天津市部分区2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷

2024-2025学年天津市部分区九年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.将方程化成一元二次方程的一般形式，其二次项系数、一次项系数和常数项分别为(    ) A. 5、4、1 B. 5、．、 C. 5、4、 D. 5、、1 2.在以下四个图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(    ) A. B. C. D. 3.若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为(    ) A. B. 0 C. D. 4.在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是(    ) A. B. C. D. 5.用配方法解一元二次方程：，可将方程变形为的形式，则n的值是(    ) A. 0 B. 2 C. 4 D. 6 6.若抛物线与x轴只有一个公共点，则m的值是(    ) A. B. C. 10 D. 16 7.若一元二次方程的两个根是，，则的值是(    ) A. 8 B. C. D. 16 8.若二次函数的图象经过，，三点，则，，的关系是(    ) A. B. C. D. 9.将抛物线向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为(    ) A. B. C. D. 10.在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，若设参加酒会的人数为x人，则可列出方程(    ) A. B. C. D. 11.如图，是绕点O顺时针旋转后得到的图形.若点C恰好落在AB上，则的度数是(    ) A. B. C. D. 12.已知抛物线上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表： x ⋯ 0 1 2 3 ⋯ y ⋯ 3 0 m 3 ⋯ 有以下结论： ①抛物线的开口向上； ②抛物线的对称轴为直线； ③方程的根为0和m； ④当时，x的取值范围是或其中正确结论的个数是(    ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 13.抛物线的顶点坐标为______. 14.请写出一个开口向上，且过点的抛物线的表达式______. 15.由于成本上涨，某商品经过两次连续涨价，每件售价由原来的60元涨到了72元.设平均每次涨价的百分率为x，则由题意可列方程为______. 16.已知一元二次方程的两实数根为和5，则抛物线的对称轴为______. 17.已知二次函数的图象都在x轴的上方，则实数k的取值范围是______. 18.以的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度单位：与飞行时间单位：之间具有函数关系，则小球的飞行高度最高达到______ 三、计算题：本大题共1小题，共8分。 19.解方程： ； 四、解答题：本题共6小题，共58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 20.本小题8分 如图，点O、B坐标分别为、，将绕O点按逆时针方向旋转到 画出； 写出点的坐标； 求线段的长. 21.本小题10分 已知关于x的方程为常数 求证：不论m为何值，方程总有两个不相等的实数根； 若方程有一个根是，求的值. 22.本小题10分 已知二次函数 求二次函数图象的对称轴和顶点坐标； 求二次函数的图象与x轴的交点坐标； 当时，y随x增大而______填“增大”或“减小” 23.本小题10分 某商场将每件进价为80元的某种商品原来按每件100元出售，一天可售出100件．后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件． 求商场经营该商品原来一天可获利润多少元？ 设后来该商品每件降价x元，商场一天可获利润y元，求出y与x之间的函数关系式，并当x取何值时，商场获利润最大？ 24.本小题10分 如图，在正方形ABCD中，E为CD上一点，把绕点A顺时针旋转至的位置，使得F，B，C三点在一条直线上. 旋转角的大小为______度； 若，，求线段EF的长. 25.本小题10分 如图，抛物线经过A，B，C三点.已知点B的坐标为，且 求A，C两点的坐标； 求抛物线的解析式； 若点P是直线AC下方的抛物线上的一个动点，作于点D，当PD的值最大时，求此时点P的坐标及PD的值. 答案和解析 1.【答案】B  【解析】解：化成一元二次方程一般形式是， 它的二次项系数是5，一次项系数是，常数项是 故选： 一元二次方程的一般形式是：是常数且特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键把握要确定一次项系数和常数项，首先要把方程化成一般形式． 2.【答案】B  【解析】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意； B、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意． 故选： 旋转后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 3.【答案】D  【解析】解：由题意，得且， 解得 故选： 根据一元二次方程的定义得到且，即可求出答案． 本题考查了一元二次方程的定义，只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是且，掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键． 4.【答案】D  【解析】解：点关于原点的对称点的坐标为， 故选： 根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案． 此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律． 5.【答案】D  【解析】解：方程， 移项得：， 配方得：，即， 则 故选： 方程配方得到结果，即可确定出n的值． 此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 6.【答案】A  【解析】解：抛物线与x轴只有一个公共点， ， 解得 故选： 根据根的判别式的意义得到，然后解关于m的方程即可． 本题考查了抛物线与x轴的交点问题：把求二次函数是常数，与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程；决定抛物线与x轴的交点个数．也考查了二次函数的性质． 7.【答案】B  【解析】解：一元二次方程的两个根是，， ，， 故选： 根据根与系数关系求解即可． 本题考查根与系数关系，解题的关键是掌握：，是一元二次方程的两根时，， 8.【答案】D  【解析】解：， 图象的开口向上，对称轴是直线， 关于直线的对称点是， ， ， 故选： 根据二次函数的解析式得出图象的开口向上，对称轴是直线，根据时，y随x的增大而增大，即可得出答案． 本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键． 9.【答案】A  【解析】解：将抛物线向左平移3个单位所得直线解析式为：； 再向下平移2个单位为：，即 故选： 根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可． 此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减． 10.【答案】C  【解析】解：根据题意得： 故选： 利用碰杯的总次数=参会人数参会人数，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 11.【答案】D  【解析】解：是绕点O顺时针旋转后得到的图形， ，，， ， ， 故选： 根据旋转的性质和等腰三角形的性质即可得到结论． 本题考查了性质的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 12.【答案】C  【解析】解：由表格可知， 抛物线的对称轴是直线，故②错误； 抛物线的顶点坐标是，有最小值，故抛物线的开口向上，故①正确； 由抛物线关于直线对称知，当时，或，故方程的根为0和2，故③错误； 当时，x的取值范围是或，故④正确， 故选： 根据二次函数的性质和表格中的数据，可以判断各个小题中的结论是否成立，本题得以解决． 本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 13.【答案】  【解析】解：因为是抛物线的顶点式， 根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为 根据顶点式的特点可直接写出顶点坐标． 主要考查了求抛物线的顶点坐标的方法． 14.【答案】等．答案不唯一  【解析】解：依题意，满足题意的抛物线解析式为 等，答案不唯一． 故本题答案为：等．答案不唯一． 开口向上，只要二次项系数为正数即可，经过点，说明常数项 本题考查了抛物线的对称轴与抛物线解析式的关系．关键是明确对称轴的值与顶点横坐标相同． 15.【答案】  【解析】解：设平均每次涨价的百分率为x， 第一次涨价后的价格为元， 连续两次涨价后售价在第一次涨价后的价格的基础上提高x，为元， 则列出的方程是 故答案为： 可先表示出第一次涨价后的价格，那么第一次涨价后的价格涨价的百分率，把相应数值代入即可求解． 此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握平均变化率的方法，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为 16.【答案】直线  【解析】解：由题意，抛物线为， 抛物线与x轴交点的横坐标为方程的两个根． 又一元二次方程的两实数根为和5， 抛物线与x轴交点为、 抛物线的对称轴是直线 故答案为：直线 依据题意，由抛物线为，从而抛物线与x轴交点的横坐标为方程的两个根，结合一元二次方程的两实数根为和5，可得抛物线与x轴交点为、，进而可以判断得解． 本题主要考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解题时要熟练掌握并能根据抛物线与x轴的交点求出对称轴是关键． 17.【答案】  【解析】解：由题意，二次函数的图象都在x轴的上方，且抛物线开口向上， 故答案为： 依据题意，由二次函数的图象都在x轴的上方，且抛物线开口向上，从而，进而可以判断得解． 本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、抛物线与x轴的交点，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 18.【答案】20  【解析】解：由题意，， 当时，h取得最大值20米． 小球飞行时间是2s时，小球最高为 故答案为： 依据题意，将函数解析式配方成顶点式可得最值，进而得解． 本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 19.【答案】解：， ， ， ， ， ， ， ， 或， ，  【解析】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，注意：解一元二次方程的方法有：因式分解法，配方法，公式法，直接开平方法． 移项，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； 移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 20.【答案】解：平面直角坐标如图，即为所求． 由图可得的坐标为； ，， 在等腰直角三角形中，   【解析】根据O点位置画出平面直角坐标系，分别作出A，B，的对应点，连线即可． 根据点的位置写出坐标即可； 的长就是等腰直角三角形的斜边长，据此解答． 本题考查作图-旋转变换，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 21.【答案】证明：， 即， 不论m为何值，该方程都有两个不相等的实数根； 解：方程有一个根是， ， ，   【解析】先计算判别式的值得到，然后根据根的判别式的意义得到结论； 把代入原方程得到，求得代入代数式即可得到结论． 本题主要考查的是一元二次方程根的判别式，计算出其判别式大于0是解题的关键． 22.【答案】减小  【解析】解：， 抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为； 当时，， 解得，， 二次函数的图象与x轴的交点坐标为，； 抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时，y随x增大而减小． 故答案为：减小． 先把一般式配成顶点式，然后根据二次函数的性质解决问题； 根据抛物线与x轴的交点问题，通过解方程得到二次函数的图象与x轴的交点坐标； 根据二次函数的性质求解． 本题考查了抛物线与x轴的交点问题：把求二次函数是常数，与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质． 23.【答案】解：由题意可得， 元， 答：商场经营该商品原来一天可获利润2000元； 依题意得：， 与x之间的函数关系式为， ，且， 当时，商店所获利润最大．  【解析】根据题意，可以写出商场经营该商品原来一天可获利润的算式，然后计算即可； 根据题意，可以写出y与x的函数关系式，然后将函数解析式化为顶点式，利用二次函数的性质，即可得到当x取何值时，商场获利润最大． 本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数解析式，利用二次函数的性质解答． 24.【答案】90  【解析】解：四边形ABCD为正方形， ， 旋转角的大小为 故答案为： 四边形ABCD为正方形， ， ， ， 由旋转得，， ， 在中，由勾股定理得， 由正方形的性质可得，进而可得旋转角的大小为 由正方形的性质可得，根据题意得，则，，，在中，利用勾股定理求出EF的长即可． 本题考查旋转的性质、正方形的性质，熟练掌握旋转的性质、正方形的性质是解答本题的关键． 25.【答案】解：，则点A的坐标分别为， 由抛物线的表达式知，点C的坐标； 抛物线的表达式为：， 即，解得：， 故抛物线的表达式为：； 直线CA过点C，设其函数表达式为：， 将点A坐标代入上式并解得：， 故直线CA的表达式为：， 过点P作y轴的平行线交AC于点H， ， ， 轴， ， 设点，则点， 则， ， 有最大值，当时，其最大值为， 此时点  【解析】，即可求解； 抛物线的表达式为：，即可求解； 由，即可求解． 本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、解直角三角形等，其中，用函数关系表示PD，是本题解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$