北京市顺义区仁和中学2023--2024学年九年级上学期期中考试数学试卷

仁和中学2023—2024学年度第一学期期中考试 初三年级数学试卷 一、选择题（每题2分，共16分） 1. 如果（），那么下列比例式中正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 下列关于二次函数的说法正确的是(　　) A. 它的图象经过点 B. 它的图象的对称轴是直线 C. 当时，随的增大而减小 D. 当时，有最大值为0 4. 如图，点是平行四边形的边延长线上的一点，与相交于点，则图中相似三角形共有（ ） A. 2对 B. 3对 C. 4对 D. 5对 5. 如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是 A. B. C. D. 6. 如图，DEBC，在下列比例式中，不能成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 反比例函数的图象上有两点，，若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示.对于此抛物线有如下四个结论：①；②；③；④若此抛物线经过点，则一定是方程的一个根．其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ③④ D. ①④ 二、填空题（每题2分，共16分） 9. 如图，，，则与的周长之比为______；面积之比为______． 10. 已知反比例函数y=，当x＞0时，y随x增大而减小，则m的取值范围是_____． 11. 将抛物线向下平移2个单位长度后，得到的抛物线解析式为______________． 12. 如图，在中，，于点，若，，求的长． 13. 如图，过反比例函数的图象上一点A作轴于点B，连接，若，则k的值为______． 14. 已知抛物线 与直线相交于点和点，则关于x的方程的解为_______． 15. 有一张矩形纸片，，，将纸片折叠，使边落在边上，折痕为，再将以为折痕向右折叠，与交于点F（如下图），则的长为______． 16. 如图，矩形中，，，为边上的动点，当与相似时，____． 三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21-22题，每题6分，第23-24题，每题5分，第25-26题，每题6分，第27题7分，第28题7分） 17. 已知：二次函数的图象经过点． （1）求二次函数的解析式； （2）将（1）中求得的函数解析式用配方法化成的形式． 18. 下表是二次函数y=ax2+bx+c（ a≠0）图象上部分点的横坐标（x）和纵坐标（y）． x … ﹣1 0 1 2 3 4 5 … y … 8 3 0 ﹣1 0 m 8 … （1）观察表格，直接写出m= ； （2）其中A（x1，y1）、B（x2，y2）在函数的图象上，且﹣1＜x1＜0，2＜x2＜3，则y1 y2（用“＞”或“＜”填空）； （3）求这个二次函数的表达式． 19. 如图，是等边三角形，，求证： （1） （2） 20. 如图，某一时刻一根2m长的竹竿EF的影长GE为1.2m，此时，小红测得一棵被风吹斜的柏树与地面成30°角，树顶端B在地面上的影子点D与B到垂直地面的落点C的距离是3.6m，求树AB的长． 21. 如图，在平行四边形ABCD中，连接对角线AC，延长AB至点E，使，连接DE，分别交BC，AC交于点F，G． (1)求证：； (2)若，，求FG的长． 22. “母亲节”前夕，我市某校学生积极参与“关爱贫困母亲”的活动，他们购进了一批单价为20元的“孝文化衫”在课余时间进行义卖，并将所得利润捐给贫困母亲．在义卖的过程中发现，这种文化衫每天的销售件数y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系：．如果义卖这种文化衫每天的利润为（元），那么销售单价定为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？ 23. 赛龙舟是中国端午节的习俗之一，也是一项广受欢迎的民俗体育运动．某地计划进行一场划龙舟比赛，图1是比赛途中经过的一座拱桥，图2是该桥露出水面的主桥拱的示意图，可看作抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，桥拱上的点到水面的竖直高度y（单位：m）与到点O的水平距离x（单位：m）近似满足函数关系，据调查，龙舟最高处距离水面，为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少． （1）水面的宽度______m； （2）要设计通过拱桥的龙舟赛道方案，若每条龙舟赛道宽度为，求最多可设计龙舟赛道的数量． 24. 如图，是的中线，E是的中点，的延长线交于点F，求的值． 25. 在平面直角坐标系中，直线与双曲线（k≠0）交于点A（2，a）． （1）求a与k的值； （2）在图中画出双曲线（k≠0）； （3）设P（m，n）是双曲线（k≠0）上一点（点P与点A不重合），直线与y轴交于点B（0，b），当时，结合图象，直接写出b的值． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点． （1）求的值； （2）求抛物线的对称轴（用含的式子表示）； （3）点，，在抛物线上，若，求的取值范围． 27. 已知：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为BC边中点．点M为线段BC上的一个动点（不与点C，点D重合），连接AM，将线段AM绕点M顺时针旋转90°，得到线段ME，连接EC． （1）如图1，若点M在线段BD上． ① 依据题意补全图1； ② 求∠MCE的度数． （2）如图2，若点M在线段CD上，请你补全图形后，直接用等式表示线段AC、CE、CM之间的数量关系 ． 28. 阅读：我们约定，在平面直角坐标系中，经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫该点的“特征线”．例如，点M（1，3）的特征线有：x=1，y=3，y=x+2，y=﹣x+4． 问题与探究：如图，在平面直角坐标系中有正方形OABC，点B在第一象限，A、C分别在x轴和y轴上，抛物线经过B、C两点，顶点D在正方形内部． （1）直接写出点D（m，n）所有的特征线； （2）若点D有一条特征线是y=x+1，求此抛物线的解析式； （3）点P是AB边上除点A外的任意一点，连接OP，将△OAP沿着OP折叠，点A落在点A′的位置，当点A′在平行于坐标轴的D点的特征线上时，满足（2）中条件的抛物线向下平移多少距离，其顶点落在OP上？ 仁和中学2023—2024学年度第一学期期中考试 初三年级数学试卷 一、选择题（每题2分，共16分） 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】B 二、填空题（每题2分，共16分） 【9题答案】 【答案】 ①. ②. 【10题答案】 【答案】m＞2． 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】2 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 【15题答案】 【答案】1 【16题答案】 【答案】1或4或2.5 三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21-22题，每题6分，第23-24题，每题5分，第25-26题，每题6分，第27题7分，第28题7分） 【17题答案】 【答案】（1） （2） 【18题答案】 【答案】（1）3（2）＞（3）y=x2﹣4x+3． 【19题答案】 【答案】（1） 证明：∵△ABC是等边三角形，∠DAE=120°， ∴∠DAB+∠CAE=60°， ∵∠ABC是△ABD的外角， ∴∠DAB+∠D=∠ABC=60°， ∴∠CAE=∠D， ∵∠ABC=∠ACB=60°， ∴∠ABD=∠ACE=120°， ∴△ABD∽△ECA； （2） 证明：∵△ABD∽△ECA， ∴，即AB•AC=BD•CE， ∵AB=AC=BC， ∴． 【20题答案】 【答案】12m． 【21题答案】 【答案】 (1)证明：四边形ABCD是平行四边形， ，， ， ∴， ∵BE=AB，AE=AB+BE， ， ， ； (2)FG=2. 【22题答案】 【答案】售价28元时，最大利润为192元 【23题答案】 【答案】（1） （2）最多可设计赛道5条． 【24题答案】 【答案】 【25题答案】 【答案】（1）， （2） 描点连线如图所示． （3）或6 【26题答案】 【答案】（1）1 （2） （3） 【27题答案】 【答案】 （1）①补全图1： ②∠MCE=∠F=45°； （2） 【28题答案】 【答案】（1）x=m，y=n，y=x+n﹣m，y=﹣x+m+n；（2）；（3）抛物线向下平移或距离，其顶点落在OP上． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $