重庆市长寿区川维中学2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷

2024-2025学年重庆市长寿区川维中学九年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列四个数中，绝对值最大的是(    ) A. 2 B. C. 0 D. 2.未来将是一个可以预见的AI时代一般指人工智能，它研究、开发用于模拟、延伸和扩展人的智能的理论、方法、技术及应用系统的一门新的技术科学.下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是轴对称图形但不是中心对称图形的是(    ) A. B. C. D. 3.估计的值应在(    ) A. 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间 4.二次函数的图象的顶点坐标是(    ) A. B. C. D. 5.某厂今年一月份新产品的研发资金为10万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年一季度新产品的研发资金元关于x的函数关系式为(    ) A. B. C. D. 6.点，，均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是(    ) A. B. C. D. 7.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，，，将绕着点C旋转得到，则点A与点之间的距离为(    ) A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 8.在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能为(    ) A. B. C. D. 9.如图，正方形ABCD中，点E、F、G、H分别为边AB、BC、AB、CD上的点，连接DF、DG、E，若，，当时，则的度数为(    ) A. B. C. D. 10.有n个依次排列的整式：第一项是，第二项是，用第二项减去第一项，所得之差记为，将加2记为，将第二项与相加作为第三项，将加2记为，将第三项与相加作为第四项，以此类推；某数学兴趣小组对此展开研究，得到5个结论： ①； ②当时，第3项为16； ③若第4项与第5项之和为25，则； ④第2022项为； ⑤当时，…； 以上结论正确的是(    ) A. ①②⑤ B. ①③⑤ C. ①②④ D. ②④⑤ 二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分。 11.______. 12.若二次函数的图象与x轴有2个交点，则m的取值范围是______. 13.已知a是方程的一个根，则代数式的值是______. 14.如图，在一块长22m，宽为14m的矩形空地内修建三条宽度相等的小路，其余部分种植花草．若花草的种植面积为，则小路宽为______ 15.如图，是由绕点O顺时针旋转后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且，则的度数是______. 16.如图，在矩形ABCD中，，点E在边AD上，且，M、N分别是边AB、BC上的动点，且，P是线段CE上的动点，连接PM，若则线段PC的长为______. 17.已知关于x的分式方程有整数解，且关于y的不等式组有解且至多5个整数解，则所有满足条件的整数a的值之和为______. 18.一个四位正整数A满足百位上的数字比千位上的数字小5，个位上的数字比十位上的数字小5，则称A为“队伍数”，将“队伍数”A的千位和十位数字组成的两位数与百位和个位数字组成的两位数的和记为，将“队伍数”A的千位和百位数字组成的两位数与十位和个位数字组成的两位数的差记为例如：四位正整数7261，，，是“队伍数”，此时，，判断：8361 ______是/否“队伍数”；若A是“队伍数”，且满足是一个正整数的平方，求的最小值为______. 三、解答题：本题共8小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题8分 解方程； 化简 20.本小题10分 学习了四边形后，小明同学想继续探索对角互补的四边形特征，请根据他的思路完成以下作图与填空： 用直尺和圆规，过点C作交AD延长线于点M，过点C作交AB于点只保留作图痕迹 在所作的四边形ABCD中，，AC平分，求证： 证明：平分，且，， ①______且， 在四边形ABCD中，， 又， ②______， ≌③______， 小明同学进一步研究发现，对角互补的四边形，若对角线平分一个内角，则均有以上特征.请你依照题意完成下面结论：对角互补的四边形，若对角线平分一个内角，则被此对角线平分为相等的那两个小角④______. 21.本小题10分 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点，， 将绕坐标原点O顺时针旋转为，写出点、、的坐标，并在图中作出； 求的面积. 22.本小题10分 已知关于x的一元二次方程 求证：无论m取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根； 设的两个实数根为，，若，求出y与m的函数关系式. 23.本小题10分 如图，矩形ABCD中，，，点E为AB边的中点，点F为BC边上的三等分点，动点P从点A出发，沿折线运动，到C点停止运动.点P的运动速度为每秒2个单位长度，设点P运动时间为x秒，的面积为 请直接写出y关于x的函数解析式，并注明自变量x的取值范围； 在平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； 结合函数图象，直接写出当直线与该函数图象有两个交点时，b的取值范围. 24.本小题10分 某工程队采用A，B两种设备同时对长度为3600米的公路进行施工改造.原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则30小时恰好完成改造任务. 求A型设备每小时铺设的路面长度； 通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的3600米多了750米.在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了3m米，而使用时间增加了m小时，求m的值. 25.本小题10分 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点D，抛物线的顶点为E，直线与抛物线相交于A，C两点. 求抛物线的解析式. 设点P是直线AC上方抛物线上的一动点，当的面积取得最大值时，求出此时点P的坐标. 抛物线上是否存在一点M，使，若存在，请直接写出所有满足要求的点M的坐标；若不能，请说明理由. 26.本小题10分 综合与实践 【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景.探究动点运动的几何问题.如图，在中，点M，N分别为AB，AC上的动点不含端点，且 【初步尝试】如图1，当为等边三角形时，小颜发现：将MA绕点M逆时针旋转得到MD，连接BD，则，请思考并证明； 【类比探究】小梁尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图2，在中，，，于点E，交BC于点F，将MA绕点M逆时针旋转得到MD，连接DA，试猜想四边形AFBD的形状，并说明理由； 【拓展延伸】孙老师提出新的探究方向：如图3，在中，，，连接BN，CM，请直接写出的最小值. 答案和解析 1.【答案】D  【解析】解：A、；B、；C、；D、； ， 四个数中绝对值最大的是 故选： 分别计算出四个选项的绝对值，然后再进行比较，找出绝对值最大的选项． 绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是 2.【答案】B  【解析】解：该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意； B.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项符合题意； C.该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意； D.该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项不合题意； 故选： 根据轴对称图形的定义以及中心对称图形的定义解决此题． 此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 3.【答案】C  【解析】解：，， ， 故选： 运用算术平方根知识进行估算、求解． 此题考查了无理数的估算能力，关键是能准确理解并运用平方根知识进行求解． 4.【答案】D  【解析】解：抛物线的顶点坐标是 故选： 根据抛物线的顶点坐标是直接写出即可． 此题主要考查了二次函数的性质，关键是熟记：抛物线的顶点坐标是，对称轴是直线 5.【答案】B  【解析】解：该厂今年一月份新产品的研发资金为10万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x， 该厂今年二月份新产品的研发资金为万元，三月份新产品的研发资金为万元． 根据题意得： 故选： 根据该厂今年一月份新产品的研发资金及以后每月新产品的研发资金与上月相比的增长率，可得出该厂今年二月份、三月份新产品的研发资金，将该厂今年一、二、三月份新产品的研发资金相加，即可得出y关于x的函数关系式． 本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数关系式是解题的关键． 6.【答案】D  【解析】解：， 开口向下，对称轴为， 关于对称轴的对称点为， ， ， 故选： 根据函数解析式的特点，其对称轴为，图象开口向下，然后根据抛物线的对称性和增减性即可判断． 本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键． 7.【答案】C  【解析】【分析】 本题考查了中心对称、旋转的性质，解决本题的关键是掌握旋转的性质． 根据菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，，，可得，所以，根据绕着点C旋转得到，所以，，，再根据勾股定理即可求出点A与点之间的距离． 【解答】 解：菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，，， ， ， 绕着点C旋转得到， ， ， ， ， 在中，根据勾股定理，得 则点A与点之间的距离为 故选： 8.【答案】A  【解析】解：A、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项正确； B、由抛物线可知，，由直线可知，，故本选项错误； C、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项错误； D、由抛物线可知，，由直线可知，，故本选项错误． 故选： 本题可先由二次函数图象得到字母系数的正负，再与一次函数的图象相比较看是否一致． 本题考查抛物线和直线的性质，用假设法来搞定这种数形结合题是一种很好的方法． 9.【答案】C  【解析】解：如图，设EH与DF交于点K，过点A作交CD于点M，交DF于点N， 四边形ABCD是正方形， ，，， 四边形AEHM是平行四边形， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ，， ， ， ， ， ， 在中， 故选： 如图，设EH与DF交于点K，过点A作交CD于点M，交DF于点N，根据正方形性质可得：，，，先证明四边形AEHM是平行四边形，再证明，利用直角三角形两锐角互余和角平分线定义即可求得答案． 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、角平分线的定义、直角三角形的两个锐角互余等知识，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 10.【答案】A  【解析】解：由题意可知，第一项为，第二项为， ， ， ，故①正确， 第三项为， 当时，第三项为16，故②正确， 第四项为， ， 第五项为， ， 第n项为， 第2022项为故④错误， 若第四项与第五项的和25， 则， 解得或，故③错误， 当时，… … … ， 故⑤正确， 故正确的为：①②⑤， 故选： 根据题意可以得出规律，第n项为，，根据规律逐项求解判断即可． 本题主要考查数据的规律类问题，准确找出题目中的两组数据的规律时解答此题的关键，难度较大． 11.【答案】1  【解析】解：原式 故答案为： 根据算术平方根，负整数指数幂，零次幂分别计算即可． 本题考查实数的混合运算，掌握算术平方根，负整数指数幂，零次幂知识点是解题的关键． 12.【答案】  【解析】解：二次函数的图象与x轴有两个交点， ， ， 故答案为： 根据抛物线与x轴有两个交点，列出不等式即可解决问题． 本题考查抛物线与x轴的交点，解题的关键是记住抛物线与x轴只有一个交点，抛物线与x轴有两个交点，抛物线与x轴没有交点，属于中考常考题型． 13.【答案】1  【解析】解：是方程的一个根， ， ， 故答案为： 利用一元二次方程根的定义得到，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算． 本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 14.【答案】2  【解析】解：设小路宽为x m，则种植花草部分的面积等同于长，宽的矩形的面积， 依题意得：， 整理得：， 解得：，不合题意，舍去 故答案为： 设小路宽为xm，则种植花草部分的面积等同于长，宽的矩形的面积，根据花草的种植面积为，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论． 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 15.【答案】  【解析】解：是绕点O顺时针旋转后得到的图形， ，， ， ， ， ， ， 故答案为： 根据旋转的性质可得，，再求出，及，即可知的度数，然后根据三角形的内角和定理即可求出的度数． 本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、以及三角形内角和定理，掌握旋转的性质是解题的关键． 16.【答案】  【解析】解：， 是等腰直角三角形， 作点N关于EC的对称点，则在直线CD上，连接，如图： ，即， 此时M、P、三点共线且，点P在的中点处， ， 故答案为： 由题意知是等腰直角三角形，作点N关于EC的对称点，则在直线CD上，连接，，即，，，所以此时M、P、三点共线且，点P在的中点处，， 本题考查矩形的性质和等腰直角三角形的性质，作出适当的辅助线是解题关键． 17.【答案】  【解析】解：分式方程得：， 分式方程有整数解， 或或或，且，即， 解得：或2或或3或4或或7， 不等式组整理得：，即， 由不等式组有解且至多5个整数解，得到，解得：， 则符合条件的所有整数a的为和，和为， 故答案为： 分式方程去分母转化为整式方程，表示出x，由x为整数确定出a的值，表示出不等式组的解集，由不等式组有解且至多5个整数解，确定出a的取值，即可求解， 本题考查了分式方程的解，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 18.【答案】是  59  【解析】解：①，， 是“队伍数， 故答案为：是； ②依题意，设均为正整数， 则， ， 则， ，， ， 是一个正整数的平方， 为：64，81，100，121， 当时，，， 则，， 当时，，， 则， 当时，无解， 当时，，， 则，， 综上，的最小值为：59， 故答案为： ①根据“队伍数“的定义，判断即可； ②设均为正整数，则，根据题意，分类讨论求解即可． 本题考查了新定义运算，解题的关键是正确应用新定义运算． 19.【答案】解：， ， ， 或， ，； 原式   【解析】利用因式分解法求解即可； 根据分式的混合运算顺序和运算法则化简即可． 本题主要考查解一元二次方程的能力，分式的化简，熟练掌握解一元二次方程的方法，分式混合运算顺序和运算法则是解题的关键． 20.【答案】所对的四边形的两条边相等  【解析】解：如图所示，即为所求； 证明：平分，且，， 且， 在四边形ABCD中，， ， 又， ， ≌， ； 对角互补的四边形，若对角线平分一个内角，则被此对角线平分为相等的那两个小角所对的四边形的两条边相等， 故答案为：；；AAS；所对的四边形的两条边相等． 根据垂线的尺规作图方法作图即可； 先由角平分线的性质得到，再证明，进而证明≌，则可得到，据此可得若对角线平分一个内角，则被此对角线平分为相等的那两个小角所对的四边形的两条边相等． 本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，垂线的尺规作图，四边形内角和定理，熟练掌握以上知识点是关键． 21.【答案】解：点、、 如图，即为所求． 的面积为  【解析】根据旋转的性质可得点、、的坐标，画图即可． 利用割补法求三角形的面积即可． 本题考查作图-旋转变换，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键． 22.【答案】证明：， 又无论m取任何实数，， ， ， 无论m取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根； 解：的两个实数根为、， ，， ， 与m的函数关系式为：  【解析】根据方程的系数结合根的判别式求出即可求解； 利用根与系数的关系找出，，代入来求解． 本题考查了根的判别式，根与系数的关系，解题的关键是：牢记“”时，方程有两个不相等的实数根；利用根与系数的关系找出， 23.【答案】解：在矩形ABCD中，，， 点E为AB边的中点，点F为BC边上的三等分点， ，， 当点P在AD上时，则，则，即， 此时， 的面积 ； 当点P在CD上时，即时，如图， 则， 的面积 ； 函数图象如图所示， 当时，y随着x的增大而增大，当时，y随着x的增大而减小； 当直线经过点时，，则， 当直线经过点时，，则， 结合图象可知，直线与该函数图象有两个交点时，b的取值范围是   【解析】分和两种情况分别求出函数解析式即可； 利用两点法画出函数图象，并根据图象写出性质即可； 分别求出直线经过点和点时b的值，结合图象写出答案即可． 此题考查了一次函数的图象和性质、矩形的性质等知识，数形结合和分类讨论是解题的关键． 24.【答案】解：设B型设备每小时铺设路面x米，则A型设备每小时铺设路面米， 根据题意得，， 解得：， 则， 答：A型设备每小时铺设的路面长度为90米； 根据题意得，， 整理得，， 解得：，舍去， 的值为  【解析】设B型设备每小时铺设路面x米，则A型设备每小时铺设路面米，根据题意列出方程求解即可； 根据“A型设备铺设的路面长度型设备铺设的路面长度”列出方程，求解即可． 本题主要考查一元一次方程、一元二次方程的应用，解题关键是读懂题意，找准等量关系并列出方程． 25.【答案】解：由题意得：； 过点P作轴交AC于点H， 设点，则点，则， 则的面积， ， 故的面积有最大值，此时， 则点； 能，理由： 由抛物线的表达式知，点，则， 则直线BM的表达式为：， 联立上式和抛物线的表达式得：或， 解得：舍去或或， 则点M的坐标为：或  【解析】由题意得：，即可求解； 由的面积，即可求解； 由，得到直线BM的表达式为：，进而求解． 本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 26.【答案】证明：为等边三角形， ，， 绕点M逆时针旋转得到MD， ，， ， ，， ≌， ； 解：四边形AFBD为平行四边形，理由如下： ，， ， 绕点M逆时针旋转得到MD， ，，， ， 则， 在和中， ， ≌， ， ， ， ， ， ， 四边形AFBD为平行四边形； 解：如图，过点A作，使，连接GM、GC，BG，延长CB，过点G作于点O， ，， ， ， ， ， 又， ≌， ， ， 当点G、M、C三点共线时，的值最小，最小值为CG的值， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， 的最小值为  【解析】证明≌，得到； 证明，，得出四边形AFBD为平行四边形； 过点A作，使，连接GM、GC，BG，延长CB，过点G作于点O，当点G、M、C三点共线时，的值最小，最小值为CG的值，在中，，得出的最小值为 本题考查全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、勾股定理、平行四边形的判定、旋转的性质及等边三角形的性质，熟练掌握相关定理得出当点G、M、C三点共线时，的值最小，最小值为CG的值是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$