重难点突破：带电粒子在匀强磁场中运动的临界问题、多解问题（9大题型）-2024-2025学年高二物理同步题型分类讲与练（人教版2019选择性必修第二册）

重难点突破：带电粒子在匀强磁场中运动的 临界问题、多解问题 知识点1 临界和极值问题 1、基本方法 带电粒子在有界磁场中运动时，粒子的运动轨迹与粒子入射的速度大小和方向有关，因此会出现粒子恰好离开磁场或恰好经过某一位置的临界情境。解答带电粒子在磁场中运动的临界问题，关键在于运用动态思维，找准临界点，以题目中的“恰好”“最大”“最高”“至少”等词语为突破口，挖掘隐含条件，分析可能的情况，必要时画出几个半径不同的轨迹，找出临界条件。 2、常用结论 （1）刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。 （2）当速率v一定时，弧长越长，圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长。 （3）当速率v变化时，圆心角大的，运动时间长，解题时一般要根据受力情况和运动情况画出运动轨迹的草图，找出圆心，再根据几何关系求出半径及圆心角等。 （4）带电粒子在圆形匀强磁场中运动，当带电粒子运动轨迹的半径大于磁场的半径，且入射点和出射点为磁场直径的两个端点时轨迹对应的圆心角最大（所有弦长中直径最长）。 3、解决临界问题常用的四种方法 （1）平移圆 【适用条件】B一定、v的大小方向一定、入射点不同但在同一条直线上。 【轨迹圆圆心共线】带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在同一直线上，该直线与入射点的连线平行。 【界定方法】将半径为的圆进行平移，从而探索粒子的临界条件。 （2）放缩圆 【适用条件】①B一定、v方向一定、v大小变化。 ②v方向一定、v大小一定，B大小变化。 【轨迹圆圆心共线】因为，所以随着粒子速度（或磁感应强度）的增大或缩小，导致粒子做圆周运动的半径也在变化。故带电粒子沿同一方向射入磁场后，在磁场中的运动轨迹相切于粒子源所在位置，且圆心都在与v方向垂直的直线PP '上。 【界定方法】以入射点P为定点，圆心位于直线PP'上，将半径放缩确定运动轨迹，从而探索出粒子运动的临界条件。 （3）旋转圆 【适用条件】B一定、v的大小一定、v的方向变化。 【轨迹圆圆心共圆】因为，所以粒子的轨迹圆半径相等，所有的轨迹圆的圆心都在以O点为圆心，半径为R的圆周上，随着粒子速度方向的变化，粒子的运动轨迹圆以O点为圆心，发生旋转，粒子所能打到的区域在半径为2R的圆周内。 【界定方法】将半径为的圆以带电粒子入射点为定点进行旋转，从而探索粒子运动的临界条件。 （4）磁聚焦和磁发散 磁发散 磁聚焦 图示 概念 如图甲所示，当粒子从磁场边界上同一点沿不同方向进入磁场区域时，粒子离开磁场时的速度方向一定平行，而且与入射点的切线方向平行 如图乙所示，当粒子以相互平行的速度从磁场边界上任意位置进入磁场区域时，粒子一定会从同一点离开磁场区域，而且该点切线与入射方向平行 规律 （1）如图甲所示，相同速率的同种粒子以相同的初速度射向圆形匀强磁场时，若粒子在磁场中运动的轨迹半径与磁场区域的半径相等，则经过磁场区域的所有粒子都会聚到磁场区域的一条直径的端点处，该直径与粒子初速度垂直。 （2）如图乙所示，粒子进入磁场时，速度与射入点所在磁场半径的夹角和穿出磁场时速度与射出点所在磁场半径的延长线的夹角相等。 知识点2 多解问题 （1）带电粒子的带电性质不确定 受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电荷，也可能带负电荷，在相同的初速度下，粒子电性不同在磁场中运动的轨迹就不同，会形成多解。如图，如粒子带正电荷，其轨迹为a，若粒子带负电荷，其轨迹为b。 （2）磁场方向不确定 在只知道磁感应强度大小，而未具体指出磁感应强度方向的情况下，必须考虑磁感应强度方向不确定面形成的多解。如图，带正电粒子以速度v垂直进入匀强磁场，若B垂直纸面向里，其轨迹为a，若B垂直纸面向外，其轨迹为b。 （3）临界状态不唯一 带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时由于粒子运动轨迹是圆弧，因此它可能穿过磁场飞出，也可能转过180°反向飞出，于是造成多解。 （4）运动具有周期性 带电粒子在部分是电场、部分是磁场的空间中的运动往往具有周期性，因而形成多解。 磁场的最小面积问题 带电粒子经过一个一定形状的有界磁场区域，求该磁场的最小面积，这属于特殊的一类临界问题。 解决此类问题通常先找到粒子进入磁场和离开磁场的速度方向的垂线的交点，即为轨迹的圆心。特定形状的磁场恰好覆盖粒子进入点和离开点间的圆弧，这种情况下磁场的面积最小。当磁场面积最小时，一般会出现轨迹与磁场边界相切，磁场的最小面积可以由几何关系求解。 题型1 “平移圆”处理临界或极值问题 【例1】（多选）（24-25高二上·陕西宝鸡·月考）如图所示，在直角三角形ABC内充满垂直纸面向外的匀强磁场（图中未画出），AB边长度为d，。现垂直AB边射入一束质量均为m、电荷量均为q、速度大小均为v的带正电粒子。已知垂直AC边射出的粒子在磁场中运动的时间为t0，而运动时间最长的粒子在磁场中的运动时间（不计重力），则下列说法正确的是（   ） A．粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为4t0 B．该匀强磁场的磁感应强度大小为 C．粒子在磁场中运动的轨道半径为 D．粒子进入磁场时速度大小为 【变式1-1】（多选）（23-24高三上·贵州贵阳·开学考试）地磁场对宇宙高能粒子有偏转作用，从而保护了地球的生态环境。赤道平面的地磁场简化为如图所示，O为地球球心、R为地球半径。地磁场可视为分布在半径R到2R的两边界之间的圆环区域内，磁感应强度大小均为B，方向垂直纸面向里。太阳耀斑爆发时，向地球持续不断地辐射大量高能粒子，假设均匀分布的带正电高能粒子以相同速度垂直MN沿赤道平面射向地球。已知粒子质量均为m、电荷量均为q，不计粒子的重力及相互作用力。下列说法正确的是（　　） A．当入射粒子的速率不小于时，部分粒子可以到达MN右侧地面 B．若粒子速率为，入射到磁场的粒子到达地面的最短时间为 C．若粒子速率为，正对着O处入射的粒子恰好可以到达地面 D．若粒子速率为，入射到磁场的粒子恰好有一半不能到达地面 【变式1-2】（多选）（2023·重庆·三模）如题图，直角三角形ABC区域内有垂直纸面向里的匀强磁场（图中未画出），AC边长为l，为，一群比荷为的带负电粒子以相同速度从C点开始一定范围垂直AC边射入，射入的粒子恰好不从AB边射出，已知从BC边垂直射出的粒子在磁场中运动的时间为，在磁场中运动时间最长的粒子所用时间为，则以下说法中正确的是（    ） A．磁感应强度大小为 B．粒子运动的轨道半径为 C．粒子射入磁场的速度大小为 D．粒子在磁场中扫过的面积为 【变式1-3】（多选）（22-23高二下·安徽合肥·期末）如图所示，直角三角形ABC区域内有垂直于纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，AC边长为L，∠A＝30°．带正电的粒子流（其重力忽略不计）以相同速度在CD范围内垂直AC边射入（不计粒子间的相互作用力），从D点射入的粒子恰好不能从AB边射出．已知从BC边垂直射出的粒子在磁场中运动的时间为3t，在磁场中运动时间最长的粒子所用时间为4t，则（    ） A．粒子的比荷为 B．粒子运动的轨道半径为 C．粒子射入磁场的速度大小为 D．粒子流在磁场中扫过的面积为 【变式1-4】（多选）（23-24高二上·河南洛阳·期中）在 Ⅰ、Ⅱ两个区域内存在磁感应强度大小均为B的匀强磁场，磁场方向如图所示，AD、AC 边界的夹角为30°，边界 AC 与边界 MN平行，Ⅱ区域宽度为d、质量为m、电荷量为q的正粒子，可在边界AD上的不同点以垂直AD且垂直磁场的方向射入磁场，若入射速度大小为 不计粒子重力，则（　　） A．粒子在磁场中运动的半径为0.5d B．粒子在距A点0.5d处射入，会进入Ⅱ区域 C．粒子在距A点1.5d处射入，在 Ⅰ 区域内运动的时间为 D．能够进入 Ⅱ 区域的粒子，在 Ⅱ区域内运动的最短时间为 题型2 “放缩圆”处理临界或极值问题 【例2】（24-25高三上·广西·月考）如图所示，边长为L的正方形abcd区域内分布磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场。从cd边的中点P处发射速率不同、质量为m、电荷量为的带正电粒子，粒子沿纸面与Pd成30°的方向射入该磁场区域，不计粒子的重力及粒子间的相互作用。已知某一速率的粒子恰好能从bc边离开磁场，则该粒子入射的速度大小是（　　） A． B． C． D． 【变式2-1】（2024·河南·二模）如图所示，在第一象限有垂直纸面向外的匀强磁场（坐标轴上无磁场），位于x轴上的Р点有一粒子发射器，沿与x轴正半轴成角方向发射不同速率的电子，已知当速度为时，粒子恰好从О点沿y轴负方向离开坐标系，则下列说法正确的是（　　） A．如果，则粒子速度越大，在磁场中运动的时间越长 B．如果，则粒子速度越大，在磁场中运动的时间越短 C．如果，则粒子速度越大，在磁场中运动的时间越长 D．如果，则粒子速度越大，在磁场中运动的时间越短 【变式2-2】（23-24高二上·陕西西安·月考）一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，，，一束质子在纸面内从a点垂直于ab射入磁场，这些粒子具有各种速率。不计重力和粒子之间的相互作用。已知粒子的质量为m、电荷量为。则在磁场中运动时间最长的粒子，其运动速率为（　　） A． B． C． D． 【变式2-3】（2023·湖南·高考真题）如图，真空中有区域Ⅰ和Ⅱ，区域Ⅰ中存在匀强电场和匀强磁场，电场方向竖直向下（与纸面平行），磁场方向垂直纸面向里，等腰直角三角形CGF区域（区域Ⅱ）内存在匀强磁场，磁场方向垂直纸面向外。图中A、C、O三点在同一直线上，AO与GF垂直，且与电场和磁场方向均垂直。A点处的粒子源持续将比荷一定但速率不同的粒子射入区域Ⅰ中，只有沿直线AC运动的粒子才能进入区域Ⅱ。若区域Ⅰ中电场强度大小为E、磁感应强度大小为B1，区域Ⅱ中磁感应强度大小为B2，则粒子从CF的中点射出，它们在区域Ⅱ中运动的时间为t0。若改变电场或磁场强弱，能进入区域Ⅱ中的粒子在区域Ⅱ中运动的时间为t，不计粒子的重力及粒子之间的相互作用，下列说法正确的是（   ） A．若仅将区域Ⅰ中磁感应强度大小变为2B1，则t > t0 B．若仅将区域Ⅰ中电场强度大小变为2E，则t > t0 C．若仅将区域Ⅱ中磁感应强度大小变为，则 D．若仅将区域Ⅱ中磁感应强度大小变为，则 【变式2-4】（2024·安徽阜阳·模拟预测）如图所示，在坐标系第一象限内有垂直纸面向外、磁感应强度为B0、足够大的匀强磁场。质量为m、电荷量为+q的带电粒子在xOy平面内从y轴上的M（0，L）点以不同速率射入磁场，且速度方向与y轴正半轴的夹角θ=53°保持不变。题中B0、m、q、L为已知值，不计粒子重力，sin53°=0.8。回答下列问题： （1）若粒子从x轴下方离开磁场，求粒子速度大小应满足的条件； （2）若粒子从y轴左侧离开磁场，求y轴上有粒子经过的区域长度； （3）若x轴上方充满着方向垂直纸面向外的非匀强磁场，磁感应强度大小随纵坐标y均匀增大，且满足。粒子以大小为的速度从M点沿原方向（即图示方向）射入磁场，求粒子在磁场中从M点运动到离x轴最远位置的过程中运动轨迹与x轴围成的面积S。 题型3 “旋转圆”处理临界或极值问题 【例3】（2024·广东深圳·二模）如图所示，半径为R的圆形区域内存在匀强磁场，磁场方向垂直于圆所在的平面。一速度为v的带电粒子从圆周上的A点沿半径方向射入磁场，入射点A与出射点B间的圆弧为整个圆周的三分之一。现有一群该粒子从A点沿该平面以任意方向射入磁场，已知粒子速率均为，忽略粒子间的相互作用，则粒子在磁场中最长运动时间为（　　） A． B． C． D． 【变式3-1】（23-24高二上·重庆沙坪坝·期末）如图，空间分布着磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向外的匀强磁场。关于O点对称的薄板MN的长度为3a，O点到MN的距离为a。O点有一粒子源，能沿纸面内任意方向发射速率相同、质量为m、电荷量为q的正电粒子。已知水平向右发射的粒子恰能垂直打在MN上，打到MN上、下表面的粒子均被吸收。不计粒子的重力，则被MN吸收的粒子在磁场中运动的最长时间为（　　） A． B． C． D． 【变式3-2】（23-24高二下·江苏常州·期中）如图所示，匀强磁场中位于P处的粒子源可以沿垂直于磁场向纸面内的各个方向发射质量为m、电荷量为q、速率为v的带正电粒子，P到荧光屏MN的距离为d、设荧光屏足够大，不计粒子重力及粒子间的相互作用。下列判断正确的是（　　） A．若磁感应强度，则发射出的粒子到达荧光屏的最短时间为 B．