福建省厦门市思明区槟榔中学2024-2025学年上学期八年级期中数学试卷

2024-2025学年福建省厦门市思明区槟榔中学八年级（上）期中数学试卷 一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分.每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确） 1．（4分）在以下回收、绿色食品、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（4分）以下面各组线段的长为边，能组成三角形的是（　　） A．3，4，8 B．5，6，11 C．3，3，6 D．5，6，10 3．（4分）在下列运算中，正确的是（　　） A．a3•a4＝a12 B．（ab2）3＝a6b6 C．（a3）4＝a7 D．a4÷a3＝a 4．（4分）在平面直角坐标系xOy中，点A（2，1）关于x轴的对称点是（　　） A．（2，﹣1） B．（﹣2，1） C．（﹣2，﹣1） D．（1，2） 5．（4分）已知图中的两个三角形全等，则∠α等于（　　） A．50° B．60° C．70° D．80° 6．（4分）要使五边形木架（用五根木条钉成）不变形，至少要再钉上（　　）根木条． A．1 B．2 C．3 D．4 7．（4分）如图，点E、F在BC上，AB＝DC，AF＝DE，AF、DE相交于点G，要使得△ABF≌△DCE，添加下列哪一个条件（　　） A．∠B＝∠C B．GE＝GF C．∠AFE＝∠DEF D．BF＝CE 8．（4分）平面直角坐标系中，已知A（﹣1，0），B（1，1），若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 9．（4分）如图，△ABC中，AB＜AC＜BC，如果要用尺规作图的方法在BC上确定一点P，使PA+PB＝BC，那么符合要求的作图痕迹是（　　） A． B． C． D． 10．（4分）如图，在△ABC中，AB＝BC，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠AOB＝125°，若D是BC上一点，DF＝CF，则∠DAE的度数是（　　） A．20° B．15° C．10° D．5° 二、填空题（本大题有6小题，第11题每空1分，其余每小题各4分，共26分） 11．（6分）化简：a2×a3＝ 　 　；（xy2）3＝ 　 　；2m2n3•（﹣2n）＝ 　 　；（12x2y4）÷（4x2y）＝ 　 　；（π﹣6）0＝ 　 　；42020×（﹣0.25）2021＝ 　 　． 12．（4分）八边形的内角和为　 　°． 13．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，CD＝1，AB＝4，则△ABD的面积是 　 　． 14．（4分）“三等分角”是被称为几何三大难题的三个古希腊作图难题之一．如图所示的“三等分角仪”是利用阿基米德原理做出的．这个仪器由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC＝CD＝DE，点D，E可在槽中滑动．若∠BDE＝72°，则∠CDE＝ 　 　°． 15．（4分）若x﹣2y﹣1＝0，则2x÷4y×8等于 　 　． 16．（4分）如图，先将正方形纸片对折，折痕为MN，再沿AE折叠，使点B落在MN上的点H处．下列结论：①DH＝DA；②∠BHD＝135°；③NE＝BE；④EB＝2HN．其中正确结论是 　 　．（填序号） 三.解答题（共9小题，共84分） 17．（10分）计算： （1）a•（﹣2a2）2÷（a2•a3）； （2）3a（2a+1）﹣（2ab﹣a2b）÷b． 18．（10分）先化简，再求值：，其中x＝﹣1． 19．（8分）如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE、CD交于点O，OB＝OC． （1）求证：△BOD≌△EOC； （2）求证：AO平分∠BAC． 20．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点P为BC边的中点，PD⊥AC于点D． （1）求∠C的度数； （2）求证：CD＝3AD． 21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A（0，1），B（2，0），C（4，4）均在正方形网格的格点上． （1）画出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1，并写出顶点A1，B1，C1的坐标 　 　； （2）求△ABC的面积 　 　； （3）在x轴上找一点P，使得△PAC的周长最小（保留作图痕迹）． 22．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在△ABC内，BD＝BC，∠DBC＝60°，点E在△ABC外，∠BCE＝150°，∠ABE＝60°． （1）求∠ADB的度数； （2）判断△ABE的形状并加以证明． 23．（10分）已知长方形的长为a cm，宽为b cm，其中（a＞b＞1，如果将原长方形的长和宽各增加2cm，得到的新长方形的面积记为S1；如果将原长方形的长和宽各减少1cm，得到的新长方形的面积记为S2． （1）求S1，S2； （2）如果2S1＝S2+11，求将原长方形的长和宽各增加5cm后得到的新长方形的面积； （3）如果用一个面积为S1的长方形和两个面积为S2的长方形恰好能拼成一个没有缝隙没有重叠的正方形，求a，b的值． 24．（10分）新定义：如果两个三角形不全等但面积相等，那么这两个三角形叫做积等三角形． 【初步尝试】 （1）如图1，在任意△ABC中，P为边BC上一点，若△ABP与△ACP是积等三角形，求证：AP为△ABC中线． 【理解运用】 （2）如图2，△ABD与△ACD为积等三角形，若AB＝2，AC＝4，且线段AD的长度为正整数，求AD的长． 【综合应用】 （3）如图3，在Rt△ABC中∠BAC＝90°，AB＝AC，过点C作MN⊥AC，点D是射线CM上一点，以AD为边作Rt△ADE，∠DAE＝90°，AD＝AE，连接BE．请判断△BAE与△ACD是否为积等三角形，并说明理由． 25．（12分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，将BC绕点B逆时针旋转β至BD，点C的对应点为点D，连接AD，CD，其中2α+β＝180°． （1）求证：∠ABD＝∠ACD； （2）如备用图，延长CD至点M，使得CM＝BC．求证： ①AD平分∠BDM； ②A，M，B三点共线． 2024-2025学年福建省厦门市思明区槟榔中学八年级（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分.每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确） 1．（4分）在以下回收、绿色食品、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断利用排除法求解． 【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误； B、是轴对称图形，故本选项正确； C、不是轴对称图形，故本选项错误； D、不是轴对称图形，故本选项错误． 故选：B． 2．（4分）以下面各组线段的长为边，能组成三角形的是（　　） A．3，4，8 B．5，6，11 C．3，3，6 D．5，6，10 【分析】根据三角形的三边关系定理：两边之和大于第三边，即两条较短的边的长大于最长的边即可． 【解答】解：A、3+4＜8，故不能构成三角形，故选项不符合题意； B、6+5＝11，故不能构成三角形，故选项不符合题意； C、3+3＝6，故不能构成三角形，故选项不符合题意； D、5+6＞10，故能构成三角形，故选项符合题意． 故选：D． 3．（4分）在下列运算中，正确的是（　　） A．a3•a4＝a12 B．（ab2）3＝a6b6 C．（a3）4＝a7 D．a4÷a3＝a 【分析】根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减；幂的乘方法则：底数不变，指数相乘；积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘分别进行计算即可． 【解答】解：A、底数不变指数相加，即a3•a4＝a7，故A错误； B、积得乘方等于每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即（ab2）3＝a3b6，故B错误； C、底数不变指数相乘，即（a3）4＝a12，故C错误； D、底数不变指数相减，即a4÷a3＝a，故D正确； 故选：D． 4．（4分）在平面直角坐标系xOy中，点A（2，1）关于x轴的对称点是（　　） A．（2，﹣1） B．（﹣2，1） C．（﹣2，﹣1） D．（1，2） 【分析】利用关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数得出答案． 【解答】解：点A（2，1）关于x轴对称点的坐标是（2，﹣1）． 故选：A． 5．（4分）已知图中的两个三角形全等，则∠α等于（　　） A．50° B．60° C．70° D．80° 【分析】根据全等三角形的性质即可求出答案． 【解答】解：∵两个三角形全等， ∴∠α＝180°﹣50°﹣60°＝70°， 故选：C． 6．（4分）要使五边形木架（用五根木条钉成）不变形，至少要再钉上（　　）根木条． A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据三角形的稳定性，添加的木条把五边形分成三角形即可． 【解答】解：如图，至少需要2根木条． 故选：B． 7．（4分）如图，点E、F在BC上，AB＝DC，AF＝DE，AF、DE相交于点G，要使得△ABF≌△DCE，添加下列哪一个条件（　　） A．∠B＝∠C B．GE＝GF C．∠AFE＝∠DEF D．BF＝CE 【分析】根据全等三角形的判定方法依次进行判断即可． 【解答】解：A、添加∠B＝∠C，不能使得△ABF≌△DCE，不符合题意； B、添加GE＝GF，不能使得△ABF≌△DCE，不符合题意； C、添加∠AFE＝∠DEF，不能使得△ABF≌△DCE，不符合题意； D、添加BF＝CE，利用SSS，可以使得△ABF≌△DCE，符合题意； 故选：D． 8．（4分）平面直角坐标系中，已知A（﹣1，0），B（1，1），若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【分析】先根据点A，B的坐标求出AB与y轴的交点M为线段AB的中点，然后分两种情况进行讨论：（1）当点C在x轴上时，又有以下三种情况：①以点A为圆心，以AB为半径画弧交x轴于点C，C'，②以点B为圆心，以BA的长为半径画弧交x轴于点C，③过点M作MC⊥AB交x轴于C，（2）当点C在y轴上时，又有以下两种情况：①以点A为圆心，以AB为半径画弧交y轴于点C，C'，②以点B为圆心，以BA为半径画弧交y轴于点C，C'，综上所述可得出答案 【解答】解：∵A（﹣1，0），B（1，1）， ∵（﹣1+1）＝0，（0+1）＝0.5 ∴AB的中点M坐标为（0，0.5）， ∴AB与y轴的交点即为AB的中点M， ∵在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形， ∴有以下两种情况： （1）当点C在x轴上时，又有以下三种情况： ①以点A为圆心，以AB为半径画弧交x轴于点C，C'，如图1所示： 此时AB＝AC，AB＝AC'， ∴△ABC和△ABC'均为等腰三角形，则点C和点C'为所求的点， ②以点B为圆心，以BA的长为半径画弧交x轴于点C，如图2所示： 此时BA＝BC， ∴△ABC为等腰三角形，则点C为所求的点； ③过点M作MC⊥AB交x轴于C，连接BC，如图3所示： ∵点M为AB的中点， ∴MC为线段AB的垂直平分线， ∴AC＝BC， ∴△ABC为等腰三角形，则点C为所求的点． 综上所述：当点C在x轴上时，满足条件点C有4个． （2）当点C在y轴上时，又有以下两种情况： ①以点A为圆心，以AB为半径画弧交y轴于点C，C'，如图4所示： 此时AB＝AC，AB＝AC'， ∴△ABC和△ABC'均为等腰三角形，则点C和点C'为所求的点， ②以点B为圆心，以BZ为半径画弧交y轴于点C，C'，如图5所示： 此时BC＝BA，BC'＝BA， ∴△ABC和△ABC'均为等腰三角形，则点C和点C'为所求的点． 综上所述：当点C在y轴上时，满足条件点C有4个． ∴在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是8个． 故选：D． 9．（4分）如图，△ABC中，AB＜AC＜BC，如果要用尺规作图的方法在BC上确定一点P，使PA+PB＝BC，那么符合要求的作图痕迹是（　　） A． B． C． D． 【分析】由PA+PB＝BC和PC+PB＝BC易得PA＝PC，根据线段垂直平分线定理的逆定理可得，点P在AC的垂直平分线上，进而得出结论． 【解答】解：∵PA+PB＝BC，而PC+PB＝BC， ∴PA＝PC， ∴点P在AC的垂直平分线上， 即点P为AC的垂直平分线与BC的交点． 故选：D． 10．（4分）如图，在△ABC中，AB＝BC，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠AOB＝125°，若D是BC上一点，DF＝CF，则∠DAE的度数是（　　） A．20° B．15° C．10° D．5° 【分析】先根据∠AOB＝125°得出∠BAO+∠ABO的度数，再由AE、BF是角平分线得出∠ABC+∠BAC的度数，进而可得出∠C的度数，由AB＝BC可知∠C＝∠BAC，由角平分线的定义求出∠CAE的度数，由等腰三角形的性质求出∠CFD的度数，由等腰三角形的性质推出AF＝FC，得到AF＝FD，由三角形外角的性质求出∠DAC的度数，即可求出∠DAE的度数． 【解答】解：∵AE、BF是△ABC的角平分线， ∴∠ABO＝∠ABC，∠BAO＝∠BAC， ∴∠ABO+∠BAO＝（∠ABC+∠BAC）， ∵∠AOB＝125°， ∴∠ABO+∠BAO＝180°﹣∠AOB＝55°， ∴∠ABC+∠BAC＝2×55°＝110°， ∴∠C＝180°﹣（∠ABC+∠BAC）＝70°， ∵AB＝BC， ∴∠BAC＝∠C＝70°， ∴∠CAE＝∠BAC＝35°， ∵DF＝CF， ∴∠FDC＝∠C＝70°， ∵AB＝CB，BF平分∠ABC， ∴AF＝CF， ∴AF＝FD， ∴∠DAF＝∠FDA， ∴∠CFD＝∠DAF+∠FDA＝2∠DAF， ∵∠CFD＝180°﹣∠C﹣∠FDC＝40°， ∴∠DAF＝20°， ∴∠DAE＝∠CAE﹣∠DAF＝35°﹣20°＝15°． 故选：B． 二、填空题（本大题有6小题，第11题每空1分，其余每小题各4分，共26分） 11．（6分）化简：a2×a3＝ 　a5　；（xy2）3＝ 　x3y6　；2m2n3•（﹣2n）＝ 　﹣4m2n4　；（12x2y4）÷（4x2y）＝ 　3y3　；（π﹣6）0＝ 　1　；42020×（﹣0.25）2021＝ 　﹣0.25　． 【分析】利用整式的混合运算法则以及零指数幂的性质一一计算即可． 【解答】解：a2×a3＝a5；（xy2）3＝x3y6；2m2n3•（﹣2n）＝﹣4m2n4；（12x2y4）÷（4x2y）＝3y3；（π﹣6）0＝1；42020×（﹣0.25）2021＝﹣（4×0.25）2020×0.25＝﹣0.25． 故答案为：a5；x3y6；﹣4m2n4；3y3；1；﹣0.25． 12．（4分）八边形的内角和为　1080　°． 【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°进行计算即可得解． 【解答】解：（8﹣2）•180°＝6×180°＝1080°． 故答案为：1080°． 13．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，CD＝1，AB＝4，则△ABD的面积是 　2　． 【分析】直接利用角平分线的性质得出D到AB的距离，进而利用三角形面积求法得出答案． 【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E ∵∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB， ∴DC＝DE＝1， ∵AB＝4， ∴S△ABD＝×DE×AB＝×1×4＝2． 故答案为：2． 14．（4分）“三等分角”是被称为几何三大难题的三个古希腊作图难题之一．如图所示的“三等分角仪”是利用阿基米德原理做出的．这个仪器由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC＝CD＝DE，点D，E可在槽中滑动．若∠BDE＝72°，则∠CDE＝ 　84　°． 【分析】根据OC＝CD＝DE，可得∠AOB＝∠ODC，∠DCE＝∠DEC，根据三角形的外角性质可知∠DCE＝∠AOB+∠ODC＝2∠ODC，进一步根据三角形的外角性质可知∠BDE＝3∠ODC＝72°，即可求出∠ODC的度数，进而求出∠CDE的度数．＝ 【解答】解：∵OC＝CD＝DE， ∴∠AOB＝∠ODC，∠DCE＝∠DEC， ∴∠DCE＝∠AOB+∠ODC＝2∠ODC， ∵∠AOB+∠OED＝3∠ODC＝∠BDE＝72°， ∴∠ODC＝24°， ∵∠CDE+∠ODC＝180°﹣∠BDE＝108°， ∴∠CDE＝108°﹣∠ODC＝84°． 故答案为：84． 15．（4分）若x﹣2y﹣1＝0，则2x÷4y×8等于 　16　． 【分析】根据幂的乘方，可化成同底数幂的除法，根据同底数幂的除法，可得答案． 【解答】解：∵x﹣2y﹣1＝0， ∴x﹣2y＝1， ∴2x÷4y×8＝2x÷22y×8＝2x﹣2y×8＝2×8＝16． 故答案为：16． 16．（4分）如图，先将正方形纸片对折，折痕为MN，再沿AE折叠，使点B落在MN上的点H处．下列结论：①DH＝DA；②∠BHD＝135°；③NE＝BE；④EB＝2HN．其中正确结论是 　①②④　．（填序号） 【分析】由折叠可得，MN垂直平分AD，AB＝AH，于是得到DH＝AH＝AB＝AD，故①正确；推出△ADH是等边三角形，由折叠可得，AM＝AD＝AH，得到∠BAH＝30°，根据等腰三角形的性质得到∠AHB＝∠ABH＝75°，于是得到∠BHD＝60°+75°＝135°，故②正确；连接EH，则EH＝BE，根据直角三角形的性质得到BE＞NE，故③错误；求得∠HEN＝30°，根据直角三角形的性质得到HN＝HE＝，故④正确． 【解答】解：由折叠可得，MN垂直平分AD，AB＝AH， ∴DH＝AH＝AB＝AD，故①正确； ∴△ADH是等边三角形， 由折叠可得，AM＝AD＝AH， ∴∠AHM＝30°，∠HAM＝60°， 又∵∠BAD＝90°， ∴∠BAH＝30°， ∵AH＝AB， ∴∠AHB＝∠ABH＝75°， ∴∠BHD＝60°+75°＝135°，故②正确； 连接EH，则EH＝BE， ∵MN⊥BC， ∴EH＞NE， ∴BE＞NE，故③错误； ∵∠AHE＝∠ABE＝90°，∠AHM＝30°， ∴∠EHN＝60°， ∴∠HEN＝30°， ∴HN＝HE＝，故④正确， 故答案为：①②④． 三.解答题（共9小题，共84分） 17．（10分）计算： （1）a•（﹣2a2）2÷（a2•a3）； （2）3a（2a+1）﹣（2ab﹣a2b）÷b． 【分析】（1）先计算乘方，再计算乘除； （2）先计算乘除，再计算加减． 【解答】解：（1）原式＝a•4a4÷a5 ＝4； （2）原式＝6a2+3a﹣（2a﹣a2） ＝6a2+3a﹣2a+a2 ＝7a2+a． 18．（10分）先化简，再求值：，其中x＝﹣1． 【分析】去括号合并同类项，最后代入求值即可． 【解答】解：原式＝6x2﹣3x+2x﹣1﹣x2+2x ＝5x2+x﹣1． 当x＝﹣1时，上式＝5﹣1﹣1＝3． 19．（8分）如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE、CD交于点O，OB＝OC． （1）求证：△BOD≌△EOC； （2）求证：AO平分∠BAC． 【分析】（1）利用AAS证明△BDO≌△CEO； （2）根据全等三角形的性质得到OD＝OE，根据角平分线的判定定理即可证明OA平分∠BAC，即∠1＝∠2． 【解答】证明：（1）∵CD⊥AB，BE⊥AC， ∴∠BDO＝∠CEO＝90°， 在△BOD和△COE中， ， ∴△BOD≌△EOC（AAS）； （2）∵△BOD≌△EOC， ∴OD＝OE， ∵OD⊥AB，OE⊥AC， ∴OA平分∠BAC， ∴∠1＝∠2． 20．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点P为BC边的中点，PD⊥AC于点D． （1）求∠C的度数； （2）求证：CD＝3AD． 【分析】（1）连接AP，根据等腰三角形三线合一的性质可得AP⊥BC，根据等腰三角形两底角相等求出∠C＝30°，再求出∠APD＝∠C＝30°； （2）根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AP＝2AD，AC＝2AP，整理即可得证． 【解答】（1）解：如图，连接AP， ∵AB＝AC，P为BC边的中点， ∴AP⊥BC， ∵∠BAC＝120°， ∴∠C＝（180°﹣∠BAC）＝（180°﹣120°）＝30°； （2）证明：由（1）知，∠C＝30°． ∵PD⊥AC， ∴∠CPD+∠C＝90°， 又∵∠APD+∠CPD＝90°， ∴∠APD＝∠C＝30°， ∴AP＝2AD，AC＝2AP， ∴AC＝4AD， ∴CD＝AC﹣AD＝4AD﹣AD＝3AD， 即CD＝3AD． 21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A（0，1），B（2，0），C（4，4）均在正方形网格的格点上． （1）画出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1，并写出顶点A1，B1，C1的坐标 　A1（0，1），B1（﹣1，0），C1（﹣4，4）　； （2）求△ABC的面积 　5　； （3）在x轴上找一点P，使得△PAC的周长最小（保留作图痕迹）． 【分析】（1）分别作出点A，B，C关于x轴的对称点，再首尾顺次连接即可得； （2）利用割补法求面积即可； （3）连接AC′交x轴于点P，即可得PA+PC最小，结合AC为定值，得△PAC的周长最小． 【解答】解：（1）如图1所示，△A1B1C1即为所求， 顶点A1，B1，C1的坐标分别为A1（0，1），B1（﹣1，0），C1（﹣4，4）， 故答案为：A1（0，1），B1（﹣1，0），C1（﹣4，4）； （2）S△ABC＝4×4﹣×1×2﹣×2×4﹣×3×4＝5； （3）如图2所示，点P即为所求． 22．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在△ABC内，BD＝BC，∠DBC＝60°，点E在△ABC外，∠BCE＝150°，∠ABE＝60°． （1）求∠ADB的度数； （2）判断△ABE的形状并加以证明． 【分析】（1）首先证明△DBC是等边三角形，推出∠BDC＝60°，再证明△ADB≌△ADC，推出∠ADB＝∠ADC即可解决问题． （2）结论：△ABE是等边三角形．只要证明△ABD≌△EBC即可． 【解答】解：（1）∵BD＝BC，∠DBC＝60°， ∴△DBC是等边三角形， ∴DB＝DC，∠BDC＝∠DBC＝∠DCB＝60°， 在△ADB和△ADC中， ， ∴△ADB≌△ADC（SSS）， ∴∠ADB＝∠ADC， ∴∠ADB＝×（360°﹣60°）＝150°； （2）△ABE是等边三角形．理由如下： ∵∠ABE＝∠DBC＝60°， ∴∠ABD＝∠CBE， 在△ABD和△EBC中， ， ∴△ABD≌△EBC（ASA）， ∴AB＝BE， ∵∠ABE＝60°， ∴△ABE是等边三角形． 23．（10分）已知长方形的长为a cm，宽为b cm，其中（a＞b＞1，如果将原长方形的长和宽各增加2cm，得到的新长方形的面积记为S1；如果将原长方形的长和宽各减少1cm，得到的新长方形的面积记为S2． （1）求S1，S2； （2）如果2S1＝S2+11，求将原长方形的长和宽各增加5cm后得到的新长方形的面积； （3）如果用一个面积为S1的长方形和两个面积为S2的长方形恰好能拼成一个没有缝隙没有重叠的正方形，求a，b的值． 【分析】（1）由长方形面积公式，结合原长方形长宽变化代值求解即可得到答案； （2）由2S1＝S2+11，结合（1）中S1，S2得到ab+5a+5b＝4，再得到将原长方形的长和宽各增加5cm后得到的新长方形的面积表达式，代值求解即可得到答案； （3）由题意，根据新长方形的边长，分分两种情况拼接，如图所示，由正方形边长关系列方程组求解，再由a＞b＞1判定即可得到答案． 【解答】解：（1）∵长方形的长为a cm，宽为b cm， ∴将原长方形的长和宽各增加2cm，得到的新长方形的面积记为：； 将原长方形的长和宽各减少1cm，得到的新长方形的面积记为：； （2）由（1）知，， ∵2S1＝S2+11， ∴2（ab+2a+2b+4）＝（ab﹣a﹣b+1）+11，即ab+5a+5b＝4， ∴将原长方形的长和宽各增加5cm后得到的新长方形的面积为（a+5）（b+5）＝ab+5a+5b+25＝4+25＝29cm2； （3）∵面积记为S1的新长方形长为（a+2）cm、宽为（b+2）cm；面积记为S2的新长方形长为（a﹣1）cm、宽为（b﹣1）cm， ∴用一个面积为S1的长方形和两个面积为S2的长方形恰好能拼成一个没有缝隙没有重叠的正方形时，正方形的边长应为（a+2）cm， 分两种情况拼接，如图所示： ∴， ①或②， 解①得， 解②得， ∵a＞b＞1， ∴， 满足题意，即a＝4，b＝2.5． 24．（10分）新定义：如果两个三角形不全等但面积相等，那么这两个三角形叫做积等三角形． 【初步尝试】 （1）如图1，在任意△ABC中，P为边BC上一点，若△ABP与△ACP是积等三角形，求证：AP为△ABC中线． 【理解运用】 （2）如图2，△ABD与△ACD为积等三角形，若AB＝2，AC＝4，且线段AD的长度为正整数，求AD的长． 【综合应用】 （3）如图3，在Rt△ABC中∠BAC＝90°，AB＝AC，过点C作MN⊥AC，点D是射线CM上一点，以AD为边作Rt△ADE，∠DAE＝90°，AD＝AE，连接BE．请判断△BAE与△ACD是否为积等三角形，并说明理由． 【分析】（1）过点A作AH⊥BC于H，通过△ABP与△CBP是积等三角形，得出，得到BP＝CP，得到AP为△ABC的中线； （2）延长AD至N，使DN＝AD，连接CN，证明△ADB≌△NDC（SAS），得出1＜AD＜3，再根据AD为正整数，得到AD＝2； （3）过点E作EH⊥AB于点H，证明△HAE≌△CAD（AAS），根据，，得到S△BAE＝S△ACD，得出△ABE与△ACD为积等三角形． 【解答】（1）证明：过点A作AH⊥BC于H，如图1， ∵△ABP与△CBP是积等三角形， ∴S△ABP＝S△ACP， ∴， ∴BP＝CP， ∴AP为△ABC的中线； （2）解：如图2，延长AD至N，使DN＝AD，连接CN， ∵△ABD与△ACD为积等三角形， ∴BD＝CD， 在△ADB和△NDC中， ∴△ADB≌△NDC（SAS）， ∴AB＝NC＝2， 在△ACN中，AC﹣CN＜AN＜AC+CN， ∵AC＝4， ∴4﹣2＜AN＜4+2， ∴2＜AN＜6， ∴2＜2AD＜6， ∴1＜AD＜3， ∵AD为正整数， ∴AD＝2； （3）证明：△BAE与△ACD为积等三角形； 如图3，过点E作EH⊥AB于点H， ∵MN⊥AC， ∴∠ACD＝∠AHE＝90°， ∵∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴∠CAH＝∠DAE＝90°， ∴∠CAH﹣∠DAH＝∠DAE﹣∠DAH， ∴∠EAH＝∠DAC， 在△HAE和△CAD中， ∴△HAE≌△CAD（AAS）， ∴AC＝AH，EH＝CD， ∴，， ∵AB＝AC， ∴， ∴S△BAE＝S△ACD， ∴△ABE与△ACD为积等三角形． 25．（12分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，将BC绕点B逆时针旋转β至BD，点C的对应点为点D，连接AD，CD，其中2α+β＝180°． （1）求证：∠ABD＝∠ACD； （2）如备用图，延长CD至点M，使得CM＝BC．求证： ①AD平分∠BDM； ②A，M，B三点共线． 【分析】（1）根据题意可得BC＝BD，∠CBD＝β，所以∠BDC＝∠BCD；在△BCD中，∠BDC+∠BCD+∠CBD＝180°，所以2∠BDC+β＝180°，由2α+β＝180°，可得∠BDC＝α；在△ABC和△BCD中，利用三角形内角和可知，∠ABC+∠ACB＝∠DBC+∠DCB，所以∠ABD+∠DBC+∠ACB＝∠DBC+∠ACB+∠ACD，则∠ABD＝∠ACD； （2）①如图1，过点A作AH⊥CM，AK⊥BD，垂足分别为H，K，所以∠AKB＝∠AHC＝90°，可证△ABK≌△ACH（AAS），所以AK＝AH，由角平分线的判定可知，AD平分∠BDM； ②如图2，连接AM，设AC与BD交于点G，可证△ABD≌△ACM（SAS），所以∠BAD＝∠CAM，所以∠BAC＝∠DAM＝α，由等腰三角形的性质可知，∠BCG＝90﹣α；由（1）知∠BDC＝α，且AD平分∠BDM，所以∠ADG＝90°﹣α，因为∠AGB＝∠CAD+∠ADG，∠AGB＝∠CBD+∠BCG，所以∠CAD＝∠CBD＝β，所以∠BAC+∠DAM+∠CAD＝2α+β＝180°，则A，M，B三点共线． 【解答】证明：（1）根据题意可得BC＝BD，∠CBD＝β， ∴∠BDC＝∠BCD， 在△BCD中，∠BDC+∠BCD+∠CBD＝180°， ∴2∠BDC+β＝180°， ∵2α+β＝180°， ∴∠BDC＝α， 在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180﹣α， 在△BCD中，∠DBC+∠DCB＝180﹣α， ∴∠ABC+∠ACB＝∠DBC+∠DCB， ∴∠ABD+∠DBC+∠ACB＝∠DBC+∠ACB+∠ACD， ∴∠ABD＝∠ACD； （2）①如图1，过点A作AH⊥CM，AK⊥BD，垂足分别为H，K， ∴∠AKB＝∠AHC＝90°， 在△ABK和△ACH中， ， ∴△ABK≌△ACH（AAS）， ∴AK＝AH， ∵AH⊥CM，AK⊥BD， ∴AD平分∠BDM； ②如图2，连接AM，设AC与BD交于点G， 在△ABD和△ACM中， ， ∴△ABD≌△ACM（SAS）， ∴∠BAD＝∠CAM， ∴∠BAC＝∠DAM＝α， ∵AB＝AC， ∴∠BCG＝90﹣α， 由（1）知∠BDC＝α，且AD平分∠BDM， ∴∠ADG＝90°﹣α， ∵∠AGB＝∠CAD+∠ADG，∠AGB＝∠CBD+∠BCG， ∴∠CAD＝∠CBD＝β， ∴∠BAC+∠DAM+∠CAD＝2α+β＝180°， ∴A，M，B三点共线． 学科网（北京）股份有限公司 $$