新运算：．若方程的两个根为和，则__________． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查了定义新运算，一元二次方程根与系数的关系，理解定义新运算的方法，掌握根与系数的关系是解题的关键． 根据一元二次方程根与系数的关系得到，由定义新运算得到，代入计算即可求解． 【详解】解：∵方程的两个根为和， ∴， ∵， ∴， ∴原式， 故答案为：0 ． 16. 如图，在矩形中，，，以为直径作，将矩形绕点逆时针旋转，使所得矩形的边与相切，切点为，边与相交于点．连接，则与的位置关系为__________，若，则矩形的面积为__________． 【答案】 ①. 平行 ②. 80 【解析】 【分析】延长交于点．根据与相切，得出，结合即可得出与平行，根据，得出，根据垂径定理得出，．证明四边形为矩形，得出．设，则．勾股定理列出方程求解即可解答． 【详解】解：如图，延长交于点． 与相切， ． 四边形为矩形， ， ， ，． 矩形绕点逆时针旋转所得到的矩形为， ，，， 四边形为矩形， ． 设，则． ， ，解得， ， 矩形的面积为． 故答案为：平行；80． 【点睛】该题主要考查了旋转的性质，矩形的性质和判定，勾股定理，平行线的判定，切线的性质，垂径定理等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程： （1）． （2）． 【答案】（1）， （2），． 【解析】 【分析】此题考查了解一元二次方程． （1）原方程可变为，再利用开平方得到，即可求出方程的根； （2）原方程可变为，则或，即可求出方程的根． 【小问1详解】 解：， ∴， 则， ∴， ，． 【小问2详解】 ， 则， ∴， 则或， ，． 18. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的方格中，是格点三角形，为格点（网格线的交点）． （1）画出关于点对称的． （2）将（1）中的绕点顺时针旋转得到，画出． 【答案】（1） 如下图所示即为所求： （2） 如下图所示即为所求： 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形作图、旋转图形作图、网格的特点，熟练掌握中心对称和旋转变换作图是解题的关键． （1）利用中心对称图形的性质，结合网格的特点，分别作出点、、关于点对称的对应点、、，然后依次连接画出图形即可； （2）根据旋转的性质，旋转的方向为顺时针，以为旋转中心旋转，结合网格的特点，分别作出点、的对应点、，依次连接画出图形即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. “记录永恒经典，传承非遗文化”，嘉嘉组织并拍摄了4部河北省非遗传承短视频，并利用自媒体平台展示和传播，记录内容分别为河北梆子，吴桥杂技，衡水内画，杨氏太极拳．为保证视频质量，嘉嘉邀请淇淇从4部作品中随机选择两部试看，并上传到自媒体平台． （1）淇淇选中“蔚县剪纸”非遗视频观看是__________事件．（填“不可能”“随机”或“必然”） （2）补全下列表格，并求出淇淇选择“A—河北梆子”和“C—衡水内画”两个短视频观看的概率． A B C D A B C D 【答案】（1）不可能 （2） 补全表格如下： A B C D A B C D 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，树状图法或列表法求解概率，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）根据事件的分类解答即可； （2）先列出表格得到所有的等可能性的结果数，然后找到选择A和C的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵四个视频中没有“蔚县剪纸”， ∴淇淇选中“蔚县剪纸”非遗视频观看是不可能事件． 故答案为：不可能； 【小问2详解】 解：由表格可知，共有12种等可能的结果，其中符合条件的结果有2种，所以淇淇选择“河北梆子”和“衡水内画”两个短视频观看的概率． 20. 图1为中医常用碾药工具——药碾，又名惠夷槽，图2是从药碾抽象出来的几何模型，延长交于点，，于点，连接，． （1）求证：为的切线． （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，即， 又∵是半径， 为的切线． （2） 【解析】 【分析】（1）如图，连接．由，可得．由，可得．则，即，，进而结论得证； （2）由题意可求，则． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 【点睛】本题考查了切线的判定，三角形内角和定理，等边对等角，含的直角三角形．熟练掌握切线的判定，三角形内角和定理，等边对等角，含的直角三角形是解题的关键． 21. 中秋节期间某超市销售一款进价为20元/盒的月饼，市场调查发现，这款月饼每天的销售量y（单位：盒）与销售单价x（单位：元）满足如下关系：．设这款月饼每天的销售利润是w元． （1）求w与x之间的函数关系． （2）当这款月饼的销售单价是多少元时，这款月饼的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）当这款月饼的销售单价是30元时，这款月饼的销售利润最大，最大利润是100元 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用； （1）根据销售利润等于销售量乘以单件的利润，列出函数关系，即可求解； （2）根据二次函数的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得 ． 【小问2详解】 对称轴，在范围内， ， 当时，取最大值， 此时（元）． 答：当这款月饼的销售单价是30元时，这款月饼的销售利润最大，最大利润是100元． 22. 情景 七巧板又称“智慧板”，是我国古代劳动人民智慧的结晶．为了能更加理性地认识“七巧板”，数学杨老师带领同学们展开了以“七巧板‘巧’在何处”为主题的学习活动． 操作 制作七巧板：将一个边长为的正方形纸片沿对角线折叠，会得到一个等腰直角，再将其沿它的对称轴对折，再对折，直至点O与点D重合（图1），然后将其展平，便会得到一个带有折痕的正方形（图2），这些折痕将其分成16个全等的等腰直角三角形，最后沿图中实线进行裁剪，便可得到一副七巧板（图2）． （1）图2的成品七巧板中，三角形②绕点O顺时针至少旋转__________°能与三角形①重合，除三角形①与②外，三角形__________与__________也能通过平移与旋转重合． （2）三角形②按（1）中的旋转方式旋转与三角形①重合的过程中，求扫过的面积． 探究 用自制的“七巧板”进行创意拼图，并赋予图案一定的意义． （3）如图，“冲浪小组”用七巧板拼出了“一只飞舞的蝴蝶”，寓意：自由与追求．则__________． 【答案】（1）90；③，⑤；（2）；（3）25 【解析】 【分析】（1）根据，③和⑤两个三角形全等，解答即可； （2）根据扇形面积公式进行判断即可； （3）图中阴影部分面积为⑥和⑦两个图形之和，用的面积减去③④⑤三个图形的面积，即可得出阴影部分的面积． 【详解】（1）解：三角形②绕点O顺时针至少旋转能与三角形①重合，除三角形①与②外，三角形③与⑤也能通过平移与旋转重合； （2）∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴扫过的面积为； （3）根据题意可知：③与⑤两个三角形为等腰直角三角形，且面积相等，④为正方形， 根据折叠可知：， ∴③和⑤两个三角形面积之和为： ， 图中④的面积为：， ， ∵图中阴影部分面积为⑥和⑦两个图形之和， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，折叠的性质，勾股定理，扇形面积计算，熟练掌握正方形的性质，折叠的性质，勾股定理是解题的关键． 23. 如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点．是第一象限内抛物线上的一个动点，连接，． （1）求抛物线的解析式． （2）如图1，连接，当时，求的面积． （3）如图2，过点作轴于点，交于点，直线能否将分成面积相等的两部分?若能，请求出点的坐标，若不能，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）点 【解析】 【分析】本题考查二次函数综合性问题，涉及解析式，面积，图象的性质等． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据求出点P的坐标，利用三角形面积公式即可解答； （3）先求出直线的解析式，设点，则点的坐标为．根据题意列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：将点与点代入， 得 解得 抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：， ． 将代入中， 得， 解得（舍去），， 点， ， ． 【小问3详解】 解：由题意可设直线的解析式为， 将点代入上式，得， 解得， 直线的解析式为． 设点，则点的坐标为． ， ， ， 整理得， 解得，（舍去）， 点． 24. 如图，以为直径作，为上一点，，与交于点，，． （1）如图1，当经过点时，__________． （2）在（1）的条件下，求证：． （3）如图2，将从图1的位置开始绕点顺时针旋转与重合时停止转动），与交于点，设的中点到的距离为． ①当时，求的长； ②直接写出旋转过程中的最大值． 【答案】（1）1 （2） 证明：∵， ． ， ， ， ． 为的直径， ， ， ， ． （3）①；② 【解析】 【分析】（1）先求出，，再结合全等三角形的性质，即可作答． （2）先由得出，再结合等边对等角得，则，圆周角定理得，故，结合垂径定理，即可作答． （3）①先得出，则是的垂直平分线，再结合勾股定理列式计算，即可作答．②如图，连接交于点．由题意可知，当时，取最小值，是定值，则取最大值，此时（垂径定理），则，再结合勾股定理列式计算得，再结合以及为的中点，即可作答． 【小问1详解】 解：∵以为直径作，，． ∴，，， ∵， ∴， ∵经过点时， ∴， 故答案为：1； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①如图，连接． 由（2）知， ，， ∴是的垂直平分线， ． 设，则，． 在中，， 即， 解得， 即． ②如图，连接交于点． 由题意可知，当时，取最小值，是定值，则取最大值， 此时（垂径定理）， ． ，，， ， ， ， ， ，． 为的中点， ， ， ． 【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，垂直平分线的性质与判定，旋转性质，平行线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $