重难点突破：电磁感应中的动量、能量及“杆＋导轨”模型（8大题型）-2024-2025学年高二物理同步题型分类讲与练（人教版2019选择性必修第二册）

重难点突破：电磁感应中的能量、动量及“杆＋导轨”模型 知识点1 电磁感应中的能量问题 电磁感应过程总是伴随着能量的转化，产生电磁感应现象的过程是克服安培力做功的过程，导体切割磁感线的过程中，回路中产生感应电流，机械能转化为电能；磁通量变化的过程中，磁场能转化为电能；电流通过导体受到安培力作用或通过电阻发热，电能转化为机械能或内能。 1、能量转化 2、求解焦耳热Q的三种方法 （1）焦耳定律：。（电流恒定） （2）功能关系：。（适用于纯电阻电路，电流不恒定） （3）能量转化：。（普遍适用） 3、电能求解的思路 若电流恒定，可以根据电路结构及或直接计算。若电流变化，则①利用克服安培力做功求解，电磁感应中产生的电能等于克服安培力所做的功；②利用能量守恒或功能关系求解，若只有电能与机械能的转化，则机械能的减少量等于产生的电能。 知识点2 电磁感应中的动量问题 电磁感应中的动量问题常有闭合线框进出磁场和导体棒切割磁感线两种情境。 1、动量定理的应用 应用动量定理可以由动量变化来求解变力的冲量。例如，利用安培力的冲量求导体棒的位移。对于单杆模型，运动过程中所受的安培力是变力，根据动量定理得，又，，。由以上四式可将流经杆的电荷量q、杆的位移x及速度变化结合在一起。 2、动量守恒定律的应用 在相互平行的水平轨道间的双棒做切割磁感线运动时，由于这两根导体棒所受的安培力等大反向，若不受其他外力，两导体棒的总动量守恒，解决此类问题往往要应用动量守恒定律。 知识点3 电磁感应中的“杆＋导轨”模型 1、单杆模型 示意图 力学观点 最终状态、v-t图像 能量转化 质量为 m、电阻不计的单杆ab以一定初速度v0在光滑水平轨道上滑动，两平行轨道间距为L 杆ab以速度v切割磁感线产生感应电动势，电流，安培力，做减速运动，v↓→F安↓→a↓，当v=0时，F安=0，a=0，杆ab保持静止 静止 动能全部转化为内能： 轨道水平且光滑间距为L，单杆ab质量为m，电阻不计 S闭合，杆ab受安培力，此时，杆ab速度v↑感应电动势↑→I↓→安培力↓→a↓，当时，v最大， 匀速运动 电源输出的电能转化为动能： 轨道水平且光滑间距为L，单杆ab质量为 m，电阻不计，拉力F恒定 开始时，杆ab速度v↑感应电动势↑→I↑→安培力↑→由知a↓，当a=0时，a最大， 匀速运动 F做的功一部分转化为杆的动能，一部分产生电热： 轨道水平且光滑，间距为L，单杆ab质量为m，电阻不计，拉力F恒定 开始时，杆ab速度v↑感应电动势↑，经过∆t速度为v+∆v，此时感应电动势，∆t 时间内流入电容器的电荷量，电流，安培力，，，所以杆以做匀加速运动 匀加速运动 F做的功一部分转化为动能，一部分转化为电场能： 2、双杆模型 示意图 v-t图像 分析 ，不受其他水平外力的作用 光滑的平行导轨 两杆质量、电阻、长度都相等 杆MN做变减速运动，杆PQ做变加速运动，稳定时，两杆的加速度均为零，以相等的速度匀速运动 光滑的不等距导轨 两杆质量、电阻相等，长度L1=2L2，导轨足够长 杆MN做变减速运动，杆PQ做变加速运动，稳定时，两杆的加速度均为零，两杆的速度之比为1:2 ，一杆受到恒定水平外力的作用 光滑的平行导轨 两杆质量、电阻、长度都相等 开始时，两杆做变加速运动；稳定时，两杆以相同的加速度做匀加速运动 题型1 线框模型 【例1】（2023·上海静安·一模）如图，一个正方形导线框从高处自由下落，穿过一水平的匀强磁场区域，已知磁场区域高度大于2倍线框高度，线框离开磁场过程中的运动情况是（　　） A．若线框匀速进入磁场，则离开磁场过程一定是匀速运动 B．若线框加速进入磁场，则离开磁场过程一定是加速运动 C．若线框加速进入磁场，则离开磁场过程一定是减速运动 D．若线框减速进入磁场，则离开磁场过程一定是减速运动 【答案】D 【解析】A．若ab边进入磁场时线框做匀速运动，则 则当ab边下落L以后全部进入磁场，此后线圈在磁场中下落2L-L的过程中将做匀加速运动，故当ab边到达磁场下边缘时 则ab边离开磁场时线框做减速运动，A错误； B．若线框加速进入磁场，则 则当ab边下落L以后全部进入磁场，此后线圈在磁场中下落2L-L的过程中将做匀加速运动，故当ab边到达磁场下边缘时，安培力大小与重力大小关系不能确定，ab边离开磁场时线框的运动状态也无法确定。BC错误； D．若ab边进入磁场时线框做减速运动，则 则当ab边下落L以后全部进入磁场，此后线圈在磁场中下落2L-L的过程中将做匀加速运动，故当ab边到达磁场下边缘时 则ab边离开磁场时线框也一定做减速运动，D正确。 故选D。 【变式1-1】（23-24高三上·河南·期末）如图所示，质量为m、电阻为R、边长为L的正方形金属线框abcd放在光滑绝缘水平面上，宽度为2L的有界匀强磁场垂直于水平面向下，磁感应强度大小为B，给线框一初速度v0使其向右进入磁场，一段时间后cd边离开磁场。线框运动过程中ab边始终与磁场边界平行，下列说法正确的是（　　） A．线框刚进磁场时的加速度大小为 B．线框的初速度大小满足 C．线框进、出磁场过程，克服安培力做功相同 D．线框进、出磁场过程，安培力的冲量相同 【答案】D 【解析】A．线框刚进磁场时，所受安培力大小 加速度 A项错误； B．通过磁场过程 ， 解得 B项错误； C．线框在进、出磁场过程中做减速运动，线框进磁场过程受到的平均安培力大于出磁场过程受到的平均安培力，因此线框进磁场过程克服安培力做功大于出磁场过程克服安培力做功，C项错误； D．线框进、出磁场过程，安培力的冲量大小均为 D项正确。 故选D。 【变式1-2】（23-24高二下·安徽芜湖·期中）如图所示，宽度为3L的有界匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里。磁场左侧有一个边长为L的正方形导体线框，其总电阻为R，线框所在平面与磁场方向垂直。线框以速度v向右匀速穿过磁场区域，则以下关于线框dc两点间的电势差Udc说法正确的是（　　） A．线框进入磁场过程中 B．线框完全在磁场中匀速运动的过程中 C．线框完全在磁场中匀速运动的过程中 D．线框离开磁场过程中 【答案】D 【解析】A．线框进入磁场过程中 故A错误； BC．线框完全在磁场中匀速运动的过程中 故BC错误； D．线框离开磁场过程中 故D正确。 故选D。 【变式1-3】（23-24高三上·安徽·月考）如图所示，在光滑绝缘的水平面上，相距为2L的两条直线MN、PQ之间存在着竖直向下的匀强磁场，一个用相同材料且粗细均匀的电阻丝制成的、边长为L的正方形线框以初速度v0，从MN左侧沿垂直于MN的方向进入磁场区域，线框完全离开磁场区域时速度大小恰好为0，则以下说法正确的是（　　） A．整个线框处于磁场区域运动时，线框四个顶点的电势满足 B．线框进入磁场过程AB边（AB边位于磁场外）不产生焦耳热 C．线框在进入磁场与穿出磁场两个过程中克服安培力做功之比为1:1 D．若只将线框进入磁场时的速度变为2v0，则线框穿出磁场时的速度大小为v0 【答案】D 【解析】A．整个线框处于磁场区域运动时，由于AB、CD边切割磁感线，根据右手定则可得线框四个顶点的电势满足 故A错误； B．线框进入磁场过程中，回路中产生感应电流，AB边就会产生热量，故B错误； C．由于进入过程安培力大于离开过程的安培力，而进入过程和离开过程位移大小相等，所以线框在进入磁场与穿出磁场两个过程中克服安培力做功之比大于1:1，故C错误； D．整个过程 即 若v0变为原来的两倍，但整个过程通过线框的电荷量相等，因此速度的变化量相同，线框穿出磁场时的速度大小为v0，故D正确。 故选D。 【变式1-4】（2024·江苏苏州·三模）如图所示，边长为a，电阻为R的正方形粗细均匀导线框PQMN进入磁感应强度为B的匀强磁场。图示位置线框速度大小为v，且垂直于MN，求： （1）MN两端电势差； （2）线框受到的安培力大小。 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）根据题意可知，感应电动势为 MN两端电势差 （2）感应电流为 线框的有效长度为 线框受到的安培力大小 题型2 单杆模型 【例2】（2024高三下·全国·专题练习）如图所示，水平面上有两根足够长的光滑平行金属导轨MN和PQ，两导轨间距为L，导轨电阻均可忽略不计。在M和P之间接有一阻值为R的定值电阻，导体杆ab质量为m、电阻也为R，并与导轨垂直且接触良好。整个装置处于方向竖直向下、磁感应强度为B的匀强磁场中。现给ab杆一个初速度，使杆向右运动，最终ab杆停在导轨上。下列说法正确的是（　　） A．ab杆将做匀减速运动直到静止 B．ab杆速度减为时，ab杆加速度大小为 C．ab杆速度减为时，通过定值电阻的电荷量为 D．ab杆速度减为时，ab杆通过的位移为 【答案】B 【解析】A．ab杆在水平方向上受到与运动方向相反的安培力，安培力大小为 加速度大小为 由于速度减小，所以ab杆做加速度减小的变减速运动直到静止，故A错误； B．根据 当ab杆的速度为时，加速度大小为 故B正确； C．对ab杆，由动量定理得 即 BLq＝mv0 解得 即通过定值电阻的电荷量为，故C错误； D．由    解得ab杆通过的位移 故D错误。 故选B。 【变式2-1】（23-24高二下·河北保定·月考）如图所示，间距为1m的两根足够长的光滑平行金属导轨固定于同一绝缘水平面内，左端通过导线连接一个阻值为的定值电阻R，整个导轨处在方向竖直向下、磁感应强度大小为0.8T的匀强磁场中，匀质金属杆垂直导轨放置，在杆的中点施加一个方向垂直杆、大小为2N的水平拉力F，一段时间后杆匀速运动，杆与导轨始终接触良好，杆接入回路的电阻为，导轨的电阻不计，下列说法正确的是（    ） A．杆匀速运动时，流过杆的电流方向为由D到C B．杆匀速运动时，流过定值电阻R的电流为2.5A C．杆匀速运动时，杆两端的电压为4.0V D．杆匀速运动时的速度大小为4m/s 【答案】B 【解析】A．根据右手定则可判断出，流过杆的电流方向为由C到D，故A错误； BC．杆匀速运动时，有 解得 杆两端的电压为 故B正确，C错误； D. 杆产生的电动势为 根据 可得 故D错误。 故选B。 【变式2-2】（多选）（2024·湖北·）如图所示，PQ、MN为足够长的两平行金属导轨，它们之间连接一个阻值的电阻，导轨间距为；有一质量，电阻，长的金属杆ab水平放置在导轨上，它与导轨间的滑动摩擦因数，导轨平面与水平面间的倾角为，在垂直导轨平面的方向上有匀强磁场，且磁感应强度的大小，若现让金属杆ab由静止开始下滑，已知当杆ab由静止开始到恰好做匀速运动的所用时间，则（　　） A．杆 ab下滑速度大小为2m/s时，其加速度的大小1m/s2 B．杆ab下滑的最大速率4m/s C．杆ab从静止开始到匀速运动通过导体棒的电荷量 D．杆ab从静止开始到恰好做匀速运动的过程中R上产生的热量为1J 【答案】CD 【解析】A．取ab杆为研究对象其受力如图示，建立如图所示坐标系 且 摩擦力 联立上面解得 当时解得 选项A错误； B．由上问可知 故ab做加速度减小的加速运动当速度最大，则 解得 选项B错误； C．从静止开始到匀速运动过程中，根据动量定理 又 联立解得 选项C正确； D．又因为 解得 设两电阻发热和为Q，由能量守恒可知 联立解得 选项D正确。 故选CD。 【变式2-3】（多选）如图所示，固定在倾角θ＝30°的斜面内的两根平行长直光滑金属导轨的间距为d＝1m，其底端接有阻值为R＝2Ω的电阻，整个装置处在垂直斜面向上、磁感应强度大小为B＝2T的匀强磁场中。一质量为m＝1kg的导体杆ab垂直于导轨放置，且与两导轨保持良好接触。现杆在沿斜面向上、垂直于杆的恒力F＝10N作用下，从静止开始沿导轨向上运动距离L＝6m时，速度恰好达到最大（运动过程中杆始终与导轨保持垂直）。设杆接入电路的电阻为r＝2Ω，导轨电阻不计，重力加速度大小为g＝10m/s2。则在此过程中（　　） A．流过电阻R电流方向为由c到d B．杆的速度最大值为5m/s C．杆的速度最大时，a、b两点间电势差的大小为10V D．在这一过程中，整个回路产生的焦耳热为17.5J 【答案】BD 【解析】A．根据右手定则知，棒中电流方向为b到a，则流过电阻R的电流方向为d到c，所以A错误； B．匀速运动时，速度最大，有 代入数据解得杆的最大速度 所以B正确； C．杆的速度最大时，a、b两点间电势差是路端电压 所以C错误； D．根据能量守恒得 代入数据解得 故在这一过程中，整个回路产生的焦耳热为17.5J，所以D正确； 故选BD。 【变式2-4】（23-24高二下·北京顺义·月考）如图所示，两根平行光滑金属导轨MN和PQ固定在水平面上，其间距为L，磁感应强度为B的匀强磁场垂直轨道平面向下，两导轨之间连接一阻值为R的电阻，在导轨上有一金属杆ab，其电阻值为r，杆ab长度恰与导轨间距相等，在杆ab上施加水平拉力使其以速度v向右匀速运动，运动过程中金属杆始终与导轨垂直且接触良好，设金属导轨足够长，不计导轨电阻和空气阻力，求： （1）金属杆ab两端的电压； （2）拉力做功的功率P； （3）在上述情境中，仅改变匀强磁场方向，使其垂直轨道平面向上，有同学认为：“导体棒所受的安培力方向会发生改变，导体棒不能再向右做匀速直线运动”，你认为该同学的观点是否正确，说明你的观点及理由。 【答案】（1）；（2）（3）见解析 【解析】（1）由法拉第电磁感应定律可得，感应电动势为 金属杆ab中电流为 金属杆ab两端电压为 解得 （2）拉力大小等于安培力大小 拉力的功率 解得 （3）该该同学的观点是错误的。在上述情境中，仅改变匀强磁场方向，使其竖直向上，则根据右手定则可知感应电流方向将反向，再由左手定则可知安培力方向仍为水平向左，并没有发生变化，所以导体棒仍然可以向右做匀速直线运动。 【变式2-5】（23-24高二上·江西南昌·期末）如图所示，水平面（纸面）内间距为的平行金属导轨间左端接一阻值为的电阻，质量为光滑金属杆置于导轨上。金属杆在水平向右的恒定拉力作用下由静止开始运动，经过时间，金属杆以速度进入磁场，磁场的磁感应强度大小为、方向垂直于纸面向里的匀强磁场区域（磁场区域足够大，导轨足够长），杆与导轨的电阻均忽略不计，两者始终保持垂直且接触良好。求： （1）金属杆刚进入磁场时速度的大小 （2）金属杆刚进入磁场时加速度的大小； （3）金属杆能够达到的最大速度。 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】（1）金属杆未进入磁场时，设金属杆的加速度为，根据牛顿第二定律有 可得 根据速度时间公式有 联立解得 （2）金属杆刚进入磁场时，由牛顿第二定律有 金属杆切割磁感线产生感应电动势，由法拉第电磁感应定律可知 而根据闭合电路欧姆定律有 联立解得金属杆刚进入磁场时的加速度为 （3）当金属杆受到的安培力与拉力相等时，速度达到最大，则有 由法拉第电磁感应定律可知 根据闭合电路欧姆定律有 联立解得 【变式2-6】（23-24高二下·江西吉安·月考）如图所示，在范围足够大、方向竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度，有一水平放置的光滑金属框架，宽度为，框架上放置一质量为0.5kg、接入电路的阻值为的金属杆和一阻值为的定值电阻，金属杆长度也为0.5m且与框架垂直并接触良好，框架电阻不计，若杆在水平外力的作用下以恒定速度向右沿框架做匀速直线运动，并计时开始。则： （1）在0~2s内平均感应电动势和水平外力分别是多少？ （2）在0~2s内通过电阻的电荷量是多少？ （3）2s后撤去外力，从开始，全过程中金属杆上产生的焦耳热是多少？ 【答案】（1），；（2）1C；（3）1.5J 【解析】（1）在0~2s内金属杆向右沿框架做匀速直线运动，可知平均电动势等于瞬时电动势，则有 根据闭合电路欧姆定律可得 根据受力平衡可得 （2）在0~2s内通过电阻的电荷量为 （3）在0~2s内金属杆上产生的焦耳热为 2s后撤去外力，从撤去外力后到金属杆停下过程，根据能量守恒可得回路产生的总焦耳热为 则从撤去外力后到金属杆停下过程，金属杆上产生的焦耳热为 从开始，全过程中金属杆上产生的焦耳热为 题型3 双杆在等宽导轨上运动问题 【例3】（多选）（24-25高三上·河北沧州·期中）如图所示，足够长的平行光滑金属导轨固定在绝缘水平面上，两金属棒M、N紧靠在一起垂直导轨放置，空间内存在垂直于导轨平面竖直向下的匀强磁场。现用水平恒力F使金属棒M向右做直线运动，经过时间t系统达到稳定。已知运动过程中两金属棒与导轨始终垂直且接触良好，导轨电阻不计，下列说法正确的是（   ） A．系统达到稳定状态后，两金属棒的加速度相等且两金属棒之间的距离保持不变 B．系统达到稳定状态前，金属棒N的速度与两金属棒之间的距离成正比 C．系统达到稳定状态后，安培力对两金属棒的总冲量为零、总功也为零 D．系统达到稳定状态前，金属棒M克服安培力做的功等于系统产生的焦耳热与金属棒N的动能之和 【答案】BD 【解析】A．金属棒M在恒力F的作用下由静止开始加速，切割磁感线产生感应电流，在安培力的作用下加速度逐渐减小，金属棒N开始由静止加速，加速度逐渐增大，当两者的加速度相等时，系统达到稳定状态，两金属棒的速度差不变，但两者之间的距离逐渐增大，A项错误； B．对金属棒N应用动量定理有 ， 联立可得 x为两金属棒之间的距离，B项正确； C．作用在两金属棒上的安培力大小相等、方向相反，在t时间内安培力的总冲量为零，但两金属棒位移不同，总功不为零，C项错误； D．对金属棒M由动能定理有 根据能量守恒定律有 联立解得 D项正确。 故选BD。 【变式3-1】（多选）（2024·江西景德镇·一模）如图所示，和为同一水平面内足够长的平行金属导轨，导轨间距为1m，空间存在竖直向下的磁场，左、右两侧磁场的磁感应强度大小分别为、。质量均为0.2kg的金属杆a、b位于两侧，且距足够远，垂直于导轨放置，对a杆施加一水平向左大小为5N的恒力F使其从静止开始运动。已知两杆在运动过程中始终与导轨垂直并良好接触，两杆与导轨构成的回路的总电阻始终为0.5Ω，两杆与导轨间的动摩擦因数均为0.5，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度。下列说法正确的是（　　） A．若将b杆锁定在导轨上，a杆的最终速度为 B．b杆刚要运动时，a杆的速度大小为 C．足够长时间后，回路的面积减小 D．足够长时间后，回路的电流为1.8A 【答案】ACD 【解析】A．若将b杆锁定在导轨上，a杆产生感应电动势 感应电流 安培力 a杆加速运动，由牛顿第二定律 当加速度减小到零时，a杆做匀速直线运动，即 可得a杆稳定速度 m/s 故A正确； B．b杆刚要运动时，则b杆所受安培力 a、b两杆串联，电流相等，可知电路中电流 A 电动势 V 由 可知此时a杆的速度 m/s 故B错误； D．设某时刻a、b两杆的速度分别为、，回路中产生的感应电动势 回路中总电流 a杆的加速度 b杆的加速度 a、b两杆均加速运动，开始a杆加速快，可知增大，则电流i增大，减小，增大，当与增加的一样快时，即 时，回路中电流达到稳定，代入数据，可得 m/s，m/s，A 故D正确； C．根据前面分析足够长时间后，由于b的加速度大，最后速度大于a，回路面积逐渐减小。故C正确。 故选ACD。 【变式3-2】（多选）（24-25高三上·山东·开学考试）如图所示，两足够长的光滑平行金属导轨固定在同一水平面内，导轨平面虚线左侧存在竖直向下的匀强磁场，虚线右侧存在竖直向上的匀强磁场，虚线左右两侧磁场的磁感应强度大小均为B，导体棒ab和cd均垂直于导轨静止放置在导轨上。某时刻起，保持ab静止，对cd施加大小为F的水平向右的恒力，经过时间t导体棒cd的加速度变为0，此时立即将该恒力撤掉，同时释放ab。已知两导轨的间距为L，导体棒ab的质量为m、接入电路的电阻为R；cd的质量为2m、接入电路的电阻也为R，其余电阻不计，两导体棒运动时均与导轨垂直且接触良好。对两导体棒的运动过程，下列说法正确的是（    ） A．撤掉恒力后，导体棒ab和cd的总动量先减小后不变 B．导体棒ab和cd间的距离先逐渐增大，最后保持不变 C．导体棒ab的最大速度为 D．导体棒cd从开始运动到速度最大的过程，整个回路产生的焦耳热为 【答案】AC 【解析】AB．撤掉恒力时有 解得此时cd水平向右的最大速度为 之后两导体棒均受到向左的安培力，总动量水平向右减小，在安培力的作用下cd向右减速，ab自静止开始向左加速，当两者速度大小相等时总电动势为0，受到的安培力均为0，之后两导体棒分别以大小相等的速度向相反的方向做匀速运动，它们间的距离一直增大，总动量保持不变，故A正确，B错误； C．撤掉恒力后，同一时刻两导体棒中的电流相等，所受安培力大小相等，由牛顿第二定律可知，ab的加速度大小是cd加速度大小的2倍，因此同一过程ab的速度变化量大小是cd的速度变化量大小的2倍，则 解得导体棒ab的最大速度 故C正确； D．导体棒cd从开始运动到速度最大的过程，对cd有 对整个系统有 解得整个回路产生的焦耳热为 故D错误。 故选AC。 【变式3-3】（24-25高三上·陕西·开学考试）如图，间距为L的平行光滑金属轨道与由倾斜和水平两部分平滑连接而成，且，倾斜轨道的倾角为，水平轨道足够长，轨道电阻不计。倾斜部分处于垂直轨道向上的匀强磁场中，其磁感应强度大小为B。已知金属细棒的质量均为m、电阻均为R、长度均为L。现将a棒从高度为h的位置由静止释放，当a棒到达时，立即将b棒也从位置由静止释放，当b棒到达时速度大小为，此时在水平轨道部分加竖直向下的匀强磁场。运动过程中金属细棒始终与下平行且与轨道接触良好，重力加速度为g。求： （1）b棒在倾斜轨道加速至速度时，其加速度大小； （2）b棒到达处时棒之间的距离； （3）若b棒到达处时棒间距离用表示，再经时间a棒继续向左运动距离为，此时棒之间的距离。 【答案】（1） （2） （3） 【解析】（1）b棒在斜轨道速度为时，加速度为a，由法拉第电磁感应定律得 由闭合电路欧姆定律得 b棒所受安培力 对b棒由牛顿第二定律得 联立解得 （2）b棒下滑至EF处所需时间为t，平均电流为，对b棒由动量定理得 由法拉第电磁感应定律得 由闭合电路欧姆定律得 此过程磁通量的变化量 a棒下滑至EF过程中，由机械能守恒定律得 b棒在斜轨道下滑过程中，a棒在水平轨道做匀速运动的位移为a、b棒的距离 联立解得 （3）b棒在水平轨道运动过程中，a、b棒受到的安培力大小相等、方向相反，以a、b棒为研究系统，由动量守恒定律得 在极短时间内有 在时间内，b棒向左运动距离为，得 则a、b棒间的距离为 联立得 【变式3-4】（2024·陕西西安·三模）如图甲所示，两根平行光滑足够长金属导轨固定在倾角θ=30°的斜面上，其间距L=2m。导轨间存在垂直于斜面向上的匀强磁场，磁感应强度B=2T。两根金属棒NQ和ab与导轨始终保持垂直且接触良好，NQ棒通过一绝缘细线与固定在斜面上的拉力传感器连接（连接前，传感器已校零），细线平行于导轨。已知ab棒的质量为2kg，NQ棒和ab棒接入电路的电阻均为2Ω，导轨电阻不计。将ab棒从静止开始释放，同时对其施加平行于导轨的外力F，此时拉力传感器开始测量细线拉力FT，作出力FT随时间t的变化图像如图乙所示（力FT大小没有超出拉力传感器量程），重力加速度g取10m/s2。求： （1）t1=1s时，金属棒ab的速度大小； （2）t2=3s时，外力F的大小。 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）设NQ棒的质量为M。当t=0时，对NQ棒，由平衡条件得 代入数据解得 t1=1s，NQ棒受到沿斜面向上的拉力 对NQ棒分析，由平衡条件得 解得NQ棒受到的安培力大小为 方向沿斜面向下，又 代入数据解得 ab棒产生的感应电动势为 由，代入数据解得 （2）由图乙可得，当t2=3s时，NQ棒受到沿斜面向上的拉力 对NQ棒受力分析，由平衡条件得 代入数据解得 由安培力公式有 代入数据解得 ab棒产生的感应电动势为 又 代入数据解得金属棒ab的速度为 由以上可知，棒ab的速度可表示为 由于FT随时间均匀增大，所以ab在做匀加速直线运动，其加速度为 对棒ab受力分析，由牛顿第二定律得 代入数据解得 题型4 双杆在等宽导轨上运动问题 【例4】（2024高三·全国·专题练习）如图，两根光滑平行金属导轨固定在绝缘水平面上，左、右两侧导轨间距分别为d和2d，处于竖直向上的磁场中，磁感应强度大小分别为2B和B。已知导体棒MN的电阻为R、长度为d，导体棒PQ的电阻为2R、长度为2d，PQ的质量是MN的2倍。初始时刻两棒静止，两棒中点之间连接一压缩量为L的轻质绝缘弹簧。释放弹簧，两棒在各自磁场中运动直至停止，弹簧始终在弹性限度内。整个过程中两棒保持与导轨垂直并接触良好，导轨足够长且电阻不计。下列说法正确的是（　　） A．弹簧伸展过程中，回路中产生逆时针方向的电流 B．PQ速率为v时，MN所受安培力大小为 C．整个运动过程中，MN与PQ的路程之比为2∶1 D．整个运动过程中，通过MN的电荷量为 【答案】C 【解析】A．弹簧伸展过程中，根据右手定则可知，回路中产生顺时针方向的电流，故A错误； B．任意时刻，设电流为I，则PQ所受安培力 FPQBI·2d 方向向左，MN所受安培力 FMN＝2B I·d 方向向右，可知两棒及轻质绝缘弹簧组成的系统所受合外力为零，系统动量守恒，设PQ质量为2m，则MN质量为m， PQ速率为v时，根据动量守恒定律 2mvmv′ 解得 v′2v 此时回路中的感应电流 故MN所受安培力大小为 FMN2BId＝ 故B错误； C．根据动量守恒定律 2mvmv′ 知整个运动过程中，任意时刻MN与PQ的速率都有 v′2v 故MN与PQ的速率之比始终为2∶1，时间相同，故路程比等于速率比， 故MN与PQ的路程之比为2∶1，故C正确； D．两棒最终停止时弹簧处于原长状态，时间相同，由动量守恒可得 mx12mx2 x1x2L 可得最终MN向左移动 x1 PQ向右移动 x2 则整个运动过程中，通过MN的电荷量为 故D错误。 故选C。 【变式4-1】（23-24高二下·山东临沂·期中）如图所示，粗糙水平金属轨道与光滑倾斜金属轨道足够长，不计轨道的电阻。倾斜金属轨道与水平面的夹角为θ，水平轨道之间的距离为2L，倾斜轨道之间的距离为L，两轨道所在平面都有垂直导轨方向的磁场，磁感应强度大小都为B，方向如图所示。导体棒a的质量为m、长度为L、阻值为R，导体棒b的质量为2m、长度为2L、阻值为2R，b棒静止在水平导轨上，在倾斜导轨上静止释放a棒，运动过程中两棒与轨道接触良好，b棒始终静止在水平导轨上，重力加速度为g，则（　　） A．a棒最终稳定运动的速度为 B．b棒受到的最大摩擦力为mgsinθ C．b棒受水平向左的摩擦力 D．若水平轨道也光滑，最终a、b棒会匀速运动 【答案】A 【解析】A．a棒最终稳定运动时，根据平衡条件可得 感应电动势为 感应电流为 可得a棒最终稳定运动的速度为 故A正确； B．a棒最终稳定运动时，a棒速度达到最大，此时b棒受到的摩擦力最大，为 故B错误； C．根据左手定则，b棒受到的安培力向左，b棒始终静止在水平导轨上，根据平衡条件可知b棒受水平向右的摩擦力，故C错误； D．若水平轨道光滑，假设a、b棒最终匀速运动，此时回路中感应电流为零，a、b棒受到的安培力为零，a棒在重力作用下将做加速运动，假设不成立，故若水平轨道也光滑，最终a、b棒不会匀速运动，故D错误。 故选A。 【变式4-2】（2024·江苏·模拟预测）如图所示，装置水平置于竖直向下、磁感应强度大小为B的匀强磁场中，电源电动势为E、内阻为R，两幅平行且光滑的导轨间距分别为d与2d。导体棒b、c的电阻分别为R和2R，质量分别为m和2m，垂直置于导轨上。导轨足够长且不计电阻，闭合开关，下列正确的是（    ） A．b、c棒均向右运动 B．稳定前c棒的加速度大小是b棒的2倍 C．稳定时b、c棒速度大小相等 D．稳定时导体棒b两端的电压为 【答案】C 【解析】A．由图可知流过导体棒的电流方向从下到上，流过导体棒的电流方向从上到下，根据左手定则可知导体棒所受安培力向左，导体棒所受安培力向右，则导体棒向左运动，导体棒向右运动，故A错误； B．导体棒、串联，则电流相等，根据可知所受安培力之比为，导体棒b、c的质量分别为m和2m，根据牛顿第二定律 可知导体棒b、c的加速度之比为，故B错误； C．根据可知稳定时b、c棒速度大小相等，故C正确； D．闭合开关，当两棒稳定时，两棒产生的反电动势与电源电动势的关系有 稳定时导体棒b两端的电压 故D错误。 故选C。 【变式4-3】（24-25高三上·陕西·期中）如图，在绝缘水平面上固定两根光滑平行金属导轨，左右两侧导轨处于竖直向上的磁场中，磁感应强度大小分别为B和2B，导轨间距分别为2d和d，已知导体棒MN的电阻为R、长度为d，导体棒PQ的电阻为2R、长度为2d，PQ的质量是MN的2倍。初始时刻两棒静止，两棒中点之间连接一压缩量为L的轻质绝缘弹簧，弹簧的劲度系数为k。释放弹簧后两棒在各自磁场中运动直至停止，弹簧始终在弹性限度内。两棒保持与导轨垂直并接触良好，导轨足够长且电阻不计。求 （1）导体棒PQ的速率为v时，导体棒MN所受的安培力大小； （2）弹簧释放的整个过程中，流过导体棒MN的电流方向及通过导体棒PQ的电荷量； （3）弹簧释放的整个过程中，通过导体棒PQ产生的热量。 【答案】（1） （2）由M指向N， （3） 【解析】（1）设任意时刻回路电流为I，则PQ受安培力 方向向右；MN受安培力 方向向左。可知两棒系统受合外力为零，动量守恒，设PQ质量为2m，则MN质量为m，PQ速率为v时，则 解得 回路的感应电流 MN所受安培力大小为 （2）弹簧伸展过程中，根据右手定则可知，回路中产生顺时针方向的电流，导体棒MN中的电流方向由M指向N。两棒最终停止时弹簧处于原长状态，此时两棒间距增加了L，由动量守恒可得 其中 可得则最终MN位置向右移动 PQ位置向左移动 则 （3）经分析释放弹簧过程中系统能量守恒，弹簧的弹性势能全部转化为系统的焦耳热能 导体棒PQ产生的热量为 【变式4-4】（23-24高二下·广东中山·期末）平行金属导轨与如图所示放置，与段水平且粗糙，金属棒与导轨间的动摩擦因数，DE与段倾斜且光滑，与水平面成角，空间中存在匀强磁场（整个装置都在磁场中），磁感应强度为，方向竖直向上，倾斜导轨间距为，水平导轨间距为，金属棒质量均为，接入回路的电阻均为，两金属棒间用轻质绝缘细线相连，中间跨过一个理想定滑轮，两金属棒运动时与导轨充分接触，两金属棒始终垂直于导轨且不会与滑轮相碰，金属导轨足够长，不计导轨电阻，，现将两金属棒由静止释放。 （1）判断两棒运动过程中， 棒中的电流方向，以及两棒各自受到安培力的方向； （2）求两金属棒的速度的最大值。 【答案】（1）从a到b；水平向右，水平向左；（2） 【解析】（1）将两金属棒由静止释放，由 可知棒沿导轨向下运动，cd棒向右运动，闭合回路中磁通量减小，由楞次定律可知，棒中的电流方向为从a到b。 由左手定则可知棒受到安培力的方向水平向右，cd棒到安培力的方向水平向左。 （2）当两金属棒加速度为0时速度最大，设最大速度为vm。对ab棒 对cd棒 此时回路中感应电动势为 由闭合电路欧姆定律可得 解得 题型5 杆+电容器+导轨模型 【例5】（2024·江苏南通·模拟预测）据报道，中国第三艘航母福建舰首次进行海试。该舰首次采用电磁弹射器技术，如图所示为电磁弹射装置的等效电路图（俯视图）。两根相互平行的光滑长直导轨固定在水平面上，在导轨的左端接入电容为的C超级电容器，阻值为R的导体棒MN静止于导轨上。先给电容器充电（电荷量为Q），闭合开关S后，弹射时电容器释放储存的电能，所产生的强大电流经过棒MN，在强磁场作用下加速。棒MN始终与导轨垂直且接触良好，不计导轨的电阻。下列说法正确的是（　　） A．超级电容器相当电源，放电时两端电压不变 B．在电容器放电过程中，电容器的电容不断减小 C．通过导体棒电流的最大值为 D．导体棒速度最大时所受的安培力也最大 【答案】C 【解析】B．超级电容器的电容是由电容器的内部结构决定的，与充电放电无关，电容器的电容不变，故B错误； A．超级电容器相当电源，根据 知，放电时Q减小，两端电压减小，故A错误； C．根据题意可知，刚闭合开关时，导体棒未运动，此时反电动势为零，电容器电压最大，则通过导体棒电流的最大，最大值为 又有 则通过导体棒电流的最大值为 故C正确； D．MN在运动过程中为非纯电阻电路，MN上的电流瞬时值为 当 时，MN上电流瞬时为零，此时安培力为零，MN速度最大，故D错误。 故选C。 【变式5-1】（23-24高二下·重庆江北·月考）如图所示，足够长的固定在水平面上的光滑U形金属框架宽为L，左端连有一不带电的电容为C的电容器（金属框架电阻忽略不计）。在框架的两平行导轨上放一质量为m、长为L、电阻为R的金属棒ab，棒始终垂直于两导轨且接触良好。整个装置处在竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度大小为B。现给棒ab一个向右的水平初速度使棒始终沿导轨运动，则下列关于金属棒从开始运动到达稳定状态的过程中的说法中正确的是（　　） A．杆的速度越来越小，直到减小为零 B．杆的速度越来越小，稳定后速度为 C．电容的电荷量越来越大，最大值为 D．电流强度越来越大 【答案】B 【解析】当金属棒ab做切割磁感线运动时，要产生感应电动势，这时电容器C将被充电，ab棒中有充电电流存在，ab棒受到安培力的作用而减速，当ab棒以稳定速度v匀速运动时，电流不变且为0，电容两端电压等于电动势即 电容器两端电压 对导体棒ab，由动量定理可得 其中 联立可求得 ， 故选B。 【变式5-2】（多选）（2024·山东日照·一模）如图所示，足够长的光滑平行金属导轨固定在绝缘水平面上，导轨左端连接电容为C的电容器，导轨间距为，磁感应强度大小为B、方向竖直向下的匀强磁场穿过导轨所在平面。一根质量为m的导体棒垂直静置在导轨上，t=0时刻导体棒在水平恒力F的作用下从静止开始向右运动，时刻电容器两极板间的电势差为U，此时撤去拉力F。导体棒始终垂直于导轨且与导轨接触良好，忽略所有电阻。下列判断正确的是（    ） A．时刻，导体棒的速度为 B．恒力F的大小为 C．0～的时间内，拉力F做的功为 D．撒去拉力F后，导体棒稳定后的速度为 【答案】BC 【解析】A．时刻，导体棒产生的感应电动势为 导体棒的速度为 故A错误； B．0～的时间内，根据动量定理 电量为 解得恒力F的大小为 故B正确； C．忽略所有电阻，0～的时间内，根据能量守恒，拉力F做的功为 故C正确； D．撒去拉力F后，导体棒稳定后，设电容器两端的电压为，则 根据动量定理有 电量为 解得导体棒稳定的速度为 故D错误。 故选BC。 【变式5-3】（多选）（23-24高二上·山东青岛·期末）如图，两根相互平行的光滑长直金属导轨固定在水平绝缘桌面上，在导轨的左端接入电容为C的电容器和阻值为R的电阻．质量为m、阻值也为R的导体棒MN静止于导轨上，与导轨垂直，且接触良好，导轨电阻忽略不计，整个系统处于方向竖直向下的匀强磁场中．开始时，电容器所带的电荷量为Q，合上开关S，在以后的整个电路动态变化中，下列说法正确的是（    ） A．开关S中的电流一定大于电阻R中的电流 B．导体棒MN向右先加速、后匀速运动 C．导体棒MN速度最大时所受的安培力为0 D．电阻R产生焦耳热大于导体棒上产生焦耳热 【答案】CD 【解析】ABC．开始时导体棒上电流从M到N，导体棒受安培力水平向右，导体棒加速，同时导体棒切割磁感线产生电动势，回路里电流减小，当导体棒产生的电动势与电容器板间电压相等时，回路电流为零，导体棒速度达到最大，此时安培力为零，因中间有电阻R相联接，电容器与电阻R形成各自的回路，电容放电，导体棒中电流反向，所受安培力反向，所以之后导体棒MN一直减速，直到速度变为零，电容的电量为零，最终电能和动能全部转化为内能，则开始时通过电键S的电流等于R和导体棒上电流之和，后来通过R的电流等于S的电流和导体棒的电流之和，故AB错误，C正确。 D．因为在MN加速阶段，由于MN存在反电动势，所以通过MN的电流要比通过R上的电流要小，所以电阻R消耗的电能大于MN上消耗的电能，故加速阶段电阻R上产生的焦耳热大于导体棒MN上产生的焦耳热；当安培力为零后，MN开始减速直到速度为0，此时电容器的电流和导体棒的电流都流经电阻R，此时电阻R上的电流仍然大于导体棒上的电流，故该阶段电阻R上产生的焦耳热也大于导体棒MN上产生的焦耳热，则整个过程中电阻R产生焦耳热大于导体棒上产生焦耳热，故D正确。 故选CD。 【变式5-4】（多选）（2024·湖北黄冈·三模）如图所示，足够长、间距为L的光滑平行金属导轨CD、EF倾斜放置，其所在平面与水平面间的夹角为，导轨下端并联着电容为C的电容器和阻值的电阻。一根质量为m，电阻不计的金属棒放在导轨上，金属棒与导轨始终垂直并接触良好，一根不可伸长的绝缘轻绳一端拴在金属棒中间，另一端跨过理想定滑轮与质量的重物相连。金属棒与定滑轮之间的轻绳始终在两导轨所在平面内且与两导轨平行，磁感应强度大小为B的匀强磁场垂直于导轨所在平面向上。已知重力加速度大小为g，不计导轨电阻，先用手托住重物，再由静止释放，下列说法正确的是（　　） A．当、均断开时，金属棒向上做匀加速运动，加速度大小 B．当闭合，断开时，金属棒向上运动的最大速度为 C．当、均闭合时，电容器最大电荷量 D．当断开，闭合时，t时刻导体棒速度 【答案】BCD 【解析】A．、均断开时，根据牛顿第二定律有 解得 故A错误； B．当闭合，断开时，重物由静止释放后拉动金属棒沿导轨向上做加速运动，金属棒受到沿导轨向下的安培力作用，设最大速度为，感应电动势感为 感应电流为 当金属棒速度最大时有 解得 故B正确； C．当、均闭合时,电容器两板间的最大电压 电容器的最大带电量 故C正确； D．当断开，闭合时，设从释放重物开始经时间t，金属棒的速度大小为，加速度大小为，通过金属棒的电流为，金属棒受到的安培力为 方向沿导轨向下，设在时间t到内流经金属棒的电荷量为，也是平行板电容器在t到内增加的电荷量，则 设绳中拉力为T，由牛顿第二定律，对金属棒有 对重物有 解得 可知重物做初速度为零的匀加速直线运动，则 故D正确； 故选BCD。 题型6 电磁感应现象中的功能关系 【例6】（23-24高二下·江苏苏州·月考）在如图所示的倾角为θ的光滑斜面上存在着两个磁感应强度大小均为B的匀强磁场区域，区域I的磁场方向垂直斜面向上，区域Ⅱ的磁场方向垂直斜面向下，磁场宽度HP及PN均为L，一个质量为m、电阻为R、边长也为L的正方形导线框abcd，由静止开始沿斜面下滑，t1时刻ab边刚越过GH进入磁场I区域，此时导线框恰好以速度v1做匀速直线运动；t2时刻ab边下滑到JP与MN的中间位置，此时导线框又恰好以速度v2做匀速直线运动。重力加速度为g，下列说法中正确的是（　　） A．当ab边刚越过JP时，导线框的加速度大小为 B．导线框两次匀速直线运动的速度之比 C．从t1到t2的过程中，导线框克服安培力做功的大小等于重力势能的减少量 D．从t1到t2的过程中，有机械能转化为电能 【答案】D 【解析】A．ab边刚越过GH即做匀速直线运动，表明线框此时所受的合力为0，即 在ab边刚越过JP时，ab、cd边都切割磁感线产生感应电动势，但线框的运动速度不能突变，仍为v1，则此时回路中的总感应电动势为 设此时线框的加速度为a，则ab边刚越过JP时，受到的安培力方向沿斜面向上，cd边受到的安培力也沿斜面向上，根据牛顿第二定律可得 联立可得 方向沿斜面向上，故A错误； B．由于线框再做匀速运动时的速度为v2，则线框受力平衡，即 结合A中分析可知 故B错误； C．从t1到t2的过程中，根据能量守恒得，导线框克服安培力做功的大小等于重力势能的减少加上线框动能的减少量，故C错误； D．根据能量守恒定律有 故转化为电能的机械能为 故D正确。 故选D。 【变式6-1】（22-23高二下·江苏无锡·期末）如图所示，在倾角为θ的光滑斜面上放置着单匝矩形金属线框，其中MN长为，PM长为，金属线框的质量为m，其电阻恒为R，垂直于斜面向上的匀强磁场的磁感应强度B随时间的变化规律为（其中、k均大于零）。时刻将线框由斜面顶端静止释放，若斜面很长，不计空气阻力，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A．线框先加速运动最后匀速运动 B．线框产生的焦耳热等于机械能的减少量 C．时线框的热功率为 D．时重力的瞬时功率为 【答案】C 【解析】A．线框上下两边所受的安培力大小相等，反向相反，可以知道线框所受的合力大小恒定，线框做匀加速直线运动，故A错误； B．对于线框，只有重力做功，机械能守恒，根据能量守恒知，磁场能转化为焦耳热，故B错误； C．根据法拉第电磁感应定律得 时线框的热功率为 故C正确； D．时线框竖直方向速度为 重力的瞬时功率为 故D错误。 故选C。 【变式6-2】（多选）（23-24高二下·内蒙古赤峰·期末）如图所示，一平行金属轨道平面与水平面成角，两道轨上端相连电阻，该装置处于匀强磁场中，磁场方向垂直于轨道平面向上。质量为的金属杆，从距离地面高度处静止释放，下滑一段距离后达到最大速度并刚好到达轨道底端。若运动过程中，属杆受到的摩擦力大小恒为，金属杆始终保持与导轨垂直且接触良好，轨道与金属杆的电阻均忽略不计，则从开始下滑到达到最大速度的过程中（　　） A．金属杆做匀加速直线运动 B．金属杆所受安培力的冲量大小为 C．金属杆损失的机械能等于 D．电路产生的焦耳热等于 【答案】CD 【解析】A．设金属轨道宽度为，金属杆运动速度为，对金属杆受力分析可得 又有 整理可得 可得金属杆下滑时速度增大，加速度在减小，故A错误； B．根据动量定理可得，从开始下滑到达到最大速度的过程中有 解得 故B错误； C．开始下滑时机械能为，速度最大时机械能为，金属杆损失的机械能等于 故C正确； D．根据题意，由能量守恒定律有 可得，电路产生的焦耳热为 故D正确。 故选CD。 【变式6-3】（24-25高二上·浙江宁波·期中）如图所示，两根倾斜放置与水平面夹角为θ的平行光滑导轨间距为l，导轨间接一阻值为R的电阻，整个空间分布着匀强磁场，磁场方向垂直于导轨所在平面向上，磁感应强度大小为B，一质量为m、电阻也为R的金属杆ab，以某一初速度沿轨道上滑，直至速度减为零。已知上述过程中电阻R产生的热量为Q，其最大瞬时电功率为P，设导轨电阻不计，ab杆向上滑动的过程中始终与导轨保持垂直且接触良好。 （1）求金属杆ab上滑的初速度大小； （2）求金属杆ab刚开始上滑时的加速度大小； （3）求金属杆ab上滑的最大距离x。 【答案】（1） （2） （3） 【解析】（1）设ab杆上滑的初速度为v0，则ab杆产生的感应电动势 通过电阻R的电流为 R上的最大功率为 解得 （2）ab杆上滑切割磁感线，产生感应电动势，由右手定则可知感应电流方向为由，由左手定则可得安培力方向沿轨道向下，由牛顿第二定律可得 由安培力公式可得 感应电流 联立解得金属杆ab刚开始上滑时的加速度大小 （3）在ab杆上滑的全过程中，R上产生的热量为Q，则ab杆上产生的热量也为Q。全过程电路产生的总热量 当ab杆速度为零时，ab杆向上滑动的最大距离为x，根据能量转化和守恒定律 解得 【变式6-4】（22-23高三上·江苏扬州·期末）如图所示，两条平行光滑导轨相距L，水平导轨足够长，导轨电阻不计。水平轨道处在竖直向上匀强磁场中，磁感应强度为B。金属棒b放在水平导轨上，金属棒a从斜轨上高h处自由滑下。已知金属棒a、b质量均为m，金属棒a、b电阻均为R，整个过程中金属棒a、b始终未相撞。求： （1）金属棒b的最大加速度a； （2）金属棒a最多产生的热量Q。 【答案】（1） （2） 【解析】（1）当金属棒a刚进入磁场时速度最大，则此时回路电流最大，b受安培力最大，加速度最大，由机械能守恒定律有 金属棒a刚进入磁场时产生的电动势 回路的感应电流 导体b受安培力 由牛顿第二定律 联立解得 （2）a进入磁场后受向左的安培力做减速运动，b受到向右的安培力做加速运动，当两棒共速时匀速运动，则此过程中动量守恒，可得 产生的总热量 金属棒a最多产生的热量 题型7 电磁感应与动量守恒定律的综合 【例7】（多选）（24-25高三上·陕西安康·开学考试）如图所示，光滑平行导轨放在绝缘的光滑水平面上，导轨间距为L，导轨左端通过硬质导线连接阻值为R的定值电阻，导轨、硬质导线及电阻的总质量为m。空间存在竖直向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场。质量也为m的金属棒垂直导轨放置，金属棒在水平向右、大小为F的恒力作用下由静止开始运动，经过一段时间t（未知）后金属棒的速度大小为2v，导轨的速度大小为v，然后立即撤去外力。除定值电阻外，其余电阻均忽略不计，运动过程中金属棒与导轨始终垂直且接触良好，则下列说法正确的是（　　） A．恒力作用过程中对系统做的功等于撤去恒力时系统的动能 B．恒力作用的总时间为 C．恒力作用的过程中金属棒相对导轨运动的位移大小为 D．撤去恒力后经过足够长的时间定值电阻上产生的焦耳热为 【答案】BD 【解析】A．根据能量守恒可知，恒力作用过程中对系统做的功等于撤去恒力时系统的动能以及电阻发热产生的热能之和，故A错误； B．对整体，根据动量定理 解得 故B正确； C．对电阻和导轨，根据动量定理 则通过导体横截面电荷量 又 解得 故C错误； D．撤去恒力后经过足够长的时间，整体匀速运动，根据动量守恒 最终速度 根据能量守恒定值电阻上产生的焦耳热 故D正确。 故选BD。 【变式7-1】（23-24高二下·江苏·月考）如图所示，水平面上固定的两光滑平行长直导轨，间距为L，处于磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向与导轨平面垂直，两质量都为m、电阻都为R的导体棒、垂直放置在导轨上，与导轨接触良好，静止，以初速度向右运动，运动过程中两棒不发生相碰。不计导轨电阻，忽略感应电流产生的磁场，则（     ） A．导体棒最终停止运动，以某一速度匀速运动 B．导体棒的最大加速度为 C．两导体棒的初始距离最小为 D．回路中产生的总焦耳热为 【答案】B 【解析】A．根据楞次定律，导体棒、最终以相同的速度匀速直线运动，设共同速度为，水平向右为正方向，根据动量守恒定律可得 解得 两导体最终都以的速度匀速运动，故A错误； B．以初速度向右运动时两导体棒加速度最大，则有 解得 故B正确； C．当导体棒、速度相等时距离为零，则两棒初始距离最小，设最小初始距离为l，则通过导体棒横截面的电量为 对导体棒，由动量定理得 即 解得 故C错误； D．设导体棒、在整个过程中产生的焦耳热为，根据能量守恒定律可得 解得 故D错误； 故选B。 【变式7-2】（多选）（23-24高二下·天津静海·月考）如图所示，足够长的水平光滑金属导轨所在空间中，分布着垂直于导轨平面且方向竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B。两导体棒a、b均垂直于导轨静止放置。已知导体棒a质量为2m，导体棒b质量为m，长度均为l，电阻均为r，其余部分电阻不计。现使导体棒a获得瞬时平行于导轨水平向右的初速度。除磁场作用外，两棒沿导轨方向无其他外力作用，在两导体棒运动过程中，下列说法正确的是（　　） A．任何一段时间内，导体棒b的动能增加量小于导体棒a的动能减少量 B．全过程中，两棒共产生的焦耳热为 C．全过程中，通过导体棒b的电荷量为 D．任何一段时间内导体棒b的动量改变量跟导体棒a的动量改变量总是大小相等方向相反 【答案】ACD 【解析】A．由能量关系可知，任何一段时间内，导体棒的动能减少量等于导体棒的动能增加量与回路产生的焦耳热之和，则导体棒的动能增加量小于导体棒的动能减少量，故A正确； B．全过程中，由动量守恒定律可知 两棒共产生的焦耳热为 故B错误； C．全过程中，对导体棒b由动量定理 通过导体棒的电荷量为 故C正确； D．对导体棒ab系统，受合外力为零，则系统动量守恒，则任何一段时间内，导体棒的动量改变量跟导体棒的动量改变量总是大小相等、方向相反，故D正确。 故选ACD。 【变式7-3】（多选）（24-25高三上·贵州遵义·开学考试）如图所示，两条足够长的平行光滑金属导轨MN，PQ固定在绝缘水平桌面上，导轨间距为d，磁感应强度为B的匀强磁场垂直于导轨平面向上，金属棒1与2均垂直于导轨放置并静止。已知两金属棒的材料相同、长度均为d，金属棒1的横截面积为金属棒2的两倍，电路中除两金属棒的电阻均不计。现使质量为m的金属棒2获得一个水平向右的瞬时速度，两金属棒从开始运动到状态稳定的过程中，下列说法正确的是（    ） A．金属棒1的最大速度为 B．金属棒2的最小速度为 C．金属棒1上产生的焦耳热为 D．金属棒2上产生的焦耳热为 【答案】ACD 【解析】AB．两金属棒的材料相同、长度均为d，金属棒1的横截面积为金属棒2的两倍，根据 、 可知 、 金属棒2在安培力作用下先减速后匀速，金属棒1在安培作用下先加速后匀速，状态稳定时两金属棒速度相同，一起做匀速运动。对整个系统由动量守恒定律得 解得 则金属棒1的最大速度和金属棒2的最小速度均为，故A正确，B错误； CD．运动过程中系统损失的动能转化为焦耳热，则由能量守恒得 其中 、 解得 、 故CD正确； 故选ACD。 题型8 电磁感应与动量定理的综合 【例8】（多选）（23-24高三下·山东枣庄·期中）一空间有垂直纸面向里的水平匀强磁场，两根电阻不计的足够长平行光滑导轨竖直放置在磁场内，如图所示。磁感应强度，两导轨间距为0.2m；导体棒ab、cd紧贴导轨放置，电阻均为0.1Ω，质量m均为0.1kg，长度均为0.2m；现用恒力向上拉动静止的导体棒ab的同时，将cd以初速度向下释放（导体棒ab、cd始终与导轨垂直且接触良好），重力加速度g取，当两导体棒稳定后，下列说法正确的是（　　） A．ab、cd棒均做匀加速直线运动 B．ab、cd棒均做匀速直线运动 C．ab、cd棒速度大小相等 D．cd棒的速度大小是ab棒的3倍 【答案】BD 【解析】AB．开始时导体棒cd切割磁感线产生的感应电动势为 回路中的感应电流为 导体棒cd、ab所受的安培力大小皆为 对两棒受力分析可知，ab棒受到的合力向上，故ab棒向上做加速运动，cd棒受到的合力向下，故cd棒向下做加速运动，两棒运动速度越来越大，可知回路中产生的感应电流也越来越大，两导体棒受到的安培力也越来越大，当安培力等于1N时，两导体棒受力平衡，之后均做匀速直线运动，且ab棒向上做匀速直线运动，cd棒向下做匀速直线运动，故A错误、B正确。 CD．两导体棒达到稳定后，设导体棒ab向上运动的速度大小为，导体棒cd向下运动的速度大小为，电路中的感应电动势为 回路中总电流 ab棒受到的安培力大小为 又ab棒受力平衡，则有 同时对导体棒ab、cd整体由动量定理有 联立解得 故C错误、D正确。 故选BD。 【变式8-1】（多选）（24-25高三上·江西·月考）如图，足够长光滑绝缘斜面的倾角为，斜面上水平虚线MN和PQ之间有垂直斜面向上的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B，MN和PQ之间的距离为2L，一边长为L、质量为m、电阻为R的正方形金属线框abcd从MN下方某处以一定的初速度沿斜面向上滑行，线框穿过磁场区域后继续沿斜面向上滑行到速度为零，然后线框开始沿斜面下滑，cd边刚进磁场时和ab边刚要出磁场时，线框的加速度均为零。重力加速度大小为g，线框运动过程ab边始终水平，，下列说法正确的是（    ） A．线框向上运动过程中，进磁场过程与出磁场过程安培力的冲量相同 B．线框向上运动过程中，进磁场克服安培力做功和出磁场克服安培力做功相等 C．线框向下运动过程中，线框中产生的焦耳热为1.2mgL D．线框向下运动过程中，线框穿过磁场所用的时间为 【答案】AD 【解析】A．线框向上进磁场和出磁场过程中，安培力的冲量均为 A正确； B．线框向上运动过程中，进磁场平均安培力大于出磁场平均安培力，因此进磁场克服安培力做功大于出磁场克服安培力做功，B错误； C．根据题意，线框向下运动过程中，cd边刚进磁场时的速度与ab边刚要出磁场时的速度相等，线框穿过磁场过程根据能量守恒，线框中产生的焦耳热 C错误； D．线框向下运动过程中，设线框运动的时间为t，根据动量定理有 式中 解得 D正确。 故选AD。 【变式8-2】（多选）（24-25高三上·山西吕梁·开学考试）如图所示，在光滑水平面上两条平行边界间有宽度为d的匀强磁场，磁场区域足够长，匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向竖直向下，即垂直于纸面向内，磁场左侧有一边长为d的正方形金属导体线框，线框的质量为m，电阻为R，线框在纸面内，CD边平行于磁场左边界，线框以恒定的速度v通过磁场区域，速度v方向与左边界的夹角为，在线框匀速通过磁场区域过程中，下列说法正确的是（　　） A．线框穿出磁场过程中受到的安培力方向与速度v方向相反 B．线框从CD边运动到磁场左边界至AB边运动到磁场左边界过程中通过线框导体横截面的电荷量为 C．线框穿过磁场整个过程中线框中产生的热量为 D．如果给线框一个初速度，方向与左边界的夹角为，线框的CD边恰好没有穿出磁场，此过程中线框受安培力的冲量大小为 【答案】BCD 【解析】A．由题意，根据楞次定律结合左手定则，判断知线框穿出磁场过程中受到的安培力方向水平向左，故A错误； B．由题意，可得通过线框导体横截面的电荷量为 则线框从CD边运动到磁场左边界至AB边运动到磁场左边界过程中通过线框导体横截面的电荷量为 故B正确； C．根据功能关系，可得线框穿过磁场整个过程中线框中产生的热量等于线框克服安培力所做的功，即 故C正确； D．线框的CD边恰好没有穿出磁场，线框只受安培力的作用，此过程中线框受安培力的方向水平向左，线框的CD边恰好没有穿出磁场，则水平方向的末速度变为0。在水平方向上，设向左为正方向，根据动量定理，此过程中线框受安培力的冲量 即线框所受安培力的冲量大小为，故D正确。 故选BCD 。 【变式8-3】（多选）（22-23高三下·重庆渝中·月考）如图所示，杆受一冲量作用后以初速度沿水平面内的固定轨道运动，经一段时间后而停止。的质量为m，电阻为r，导轨宽为L，右端连接一电阻R，其余的电阻不计，磁感应强度为B，棒和导轨间的动摩擦因数为，测得杆从运动到停止的过程中通过导线的电量为q，重力加速度为g，则下列说法正确的是（　　） A．杆的最大加速度 B．杆运动的距离 C．杆运动的时间 D．电阻R产生的焦耳热 【答案】AC 【解析】A．速度为时加速度最大 故 故A正确。 B．根据 得 故B错误。 C．根据动量定理 而 得 故C正确。 D．由能量守恒 电阻R产生的焦耳热 故D错误。 故选AC。 【变式8-4】（23-24高二下·山东聊城·月考）如图所示，光滑导轨EF、GH等高平行放置，两导轨间的距离为L。导轨右侧水平且处于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度为B，左侧呈弧形升高。ab、cd是质量均为m的金属棒，电阻皆为R，回路中其余部分的电阻可不计。开始时，棒cd静止，现让ab从离水平轨道h高处由静止下滑，设导轨足够长，两导体棒在运动中始终不接触。试求： （1）金属棒ab刚进入磁场时的速度大小； （2）在运动中cd棒能达到的最大速度是多少； （3）运动中安培力对cd棒的总冲量。 【答案】（1）；（2）；（3）m，方向水平向右 【解析】（1）ab棒到达水平轨道时速度v0，则根据动能定理有 解得 （2）从ab棒到达水平轨道到两棒达到相同速度v的过程中，两棒的总动量守恒，有 解得 （3）对cd棒由动量定理可知 I=mv=m 方向水平向右 【变式8-5】（23-24高二下·江西·期末）如图，光滑金属导轨，，其中为半径为的圆弧导轨，是间距为3L且足够长的水平导轨，是间距为2L且足够长的水平导轨。金属导体棒M、N质量均为m，接入电路中的电阻均为R，导体棒N静置在间，水平导轨间存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B。现将导体棒M自圆弧导轨的最高点处由静止释放，两导体棒在运动过程中均与导轨垂直且始终接触良好，导轨电阻不计，重力加速度大小为g。求： （1）导体棒M运动到处时，对导轨的压力； （2）导体棒M由静止释放至达到稳定状态的过程中，通过其横截面的电荷量； （3）在上述过程中导体棒N产生的焦耳热。 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】（1）M棒从圆弧导轨滑下过程，根据动能定理可得 运动到处时，根据牛顿第二定律可得 联立解得 由牛顿第三定律可知，导体棒M运动到处时，对导轨的压力。 （2）两金属棒最终分别做匀速直线运动，则有 ， 又有 解得 分别对M、N应用动量定理，对M有 对N有 又有 解得 ，， （3）全过程系统能量守恒 又有 联立解得 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点突破：电磁感应中的能量、动量及“杆＋导轨”模型 知识点1 电磁感应中的能量问题 电磁感应过程总是伴随着能量的转化，产生电磁感应现象的过程是克服安培力做功的过程，导体切割磁感线的过程中，回路中产生感应电流，机械能转化为电能；磁通量变化的过程中，磁场能转化为电能；电流通过导体受到安培力作用或通过电阻发热，电能转化为机械能或内能。 1、能量转化 2、求解焦耳热Q的三种方法 （1）焦耳定律：。（电流恒定） （2）功能关系：。（适用于纯电阻电路，电流不恒定） （3）能量转化：。（普遍适用） 3、电能求解的思路 若电流恒定，可以根据电路结构及或直接计算。若电流变化，则①利用克服安培力做功求解，电磁感应中产生的电能等于克服安培力所做的功；②利用能量守恒或功能关系求解，若只有电能与机械能的转化，则机械能的减少量等于产生的电能。 知识点2 电磁感应中的动量问题 电磁感应中的动量问题常有闭合线框进出磁场和导体棒切割磁感线两种情境。 1、动量定理的应用 应用动量定理可以由动量变化来求解变力的冲量。例如，利用安培力的冲量求导体棒的位移。对于单杆模型，运动过程中所受的安培力是变力，根据动量定理得，又，，。由以上四式可将流经杆的电荷量q、杆的位移x及速度变化结合在一起。 2、动量守恒定律的应用 在相互平行的水平轨道间的双棒做切割磁感线运动时，由于这两根导体棒所受的安培力等大反向，若不受其他外力，两导体棒的总动量守恒，解决此类问题往往要应用动量守恒定律。 知识点3 电磁感应中的“杆＋导轨”模型 1、单杆模型 示意图 力学观点 最终状态、v-t图像 能量转化 质量为 m、电阻不计的单杆ab以一定初速度v0在光滑水平轨道上滑动，两平行轨道间距为L 杆ab以速度v切割磁感线产生感应电动势，电流，安培力，做减速运动，v↓→F安↓→a↓，当v=0时，F安=0，a=0，杆ab保持静止 静止 动能全部转化为内能： 轨道水平且光滑间距为L，单杆ab质量为m，电阻不计 S闭合，杆ab受安培力，此时，杆ab速度v↑感应电动势↑→I↓→安培力↓→a↓，当时，v最大， 匀速运动 电源输出的电能转化为动能： 轨道水平且光滑间距为L，单杆ab质量为 m，电阻不计，拉力F恒定 开始时，杆ab速度v↑感应电动势↑→I↑→安培力↑→由知a↓，当a=0时，a最大， 匀速运动 F做的功一部分转化为杆的动能，一部分产生电热： 轨道水平且光滑，间距为L，单杆ab质量为m，电阻不计，拉力F恒定 开始时，杆ab速度v↑感应电动势↑，经过∆t速度为v+∆v，此时感应电动势，∆t 时间内流入电容器的电荷量，电流，安培力，，，所以杆以做匀加速运动 匀加速运动 F做的功一部分转化为动能，一部分转化为电场能： 2、双杆模型 示意图 v-t图像 分析 ，不受其他水平外力的作用 光滑的平行导轨 两杆质量、电阻、长度都相等 杆MN做变减速运动，杆PQ做变加速运动，稳定时，两杆的加速度均为零，以相等的速度匀速运动 光滑的不等距导轨 两杆质量、电阻相等，长度L1=2L2，导轨足够长 杆MN做变减速运动，杆PQ做变加速运动，稳定时，两杆的加速度均为零，两杆的速度之比为1:2 ，一杆受到恒定水平外力的作用 光滑的平行导轨 两杆质量、电阻、长度都相等 开始时，两杆做变加速运动；稳定时，两杆以相同的加速度做匀加速运动 题型1 线框模型 【例1】（2023·上海静安·一模）如图，一个正方形导线框从高处自由下落，穿过一水平的匀强磁场区域，已知磁场区域高度大于2倍线框高度，线框离开磁场过程中的运动情况是（　　） A．若线框匀速进入磁场，则离开磁场过程一定是匀速运动 B．若线框加速进入磁场，则离开磁场过程一定是加速运动 C．若线框加速进入磁场，则离开磁场过程一定是减速运动 D．若线框减速进入磁场，则离开磁场过程一定是减速运动 【变式1-1】（23-24高三上·河南·期末）如图所示，质量为m、电阻为R、边长为L的正方形金属线框abcd放在光滑绝缘水平面上，宽度为2L的有界匀强磁场垂直于水平面向下，磁感应强度大小为B，给线框一初速度v0使其向右进入磁场，一段时间后cd边离开磁场。线框运动过程中ab边始终与磁场边界平行，下列说法正确的是（　　） A．线框刚进磁场时的加速度大小为 B．线框的初速度大小满足 C．线框进、出磁场过程，克服安培力做功相同 D．线框进、出磁场过程，安培力的冲量相同 【变式1-2】（23-24高二下·安徽芜湖·期中）如图所示，宽度为3L的有界匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里。磁场左侧有一个边长为L的正方形导体线框，其总电阻为R，线框所在平面与磁场方向垂直。线框以速度v向右匀速穿过磁场区域，则以下关于线框dc两点间的电势差Udc说法正确的是（　　） A．线框进入磁场过程中 B．线框完全在磁场中匀速运动的过程中 C．线框完全在磁场中匀速运动的过程中 D．线框离开磁场过程中 【变式1-3】（23-24高三上·安徽·月考）如图所示，在光滑绝缘的水平面上，相距为2L的两条直线MN、PQ之间存在着竖直向下的匀强磁场，一个用相同材料且粗细均匀的电阻丝制成的、边长为L的正方形线框以初速度v0，从MN左侧沿垂直于MN的方向进入磁场区域，线框完全离开磁场区域时速度大小恰好为0，则以下说法正确的是（　　） A．整个线框处于磁场区域运动时，线框四个顶点的电势满足 B．线框进入磁场过程AB边（AB边位于磁场外）不产生焦耳热 C．线框在进入磁场与穿出磁场两个过程中克服安培力做功之比为1:1 D．若只将线框进入磁场时的速度变为2v0，则线框穿出磁场时的速度大小为v0 【变式1-4】（2024·江苏苏州·三模）如图所示，边长为a，电阻为R的正方形粗细均匀导线框PQMN进入磁感应强度为B的匀强磁场。图示位置线框速度大小为v，且垂直于MN，求： （1）MN两端电势差； （2）线框受到的安培力大小。 题型2 单杆模型 【例2】（2024高三下·全国·专题练习）如图所示，水平面上有两根足够长的光滑平行金属导轨MN和PQ，两导轨间距为L，导轨电阻均可忽略不计。在M和P之间接有一阻值为R的定值电阻，导体杆ab质量为m、电阻也为R，并与导轨垂直且接触良好。整个装置处于方向竖直向下、磁感应强度为B的匀强磁场中。现给ab杆一个初速度，使杆向右运动，最终ab杆停在导轨上。下列说法正确的是（　　） A．ab杆将做匀减速运动直到静止 B．ab杆速度减为时，ab杆加速度大小为 C．ab杆速度减为时，通过定值电阻的电荷量为 D．ab杆速度减为时，ab杆通过的位移为 【变式2-1】（23-24高二下·河北保定·月考）如图所示，间距为1m的两根足够长的光滑平行金属导轨固定于同一绝缘水平面内，左端通过导线连接一个阻值为的定值电阻R，整个导轨处在方向竖直向下、磁感应强度大小为0.8T的匀强磁场中，匀质金属杆垂直导轨放置，在杆的中点施加一个方向垂直杆、大小为2N的水平拉力F，一段时间后杆匀速运动，杆与导轨始终接触良好，杆接入回路的电阻为，导轨的电阻不计，下列说法正确的是（    ） A．杆匀速运动时，流过杆的电流方向为由D到C B．杆匀速运动时，流过定值电阻R的电流为2.5A C．杆匀速运动时，杆两端的电压为4.0V D．杆匀速运动时的速度大小为4m/s 【变式2-2】（多选）（2024·湖北·）如图所示，PQ、MN为足够长的两平行金属导轨，它们之间连接一个阻值的电阻，导轨间距为；有一质量，电阻，长的金属杆ab水平放置在导轨上，它与导轨间的滑动摩擦因数，导轨平面与水平面间的倾角为，在垂直导轨平面的方向上有匀强磁场，且磁感应强度的大小，若现让金属杆ab由静止开始下滑，已知当杆ab由静止开始到恰好做匀速运动的所用时间，则（　　） A．杆 ab下滑速度大小为2m/s时，其加速度的大小1m/s2 B．杆ab下滑的最大速率4m/s C．杆ab从静止开始到匀速运动通过导体棒的电荷量 D．杆ab从静止开始到恰好做匀速运动的过程中R上产生的热量为1J 【变式2-3】（多选）如图所示，固定在倾角θ＝30°的斜面内的两根平行长直光滑金属导轨的间距为d＝1m，其底端接有阻值为R＝2Ω的电阻，整个装置处在垂直斜面向上、磁感应强度大小为B＝2T的匀强磁场中。一质量为m＝1kg的导体杆ab垂直于导轨放置，且与两导轨保持良好接触。现杆在沿斜面向上、垂直于杆的恒力F＝10N作用下，从静止开始沿导轨向上运动距离L＝6m时，速度恰好达到最大（运动过程中杆始终与导轨保持垂直）。设杆接入电路的电阻为r＝2Ω，导轨电阻不计，重力加速度大小为g＝10m/s2。则在此过程中（　　） A．流过电阻R电流方向为由c到d B．杆的速度最大值为5m/s C．杆的速度最大时，a、b两点间电势差的大小为10V D．在这一过程中，整个回路产生的焦耳热为17.5J 【变式2-4】（23-24高二下·北京顺义·月考）如图所示，两根平行光滑金属导轨MN和PQ固定在水平面上，其间距为L，磁感应强度为B的匀强磁场垂直轨道平面向下，两导轨之间连接一阻值为R的电阻，在导轨上有一金属杆ab，其电阻值为r，杆ab长度恰与导轨间距相等，在杆ab上施加水平拉力使其以速度v向右匀速运动，运动过程中金属杆始终与导轨垂直且接触良好，设金属导轨足够长，不计导轨电阻和空气阻力，求： （1）金属杆ab两端的电压； （2）拉力做功的功率P； （3）在上述情境中，仅改变匀强磁场方向，使其垂直轨道平面向上，有同学认为：“导体棒所受的安培力方向会发生改变，导体棒不能再向右做匀速直线运动”，你认为该同学的观点是否正确，说明你的观点及理由。 【变式2-5】（23-24高二上·江西南昌·期末）如图所示，水平面（纸面）内间距为的平行金属导轨间左端接一阻值为的电阻，质量为光滑金属杆置于导轨上。金属杆在水平向右的恒定拉力作用下由静止开始运动，经过时间，金属杆以速度进入磁场，磁场的磁感应强度大小为、方向垂直于纸面向里的匀强磁场区域（磁场区域足够大，导轨足够长），杆与导轨的电阻均忽略不计，两者始终保持垂直且接触良好。求： （1）金属杆刚进入磁场时速度的大小 （2）金属杆刚进入磁场时加速度的大小； （3）金属杆能够达到的最大速度。 【变式2-6】（23-24高二下·江西吉安·月考）如图所示，在范围足够大、方向竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度，有一水平放置的光滑金属框架，宽度为，框架上放置一质量为0.5kg、接入电路的阻值为的金属杆和一阻值为的定值电阻，金属杆长度也为0.5m且与框架垂直并接触良好，框架电阻不计，若杆在水平外力的作用下以恒定速度向右沿框架做匀速直线运动，并计时开始。则： （1）在0~2s内平均感应电动势和水平外力分别是多少？ （2）在0~2s内通过电阻的电荷量是多少？ （3）2s后撤去外力，从开始，全过程中金属杆上产生的焦耳热是多少？ 题型3 双杆在等宽导轨上运动问题 【例3】（多选）（24-25高三上·河北沧州·期中）如图所示，足够长的平行光滑金属导轨固定在绝缘水平面上，两金属棒M、N紧靠在一起垂直导轨放置，空间内存在垂直于导轨平面竖直向下的匀强磁场。现用水平恒力F使金属棒M向右做直线运动，经过时间t系统达到稳定。已知运动过程中两金属棒与导轨始终垂直且接触良好，导轨电阻不计，下列说法正确的是（   ） A．系统达到稳定状态后，两金属棒的加速度相等且两金属棒之间的距离保持不变 B．系统达到稳定状态前，金属棒N的速度与两金属棒之间的距离成正比 C．系统达到稳定状态后，安培力对两金属棒的总冲量为零、总功也为零 D．系统达到稳定状态前，金属棒M克服安培力做的功等于系统产生的焦耳热与金属棒N的动能之和 【变式3-1】（多选）（2024·江西景德镇·一模）如图所示，和为同一水平面内足够长的平行金属导轨，导轨间距为1m，空间存在竖直向下的磁场，左、右两侧磁场的磁感应强度大小分别为、。质量均为0.2kg的金属杆a、b位于两侧，且距足够远，垂直于导轨放置，对a杆施加一水平向左大小为5N的恒力F使其从静止开始运动。已知两杆在运动过程中始终与导轨垂直并良好接触，两杆与导轨构成的回路的总电阻始终为0.5Ω，两杆与导轨间的动摩擦因数均为0.5，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度。下列说法正确的是（　　） A．若将b杆锁定在导轨上，a杆的最终速度为 B．b杆刚要运动时，a杆的速度大小为 C．足够长时间后，回路的面积减小 D．足够长时间后，回路的电流为1.8A 【变式3-2】（多选）（24-25高三上·山东·开学考试）如图所示，两足够长的光滑平行金属导轨固定在同一水平面内，导轨平面虚线左侧存在竖直向下的匀强磁场，虚线右侧存在竖直向上的匀强磁场，虚线左右两侧磁场的磁感应强度大小均为B，导体棒ab和cd均垂直于导轨静止放置在导轨上。某时刻起，保持ab静止，对cd施加大小为F的水平向右的恒力，经过时间t导体棒cd的加速度变为0，此时立即将该恒力撤掉，同时释放ab。已知两导轨的间距为L，导体棒ab的质量为m、接入电路的电阻为R；cd的质量为2m、接入电路的电阻也为R，其余电阻不计，两导体棒运动时均与导轨垂直且接触良好。对两导体棒的运动过程，下列说法正确的是（    ） A．撤掉恒力后，导体棒ab和cd的总动量先减小后不变 B．导体棒ab和cd间的距离先逐渐增大，最后保持不变 C．导体棒ab的最大速度为 D．导体棒cd从开始运动到速度最大的过程，整个回路产生的焦耳热为 【变式3-3】（24-25高三上·陕西·开学考试）如图，间距为L的平行光滑金属轨道与由倾斜和水平两部分平滑连接而成，且，倾斜轨道的倾角为，水平轨道足够长，轨道电阻不计。倾斜部分处于垂直轨道向上的匀强磁场中，其磁感应强度大小为B。已知金属细棒的质量均为m、电阻均为R、长度均为L。现将a棒从高度为h的位置由静止释放，当a棒到达时，立即将b棒也从位置由静止释放，当b棒到达时速度大小为，此时在水平轨道部分加竖直向下的匀强磁场。运动过程中金属细棒始终与下平行且与轨道接触良好，重力加速度为g。求： （1）b棒在倾斜轨道加速至速度时，其加速度大小； （2）b棒到达处时棒之间的距离； （3）若b棒到达处时棒间距离用表示，再经时间a棒继续向左运动距离为，此时棒之间的距离。 【变式3-4】（2024·陕西西安·三模）如图甲所示，两根平行光滑足够长金属导轨固定在倾角θ=30°的斜面上，其间距L=2m。导轨间存在垂直于斜面向上的匀强磁场，磁感应强度B=2T。两根金属棒NQ和ab与导轨始终保持垂直且接触良好，NQ棒通过一绝缘细线与固定在斜面上的拉力传感器连接（连接前，传感器已校零），细线平行于导轨。已知ab棒的质量为2kg，NQ棒和ab棒接入电路的电阻均为2Ω，导轨电阻不计。将ab棒从静止开始释放，同时对其施加平行于导轨的外力F，此时拉力传感器开始测量细线拉力FT，作出力FT随时间t的变化图像如图乙所示（力FT大小没有超出拉力传感器量程），重力加速度g取10m/s2。求： （1）t1=1s时，金属棒ab的速度大小； （2）t2=3s时，外力F的大小。 题型4 双杆在等宽导轨上运动问题 【例4】（2024高三·全国·专题练习）如图，两根光滑平行金属导轨固定在绝缘水平面上，左、右两侧导轨间距分别为d和2d，处于竖直向上的磁场中，磁感应强度大小分别为2B和B。已知导体棒MN的电阻为R、长度为d，导体棒PQ的电阻为2R、长度为2d，PQ的质量是MN的2倍。初始时刻两棒静止，两棒中点之间连接一压缩量为L的轻质绝缘弹簧。释放弹簧，两棒在各自磁场中运动直至停止，弹簧始终在弹性限度内。整个过程中两棒保持与导轨垂直并接触良好，导轨足够长且电阻不计。下列说法正确的是（　　） A．弹簧伸展过程中，回路中产生逆时针方向的电流 B．PQ速率为v时，MN所受安培力大小为 C．整个运动过程中，MN与PQ的路程之比为2∶1 D．整个运动过程中，通过MN的电荷量为 【变式4-1】（23-24高二下·山东临沂·期中）如图所示，粗糙水平金属轨道与光滑倾斜金属轨道足够长，不计轨道的电阻。倾斜金属轨道与水平面的夹角为θ，水平轨道之间的距离为2L，倾斜轨道之间的距离为L，两轨道所在平面都有垂直导轨方向的磁场，磁感应强度大小都为B，方向如图所示。导体棒a的质量为m、长度为L、阻值为R，导体棒b的质量为2m、长度为2L、阻值为2R，b棒静止在水平导轨上，在倾斜导轨上静止释放a棒，运动过程中两棒与轨道接触良好，b棒始终静止在水平导轨上，重力加速度为g，则（　　） A．a棒最终稳定运动的速度为 B．b棒受到的最大摩擦力为mgsinθ C．b棒受水平向左的摩擦力 D．若水平轨道也光滑，最终a、b棒会匀速运动 【变式4-2】（2024·江苏·模拟预测）如图所示，装置水平置于竖直向下、磁感应强度大小为B的匀强磁场中，电源电动势为E、内阻为R，两幅平行且光滑的导轨间距分别为d与2d。导体棒b、c的电阻分别为R和2R，质量分别为m和2m，垂直置于导轨上。导轨足够长且不计电阻，闭合开关，下列正确的是（    ） A．b、c棒均向右运动 B．稳定前c棒的加速度大小是b棒的2倍 C．稳定时b、c棒速度大小相等 D．稳定时导体棒b两端的电压为 【变式4-3】（24-25高三上·陕西·期中）如图，在绝缘水平面上固定两根光滑平行金属导轨，左右两侧导轨处于竖直向上的磁场中，磁感应强度大小分别为B和2B，导轨间距分别为2d和d，已知导体棒MN的电阻为R、长度为d，导体棒PQ的电阻为2R、长度为2d，PQ的质量是MN的2倍。初始时刻两棒静止，两棒中点之间连接一压缩量为L的轻质绝缘弹簧，弹簧的劲度系数为k。释放弹簧后两棒在各自磁场中运动直至停止，弹簧始终在弹性限度内。两棒保持与导轨垂直并接触良好，导轨足够长且电阻不计。求 （1）导体棒PQ的速率为v时，导体棒MN所受的安培力大小； （2）弹簧释放的整个过程中，流过导体棒MN的电流方向及通过导体棒PQ的电荷量； （3）弹簧释放的整个过程中，通过导体棒PQ产生的热量。 【变式4-4】（23-24高二下·广东中山·期末）平行金属导轨与如图所示放置，与段水平且粗糙，金属棒与导轨间的动摩擦因数，DE与段倾斜且光滑，与水平面成角，空间中存在匀强磁场（整个装置都在磁场中），磁感应强度为，方向竖直向上，倾斜导轨间距为，水平导轨间距为，金属棒质量均为，接入回路的电阻均为，两金属棒间用轻质绝缘细线相连，中间跨过一个理想定滑轮，两金属棒运动时与导轨充分接触，两金属棒始终垂直于导轨且不会与滑轮相碰，金属导轨足够长，不计导轨电阻，，现将两金属棒由静止释放。 （1）判断两棒运动过程中， 棒中的电流方向，以及两棒各自受到安培力的方向； （2）求两金属棒的速度的最大值。 题型5 杆+电容器+导轨模型 【例5】（2024·江苏南通·模拟预测）据报道，中国第三艘航母福建舰首次进行海试。该舰首次采用电磁弹射器技术，如图所示为电磁弹射装置的等效电路图（俯视图）。两根相互平行的光滑长直导轨固定在水平面上，在导轨的左端接入电容为的C超级电容器，阻值为R的导体棒MN静止于导轨上。先给电容器充电（电荷量为Q），闭合开关S后，弹射时电容器释放储存的电能，所产生的强大电流经过棒MN，在强磁场作用下加速。棒MN始终与导轨垂直且接触良好，不计导轨的电阻。下列说法正确的是（　　） A．超级电容器相当电源，放电时两端电压不变 B．在电容器放电过程中，电容器的电容不断减小 C．通过导体棒电流的最大值为 D．导体棒速度最大时所受的安培力也最大 【变式5-1】（23-24高二下·重庆江北·月考）如图所示，足够长的固定在水平面上的光滑U形金属框架宽为L，左端连有一不带电的电容为C的电容器（金属框架电阻忽略不计）。在框架的两平行导轨上放一质量为m、长为L、电阻为R的金属棒ab，棒始终垂直于两导轨且接触良好。整个装置处在竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度大小为B。现给棒ab一个向右的水平初速度使棒始终沿导轨运动，则下列关于金属棒从开始运动到达稳定状态的过程中的说法中正确的是（　　） A．杆的速度越来越小，直到减小为零 B．杆的速度越来越小，稳定后速度为 C．电容的电荷量越来越大，最大值为 D．电流强度越来越大 【变式5-2】（多选）（2024·山东日照·一模）如图所示，足够长的光滑平行金属导轨固定在绝缘水平面上，导轨左端连接电容为C的电容器，导轨间距为，磁感应强度大小为B、方向竖直向下的匀强磁场穿过导轨所在平面。一根质量为m的导体棒垂直静置在导轨上，t=0时刻导体棒在水平恒力F的作用下从静止开始向右运动，时刻电容器两极板间的电势差为U，此时撤去拉力F。导体棒始终垂直于导轨且与导轨接触良好，忽略所有电阻。下列判断正确的是（    ） A．时刻，导体棒的速度为 B．恒力F的大小为 C．0～的时间内，拉力F做的功为 D．撒去拉力F后，导体棒稳定后的速度为 【变式5-3】（多选）（23-24高二上·山东青岛·期末）如图，两根相互平行的光滑长直金属导轨固定在水平绝缘桌面上，在导轨的左端接入电容为C的电容器和阻值为R的电阻．质量为m、阻值也为R的导体棒MN静止于导轨上，与导轨垂直，且接触良好，导轨电阻忽略不计，整个系统处于方向竖直向下的匀强磁场中．开始时，电容器所带的电荷量为Q，合上开关S，在以后的整个电路动态变化中，下列说法正确的是（    ） A．开关S中的电流一定大于电阻R中的电流 B．导体棒MN向右先加速、后匀速运动 C．导体棒MN速度最大时所受的安培力为0 D．电阻R产生焦耳热大于导体棒上产生焦耳热 【变式5-4】（多选）（2024·湖北黄冈·三模）如图所示，足够长、间距为L的光滑平行金属导轨CD、EF倾斜放置，其所在平面与水平面间的夹角为，导轨下端并联着电容为C的电容器和阻值的电阻。一根质量为m，电阻不计的金属棒放在导轨上，金属棒与导轨始终垂直并接触良好，一根不可伸长的绝缘轻绳一端拴在金属棒中间，另一端跨过理想定滑轮与质量的重物相连。金属棒与定滑轮之间的轻绳始终在两导轨所在平面内且与两导轨平行，磁感应强度大小为B的匀强磁场垂直于导轨所在平面向上。已知重力加速度大小为g，不计导轨电阻，先用手托住重物，再由静止释放，下列说法正确的是（　　） A．当、均断开时，金属棒向上做匀加速运动，加速度大小 B．当闭合，断开时，金属棒向上运动的最大速度为 C．当、均闭合时，电容器最大电荷量 D．当断开，闭合时，t时刻导体棒速度 题型6 电磁感应现象中的功能关系 【例6】（23-24高二下·江苏苏州·月考）在如图所示的倾角为θ的光滑斜面上存在着两个磁感应强度大小均为B的匀强磁场区域，区域I的磁场方向垂直斜面向上，区域Ⅱ的磁场方向垂直斜面向下，磁场宽度HP及PN均为L，一个质量为m、电阻为R、边长也为L的正方形导线框abcd，由静止开始沿斜面下滑，t1时刻ab边刚越过GH进入磁场I区域，此时导线框恰好以速度v1做匀速直线运动；t2时刻ab边下滑到JP与MN的中间位置，此时导线框又恰好以速度v2做匀速直线运动。重力加速度为g，下列说法中正确的是（　　） A．当ab边刚越过JP时，导线框的加速度大小为 B．导线框两次匀速直线运动的速度之比 C．从t1到t2的过程中，导线框克服安培力做功的大小等于重力势能的减少量 D．从t1到t2的过程中，有机械能转化为电能 【变式6-1】（22-23高二下·江苏无锡·期末）如图所示，在倾角为θ的光滑斜面上放置着单匝矩形金属线框，其中MN长为，PM长为，金属线框的质量为m，其电阻恒为R，垂直于斜面向上的匀强磁场的磁感应强度B随时间的变化规律为（其中、k均大于零）。时刻将线框由斜面顶端静止释放，若斜面很长，不计空气阻力，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A．线框先加速运动最后匀速运动 B．线框产生的焦耳热等于机械能的减少量 C．时线框的热功率为 D．时重力的瞬时功率为 【变式6-2】（多选）（23-24高二下·内蒙古赤峰·期末）如图所示，一平行金属轨道平面与水平面成角，两道轨上端相连电阻，该装置处于匀强磁场中，磁场方向垂直于轨道平面向上。质量为的金属杆，从距离地面高度处静止释放，下滑一段距离后达到最大速度并刚好到达轨道底端。若运动过程中，属杆受到的摩擦力大小恒为，金属杆始终保持与导轨垂直且接触良好，轨道与金属杆的电阻均忽略不计，则从开始下滑到达到最大速度的过程中（　　） A．金属杆做匀加速直线运动 B．金属杆所受安培力的冲量大小为 C．金属杆损失的机械能等于 D．电路产生的焦耳热等于 【变式6-3】（24-25高二上·浙江宁波·期中）如图所示，两根倾斜放置与水平面夹角为θ的平行光滑导轨间距为l，导轨间接一阻值为R的电阻，整个空间分布着匀强磁场，磁场方向垂直于导轨所在平面向上，磁感应强度大小为B，一质量为m、电阻也为R的金属杆ab，以某一初速度沿轨道上滑，直至速度减为零。已知上述过程中电阻R产生的热量为Q，其最大瞬时电功率为P，设导轨电阻不计，ab杆向上滑动的过程中始终与导轨保持垂直且接触良好。 （1）求金属杆ab上滑的初速度大小； （2）求金属杆ab刚开始上滑时的加速度大小； （3）求金属杆ab上滑的最大距离x。 【变式6-4】（22-23高三上·江苏扬州·期末）如图所示，两条平行光滑导轨相距L，水平导轨足够长，导轨电阻不计。水平轨道处在竖直向上匀强磁场中，磁感应强度为B。金属棒b放在水平导轨上，金属棒a从斜轨上高h处自由滑下。已知金属棒a、b质量均为m，金属棒a、b电阻均为R，整个过程中金属棒a、b始终未相撞。求： （1）金属棒b的最大加速度a； （2）金属棒a最多产生的热量Q。 题型7 电磁感应与动量守恒定律的综合 【例7】（多选）（24-25高三上·陕西安康·开学考试）如图所示，光滑平行导轨放在绝缘的光滑水平面上，导轨间距为L，导轨左端通过硬质导线连接阻值为R的定值电阻，导轨、硬质导线及电阻的总质量为m。空间存在竖直向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场。质量也为m的金属棒垂直导轨放置，金属棒在水平向右、大小为F的恒力作用下由静止开始运动，经过一段时间t（未知）后金属棒的速度大小为2v，导轨的速度大小为v，然后立即撤去外力。除定值电阻外，其余电阻均忽略不计，运动过程中金属棒与导轨始终垂直且接触良好，则下列说法正确的是（　　） A．恒力作用过程中对系统做的功等于撤去恒力时系统的动能 B．恒力作用的总时间为 C．恒力作用的过程中金属棒相对导轨运动的位移大小为 D．撤去恒力后经过足够长的时间定值电阻上产生的焦耳热为 【变式7-1】（23-24高二下·江苏·月考）如图所示，水平面上固定的两光滑平行长直导轨，间距为L，处于磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向与导轨平面垂直，两质量都为m、电阻都为R的导体棒、垂直放置在导轨上，与导轨接触良好，静止，以初速度向右运动，运动过程中两棒不发生相碰。不计导轨电阻，忽略感应电流产生的磁场，则（     ） A．导体棒最终停止运动，以某一速度匀速运动 B．导体棒的最大加速度为 C．两导体棒的初始距离最小为 D．回路中产生的总焦耳热为 【变式7-2】（多选）（23-24高二下·天津静海·月考）如图所示，足够长的水平光滑金属导轨所在空间中，分布着垂直于导轨平面且方向竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B。两导体棒a、b均垂直于导轨静止放置。已知导体棒a质量为2m，导体棒b质量为m，长度均为l，电阻均为r，其余部分电阻不计。现使导体棒a获得瞬时平行于导轨水平向右的初速度。除磁场作用外，两棒沿导轨方向无其他外力作用，在两导体棒运动过程中，下列说法正确的是（　　） A．任何一段时间内，导体棒b的动能增加量小于导体棒a的动能减少量 B．全过程中，两棒共产生的焦耳热为 C．全过程中，通过导体棒b的电荷量为 D．任何一段时间内导体棒b的动量改变量跟导体棒a的动量改变量总是大小相等方向相反 【变式7-3】（多选）（24-25高三上·贵州遵义·开学考试）如图所示，两条足够长的平行光滑金属导轨MN，PQ固定在绝缘水平桌面上，导轨间距为d，磁感应强度为B的匀强磁场垂直于导轨平面向上，金属棒1与2均垂直于导轨放置并静止。已知两金属棒的材料相同、长度均为d，金属棒1的横截面积为金属棒2的两倍，电路中除两金属棒的电阻均不计。现使质量为m的金属棒2获得一个水平向右的瞬时速度，两金属棒从开始运动到状态稳定的过程中，下列说法正确的是（    ） A．金属棒1的最大速度为 B．金属棒2的最小速度为 C．金属棒1上产生的焦耳热为 D．金属棒2上产生的焦耳热为 题型8 电磁感应与动量定理的综合 【例8】（多选）（23-24高三下·山东枣庄·期中）一空间有垂直纸面向里的水平匀强磁场，两根电阻不计的足够长平行光滑导轨竖直放置在磁场内，如图所示。磁感应强度，两导轨间距为0.2m；导体棒ab、cd紧贴导轨放置，电阻均为0.1Ω，质量m均为0.1kg，长度均为0.2m；现用恒力向上拉动静止的导体棒ab的同时，将cd以初速度向下释放（导体棒ab、cd始终与导轨垂直且接触良好），重力加速度g取，当两导体棒稳定后，下列说法正确的是（　　） A．ab、cd棒均做匀加速直线运动 B．ab、cd棒均做匀速直线运动 C．ab、cd棒速度大小相等 D．cd棒的速度大小是ab棒的3倍 【变式8-1】（多选）（24-25高三上·江西·月考）如图，足够长光滑绝缘斜面的倾角为，斜面上水平虚线MN和PQ之间有垂直斜面向上的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B，MN和PQ之间的距离为2L，一边长为L、质量为m、电阻为R的正方形金属线框abcd从MN下方某处以一定的初速度沿斜面向上滑行，线框穿过磁场区域后继续沿斜面向上滑行到速度为零，然后线框开始沿斜面下滑，cd边刚进磁场时和ab边刚要出磁场时，线框的加速度均为零。重力加速度大小为g，线框运动过程ab边始终水平，，下列说法正确的是（    ） A．线框向上运动过程中，进磁场过程与出磁场过程安培力的冲量相同 B．线框向上运动过程中，进磁场克服安培力做功和出磁场克服安培力做功相等 C．线框向下运动过程中，线框中产生的焦耳热为1.2mgL D．线框向下运动过程中，线框穿过磁场所用的时间为 【变式8-2】（多选）（24-25高三上·山西吕梁·开学考试）如图所示，在光滑水平面上两条平行边界间有宽度为d的匀强磁场，磁场区域足够长，匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向竖直向下，即垂直于纸面向内，磁场左侧有一边长为d的正方形金属导体线框，线框的质量为m，电阻为R，线框在纸面内，CD边平行于磁场左边界，线框以恒定的速度v通过磁场区域，速度v方向与左边界的夹角为，在线框匀速通过磁场区域过程中，下列说法正确的是（　　） A．线框穿出磁场过程中受到的安培力方向与速度v方向相反 B．线框从CD边运动到磁场左边界至AB边运动到磁场左边界过程中通过线框导体横截面的电荷量为 C．线框穿过磁场整个过程中线框中产生的热量为 D．如果给线框一个初速度，方向与左边界的夹角为，线框的CD边恰好没有穿出磁场，此过程中线框受安培力的冲量大小为 【变式8-3】（多选）（22-23高三下·重庆渝中·月考）如图所示，杆受一冲量作用后以初速度沿水平面内的固定轨道运动，经一段时间后而停止。的质量为m，电阻为r，导轨宽为L，右端连接一电阻R，其余的电阻不计，磁感应强度为B，棒和导轨间的动摩擦因数为，测得杆从运动到停止的过程中通过导线的电量为q，重力加速度为g，则下列说法正确的是（　　） A．杆的最大加速度 B．杆运动的距离 C．杆运动的时间 D．电阻R产生的焦耳热 【变式8-4】（23-24高二下·山东聊城·月考）如图所示，光滑导轨EF、GH等高平行放置，两导轨间的距离为L。导轨右侧水平且处于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度为B，左侧呈弧形升高。ab、cd是质量均为m的金属棒，电阻皆为R，回路中其余部分的电阻可不计。开始时，棒cd静止，现让ab从离水平轨道h高处由静止下滑，设导轨足够长，两导体棒在运动中始终不接触。试求： （1）金属棒ab刚进入磁场时的速度大小； （2）在运动中cd棒能达到的最大速度是多少； （3）运动中安培力对cd棒的总冲量。 【变式8-5】（23-24高二下·江西·期末）如图，光滑金属导轨，，其中为半径为的圆弧导轨，是间距为3L且足够长的水平导轨，是间距为2L且足够长的水平导轨。金属导体棒M、N质量均为m，接入电路中的电阻均为R，导体棒N静置在间，水平导轨间存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B。现将导体棒M自圆弧导轨的最高点处由静止释放，两导体棒在运动过程中均与导轨垂直且始终接触良好，导轨电阻不计，重力加速度大小为g。求： （1）导体棒M运动到处时，对导轨的压力； （2）导体棒M由静止释放至达到稳定状态的过程中，通过其横截面的电荷量； （3）在上述过程中导体棒N产生的焦耳热。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$