精品解析：江苏苏州工业园区星海实验初级中学2026-2027学年上学期九年级数学10月学情自测试题

2026-2027学年星海实验初级中学第一学期初三数学 十月练习卷 学生练习答题须知： 1．答题前，考生先将自己的姓名、考号、原班级均用阿拉伯数字填写清楚． 2．客观题必须使用2B铅笔填写，主观题必须使用0.5毫米黑色签字笔，不得用铅笔、红笔或圆珠笔答题，不能用涂改液、修正带，字迹工整，笔迹清楚． 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效．每道题右侧的方框为评分区，考生不得将答案写在该区域，也不得污损该区域． 一、单选题（每题3分，8小题，共24分） 1. 下列各式中，是的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知反比例函数，在下列结论中，不正确的是（ ）． A. 图象必经过点（1，2）; B. 随的增大而减少; C. 图象在第一.三象限 ; D. 若>1，则<2 . 3. 在反比例函数的图象上有三个点，则函数值的大小关系为 （ ） A. B. C. D. 4. 对于抛物线，下列结论： ①开口向上； ②对称轴为； ③顶点坐标为； ④当时，随的增大而减小． 其中正确的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 6. 某比赛中记分员根据七位评委所打的分数对平均数、中位数、众数、方差做了统计，如果去掉一个最高分和一个最低分，则这些统计量一定不发生变化的是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 7. 如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，且轴，轴于点，则四边形的面积为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 8. 如图，平面直角坐标系中，点在第二象限，连接，过点作轴于点，反比例函数的图象分别与、交于点、，连接，若为的中点，且四边形的面积为10，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，8小题，共24分） 9. 若反比例函数的图象在第二、四象限，那么a的取值范围是______． 10. 已知关于x的函数是二次函数，当时y随x的增大而增大，则a的值为________． 11. 在某公司的一次招聘中，甲的成绩如下表所示（单位；分）．若将材料、笔试和面试的成绩按的比计算平均成绩，则甲的平均成绩为______分． 应试者 材料 笔试 面试 甲的成绩 80 70 90 12. 若点A(-2，-2)在反比例函数的图象上，则当函数值y≥-2时，自变量x的取值范围是_________________ 13. 抛物线的图象如图所示，若将其向左平移2个单位，再向下平移3个单位，则平移后的解析式为______． 14. 已知，，三点都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为__________． 15. 如图，点为反比例函数图象上的一点，连接，过点作的垂线与反比例函数的图象交于点，则的值是________． 16. 如图，已知矩形中，，，双曲线与矩形两边、分别交于、，若将沿直线对折，点落在轴上的点，过点作，垂足为，则的值为________． 三、解答题（11小题，共82分） 17. 已知，与成正比例，与成反比例，当时，；当时，；求与的函数关系式． 18. 为了响应“阳光体育”的号召，某校八年级（2）班开展了一场1分钟仰卧起坐挑战赛．参赛学生被分为甲、乙两组，每组10人同台竞技．赛后，对两组的成绩进行了收集、整理、描述与分析，部分信息如下所示： 两组成绩（单位：个）统计如下： 甲组：44，32，36，48，32，36，44，30，33，44 乙组：35，38，40，36，38，34，36，33，39，41 甲、乙两组数据的四分位数（单位：个）如表： 组别 甲组 32 36 44 乙组 35 1分钟仰卧起坐箱线图如图所示： 请根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：___________，___________． （2）根据四分位数绘制的箱线图，（填A或B）反映的是甲组的成绩． （3）根据箱线图和对四分位数的理解，判断哪组成绩的方差更大，并说明理由． 19. 如图，抛物线与x轴交于点A、B，顶点且过点C． （1）求抛物线解析式； （2）求三角形的面积． 20. 为了提升“校园餐”的质量，让学生从“吃得饱”向“吃得好”转变，某校主管部门就学生对该校A，B两种营养餐的满意度进行了调查，现分别从吃A，B两种营养餐的学生中各随机抽取8名学生，统计他们对自己所吃的营养餐满意度的评分（满分10分）如下： A：7 8 7 8 9 9 8 8 B：7 7 8 6 5 7 6 10 所抽取的A，B两种营养餐满意度评分统计表： 营养餐 平均数 中位数 众数 方差 A B 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述表格中， ， ； （2）求B种营养餐满意度评分的方差的值； （3）根据表中的数据，你认为哪种营养餐满意度的评分情况更好？并说明理由． 21. 如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限的点和点，过点作轴的垂线，垂足为点，的面积为4． （1）分别求出反比例函数与一次函数的表达式； （2）求的面积． （3）结合图象直接写出中的取值范围． 22. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于、两点（点在点的左侧），交轴于点，连接，，． （1）求抛物线的解析式； （2）当时，的取值范围______； （3）当时，的取值范围______． 23. 某校后勤处每周周日均会对学校教室进行消毒处理，已知消毒水的消毒效果随着时间变化如图所示，消毒效果（单位：效力）与时间（单位：分钟）呈现三段函数图像，其中线段段为渐消毒阶段，线段段为深消毒阶段，曲线段是反比例函数图像的一部分，为降消毒阶段．请根据图中信息解答下列问题： （1）第6分钟时消毒效果为 效力； （2）当时，求与之间的函数关系式； （3）若消毒效果持续28分钟达到4效力及以上，可产生消毒作用，通过计算说明本次消毒是否有效． 24. 如图，抛物线与轴相交于点，，与轴相交于点C． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若点为该抛物线对称轴上的一个动点，当时，求点的坐标； （3）点为该抛物线上的一点，连接，，当时，求点的坐标． 25. 如图，中，，，，，反比例函数，）的图象与交于点，与交于点E． （1）求m，k的值； （2）点P为反比例函数，）图象上一动点（点P在D、E之间运动，不与D、E重合），过点P作，交y轴于点M，作轴，交于点N，连接，求面积的最大值，并求出此时点P的坐标． 26. 城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系，对两点和，用以下方式定义两点间距离：．（其中均为坐标原点） 【数学理解】 （1）①已知点，则______，②函数的图象如图①所示，是图象上一点，，则点的坐标是__________； （2）函数的图象如图②所示，求证：该函数的图象上不存在点，使． （3）函数的图象如图③所示，是图象上一点，求的最小值及对应的点的坐标． 27. 在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，在轴上，点的坐标为．反比例函数的图象经过的中点，与交于点． （1）求的值； （2）点是图象上一点． ①如图1，若点在矩形的内部，轴，垂足为点，连接，，若的面积为2，求点的坐标； ②如图2，作直线，连接，在上方作，过点作的垂线，交于点，当点落在直线上时，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年星海实验初级中学第一学期初三数学 十月练习卷 学生练习答题须知： 1．答题前，考生先将自己的姓名、考号、原班级均用阿拉伯数字填写清楚． 2．客观题必须使用2B铅笔填写，主观题必须使用0.5毫米黑色签字笔，不得用铅笔、红笔或圆珠笔答题，不能用涂改液、修正带，字迹工整，笔迹清楚． 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效．每道题右侧的方框为评分区，考生不得将答案写在该区域，也不得污损该区域． 一、单选题（每题3分，8小题，共24分） 1. 下列各式中，是的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】本题考查了二次函数的定义． 根据二次函数的定义（形如，且）逐一判断各选项． 【分析】解：A：最高项次数为不为2，不符合二次函数的定义； B：分母有未知数，不符合二次函数的定义； C：，符合二次函数的定义； D：最高项次数为不为2，不符合二次函数的定义； 故选：C． 2. 已知反比例函数，在下列结论中，不正确的是（ ）． A. 图象必经过点（1，2）; B. 随的增大而减少; C. 图象在第一.三象限 ; D. 若>1，则<2 . 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质对四个选项进行逐一分析即可． 【详解】A.∵1×2=2,∴图象必经过点(1,2)，故本选项正确； B.∵反比例函数中，k=2>0，∴此函数的图象在每一象限内y随x的增大而减小，故本选项错误； C.∵反比例函数中，k=2>0，∴此函数的图象在一、三象限，故本选项正确； D.∵当x>1时，此函数图象在第一象限，∴0<y<2，故本选项正确. 故选:B. 【点睛】考查反比例函数的图象与性质，反比例函数 当时，图象在第一、三象限.在每个象限，y随着x的增大而减小， 当时，图象在第二、四象限.在每个象限，y随着x的增大而增大. 3. 在反比例函数的图象上有三个点，则函数值的大小关系为 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，先分别求出的值，再比较大小即可，熟练掌握反比例函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：在反比例函数的图象上有三个点， ，，， ， ， 故选：D． 4. 对于抛物线，下列结论： ①开口向上； ②对称轴为； ③顶点坐标为； ④当时，随的增大而减小． 其中正确的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】抛物线解析式为顶点式，可直接利用二次函数性质判断各结论． 【详解】解：①∵， ∴抛物线开口向下， ∴①错误； ②∵对称轴为直线， ∴②错误； ③∵顶点坐标为， ∴③正确； ④∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小， ∴④正确； 综上所述，正确结论共2个． 5. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数、二次函数图象综合判断，对于一次函数，当时，图象必过一、三象限；当时，图象必过二、四象限；当时，图象必过一、二象限；当时，图象必过三、四象限；对于二次函数，当时，开口向上；当时，开口向下；据此即可求解； 【详解】解：若，则一次函数经过一、三、四象限；二次函数的开口向上； 若，则一次函数经过二、三、四象限；二次函数的开口向下； 故D符合题意； 故选：D 6. 某比赛中记分员根据七位评委所打的分数对平均数、中位数、众数、方差做了统计，如果去掉一个最高分和一个最低分，则这些统计量一定不发生变化的是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】B 【解析】 【分析】根据中位数的定义：将一组数据按大小顺序排列，位于中间位置或中间两数的平均数，由此可以得到去掉一个最高分和一个最低分不影响中位数． 【详解】解：因为去掉一个最高分和一个最低分不会影响一组数据位于中间位置或中间两数的平均数，所以对中位数没有影响，即中位数一定不发生变化． 7. 如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，且轴，轴于点，则四边形的面积为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】延长交y轴于点D，根据反比例函数k值的几何意义得到，，根据四边形的面积等于，即可得解． 【详解】解：如图，延长交y轴于点D． 轴， 轴， 点A在反比例函数的图象上， ． 轴，轴，点B在反比例函数的图象上， ， ． 8. 如图，平面直角坐标系中，点在第二象限，连接，过点作轴于点，反比例函数的图象分别与、交于点、，连接，若为的中点，且四边形的面积为10，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作轴于点，连接，根据反比例函数值的几何意义，找出面积关系，设，列出方程并解方程即可． 【详解】解：作轴于点，连接， 轴于点， ， ， 为的中点， ， 设， 则， 根据反比例函数值的几何意义可知， ， ， ， 四边形面积为， ， 解得． ， 反比例函数在第二象限， ． 二、填空题（每题3分，8小题，共24分） 9. 若反比例函数的图象在第二、四象限，那么a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，根据反比例函数的图象在第二、四象限，得出，即可求解． 【详解】解：∵反比例函数的图象在第二、四象限， ∴， 解得：． 故答案为：． 10. 已知关于x的函数是二次函数，当时y随x的增大而增大，则a的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的定义和性质，掌握二次函数的性质是解决本题的关键． 根据二次函数的定义，指数部分必须为2，求出a的值，再根据函数的增减性条件确定a的取值即可． 【详解】解：∵是二次函数， ∴ 解得， ∵当时，y随x的增大而增大， ∴二次项系数，即， ∴． 故答案为：． 11. 在某公司的一次招聘中，甲的成绩如下表所示（单位；分）．若将材料、笔试和面试的成绩按的比计算平均成绩，则甲的平均成绩为______分． 应试者 材料 笔试 面试 甲的成绩 80 70 90 【答案】 【解析】 【分析】利用加权平均数的计算公式求解即可．本题考查了加权平均数的计算，能够掌握计算公式且准确计算是解决问题的关键． 【详解】解：由题意可得： 平均成绩（分）． 故答案为：． 12. 若点A(-2，-2)在反比例函数的图象上，则当函数值y≥-2时，自变量x的取值范围是_________________ 【答案】x≤-2或x>0 【解析】 【分析】先将点的坐标代入反比例函数的解析式即可求出k的值，然后画出函数图象，利用反比例函数的性质及数形结合的思想即可求出x的取值范围．． 【详解】解：∵点A（−2，−2）在反比例函数的图象上， ∴k＝（−2）×（−2）＝4， ∴反比例函数的解析式为， 其图象如图所示： 由函数图象可知，在第一象限，函数值y都是正数，所以x＞0时，y≥−2；在第三象限，函数值y随x的增大而减小，所以x≤−2时，y≥−2，综上所述，函数值y≥−2时，自变量x的取值范围是x≤−2或x＞0． 故答案为x≤−2或x＞0． 【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数的性质，以及由反比例函数值求自变量，本题关键在于要分两个象限求解x的取值范围． 13. 抛物线的图象如图所示，若将其向左平移2个单位，再向下平移3个单位，则平移后的解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出如图所示的抛物线的解析式，再根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可． 【详解】解：根据题意可知抛物线过点， 把点（3，0）代入y=-x2+2x+c， 得0=-9+6+c，解得c=3． 故原图象的解析式为y=-x2+2x+3，即y=-（x-1）2+4， 将抛物线y=-（x-1）2+4向左平移2个单位，再向下平移3个单位， 得y=-（x-1+2）2+4-3，即y=-x2-2x． 故答案为． 【点睛】本题考查了抛物线解析式的确定及二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握二次函数的性质及图象平移的规律：左加右减，上加下减． 14. 已知，，三点都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征．解决此题的关键是能根据函数的图象理解二次函数，当时，距离对称轴越远的点，函数值越大；当时，距离对称轴越远的点，函数值越小．先确定抛物线的开口方向和对称轴，然后比较三个点距离对称轴的距离，再利用二次函数的性质判断对应函数值的大小． 【详解】解：∵二次函数的图像开口方向向上，对称轴是直线， ∴距对称轴的距离是， 距对称轴的距离是3， 距对称轴的距离是2， ∵， ∴ 故答案为：． 15. 如图，点为反比例函数图象上的一点，连接，过点作的垂线与反比例函数的图象交于点，则的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，作轴，轴，可证明，利用面积比等于相似比的平方解答即可． 【详解】解：作轴，垂足为G，轴，垂足为H， ∵点A在函数图象上，点B在反比例函数图象上， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 16. 如图，已知矩形中，，，双曲线与矩形两边、分别交于、，若将沿直线对折，点落在轴上的点，过点作，垂足为，则的值为________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，相似三角形的性质与判定；根据题意，用含的代数式表示出点和点的坐标，据此表示出的长，再根据相似三角形的判定与性质，用分别表示出和的长，最后建立关于的方程即可解决问题． 【详解】解：四边形是矩形，且，， 点坐标为，点坐标为， 点坐标可表示为，点坐标可表示为， ，，． 由折叠可知，，，， ． 轴， ， ， ， ， ， ， ，． ， ， 解得． 三、解答题（11小题，共82分） 17. 已知，与成正比例，与成反比例，当时，；当时，；求与的函数关系式． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵与成正比例，与成反比例， ∴设，， ∴， ∵当时，；当时，， ∴ ，解得， ∴． 18. 为了响应“阳光体育”的号召，某校八年级（2）班开展了一场1分钟仰卧起坐挑战赛．参赛学生被分为甲、乙两组，每组10人同台竞技．赛后，对两组的成绩进行了收集、整理、描述与分析，部分信息如下所示： 两组成绩（单位：个）统计如下： 甲组：44，32，36，48，32，36，44，30，33，44 乙组：35，38，40，36，38，34，36，33，39，41 甲、乙两组数据的四分位数（单位：个）如表： 组别 甲组 32 36 44 乙组 35 1分钟仰卧起坐箱线图如图所示： 请根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：___________，___________． （2）根据四分位数绘制的箱线图，（填A或B）反映的是甲组的成绩． （3）根据箱线图和对四分位数的理解，判断哪组成绩的方差更大，并说明理由． 【答案】（1）37，39 （2）A （3）甲组的方差更大． 理由：方差反映数据的离散程度，从箱线图和四分位数来看，甲组的极差大于乙组的极差，且甲组的四分位距远大于乙组的四分位距，说明甲组数据更分散，因此甲组的方差更大． 【解析】 【分析】（1）先将乙组数据从小到大排序，再计算出上四分位数和中位数即可； （2）根据箱线图和甲乙两组数据特征分析即可； （3）根据箱线图比较两组数据可知甲组成绩比较分散，即可得出结论． 【小问1详解】 解：方法一：将乙组的成绩从小到大排列为：33，34，35，36，36，38，38，39，40，41， 为第5，6个数的平均数； 为38，38，39，40，41的中位数，； 方法二：将乙组的成绩从小到大排列为：33，34，35，36，36，38，38，39，40，41， ∵， ∴第二四分位数（）为； ∵，不是整数，8是大于7.5的最小整数， ∴第三四分位数是第8个数为； 【小问2详解】 解：甲组的四分位数：，且甲组数据的最大值为48，最小值为30，数据的极差和四分位距都比乙组大，箱线图中A的分布更分散，B更集中，所以A反映的是甲组的成绩； 【小问3详解】 略 19. 如图，抛物线与x轴交于点A、B，顶点且过点C． （1）求抛物线解析式； （2）求三角形的面积． 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数（a，b，c是常数，）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和待定系数法求二次函数解析式． （1）设顶点式，然后把C点坐标代入求出a即可； （2）先解方程得到点A、B的坐标，然后根据三角形的面积公式求解． 【小问1详解】 解：设抛物线的解析式为， 把C代入得到， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 当时，， 解得， ∴， ∴三角形的面积 20. 为了提升“校园餐”的质量，让学生从“吃得饱”向“吃得好”转变，某校主管部门就学生对该校A，B两种营养餐的满意度进行了调查，现分别从吃A，B两种营养餐的学生中各随机抽取8名学生，统计他们对自己所吃的营养餐满意度的评分（满分10分）如下： A：7 8 7 8 9 9 8 8 B：7 7 8 6 5 7 6 10 所抽取的A，B两种营养餐满意度评分统计表： 营养餐 平均数 中位数 众数 方差 A B 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述表格中， ， ； （2）求B种营养餐满意度评分的方差的值； （3）根据表中的数据，你认为哪种营养餐满意度的评分情况更好？并说明理由． 【答案】（1）8；7； （2）2 （3）解：A营养餐满意度的评分情况更好． 理由：A营养餐评分平均数8高于B的平均数7，且A的方差小于B的方差2，说明A营养餐整体评分水平更高，并且评分波动小，结果更稳定． 【解析】 【分析】（1）把A组数据排序，求中间两数平均数得中位数；统计B组出现次数最多的数据得到众数； （2）先计算B组平均数，再代入方差公式计算方差； （3）结合平均数、方差综合分析评判． 【小问1详解】 解：A的评分从小到大排列：7，7，8，8，8，8，9，9， 一共8个数据，中位数为第4、第5个数的平均数， ． B的数据：7、7、8、6、5、7、6、10，数字7出现次数最多， 所以众数． 【小问2详解】 解：B营养餐的平均数为：， ． 【小问3详解】 略 21. 如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限的点和点，过点作轴的垂线，垂足为点，的面积为4． （1）分别求出反比例函数与一次函数的表达式； （2）求的面积． （3）结合图象直接写出中的取值范围． 【答案】（1）， （2）15 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了求反比例函数，一次函数的解析式，反比例函数与几何综合，一次函数与反比例函数的交点问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，根据的面积为4．得出，又因为反比例函数图象在第二、四象限，得出，再分别求出，，最后代入，求解出，即可作答． （2）先求出，再分别把数值代入的面积计算，即可作答． （3）运用数形结合思想，得出符合题意的的取值范围，即可作答． 【小问1详解】 解：∵过点作轴的垂线，垂足为点，的面积为4． ∴ ∴， ∵反比例函数图象在第二、四象限， ∴； ∴； ∵，的面积为4． ∴ 解得， 即， 把代入，得， 解得， ∴； 把和代入， 得 解得 ∴； 【小问2详解】 解：连接，如图所示： 由（1）得，，， 令则， 解得， 则 ∴， 则的面积 ； 【小问3详解】 解：∵， ∴， 依题意，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限的点和点， 则当时，或， 即结合图象当时的取值范围为或， 22. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于、两点（点在点的左侧），交轴于点，连接，，． （1）求抛物线的解析式； （2）当时，的取值范围______； （3）当时，的取值范围______． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求出点C的坐标，得到的长，进一步得到点A和点B的坐标，再利用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）根据抛物线与x的交点坐标及函数图象进行判断即可； （3）求出顶点坐标即函数最大值，求出当和时的函数值，根据二次函数的图象即可得到答案； 此题考查了二次函数的图象和性质、待定系数法求函数解析式等知识，数形结合是解题的关键． 【小问1详解】 解：当时，， ∴点C的坐标是， ∴， ∴， ∴点B的坐标是， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴点A的坐标是， 把点B，点A代入得， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解由抛物线图象可知，当时，则的取值范围是， 故答案为：； 【小问3详解】 解：∵， ∴抛物线的顶点坐标是，对称轴为直线， ∵抛物线开口向下， ∴当时，有最大值4， 当时，， 当时，， ∴当时，的取值范围为， 故答案为： 23. 某校后勤处每周周日均会对学校教室进行消毒处理，已知消毒水的消毒效果随着时间变化如图所示，消毒效果（单位：效力）与时间（单位：分钟）呈现三段函数图像，其中线段段为渐消毒阶段，线段段为深消毒阶段，曲线段是反比例函数图像的一部分，为降消毒阶段．请根据图中信息解答下列问题： （1）第6分钟时消毒效果为 效力； （2）当时，求与之间的函数关系式； （3）若消毒效果持续28分钟达到4效力及以上，可产生消毒作用，通过计算说明本次消毒是否有效． 【答案】（1） （2）当时，与之间的函数关系式为，当时， （3）消毒有效 【解析】 【分析】（1）求出线段的解析式，代入，即可求出第6分钟时消毒效果． （2）代入点B、C的坐标，即可求出线段的解析式． （3）先求出深消毒阶段消毒效果达到4效力时的时间，再求出降消毒阶段消毒效果达到4效力时的时间，用降消毒阶段消毒效果达到4效力时的时间减去深消毒阶段消毒效果达到4效力时的时间，与28分钟比较，比28分钟长则有效，反之无效．渐消毒阶段没有达到4效力，不做分析． 【小问1详解】 解：根据图像知，线段过点B， 设线段的解析式为（）， 代入点B得到线段解析式： ，解得， ∴线段解析式： ， ∴当6分钟时，为（效力）． 【小问2详解】 解：当时， 设直线的函数关系式为，结合和， 根据题意，得，解得，所以． 根据题意，得反比例函数经过点， 当时， 设反比例函数的解析式为，故， 解得，故， ∴当时，与之间的函数关系式为，当时，． 【小问3详解】 解：根据解析式为，， 当时，； 当时，； 持续时长为， 故本次消毒有效． 24. 如图，抛物线与轴相交于点，，与轴相交于点C． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若点为该抛物线对称轴上的一个动点，当时，求点的坐标； （3）点为该抛物线上的一点，连接，，当时，求点的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数的解析式，直角三角形的性质，利用方程的思想解决问题是解本题的关键． （1）根据点，利用待定系数法解出抛物线的函数表达式，即可求出答案； （2）设出点的坐标，利用建立方程求解，即可求出答案； （3），利用等腰直角三角形的性质，得代入数值进行计算，即可求出答案． 【小问1详解】 解：把点，代入， 得 解得， ∴， 【小问2详解】 解：抛物线的对称轴为直线， 点为该抛物线对称轴上， 设， ，， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：由（1）知，，， ， 设， 当时， 当M在y轴右侧时，如图，过点作轴于，则， ， ， ， ， ， ， ， （不符合题意，舍去）或， 当M在y轴左侧时，由于， 故，此时不存在符合题意的点M， . 25. 如图，中，，，，，反比例函数，）的图象与交于点，与交于点E． （1）求m，k的值； （2）点P为反比例函数，）图象上一动点（点P在D、E之间运动，不与D、E重合），过点P作，交y轴于点M，作轴，交于点N，连接，求面积的最大值，并求出此时点P的坐标． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数k值的几何意义，反比例函数图像上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质，熟练掌握二次函数顶点式求最值是关键． （1）根据条件先求出点B坐标，再利用待定系数法求出直线解析式，将D坐标代入两个函数解析式得到m、k的值． （2）延长交y轴于点Q，交于点L．先设点P的坐标为，求出，再利用三角形面积列出函数解析式，利用最值求出t和面积最大值及点P坐标即可． 【小问1详解】 解：，， , 又， ， ， ∴点, 设直线的函数表达式为， 将，代入， 得， 解之得：， ∴直线的函数表达式为， 将点代入中得：， ∴点D的坐标为, 将代入中得：． 【小问2详解】 解：延长交y轴于点Q，交于点L． ，， ， 轴， ，, ， ， ， ∴ , 设点P的坐标为，则点N的坐标为, ，，, ∴， 当时，, ∴当时，的最大面积为2，此时点P的坐标． 26. 城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系，对两点和，用以下方式定义两点间距离：．（其中均为坐标原点） 【数学理解】 （1）①已知点，则______，②函数的图象如图①所示，是图象上一点，，则点的坐标是__________； （2）函数的图象如图②所示，求证：该函数的图象上不存在点，使． （3）函数的图象如图③所示，是图象上一点，求的最小值及对应的点的坐标． 【答案】（1）①3；② （2） 证明：设， ∴， ∴，整理得，， ∴， ∴原方程无解， ∴反比例函数 的图象上不存在点，使得； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查定义新运算，一次函数图象的性质，反比例函数的性质，二次函数图象的性质，掌握以上图象的性质，两点之间距离的计算方法是，根与系数的关系，解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）①根据材料提示即可求解；②根据题意，设，结合材料提示进行计算即可求解； （2）根据题意，设，可得的表达式，根据一元二次方程根与系数的关系即可求解； （3）根据根的判别式可得二次函数在轴上方，即恒大于零，结合材料表示出的式子，结合二次函数最值的计算方法即可求解． 【小问1详解】 解：①根据材料提示得，； ②， 设， ∴， ∴， 解得，， ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：二次函数， ∴， ∴二次函数与轴无交点， ∵点在二次函数图象上， ∴设， ∴，整理得，， ∴当时，的最小值为， ∴． 27. 在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，在轴上，点的坐标为．反比例函数的图象经过的中点，与交于点． （1）求的值； （2）点是图象上一点． ①如图1，若点在矩形的内部，轴，垂足为点，连接，，若的面积为2，求点的坐标； ②如图2，作直线，连接，在上方作，过点作的垂线，交于点，当点落在直线上时，求点的坐标． 【答案】（1） （2）①点的坐标为；②点的坐标为 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数综合（矩形性质、三角形面积、一次函数解析式、相似三角形判定与性质、坐标变换），解题的关键是利用中点求出点坐标确定反比例函数参数；借助铅垂高建立面积方程求解动点坐标；利用等角条件得到正切值相等构造相似三角形完成坐标转化，最后代入反比例函数列方程求解． （1）先根据矩形以及中点性质求出点D坐标，代入反比例函数解析式求得k的值； （2）①设出动点P坐标，确定铅垂高，由三角形面积公式列方程求解； ②先求出直线解析式，设点M坐标，由得到正切比值，证明，利用相似得到点P关于n的坐标表达式，再代入反比例函数解方程求出参数，舍去不合理解，得到点P坐标． 【小问1详解】 解：四边形是矩形，点的坐标为，点为的中点， 点的坐标为， 将点代入反比例函数，得， 反比例函数的表达式为． 【小问2详解】 解：①设点的坐标为，轴，点在矩形的内部，在上， 则，边上的高为， ， ． 点的坐标为． ②如图，过点作轴，垂足为点，过点作轴，垂足为点． 设直线的表达式为， 将，代入，得，解得， 直线的表达式为． 由题意，设点的坐标为，， 则，． ， ，即． ，， ． 又， ， ， ，， 点的坐标为． 是反比例函数图象上一点， ， 解得（舍去），， 将代入， 得点的坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $