精品解析： 山东省威海乳山市（五四制）2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题

初四数学 亲爱的同学： 你好！答题前，请仔细阅读以下说明： 1．本试卷分第Ⅰ卷、第Ⅱ卷两部．第Ⅰ卷为选择题，第Ⅱ卷为非选择题，考试时间120分钟． 2．不允许使用计算器． 3．本次考试另设10分卷面分． 希望你能愉快地度过这120分钟，祝你成功！ 第Ⅰ卷（选择题，共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分） 1. 二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 在中，∠C=90°，，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 已知是反比例函数，则m的值为（ ） A. 0 B. C. 1 D. 或1 4. 如图所示，河堤横断面迎水坡的坡比是，堤高，则坡面的长度是（ ） A. 8 B. 16 C. D. 5. 双曲线和在第二象限内的图象如图所示，过上任意一点A作y轴的平行线交于点B．若，则的解析式是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，AB是斜靠在墙上的长梯，AB与地面夹角为α，当梯顶A下滑1m到A′时，梯脚B滑到B′，A'B'与地面的夹角为β，若tanα＝，BB'＝1m，则cosβ＝（ ） A. B. C. D. 7. 广场有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管喷出，长为．水流在各个方向上沿抛物线路径落到水池．某方向上抛物线路径的形状如图所示，已知落点B到点O的距离为．建立如图所示的平面直角坐标系，水流喷出的高度与水平距离之间满足函数关系，则水流喷出的最大高度是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，鱼竿的长为．露在水面上的鱼线的长为，将鱼竿逆时针转动到的位置，此时露在水面上的鱼线的长度是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，直线y＝与双曲线y＝(x＞0)交于点A，将直线y＝向右平移3个单位后，与双曲线y＝(x＞0)交于点B，与x轴交于点C，若A点到x轴的距离是B点到x轴的距离的2倍，那么k的值为( ) A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 10. 如图，在等腰中，，，点为斜边的中点，点，分别从，两点同时出发，以的速度沿，方向运动，到达点，时停止运动．设两点的运动时间为，的面积为，则与的关系可用图象表示为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，只要求填出最后结果） 11. 若一个三角形三条边长的比为，则最小角的余弦值是_______． 12. 在反比例函数的图象上有两点，当时，有，则k的取值范围是_____． 13. 如图，是抛物线拱桥的示意图．该抛物线的表达式为，为保护拱桥安全，要在距水面高度为的拱桥上的点，处安装两盏警示灯，则这两盏灯间的水平距离是______． 14. 一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点．若，则x的取值范围是________． 15. 如图，竖直放置的旗杆在某一时刻的影子恰好落在斜坡的处．已知此时1米高的竹杆的影长为，测得为，为，斜坡与地面成角，则旗杆的高度为________． 16. 如图， 和 都是等腰直角三角形， 过点 作 交反比例函数 于点 过点 作 于点 若 则的值为___________． 三、解答题（本大题共8小题，共72分，写出必要的运算、推理过程） 17. 计算：． 18. 如图，函数的图象与函数的图象相交于点A，与x轴交于点C，． （1）求k的值； （2）点D在线段上，若，则的面积为 ．（直接写结果） 19. 水果店销售樱桃，已知樱桃的进价为元/千克，若售价为元/千克，则每天可售出千克；若售价为元/千克，则每天可售出千克．经调查发现：每天的销售量（千克）与售价（元/千克）之间存在一次函数关系．若规定樱桃的售价不得高于元/千克，售价定为多少元时，水果店每天销售樱桃所获的利润最大？最大利润是多少元？ 20. 小明和小亮两人玩荡秋千，如图为荡秋千时的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线上，荡秋千的起始位置为，终点为，点距离地面为，秋千位于时，安全链与铅垂线夹角为，安全链． （1）求点A到地面的距离； （2）当小明用力将小亮从C处推出后到最高点D处，此时，求点D到地面的距离．（结果精确到，参考数据：，，） 21. 如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，且，点为线段上一动点（不与点重合），过点作矩形，点在轴上，点，在抛物线上． （1）求抛物线的解析式； （2）当矩形的周长最大时，求矩形的面积． 22. 【信息阅读】关于三角函数有如下公式： ； ； ． 【解决问题】利用上述公式解决问题： （1）求的值； （2）如图，建筑物前方有一个水塘，点B，D，C在同一直线上，，在C，D处测得建筑物顶端A的仰角分别为．求水塘的宽度．（结果保留根号） 23. 如图，抛物线与直线y=kx+2交于点A（﹣2，0），点B． （1）求点B的坐标； （2）点M是直线AB上一动点，其横坐标为m．将点M向下平移2个单位长度得到点N，若线段MN与抛物线有公共点，求m的取值范围． 24. 如图，矩形的顶点C，A分别在x轴、y轴的正半轴上，点B的坐标为，反比例函数的图象经过的中点D，与交于点E，连接，，． （1）直接写出结果： ，点E的坐标为 ； （2）点M是y轴正半轴上一点，若，求点M的坐标； （3）点P为x轴上一点，点Q为反比例函数图象上一点，是否存在点P，Q，使得以点P，Q，D，E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初四数学 亲爱的同学： 你好！答题前，请仔细阅读以下说明： 1．本试卷分第Ⅰ卷、第Ⅱ卷两部．第Ⅰ卷为选择题，第Ⅱ卷为非选择题，考试时间120分钟． 2．不允许使用计算器． 3．本次考试另设10分卷面分． 希望你能愉快地度过这120分钟，祝你成功！ 第Ⅰ卷（选择题，共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分） 1. 二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，配方即可得到顶点坐标． 【详解】解：，则顶点坐标为， 故选：A． 2. 在中，∠C=90°，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作出图形，设，，利用勾股定理列式求出，再根据锐角的正弦定义求解即可． 【详解】解：如图， ，设，， 由勾股定理得，， ． 故选A． 【点睛】本题考查了互余两角三角函数的关系，利用“设法”表示出三角形的三边求解更加简便． 3. 已知是反比例函数，则m的值为（ ） A. 0 B. C. 1 D. 或1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的定义．根据反比例函数的定义的形式，可得，由此即可求解． 【详解】解：根据题意可得，， 解得， 故选：B． 4. 如图所示，河堤横断面迎水坡的坡比是，堤高，则坡面的长度是（ ） A. 8 B. 16 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据坡比求出AC的长度，然后根据勾股定理求出AB的长度． 【详解】解：∵迎水坡AB的坡比是1：2， ∴BC：AC＝1：2， ∵BC＝4m， ∴AC＝8m， 则（m）． 故选：C． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据坡比构造直角三角形，利用三角函数和勾股定理的知识求解． 5. 双曲线和在第二象限内的图象如图所示，过上任意一点A作y轴的平行线交于点B．若，则的解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了反比例系数k的几何意义，解答本题的关键是熟练掌握反比例系数k的几何意义：从反比例函数图象上一点向坐标轴作垂线段，再与这一点与原点的连线段与坐标轴围成的三角形的面积不变，均等于． 先根据反比例系数k的几何意义得到，，再结合从而得到结果． 【详解】解：如图所示，延长交x轴于点C ∵轴 ∴轴 设的解析式为 ∵点B在双曲线上 ∴ ∵点A在双曲线上 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴的解析式是． 故选：D． 6. 如图，AB是斜靠在墙上的长梯，AB与地面夹角为α，当梯顶A下滑1m到A′时，梯脚B滑到B′，A'B'与地面的夹角为β，若tanα＝，BB'＝1m，则cosβ＝（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】在直角△ABC中，由tanα＝，可设AC＝4x， BC＝3x，根据勾股定理求出AB＝5x，那么A′B′＝AB＝5x．在直角△A′B′C中，根据勾股定理列出方程(4x﹣1)2＋(3x＋1)2＝(5x)2，求出x＝1，然后利用余弦函数的定义即可求解． 【详解】解：如图． ∵在直角△ABC中，∠ACB＝90°，tanα＝， ∴可设AC＝4x， BC＝3x， ∴AB＝＝5x， ∴A′B′＝AB＝5x． ∵在直角△A′B′C中，∠A′CB′＝90°，A′C＝4x﹣1，B′C＝3x＋1， ∴(4x﹣1)2＋(3x＋1)2＝(5x)2， 解得x＝1， ∴A′C＝3，B′C＝4，A′B′＝5， ∴cosβ＝． 故选：A． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，关键是把实际问题转化为数学问题加以计算． 7. 广场有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管喷出，长为．水流在各个方向上沿抛物线路径落到水池．某方向上抛物线路径的形状如图所示，已知落点B到点O的距离为．建立如图所示的平面直角坐标系，水流喷出的高度与水平距离之间满足函数关系，则水流喷出的最大高度是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际进行求解． 由题意可得，抛物线经过点和，把上述两个点坐标代入二次函数表达式，可求出a和c的值，则抛物线的解析式可求出，再把抛物线解析式化为顶点式即可求出水流喷出的最大高度． 【详解】解：由题意可得，抛物线经过点和， 把上述两个点坐标代入二次函数表达式得： ， 解得：， ∴函数表达式为：， ∵， ∴函数有最大值， ∴当时，y取得最大值，此时， 即水流喷出的最大高度为． 故选：B． 8. 如图，鱼竿的长为．露在水面上的鱼线的长为，将鱼竿逆时针转动到的位置，此时露在水面上的鱼线的长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，先求出，进而求出，通过解即可得出的长． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴． 由旋转得， ∴， 解得：． 故选：C． 9. 如图，直线y＝与双曲线y＝(x＞0)交于点A，将直线y＝向右平移3个单位后，与双曲线y＝(x＞0)交于点B，与x轴交于点C，若A点到x轴的距离是B点到x轴的距离的2倍，那么k的值为( ) A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】先利用直线平移概率得到直线y＝x向右平移3个单位后所得直线解析式y＝x﹣，再利用反比例函数图象上点的坐标特征设则把它们分别代入两直线解析式中，然后解关于k、t的方程组即可． 【详解】解：直线y＝x向右平移3个单位后所得直线解析式为y＝(x﹣3)，即y＝x﹣，设则 把代入y＝x得 即k＝t2， 把代入y＝x﹣得，则 所以解得t1＝0(舍去)，t2＝， 所以k＝×()2＝6． 故选A． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了待定系数法求函数解析式． 10. 如图，在等腰中，，，点为斜边的中点，点，分别从，两点同时出发，以的速度沿，方向运动，到达点，时停止运动．设两点的运动时间为，的面积为，则与的关系可用图象表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了动点问题与函数图象及二次函数图像性质．首先连接，过点作、，得到，用含的代数式把、表示出来，根据三角形的面积公式得到，从而可以判断函数图像是抛物线，再根据运动的速度和距离求出的取值范围，从而可得函数图像． 【详解】解：如下图所示，连接，过点作、， ，，点为斜边的中点， ，， ， ， 同理可得：， 点、运动的时间为， ， ， ， ， ， 由图可知 ， 与的函数关系式是， 整理得：， ，运动速度为， ， ， 当时，， 与的关系用图像表示应是开口向上，对称轴为，且在范围内的一段抛物线． 故选：B． 第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，只要求填出最后结果） 11. 若一个三角形三条边长的比为，则最小角的余弦值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边；本题首先根据三角形三边的比可以判断三角形是直角三角形，再由大边对大角，小边对小角，根据三角函数的定义求解. 该题关键是通过三边的比判断出该三角形为直角三角形． 【详解】解：三角形三边之比，， 这个三角形是直角三角形， 如下图所示， 根据大边对大角可知：最小， 故答案为： ． 12. 在反比例函数的图象上有两点，当时，有，则k的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的性质．首先根据当时，有则判断函数图象所在象限，再根据所在象限判断的取值范围． 【详解】解：时，， 反比例函数图象在第一，三象限， ， 解得：． 故答案为：． 13. 如图，是抛物线拱桥的示意图．该抛物线的表达式为，为保护拱桥安全，要在距水面高度为的拱桥上的点，处安装两盏警示灯，则这两盏灯间的水平距离是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数在实际生活中的应用．首先根据点距水面高度为，可得方程，解方程求出点、的横坐标，利用坐标计算得到的长度． 【详解】解：点距水面高度为， ， 整理得：， 解得：， 点的坐标为，点的坐标为， ． 故答案为： ． 14. 一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点．若，则x的取值范围是________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握反比例函数和一次函数的图象和性质，学会利用图象法解不等式是解题的关键．令，得到一次函数与反比例函数的交点坐标，画出和的图象，利用图象法，写出反比例函数的图象在一次函数的图象上方对应的x取值范围即可． 【详解】解：令，则， 解得：， ， 如图，画出和的图象， 当，即反比例函数的图象在一次函数的图象上方， 由图象可得：或． 故答案为：或． 15. 如图，竖直放置的旗杆在某一时刻的影子恰好落在斜坡的处．已知此时1米高的竹杆的影长为，测得为，为，斜坡与地面成角，则旗杆的高度为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，平行投影，理解1米高的竹杆的影长为是解答关键． 延长交的延长线于，根据1米高的竹杆的影长为求出，利用锐角三角函数值的求出得到，进而得到，再利用来求解． 【详解】解：延长交的延长线于，如图 米的杆影恰好为米， ． 四边形是矩形， （米），． 在中 ，（米），， （米）， （米）， （米），（米）， （米）． 故答案为：． 16. 如图， 和 都是等腰直角三角形， 过点 作 交反比例函数 于点 过点 作 于点 若 则的值为___________． 【答案】6 【解析】 【分析】过A点作AM⊥y轴于点M，可得四边形AMDC是矩形，即有MD=AC，AM=DC，设A点坐标为(m,n)，即，根据△ABC和△BOD都是等腰直角三角形，AC=BC，DO=BD，根据A点坐标，有OM=n，DC=m，可得DO+AC=n，DO-AC=m，△ABC和△BOD都是等腰直角三角形，即，，根据，可得，即有，则问题得解． 【详解】过A点作AM⊥y轴于点M，如图， 结合AC⊥BD，△BOD是等腰直角三角形，可得四边形AMDC是矩形， 即有MD=AC，AM=DC， 设A点坐标为(m,n)， ∵A点在反比例函数上， ∴，即， ∵△ABC和△BOD都是等腰直角三角形，AC⊥BD， ∴∠ACB=90°=∠BDO，AC⊥x轴， ∴AC=BC，DO=BD， ∵A点坐标为(m,n)， ∴OM=n，DC=m， ∴DO=OM-OD=n-AC， ∴DO+AC=n，DO-AC=BD-BC=DC=m， ∵△ABC和△BOD都是等腰直角三角形，∠ACB=90°=∠BDO， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∵DO-AC=m，DO+AC=n， ∴， ∵， ∴， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，矩形的判定与性质，等腰直角三角形的性质以及三角形的面积公式等知识，根据，得到，是解答本题的关键． 三、解答题（本大题共8小题，共72分，写出必要的运算、推理过程） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了锐角三角函数值的混合运算．代入特殊角的三角函数值，再进行二次根式的混合运算即可． 【详解】解： ． 18. 如图，函数的图象与函数的图象相交于点A，与x轴交于点C，． （1）求k的值； （2）点D在线段上，若，则的面积为 ．（直接写结果） 【答案】（1） （2）5 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，用待定系数法求反比例函数的解析式，三角形的面积，能求出A点的坐标是解此题的关键． （1）先求出C点的坐标，根据三角形的面积公式求出，求出A点的坐标，再求出答案即可； （2）根据已知得出的面积，代入求出即可． 【小问1详解】 解：对于， 当时，， 即，C点的坐标是， 过A作轴于M， ∵， ∴， 解得：， 即A点的纵坐标是6， 把代入得：， 即A点的坐标是， 把A点的坐标代入得：； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴ ∵， ∴的面积． 故答案为：5． 19. 水果店销售樱桃，已知樱桃的进价为元/千克，若售价为元/千克，则每天可售出千克；若售价为元/千克，则每天可售出千克．经调查发现：每天的销售量（千克）与售价（元/千克）之间存在一次函数关系．若规定樱桃的售价不得高于元/千克，售价定为多少元时，水果店每天销售樱桃所获的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】元；元 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用．首先根据每天的销售量（千克）与售价（元/千克）之间存在一次函数关系，求出一次函数的解析式，然后再根据：利润销量每千克的利润，得到总利润与销售单价之间的函数关系为，根据二次函数的性质求出最大利润． 【详解】解：设与之间的函数关系式为， 当时，，当时，， 可得：， 解得：， 与之间的函数关系式为， 设每天获利元． 则有， 整理得：， ， 抛物线开口向下， 又对称轴为， 在时，随的增大而增大． 时，． 答：售价为元时，每天获利最大为元． 20. 小明和小亮两人玩荡秋千，如图为荡秋千时的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线上，荡秋千的起始位置为，终点为，点距离地面为，秋千位于时，安全链与铅垂线夹角为，安全链． （1）求点A到地面的距离； （2）当小明用力将小亮从C处推出后到最高点D处，此时，求点D到地面的距离．（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键． （）过点作，解直角三角形，求出，即可求解； （）过点作，解直角三角形，求出，根据即可求解； 【小问1详解】 解：由题意可得， 过点作， 在中， ， ， ， ， ∴点到地面的距离为； 【小问2详解】 解：过点作， ， ， 在中， ， ∴， ， ， ∴． 21. 如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，且，点为线段上一动点（不与点重合），过点作矩形，点在轴上，点，在抛物线上． （1）求抛物线的解析式； （2）当矩形的周长最大时，求矩形的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求解析式，矩形的性质，函数思想求最大值； （1）先求出点的坐标，由，可推出点坐标，将点坐标代入可求出的值，即可写出抛物线的解析式； （2）设点，用含的代数式表示出矩形的周长，用函数的思想求出取其最大值时的值，即求出点的坐标，进一步可求出矩形的面积； 解题关键是用含的代数式表示出矩形的周长并用函数的思想求最大值． 【小问1详解】 解：在抛物线中， 当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 将代入，得：， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 设， ∵抛物线的解析式为， ∴抛物线对称轴为直线， ∵四边形为矩形， ∴，，， ∴， ∴点到对称轴的距离为，点到轴的距离为：， 由抛物线的对称性可得， ∴矩形的周长为：， 即， ∵， ∴当时，矩形周长存在最大值， 此时， ∴，， ∴， ∴矩形的面积为． 22. 【信息阅读】关于三角函数有如下公式： ； ； ． 【解决问题】利用上述公式解决问题： （1）求的值； （2）如图，建筑物前方有一个水塘，点B，D，C在同一直线上，，在C，D处测得建筑物顶端A的仰角分别为．求水塘的宽度．（结果保留根号） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了特殊角三角函数值的混合计算，解直角三角形的实际应用： （1）根据，再结合公式计算求解即可； （2）先求出，再解求出的长，再利用公式求出的值，进而解直角三角形求出的长，进而求出的长即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴ ； 【小问2详解】 解：由题意得，， ∴， 在中，， ∵ = ， ∴在中，， ∴ 答：水塘的宽度为． 23. 如图，抛物线与直线y=kx+2交于点A（﹣2，0），点B． （1）求点B的坐标； （2）点M是直线AB上一动点，其横坐标为m．将点M向下平移2个单位长度得到点N，若线段MN与抛物线有公共点，求m的取值范围． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】将点分别代入和代， 求出抛物线和直线的解析式，解方程组求出点的坐标； 因为点在直线上，且点在直线下方，所以可知当点在点的左侧或点的右侧时，线段与抛物线没有公共点，点一定在点的右侧、点的左侧，然后分点在、之间、在、之间、在、之间三种情况讨论． 【小问1详解】 解：将点代入， 可得：， 解得：， 抛物线的表达式为； 将点代入， 可得：， 解得： 可求得直线的表达式为； 解方程组， 可得：或， 点的坐标是 ∴点的坐标为； 【小问2详解】 如下图所示， 设抛物线的顶点为，直线与抛物线对称轴的交点为，与轴的交点为， 当点在点的左侧或点的右侧时， 线段与抛物线没有公共点， 在中，令，则， 点的坐标为， 即， 可求得点的坐标为， 当时，， 点的坐标为， ， 当点在点，之间时，线段与抛物线没有公共点． 线段与抛物线有公共点时，的取值范围为或． 【点睛】本题考查了二次函数综合应用，待定系数法求二次函数解析式及一次函数解析式，二次函数与一次函数的交点问题，解题关键是利用数形结合思想分类讨论点在不同位置时，与抛物线的相交情况．利用待定系数法求出抛物线的解析式及直线的解析式，进而求出抛物线顶点坐标，点的坐标，再分类讨论点的位置情况，分析与抛物线的相交情况即可． 24. 如图，矩形的顶点C，A分别在x轴、y轴的正半轴上，点B的坐标为，反比例函数的图象经过的中点D，与交于点E，连接，，． （1）直接写出结果： ，点E的坐标为 ； （2）点M是y轴正半轴上一点，若，求点M的坐标； （3）点P为x轴上一点，点Q为反比例函数图象上一点，是否存在点P，Q，使得以点P，Q，D，E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）4， （2） （3）存在；或 【解析】 【分析】（1）根据四边形是矩形得到轴，轴，结合点B的坐标为得到点A坐标，从而得到，再利用待定系数求出反比例函数解析式，进而求出点E的坐标即可即可； （2）设点，根据三角形面积关系列式求解即可得到答案； （3）设点，根据平行四边形对角线互相平分，分类讨论对角线表示出点Q，代入解析式求解即可得到答案； 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ∴轴，轴， ∵点B的坐标为， ∴， ∵D是的中点， ∴， ∵反比例函数的图象经过点D， ∴， 解得：， ∴反比例函数解析式为， 在中，当时，， ∴； 【小问2详解】 解：设点， ∵，，， ∴，， 当的面积等于的面积时，， 解得：， ∴； 【小问3详解】 解：设点， ∵点P，Q，D，E为顶点的四边形为平行四边形， ∴当以为对角线时， ， ∴， ∵点Q在反比例的图象上， ∴，解得：， ∴； 当以为对角线时， ， ∴， ∵点Q在反比例的图象上， ∴，解得：， ∴； 当以为对角线时， ，， 即， ∵点Q在反比例的图象上， ∴，解得：， ∴，与点E重合，不符合题意舍去； 综上所述：存在使得以点P，Q，D，E为顶点的四边形为平行四边形，点Q的坐标为或； 【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何综合，平行四边形的性质，矩形的性质，求反比例函数解析式等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $