海南省海南中学2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷

2024-2025学年海南省海南中学九年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.的倒数是(    ) A. B. 2024 C. D. 2.若代数式的值为3，则x等于(    ) A. 4 B. C. 2 D. 3.10月8日，海南日报全媒体记者从海南省旅游和文化广电体育厅获悉，2024年国庆假期月1日至7日，全省共接待游客万人次，将4133200用科学记数法表示为(    ) A. B. C. D. 4.某班的5名同学1分钟跳绳的成绩单位：次分别为：179，130，192，158，这组数据的中位数是(    ) A. 130 B. 158 C. 160 D. 192 5.下列美术字中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    ) A. B. C. D. 6.下列计算正确的是(    ) A. B. C. D. 7.下列数中，能使不等式成立的x的值为(    ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8.若，则估计m的值所在范围是(    ) A. B. C. D. 9.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点C的坐标为以OA，OC为边作矩形若将矩形OABC绕点O顺时针旋转，得到矩形，则点的坐标为(    ) A. B. C. D. 10.如图，将一块含有的直角三角板的顶点放在直尺的一边上，若，那么的度数是(    ) A. B. C. D. 11.如图，AB是半圆O的直径，C为半圆O上一点，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交BA于点M，交BC于点N，分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点D，画射线BD，连接若，则的度数是(    ) A. B. C. D. 12.如图，在矩形ABCD中，，，E是BC的中点，将沿直线AE翻折，点B落在点F处，连接CF，则的值为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 13.因式分解：______. 14.已知点和点是一次函数图象上的点，则______填“<”或“>”或“=” 15.如图，在中，AE是直径，半径OC垂直于弦AB于D，连接BE，若，，则BE的长是______. 16.如图，在菱形ABCD中，，，AC是一条对角线，E是AC上一点，过点E作，垂足为F，连接若，则CE的长为______， DE的长为______. 三、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题12分 计算：； 先化简，再求值：，其中 18.本小题10分 我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子却量竿，却比竿子短一托”其大意为：现有一根竿和一根绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．求绳索长和竿长． 19.本小题10分 为了提高某城区居民的生活质量，政府将改造城区配套设施，并随机向某居民小区发放调查问卷人只能投1票，共有休闲设施，儿童设施，娱乐设施，健身设施4种选项，一共调查了a人，其调查结果如下： 如图，为根据调查结果绘制的扇形统计图图和条形统计图图，请根据统计图回答下面的问题： 调查总人数______人； 扇形统计图中，“娱乐”所占的圆心角是______； 若该城区共有10万居民，则其中愿意改造“休闲设施”的约有______人； 改造完成后，该政府部门向甲、乙两小区下发满意度调查问卷，其结果分数如下： 顶目 小区 休闲 儿童 娱乐 健身 甲 7 7 9 8 乙 8 8 7 9 若以1：1：1：1进行考核，______小区满意度分数更高；若以1：1：2：1进行考核，______小区满意度分数更高. 20.本小题10分 如图，为了测量某电子厂的高度，小明用高的测量仪EF测得顶端A的仰角为，小军在小明的前面5m处用高的测量仪CD测得顶端A的仰角为参考数据：，， ______度，______度，______米； 电子厂AB的高度为多少米？ 21.本小题15分 如图1，已知抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C，N为抛物线的顶点，P为抛物线上的一个动点. 求抛物线的表达式； 求四边形ACNB的面积； 在抛物线上是否存在点P，使是直角三角形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 如图2，点P在直线BC下方的抛物线上，连接AP交BC于点M，是否有最大值？若有，请求出的最大值；若没有，请说明理由. 22.本小题15分 在矩形ABCD中，，E，F分别在AB，BC上. 若， ①如图1，求证：≌； ②如图2，点G为CB延长线上一点，DE的延长线交AG于H，若，求证：； 如图3，若E为AB的中点，，求的值结果用含n的式子表示 答案和解析 1.【答案】C  【解析】解：的倒数是， 故选： 根据题意利用倒数定义即可得出本题答案． 本题考查倒数定义，解题的关键是掌握倒数的定义． 2.【答案】C  【解析】解：由题意得， 解得 故选： 由题意易得一元一次方程，解方程即可求解． 本题主要考查解一元一次方程，代数式求值，掌握解一元一次方程的步骤是关键． 3.【答案】B  【解析】解： 故选： 科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 4.【答案】B  【解析】解：先将上述数据按照从小到大的顺序排列：130，141，158，179，192， 这组数据的中位数是158， 故选： 先将上述数据按照从小到大的顺序排列，根据中位数的定义可知：第3位的数据是中位数． 本题考查的是中位数，熟练掌握中位数的相关定义和计算方法是解题的关键． 5.【答案】D  【解析】解：是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不合题意； B.是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不合题意； C.是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不合题意； D.既是轴对称图形又是中心对称图形．故本选项符合题意． 故选： 根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，绕对称中心旋转180度后与原图重合． 6.【答案】D  【解析】解：与不能合并，故本选项不合题意； B.，故本选项不合题意； C.，故本选项不合题意； D.，正确． 故选： 分别根据同底数幂的乘法法则，同底数幂的除法法则，合并同类项法则以及积的乘方运算法则逐一判断即可． 本题主要考查了同底数幂的乘除法，合并同类项以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键． 7.【答案】A  【解析】解：解不等式， 得 故选： 先求解不等式，再确定满足不等式的选项． 本题考查了一元一次不等式的解法．会求解一元一次不等式是解决本题的关键． 8.【答案】C  【解析】【分析】 此题主要考查的是无理数的估算的知识，掌握无理数的估算的方法是解答此题的关键．先判断，进而得出的范围即可. 【解答】 解：， ， 故选 9.【答案】C  【解析】解：点A的坐标为，点C的坐标为， ，， 四边形ABCO是矩形， ， 将矩形OABC绕点O顺时针旋转，得到矩形， ，， 点的坐标为 故选： 根据题意得到，，根据矩形的性质得到，根据旋转的性质得到，，于是得到点的坐标为 本题考查了矩形的性质，坐标与图形变化-旋转，熟练掌握矩形的性质和旋转的性质是解题的关键． 10.【答案】D  【解析】解：如图， 因为，， 所以， 因为， 所以， 所以 故选： 根据题意可求得，由平行线的性质可得，再利用邻补角即可求的度数． 本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同位角相等． 11.【答案】C  【解析】解：是半圆O的直径， ， ， ， 由题意得，BD为的平分线， 故选： 由圆周角定理得到，由直角三角形的性质得到，根据角平分线的定义即可求得答案． 本题主要考查尺规作图，圆周角定理，熟练掌握角平分线的作图步骤以及圆周角定理是解答本题的关键． 12.【答案】C  【解析】【分析】 本题考查了矩形的性质，勾股定理，翻折变换的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的外角性质，三角函数的定义；熟练掌握矩形的性质和翻折变换的性质，证出是解决问题的关键． 由矩形的性质得出，由勾股定理求出AE，由翻折变换的性质得出≌，得出，，因此，由等腰三角形的性质得出，由三角形的外角性质得出，，即可得出结果． 【解答】 解：如图，四边形ABCD是矩形， ， 是BC的中点，， ， ， 由翻折变换的性质得：≌， ，， ， ， ， ， 故选： 13.【答案】  【解析】解：原式， 故答案为： 原式提取x即可得到结果． 此题考查了因式分解-提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键． 14.【答案】<  【解析】解：一次函数解析式为，， 该一次函数的函数值随x的增大而减小， ， ， 故答案为： 根据一次函数的增减性求解即可． 本题主要考查了一次函数的函数值比较大小，熟知一次函数的增减性是解题的关键． 15.【答案】6  【解析】解：半径OC垂直于弦AB， ， 在中，，即， 解得， ， ，， ， 故答案为：6 根据垂径定理求出AD，根据勾股定理列式求出OD，根据三角形中位线定理计算即可． 本题考查的是垂径定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键． 16.【答案】  【解析】解：如图，连接BD交AC于点 四边形ABCD是菱形， ，，， ，都是等边三角形， ， ， ，， ， ， ， ，， ，， ， 故答案为：2， 如图，连接BD交AC于点求出OD，OE，再利用勾股定理求解． 本题考查菱形的性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 17.【答案】解： ； ， 当时，原式  【解析】先化简，然后合并同类二次根式和同类项即可； 根据单项式乘多项式和平方差公式将题目中的式子展开，然后合并同类项，再将x的值代入化简后的式子计算即可． 本题考查整式的混合运算-化简求值、实数的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 18.【答案】解：设绳索长x尺，竿长y尺， 依题意，得：， 解得： 答：绳索长20尺，竿长15尺．  【解析】设绳索长x尺，竿长y尺，根据“用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 本题考查了二元一次方程组的应用以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 19.【答案】乙  甲  【解析】解：①由题意得，， 故答案为：100； ②样本中“娱乐”的人数人， “娱乐”所占的圆心角的度数为：， 故答案为：； ③人， 答：该城区10万名居民中愿意改造“娱乐设施”的约有30000人； 故答案为：30000； ④按照1：1：1：1进行考核，甲：分，乙：分，因此乙的较好， 按照1：1：2：1进行考核，甲：分，分，因此甲的较好， 故答案为：乙，甲． ①用“健身”的人数除以它所占百分比之和可得样本容量a； ②求出“娱乐”的人数，再进行计算即可； ③用总人数乘样本中愿意改造“娱乐设施”所占百分比即可； ④根据加权平均数的计算公式解答即可． 本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 20.【答案】  【解析】解：由题意得：，，，， ， 故答案为：45；53；； 由题意得：，，， 设，则， 在中，， ， 在中，， ， ， ， 解得：， ， ， 电子厂AB的高度为 根据题意可得：，，，，然后利用线段的和差关系进行计算，即可解答； 根据题意可得：，，，从而可设，则，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出AM和AN的长，从而列出关于x的方程进行计算，即可解答． 本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 21.【答案】解：将点、、代入，得： ，解得：， ； 由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：， 由抛物线的表达式知，点， 过点N作轴交BC于点H，则点，则， 则四边形ACNB的面积； 存在，理由： 当为直角时，如图， 过点P作x轴的平行线交y轴于点N，交过点B和y轴的平行线于点M，设点， ，， ， ，即， 即， 整理得：， 该方程无解； BC的表达式为， 当或为直角时， 则PB的表达式为：，PC的表达式为：， 分别联立上述二式和抛物线的表达式得：，， 解得：或不合题意的值已舍去， 则点P的坐标为：或， 综上，点P的坐标为：或； 如图1过点A作轴交直线BC于点E，过P作轴交直线BC于点F， ，则， 设，则， 则， ， ， ， ， 当时，的最大值为，此时  【解析】由待定系数法即可求解； 由四边形ACNB的面积，即可求解； 当为直角时，证明，即，即可求解；当或为直角时，则PB的表达式为：，PC的表达式为：，即可求解； 由，则，即，即可求解． 本题主要考查二次函数图象与几何图形综合，掌握待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象的性质，几何图形的性质等知识的综合是解题的关键． 22.【答案】证明：①四边形ABCD是矩形，， 四边形ABCD是正方形， ，， ， ， ， ，且，， ≌； ②如图2，过点A作交BC于点F， 由可知， ，， ， ， ， ， ， ； 解：如图，过点E作于H，连接EF， 为AB的中点， ， ，，， ，， ，， ， ， 设，则， ， ， ， ，   【解析】①由“ASA”可证≌； ②过点A作交BC于点F，由等腰三角形的性质和平行线的性质可得，可得，即可得结论； 过点E作于H，连接EF，由角平分线的性质可得，由“HL”可证，可得，由勾股定理可求解． 本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$