若磁感应强度，则同一时刻发射出的粒子到达荧光屏的最大时间差为 C．若磁感应强度，则荧光屏上形成的亮线长度为 D．若磁感应强度，则荧光屏上形成的亮线长度为 【变式3-3】（23-24高二上·甘肃张掖·月考）如图所示，真空室内存在磁场方向垂直于纸面向里、磁感应强度的大小为B=0.30T的匀强磁场。磁场内有一块较大的平面感光板ab，板面与磁场方向平行，在距ab的距离为l=32cm处，有一个点状的α粒子放射源S，它能向各个方向发射α粒子，带正电的α粒子速度都是。已知α粒子的电荷量与质量之比为，现只考虑在纸面内运动的α粒子，则感光板ab上被α粒子打中区域的长度为（    ） A．40cm B．30cm C．35cm D．42cm 【变式3-4】（24-25高二下·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系Oxy的第一象限内，存在垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。大量质量为m、电荷量为q的相同粒子从y轴上的P（0，）点，以相同的速率在纸面内沿不同方向先后射入磁场，设入射速度方向与y轴正方向的夹角为α（0°≤α≤180°）。当α=150°时，粒子垂直x轴离开磁场。不计粒子的重力和粒子间的相互作用，则（　　） A．粒子一定带负电 B．当α=45°时，粒子也垂直x轴离开磁场 C．粒子的入射速率为 D．粒子离开磁场的位置到O点的最大距离为 题型4 磁聚焦与磁发散 【例4】（24-25高二上·全国·课后作业）带电粒子流的磁聚焦是薄膜材料制备的关键技术之一。磁聚焦原理如图，真空中半径为的圆形区域内存在垂直纸面的匀强磁场。一束宽度为、沿x轴正方向运动的电子流射入该磁场后聚焦于坐标原点O。已知电子的质量为m、电荷量为e、进入磁场的速度为v，不计电子重力及电子间的相互作用，则磁感应强度的大小为（　　） A． B． C． D． 【变式4-1】（多选）（2024·福建泉州·模拟预测）我国研制的世界首套磁聚焦霍尔电推进系统已经完成了全部在轨飞行验证工作，可作为太空发动机使用，带电粒子流的磁聚焦是其中的关键技术之一。如图，实线所示的两个圆形区域内存在垂直于纸面的匀强磁场I、II，磁感应强度分别为B1，B2。两圆半径均为r，相切于O点。一束宽度为2r的带电粒子流沿x轴正方向射入后都汇聚到坐标原点O。已知粒子的质量均为m、电荷量均为+q、进入磁场的速度均为v，不计带电粒子的重力及粒子间的相互作用力。下列说法正确的是（    ） A．B1的大小为 B．从O点进入磁场II的粒子的速度仍相等 C．若，则粒子在磁场II的边界的射出点在四分之一圆周上 D．若，则粒子在磁场II中运动的最长时间为 【变式4-2】（多选）（2023·山东·模拟预测）利用磁聚焦和磁控束可以改变一束平行带电粒子的宽度，人们把此原理运用到薄膜材料制备上，使芯片技术得到飞速发展。如图，宽度为的带正电粒子流水平向右射入半径为的圆形匀强磁场区域，磁感应强度大小为，这些带电粒子都将从磁场圆上O点进入正方形区域，正方形过O点的一边与半径为的磁场圆相切。在正方形区域内存在一个面积最小的匀强磁场区域，使汇聚到O点的粒子经过该磁场区域后宽度变为，且粒子仍沿水平向右射出，不考虑粒子间的相互作用力及粒子的重力，下列说法正确的是（　　） A．正方形区域中匀强磁场的磁感应强度大小为，方向垂直纸面向里 B．正方形区域中匀强磁场的磁感应强度大小为，方向垂直纸面向里 C．正方形区域中匀强磁场的最小面积为 D．正方形区域中匀强磁场的最小面积为 【变式4-3】（2023·广东·模拟预测）磁聚焦和磁发散技术在许多真空系统中得到了广泛应用，如电子显微镜技术，它的出现为科学研究做出了重大贡献。现有一个磁发散装置，如图所示，在半径为R的圆形区域内存在垂直纸面向外，磁感应强度为B的匀强磁场，在圆形磁场区域右侧有一方向竖直向下，电场强度为E的匀强电场，电场左边界与圆形磁场右边界相切。在水平地面上放置一个足够长的荧光屏PQ，它与磁场相切于P点。粒子源可以持续的从P点向磁场内发射速率为v方向不同的带正电同种粒子。经观测：有一粒子a以竖直向上的初速度射入磁场，该粒子经磁场偏转后恰好以水平方向离开磁场，然后进入电场区域。粒子b进入磁场的速度方向与粒子a的速度方向夹角为（未知），进入磁场后，粒子b的运动轨迹恰好能通过圆形磁场的圆心O，最终也进入到电场区域。已知电场强度和磁感应强度的关系满足，不计粒子重力及粒子间相互作用。求： （1）粒子的比荷； （2）粒子b与粒子a的夹角和b粒子打在荧光屏上的亮点到P点的距离x； （3）入射方向与荧光屏所在平面成区间范围内的粒子，最终打到荧光屏上形成的亮线长度。 题型5 磁场最小面积问题 【例5】（多选）（2023·湖北·模拟预测）如图所示，有一个正方形区域ABCD，在内部某一区域内有一垂直于纸面向里、磁感应强度大小为的矩形匀强磁场。一个质量为m、电量为q（）的带电粒子从CD的中点以速度v垂直于CD射入正方形区域，从BC边的中点垂直于BC飞出该正方形区域，不计粒子的重力，下列说法正确的是（　　） A．该粒子在磁场里运动的时间 B．该粒子在磁场里运动的时间 C．该矩形区域磁场的最小面积 D．该矩形区域磁场的最小面积 【变式5-1】（2024·山西临汾·二模）如图所示，M、N为纸面内一直线上的两点，某圆形区域中存在垂直纸面的匀强磁场。一质量为m、电荷量为的带电粒子，垂直于直线从M点以速度为v进入圆形磁场区域，经过磁场的偏转，粒子再次通过该直线的位置为N，且方向与直线之间的夹角。已知M、N两点间的距离为L，不计粒子的重力。求： （1）磁感应强度B的大小； （2）圆形磁场区域的最小面积S。 【变式5-2】（2023·黑龙江·一模）如图所示，OA与y轴的夹角，在此角范围内有沿y轴负方向的匀强电场，一质量为m、电荷量为q（q>0）的粒子以速度v0从左侧平行于x轴射入电场，入射点为P，经电场后沿垂直于OA的方向由Q点进入一矩形磁场区域（未画出，方向垂直纸面向外），并沿x轴负方向经过O点。已知O点到Q点的距离为6l，不计粒子的重力，求： （1）匀强电场的电场强度大小； （2）匀强磁场的磁感应强度大小； （3）矩形磁场区域的最小面积。 【变式5-3】（23-24高二下·安徽·期末）如图所示，平面直角坐标系xOy的第二象限内存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B1（B1未知），第一象限内一圆形区域中存在垂直纸面向外、磁感应强度大小为的匀强磁场（图中未画出）。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子从x轴上的P点以速度v0沿与x轴负方向成45°角的方向射入第二象限内的匀强磁场中，恰好从M点垂直于y轴射入第一象限，在第一象限内经磁场偏转后从N点垂直x轴射入第四象限，已知O、P之间的距离为L，O、N之间的距离为2L，不计粒子重力，求： （1）第二象限内磁场的磁感应强度大小B1； （2）第一象限内圆形匀强磁场区域的最小面积S。 【变式5-4】（23-24高二上·内蒙古赤峰·期末）如图所示，第一象限内有垂直纸面向里的匀强磁场（图中未画出），一质量为m、电荷量为q的带正电粒子从x轴上的M点以速度v0垂直于x轴射入磁场，从y轴上的N点射出时速度方向与y轴正方向的夹角α=60°，M点和原点O间的距离为d，不计粒子所受的重力。 （1）求匀强磁场磁感应强度B的大小； （2）若仅在第一象限内一矩形（MN为矩形的一条边）区域内存在磁场，求矩形磁场的最小面积S0。 题型6 带电粒子带电性不确定形成的多解 【例6】（多选）（23-24高二下·四川广元·开学考试）如图所示， 左右边界分别为PP'、QQ'的匀强磁场的宽度为d， 磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里。一个质量为m、电荷量为q的粒子，沿图示方向以速度垂直射入磁场。欲使粒子不能从边界QQ'射出， 粒子入射速度的最大值可能是（　　） A． B． C． D． 【变式6-1】（多选）（22-23高二下·全国·课前预习）如图所示，匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，MN是它的下边界。现有质量为m、电荷量为q的带电粒子与MN成30°角垂直射入磁场，则粒子在磁场中运动的时间可能为（　　） A． B． C． D． 【变式6-2】（多选）（21-22高二·全国·课时练习）如图所示，在x轴上方存在着垂直于纸面向里的匀强磁场。一个质量为m、电荷量大小为q（不计重力）的带电粒子从坐标原点O处以速度v进入磁场，粒子进入磁场时的速度方向垂直于磁场且与x轴正方向成120°角，若粒子在磁场中运动时与x轴的最大距离为a，则磁感应强度B的大小和该粒子的电性可能是（　　） A．，带正电 B．，带正电 C．，带负电 D．，带负电 题型7 磁场方向不确定形成的多解 【例7】（多选）（2023高二·全国·专题练习）如图所示，A点的离子源沿纸面垂直OQ方向向上射出一束负离子，离子的重力忽略不计。为把这束负离子约束在OP之下的区域，可加垂直纸面的匀强磁场。已知O、A两点间的距离为s，负离子的比荷为，速率为v，OP与OQ间的夹角为30°，则所加匀强磁场的磁感应强度B的大小和方向可能是（　　） A．，垂直纸面向里 B．，垂直纸面向里 C．，垂直纸面向外 D．，垂直纸面向外 【变式7-1】（多选）某电子以固定的正电荷为圆心在匀强磁场中做匀速圆周运动，磁场方向垂直于它的运动平面，电子所受电场力恰好是磁场对它作用力的3倍。若电子电量为e，质量为m，磁感应强度为B。那么，电子运动的角速度可能是（  ） A． B． C． D． 题型8 临界状态不唯一形成的多解 【例8】（23-24高二下·江苏扬州·期中）如图所示，直线MN与水平方向成60°角，MN的右上方存在垂直纸面向外的匀强磁场，左下方存在垂直纸面向里的匀强磁场，两磁场的磁感应强度大小均为B．一粒子源位于上的点，能水平向右发射不同速率、质量为m、电荷量为的同种粒子（重力不计，粒子间的相互作用不计），所有粒子均能通过上的点，已知，则粒子的速度可能是（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（23-24高二上·山东青岛·期末）长度为L的水平板上方区域存在垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场，从距水平板中心正上方的P点处以水平向右的速度释放一个质量为m、电荷量为e的电子，若电子能打在水平板上，速度应满足（　　） A． B． C． D．或 【变式8-2】（多选）（22-23高二上·河南南阳·期中）如图所示，区域内有一方向垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场，，弧是直径为2L的半圆，在一条直线上。在A点有一个粒子源，可以沿AD方向发射速度大小不同的带正电的粒子，均打到弧上。已知粒子的比荷均为k，不计粒子间相互作用及重力，则关于粒子在上述过程中的运动时间可能的是（　　） A． B． C． D． 【变式8-3】（多选）（2024高三·全国·专题练习）如图所示，边长为L的等边三角形区域ACD内、外的匀强磁场的磁感应强度大小均为B、方向分别垂直纸面向里、向外。三角形顶点A处有一质子源，能沿∠A的角平分线发射速度大小不等、方向相同的质子（质子重力不计、质子间的相互作用可忽略），所有质子恰能通过D点，已知质子的比荷，则质子的速度可能为（　　） A． B．BkL C． D． 【变式8-4】（多选）（2023·全国·模拟预测）如图所示，空间中有一个底角均为的梯形，上底与腰长相等为L，梯形处于磁感应强度大小为B、垂直于纸面向外的匀强磁场中，现c点存在一个粒子源，可以源源不断射出速度方向沿cd，大小可变的电子，电子的比荷为k，为使电子能从ab边射出，速度大小可能为（　　） A． B． C． D． 题型9 运动的周期性形成的多解 【例9】（多选）（2023·湖北·模拟预测）如图所示的xOy坐标系中，y轴的左侧存在垂直纸面向外、磁感应强度大小未知的匀强磁场，y轴右侧的匀强磁场垂直纸面方向且大小未知，一带正电的粒子由y轴上（0，）处沿与y轴正方向成30°角的方向以速度v射入磁场，已知粒子的比荷为k，粒子在y轴右侧的轨道半径为L，最终粒子经过O点，粒子重力不计。下列说法正确的是（　　） A．若y轴右侧的磁场垂直纸面向里，则y轴右侧的磁感应强度大小为 B．若y轴右侧的磁场垂直纸面向里，则粒子从射入到运动至O点的时间为 C．若y轴右侧的磁场垂直纸面向外，则粒子从射入到运动至O点的时间可能为 D．若y轴右侧的磁场垂直纸面向外，则粒子从射入到运动至O点的时间可能为 【变式9-1】（多选）（2024·江西鹰潭·二模）如图正六边形是一个绝缘筒的截面，筒内无磁场，在每边中点处开一小孔。现有质量为m，电荷量为q的粒子（不计重力），从其中一个小孔以垂直边长方向、大小恰当的初速度，进入外部磁感应强度大小为B的无限大匀强磁场。磁场方向垂直截面，若粒子可以不与筒相碰，以相同速度回到起点，那么该过程粒子经历的时间可能是（　　） A． B． C． D． 【变式9-2】（多选）（2023高三·全国·专题练习）如图所示，正方形abcd区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，O点是cd边的中点，一个带正电的粒子(重力忽略不计)若从O点沿纸面以垂直于cd边的速度射入正方形内，经过时间t0刚好从c点射出磁场。现设法使该带电粒子从O点沿纸面以与Od成30°角的方向(如图中虚线所示)，以各种不同的速率射入正方形内，那么下列说法中正确的是（  ） A．该带电粒子不可能刚好从正方形的某个顶点射出磁场 B．若该带电粒子从ab边射出磁场，它在磁场中经历的时间可能是 C．若该带电粒子从bc边射出磁场，它在磁场中经历的时间可能是t0 D．若该带电粒子从bc边射出磁场，它在磁场中经历的时间可能是 【变式9-3】（23-24高三下·山西晋中·月考）如图甲所示，正方形区域ABCD内部有一垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小，M、N分别为AD、BC边中点。现在从M点，平行AB方向，以某一初速度射入一个质量为m、电荷量为q的负电粒子，发现该粒子刚好从B点离开磁场区域，已知磁场区域的边长，该粒子的比荷，不计粒子重力。 （1）求该粒子射入磁场时的速度大小； （2）若取垂直纸面向里为磁场的正方向，磁感应强度按图乙的方式变化，时刻，粒子同样从M点平行AB射入，发现粒子恰好能从N点离开，已知，求该粒子射入磁场的速度可能的取值以及粒子运动的时间。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点突破：带电粒子在匀强磁场中运动的 临界问题、多解问题 知识点1 临界和极值问题 1、基本方法 带电粒子在有界磁场中运动时，粒子的运动轨迹与粒子入射的速度大小和方向有关，因此会出现粒子恰好离开磁场或恰好经过某一位置的临界情境。解答带电粒子在磁场中运动的临界问题，关键在于运用动态思维，找准临界点，以题目中的“恰好”“最大”“最高”“至少”等词语为突破口，挖掘隐含条件，分析可能的情况，必要时画出几个半径不同的轨迹，找出临界条件。 2、常用结论 （1）刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。 （2）当速率v一定时，弧长越长，圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长。 （3）当速率v变化时，圆心角大的，运动时间长，解题时一般要根据受力情况和运动情况画出运动轨迹的草图，找出圆心，再根据几何关系求出半径及圆心角等。 （4）带电粒子在圆形匀强磁场中运动，当带电粒子运动轨迹的半径大于磁场的半径，且入射点和出射点为磁场直径的两个端点时轨迹对应的圆心角最大（所有弦长中直径最长）。 3、解决临界问题常用的四种方法 （1）平移圆 【适用条件】B一定、v的大小方向一定、入射点不同但在同一条直线上。 【轨迹圆圆心共线】带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在同一直线上，该直线与入射点的连线平行。 【界定方法】将半径为的圆进行平移，从而探索粒子的临界条件。 （2）放缩圆 【适用条件】①B一定、v方向一定、v大小变化。 ②v方向一定、v大小一定，B大小变化。 【轨迹圆圆心共线】因为，所以随着粒子速度（或磁感应强度）的增大或缩小，导致粒子做圆周运动的半径也在变化。故带电粒子沿同一方向射入磁场后，在磁场中的运动轨迹相切于粒子源所在位置，且圆心都在与v方向垂直的直线PP '上。 【界定方法】以入射点P为定点，圆心位于直线PP'上，将半径放缩确定运动轨迹，从而探索出粒子运动的临界条件。 （3）旋转圆 【适用条件】B一定、v的大小一定、v的方向变化。 【轨迹圆圆心共圆】因为，所以粒子的轨迹圆半径相等，所有的轨迹圆的圆心都在以O点为圆心，半径为R的圆周上，随着粒子速度方向的变化，粒子的运动轨迹圆以O点为圆心，发生旋转，粒子所能打到的区域在半径为2R的圆周内。 【界定方法】将半径为的圆以带电粒子入射点为定点进行旋转，从而探索粒子运动的临界条件。 （4）磁聚焦和磁发散 磁发散 磁聚焦 图示 概念 如图甲所示，当粒子从磁场边界上同一点沿不同方向进入磁场区域时，粒子离开磁场时的速度方向一定平行，而且与入射点的切线方向平行 如图乙所示，当粒子以相互平行的速度从磁场边界上任意位置进入磁场区域时，粒子一定会从同一点离开磁场区域，而且该点切线与入射方向平行 规律 （1）如图甲所示，相同速率的同种粒子以相同的初速度射向圆形匀强磁场时，若粒子在磁场中运动的轨迹半径与磁场区域的半径相等，则经过磁场区域的所有粒子都会聚到磁场区域的一条直径的端点处，该直径与粒子初速度垂直。 （2）如图乙所示，粒子进入磁场时，速度与射入点所在磁场半径的夹角和穿出磁场时速度与射出点所在磁场半径的延长线的夹角相等。 知识点2 多解问题 （1）带电粒子的带电性质不确定 受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电荷，也可能带负电荷，在相同的初速度下，粒子电性不同在磁场中运动的轨迹就不同，会形成多解。如图，如粒子带正电荷，其轨迹为a，若粒子带负电荷，其轨迹为b。 （2）磁场方向不确定 在只知道磁感应强度大小，而未具体指出磁感应强度方向的情况下，必须考虑磁感应强度方向不确定面形成的多解。如图，带正电粒子以速度v垂直进入匀强磁场，若B垂直纸面向里，其轨迹为a，若B垂直纸面向外，其轨迹为b。 （3）临界状态不唯一 带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时由于粒子运动轨迹是圆弧，因此它可能穿过磁场飞出，也可能转过180°反向飞出，于是造成多解。 （4）运动具有周期性 带电粒子在部分是电场、部分是磁场的空间中的运动往往具有周期性，因而形成多解。 磁场的最小面积问题 带电粒子经过一个一定形状的有界磁场区域，求该磁场的最小面积，这属于特殊的一类临界问题。 解决此类问题通常先找到粒子进入磁场和离开磁场的速度方向的垂线的交点，即为轨迹的圆心。特定形状的磁场恰好覆盖粒子进入点和离开点间的圆弧，这种情况下磁场的面积最小。当磁场面积最小时，一般会出现轨迹与磁场边界相切，磁场的最小面积可以由几何关系求解。 题型1 “平移圆”处理临界或极值问题 【例1】（多选）（24-25高二上·陕西宝鸡·月考）如图所示，在直角三角形ABC内充满垂直纸面向外的匀强磁场（图中未画出），AB边长度为d，。现垂直AB边射入一束质量均为m、电荷量均为q、速度大小均为v的带正电粒子。已知垂直AC边射出的粒子在磁场中运动的时间为t0，而运动时间最长的粒子在磁场中的运动时间（不计重力），则下列说法正确的是（   ） A．粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为4t0 B．该匀强磁场的磁感应强度大小为 C．粒子在磁场中运动的轨道半径为 D．粒子进入磁场时速度大小为 【答案】AB 【解析】A．根据题意垂直边进入，垂直边飞出，经过四分之一个周期，即 解得 A正确； B．洛伦兹力提供向心力 解得 粒子运动的周期 解得磁感应强度 B正确； C．粒子与边相切，运动时间最长，满足，在磁场中转过圆心角，如图 根据几何关系可知 解得 C错误； D．根据可知 D错误。 故选AB。 【变式1-1】（多选）（23-24高三上·贵州贵阳·开学考试）地磁场对宇宙高能粒子有偏转作用，从而保护了地球的生态环境。赤道平面的地磁场简化为如图所示，O为地球球心、R为地球半径。地磁场可视为分布在半径R到2R的两边界之间的圆环区域内，磁感应强度大小均为B，方向垂直纸面向里。太阳耀斑爆发时，向地球持续不断地辐射大量高能粒子，假设均匀分布的带正电高能粒子以相同速度垂直MN沿赤道平面射向地球。已知粒子质量均为m、电荷量均为q，不计粒子的重力及相互作用力。下列说法正确的是（　　） A．当入射粒子的速率不小于时，部分粒子可以到达MN右侧地面 B．若粒子速率为，入射到磁场的粒子到达地面的最短时间为 C．若粒子速率为，正对着O处入射的粒子恰好可以到达地面 D．若粒子速率为，入射到磁场的粒子恰好有一半不能到达地面 【答案】AC 【解析】A．根据几何关系，靠近N点的入射粒子的半径就能到达MN的右侧地面，由洛伦兹力提供向心力得 解得 即此时粒子能够到达MN右侧地面，故A正确； B．若粒子速率为，可知轨道半径为 粒子做匀速圆周运动，入射到磁场的粒子到达地面的轨迹为劣弧，轨迹对应的弦长越短，对应的圆心角越小，运动时间越短，则到达地面最短的弦长为R，所以最小圆心角为，运动时间最短 故B错误； C．设正对着O处入射的粒子恰好可以到达地面时轨道半径为，如图所示 根据几何关系有 解得 根据 解得 即正对着O处入射的粒子恰好可以到达地面，则其速率为，故C正确； D．根据选项C分析可知，正对O点偏N侧的粒子都能到达地面，正对O点偏M侧的粒子都不能到达地面，即当粒子速率为，入射到磁场的粒子恰好有一半不能到达地面，故D错误。 故选AC。 【变式1-2】（多选）（2023·重庆·三模）如题图，直角三角形ABC区域内有垂直纸面向里的匀强磁场（图中未画出），AC边长为l，为，一群比荷为的带负电粒子以相同速度从C点开始一定范围垂直AC边射入，射入的粒子恰好不从AB边射出，已知从BC边垂直射出的粒子在磁场中运动的时间为，在磁场中运动时间最长的粒子所用时间为，则以下说法中正确的是（    ） A．磁感应强度大小为 B．粒子运动的轨道半径为 C．粒子射入磁场的速度大小为 D．粒子在磁场中扫过的面积为 【答案】AD 【解析】A．带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，垂直边射出的粒子在磁场中运动的时间是，由 可得 解得 故A正确； B．设运动时间最长的粒子在磁场中的运动轨迹所对的圆心角为，则有 可得 画出该粒子的运动轨迹如图所示 设轨道半径为，由几何知识得 可得 故B错误； C．根据洛伦兹力提供向心力可得 则粒子射入磁场的速度大小为 故C错误； D．射入的粒子恰好不从边射出，粒子在磁场中扫过的面积为 故D正确。 故选AD。 【变式1-3】（多选）（22-23高二下·安徽合肥·期末）如图所示，直角三角形ABC区域内有垂直于纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，AC边长为L，∠A＝30°．带正电的粒子流（其重力忽略不计）以相同速度在CD范围内垂直AC边射入（不计粒子间的相互作用力），从D点射入的粒子恰好不能从AB边射出．已知从BC边垂直射出的粒子在磁场中运动的时间为3t，在磁场中运动时间最长的粒子所用时间为4t，则（    ） A．粒子的比荷为 B．粒子运动的轨道半径为 C．粒子射入磁场的速度大小为 D．粒子流在磁场中扫过的面积为 【答案】BD 【解析】A．粒子在磁场中做匀速圆周运动，已知从BC边垂直射出的粒子在磁场中运动的时间为3t,则有 根据周期公式可得 解得粒子的比荷为 故A错误； B．设运动时间最长的粒子在磁场中运动轨迹所对应的圆心角为θ，根据题意有： 解得 粒子运动轨迹如图所示： 设粒子轨迹半径为R，根据几何关系可得 解得 故B正确； C．粒子在磁场中运动时，根据洛伦兹力提供向心力可得 可得粒子射入磁场的速度大小为 故C错误； D．从D点射入的粒子恰好不从AB边界射出，根据上图结合几何知识可得粒子在磁场中扫过的面积为 故D正确。 故选BD。 【变式1-4】（多选）（23-24高二上·河南洛阳·期中）在 Ⅰ、Ⅱ两个区域内存在磁感应强度大小均为B的匀强磁场，磁场方向如图所示，AD、AC 边界的夹角为30°，边界 AC 与边界 MN平行，Ⅱ区域宽度为d、质量为m、电荷量为q的正粒子，可在边界AD上的不同点以垂直AD且垂直磁场的方向射入磁场，若入射速度大小为 不计粒子重力，则（　　） A．粒子在磁场中运动的半径为0.5d B．粒子在距A点0.5d处射入，会进入Ⅱ区域 C．粒子在距A点1.5d处射入，在 Ⅰ 区域内运动的时间为 D．能够进入 Ⅱ 区域的粒子，在 Ⅱ区域内运动的最短时间为 【答案】BC 【解析】AB．粒子做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律，有 其中 解得 r=d 画出恰好不进入Ⅱ区的临界轨迹，如图所示 结合几何关系，有 故从距A点0.5d处射入，会进入Ⅱ区，故A错误，B正确； C．粒子距A点1.5d处射入，在Ⅰ区内运动的轨迹为半个圆周，故时间为 故C正确； D．从A点进入的粒子在磁场中运动的轨迹最短（弦长也最短），时间最短，轨迹如上图所示，轨迹对应的圆心角为60°，故时间为 故D错误。 故选BC。 题型2 “放缩圆”处理临界或极值问题 【例2】（24-25高三上·广西·月考）如图所示，边长为L的正方形abcd区域内分布磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场。从cd边的中点P处发射速率不同、质量为m、电荷量为的带正电粒子，粒子沿纸面与Pd成30°的方向射入该磁场区域，不计粒子的重力及粒子间的相互作用。已知某一速率的粒子恰好能从bc边离开磁场，则该粒子入射的速度大小是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】已知粒子恰好能从边离开磁场，可知轨迹与边相切，作出轨迹如图所示 根据几何关系有 解得 由洛伦兹力提供向心力可得 联立解得 故选A。 【变式2-1】（2024·河南·二模）如图所示，在第一象限有垂直纸面向外的匀强磁场（坐标轴上无磁场），位于x轴上的Р点有一粒子发射器，沿与x轴正半轴成角方向发射不同速率的电子，已知当速度为时，粒子恰好从О点沿y轴负方向离开坐标系，则下列说法正确的是（　　） A．如果，则粒子速度越大，在磁场中运动的时间越长 B．如果，则粒子速度越大，在磁场中运动的时间越短 C．如果，则粒子速度越大，在磁场中运动的时间越长 D．如果，则粒子速度越大，在磁场中运动的时间越短 【答案】B 【解析】AB．当速度为时，粒子恰好从О点沿y轴负方向离开坐标系，作出此时的轨迹如图所示 该轨迹恰好与y轴相切，若，粒子速度越大，轨迹半径越大，轨迹飞出点逐渐从上述轨迹的切点位置上移，可知，对应轨迹圆心角越小，根据 可知，粒子在磁场中运动的时间越短，故A错误，B正确； CD．若，结合上述可知，粒子轨迹为一段优弧，粒子从x轴正方向射出，根据单边有界磁场的对称性，飞出的速度方向与x轴正方向夹角仍然等于，根据几何关系可知，轨迹所对应的圆心角始终为，根据 可知，如果，则在磁场中运动的时间一定，与速度大小无关，故CD错误。 故选B。 【变式2-2】（23-24高二上·陕西西安·月考）一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，，，一束质子在纸面内从a点垂直于ab射入磁场，这些粒子具有各种速率。不计重力和粒子之间的相互作用。已知粒子的质量为m、电荷量为。则在磁场中运动时间最长的粒子，其运动速率为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意可知，粒子在磁场中做匀速圆周运动，由牛顿第二定律有 又有 设粒子运动轨迹所对的圆心角为，则运动时间为 可知，越大，运动时间越长，当粒子过c点时，运动时间最长，运动轨迹如图所示 设半径为，根据几何关系有 解得 联立可得 故选B。 【变式2-3】（2023·湖南·高考真题）如图，真空中有区域Ⅰ和Ⅱ，区域Ⅰ中存在匀强电场和匀强磁场，电场方向竖直向下（与纸面平行），磁场方向垂直纸面向里，等腰直角三角形CGF区域（区域Ⅱ）内存在匀强磁场，磁场方向垂直纸面向外。图中A、C、O三点在同一直线上，AO与GF垂直，且与电场和磁场方向均垂直。A点处的粒子源持续将比荷一定但速率不同的粒子射入区域Ⅰ中，只有沿直线AC运动的粒子才能进入区域Ⅱ。若区域Ⅰ中电场强度大小为E、磁感应强度大小为B1，区域Ⅱ中磁感应强度大小为B2，则粒子从CF的中点射出，它们在区域Ⅱ中运动的时间为t0。若改变电场或磁场强弱，能进入区域Ⅱ中的粒子在区域Ⅱ中运动的时间为t，不计粒子的重力及粒子之间的相互作用，下列说法正确的是（   ） A．若仅将区域Ⅰ中磁感应强度大小变为2B1，则t > t0 B．若仅将区域Ⅰ中电场强度大小变为2E，则t > t0 C．若仅将区域Ⅱ中磁感应强度大小变为，则 D．若仅将区域Ⅱ中磁感应强度大小变为，则 【答案】D 【解析】由题知粒子在AC做直线运动，则有 qv0B1= qE 区域Ⅱ中磁感应强度大小为B2，则粒子从CF的中点射出，则粒子转过的圆心角为90°，根据，有 A．若仅将区域Ⅰ中磁感应强度大小变为2B1，则粒子在AC做直线运动的速度，有 qvA∙2B1= qE 则 再根据，可知粒子半径减小，则粒子仍然从CF边射出，粒子转过的圆心角仍为90°，则t = t0，A错误； B．若仅将区域Ⅰ中电场强度大小变为2E，则粒子在AC做直线运动的速度，有 qvBB1= q∙2E 则 vB = 2v0 再根据，可知粒子半径变为原来的2倍，则粒子F点射出，粒子转过的圆心角仍为90°，则t = t0，B错误； C．若仅将区域Ⅱ中磁感应强度大小变为，则粒子在AC做直线运动的速度仍为v0，再根据，可知粒子半径变为原来的，则粒子从OF边射出，则画出粒子的运动轨迹如下图 根据 可知转过的圆心角θ = 60°，根据，有 则 C错误； D．若仅将区域Ⅱ中磁感应强度大小变为，则粒子在AC做直线运动的速度仍为v0，再根据，可知粒子半径变为原来的，则粒子OF边射出，则画出粒子的运动轨迹如下图 根据 可知转过的圆心角为α = 45°，根据，有 则 D正确。 故选D。 【变式2-4】（2024·安徽阜阳·模拟预测）如图所示，在坐标系第一象限内有垂直纸面向外、磁感应强度为B0、足够大的匀强磁场。质量为m、电荷量为+q的带电粒子在xOy平面内从y轴上的M（0，L）点以不同速率射入磁场，且速度方向与y轴正半轴的夹角θ=53°保持不变。题中B0、m、q、L为已知值，不计粒子重力，sin53°=0.8。回答下列问题： （1）若粒子从x轴下方离开磁场，求粒子速度大小应满足的条件； （2）若粒子从y轴左侧离开磁场，求y轴上有粒子经过的区域长度； （3）若x轴上方充满着方向垂直纸面向外的非匀强磁场，磁感应强度大小随纵坐标y均匀增大，且满足。粒子以大小为的速度从M点沿原方向（即图示方向）射入磁场，求粒子在磁场中从M点运动到离x轴最远位置的过程中运动轨迹与x轴围成的面积S。 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】（1）若粒子刚好不离开磁场，则运动轨迹与x轴相切，如图所示；由几何关系得 由洛伦兹力提供向心力得 联立解得 故要使粒子从x轴下方离开磁场，粒子速度应满足 （2）若粒子从y轴正半轴的左侧离开磁场，经过y轴的区域长度为MN，粒子从y轴离开范围如图所示；由几何关系知 解得 （3）粒子在磁场中从M点运动到离x轴最远位置时速度沿y轴分量为零；在y轴方向由动量定理可知：即洛伦兹力竖直分力冲量等于竖直方向动量变化量。 设粒子在x轴方向上的分速度为，根据动量定理可得 又 解得 题型3 “旋转圆”处理临界或极值问题 【例3】（2024·广东深圳·二模）如图所示，半径为R的圆形区域内存在匀强磁场，磁场方向垂直于圆所在的平面。一速度为v的带电粒子从圆周上的A点沿半径方向射入磁场，入射点A与出射点B间的圆弧为整个圆周的三分之一。现有一群该粒子从A点沿该平面以任意方向射入磁场，已知粒子速率均为，忽略粒子间的相互作用，则粒子在磁场中最长运动时间为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】粒子在磁场中做匀速圆周运动，设速率为的带电粒子的运动半径为，其轨迹如图中弧AB所示 由题意可知，由几何关系可得 圆周运动的半径为 由洛伦兹力提供向心力可得 可得粒子的半径为 可知粒子运动半径与速率成正比，则速率为的粒子在磁场中圆周运动半径为 在磁场中运动时间最长的粒子的运动轨迹的弦为磁场区域圆的直径，粒子运动轨迹如图中的弧AC。则角满足 可得 粒子在磁场中运动的周期为 粒子在磁场中最长运动时间为 故选C。 【变式3-1】（23-24高二上·重庆沙坪坝·期末）如图，空间分布着磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向外的匀强磁场。关于O点对称的薄板MN的长度为3a，O点到MN的距离为a。O点有一粒子源，能沿纸面内任意方向发射速率相同、质量为m、电荷量为q的正电粒子。已知水平向右发射的粒子恰能垂直打在MN上，打到MN上、下表面的粒子均被吸收。不计粒子的重力，则被MN吸收的粒子在磁场中运动的最长时间为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】粒子在磁场中运动轨迹所对圆心角越大，在磁场中运动的时间越长，由题可知，水平向右发射的粒子恰能垂直打在MN上，故粒子粒子轨迹的半径为a，打到MN上、下表面的粒子均被吸收，如图所示有两种情况 打在MN上表面时，粒子运动轨迹最大的圆心角为，当粒子打在MN下表面时，若OP为轨迹圆的弦，则轨迹所对圆心角最大，其中 故粒子运动轨迹最大的圆心角为 根据可知 粒子在磁场中运动的时间为 故粒子在磁场中运动的最长时间为 故选A。 【变式3-2】（23-24高二下·江苏常州·期中）如图所示，匀强磁场中位于P处的粒子源可以沿垂直于磁场向纸面内的各个方向发射质量为m、电荷量为q、速率为v的带正电粒子，P到荧光屏MN的距离为d、设荧光屏足够大，不计粒子重力及粒子间的相互作用。下列判断正确的是（　　） A．若磁感应强度，则发射出的粒子到达荧光屏的最短时间为 B．若磁感应强度，则同一时刻发射出的粒子到达荧光屏的最大时间差为 C．若磁感应强度，则荧光屏上形成的亮线长度为 D．若磁感应强度，则荧光屏上形成的亮线长度为 【答案】D 【解析】A．若磁感应强度，根据 可知轨道半径为 发射出的粒子到达荧光屏的最短时间时，恰好弦长最短，打到P点的正左方，如图所示 根据几何关系，偏转的圆心角为，因此运动时间为 故A错误； B.由几何关系可知，打到MN板上最长时间恰好运动了个周期，轨迹如下图所示 则最长时间为 因此同一时刻发射出的粒子到达荧光屏的最大时间差为 故B错误； CD．若磁感应强度，则轨道半径为 如图所示 最高点D到P的距离恰好等于圆的直径，因此P点上方长度为 而最低点轨迹恰好与MN相切，则P点下方长度为 因此荧光屏上形成的亮线长度为 故C错误，D正确。 故选D。 【变式3-3】（23-24高二上·甘肃张掖·月考）如图所示，真空室内存在磁场方向垂直于纸面向里、磁感应强度的大小为B=0.30T的匀强磁场。磁场内有一块较大的平面感光板ab，板面与磁场方向平行，在距ab的距离为l=32cm处，有一个点状的α粒子放射源S，它能向各个方向发射α粒子，带正电的α粒子速度都是。已知α粒子的电荷量与质量之比为，现只考虑在纸面内运动的α粒子，则感光板ab上被α粒子打中区域的长度为（    ） A．40cm B．30cm C．35cm D．42cm 【答案】A 【解析】α粒子带正电，故在磁场中沿逆时针方向做匀速圆周运动，用R表示轨道半径，有 由此得 由于 因朝不同方向发射的α粒子的圆轨迹都过S，由此可知，某一圆轨迹在图中N左侧与ab相切，则此切点P1就是α粒子能打中的左侧最远点； 再考虑N的右侧。任何α粒子在运动中离S的距离不可能超过2R，以2R为半径、S为圆心作圆，交ab于N右侧的P2点，此即右侧能打到的最远点。 粒子运动轨迹如图所示 定出P1点的位置，可作平行于ab的直线cd，cd到ab的距离为R，以S为圆心，R为半径，作弧交cd于Q点，过Q作ab的垂线，它与ab的交点即为P1。 根据几何关系可得 由图中几何关系得 所求长度为 故选A。 【变式3-4】（24-25高二下·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系Oxy的第一象限内，存在垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。大量质量为m、电荷量为q的相同粒子从y轴上的P（0，）点，以相同的速率在纸面内沿不同方向先后射入磁场，设入射速度方向与y轴正方向的夹角为α（0°≤α≤180°）。当α=150°时，粒子垂直x轴离开磁场。不计粒子的重力和粒子间的相互作用，则（　　） A．粒子一定带负电 B．当α=45°时，粒子也垂直x轴离开磁场 C．粒子的入射速率为 D．粒子离开磁场的位置到O点的最大距离为 【答案】C 【解析】AC．当时，粒子垂直x轴离开磁场，运动轨迹如图甲，根据左手定则可知粒子带正电，粒子运动的轨迹半径为 洛伦兹力提供向心力，有 解得粒子的入射速率 故A错误，C正确。 B．若，粒子运动轨迹如图乙，根据几何关系可知粒子离开磁场时与x轴不垂直，B错误。 D．粒子离开磁场的位置距离O点最远时，粒子在磁场中的轨迹为半圆，如图丙，根据几何关系可知 解得 D错误。 故选C。 题型4 磁聚焦与磁发散 【例4】（24-25高二上·全国·课后作业）带电粒子流的磁聚焦是薄膜材料制备的关键技术之一。磁聚焦原理如图，真空中半径为的圆形区域内存在垂直纸面的匀强磁场。一束宽度为、沿x轴正方向运动的电子流射入该磁场后聚焦于坐标原点O。已知电子的质量为m、电荷量为e、进入磁场的速度为v，不计电子重力及电子间的相互作用，则磁感应强度的大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题可知，从左侧任选一束电子流A经磁场偏转后，通过坐标原点O，如图所示 由于电子沿水平方向射入磁场，半径与速度方向垂直，可知，由几何关系可知，平行四边形为菱形，因此电子在磁场中运动的轨道半径，又由于 可得磁感应强度的大小为 故选C。 【变式4-1】（多选）（2024·福建泉州·模拟预测）我国研制的世界首套磁聚焦霍尔电推进系统已经完成了全部在轨飞行验证工作，可作为太空发动机使用，带电粒子流的磁聚焦是其中的关键技术之一。如图，实线所示的两个圆形区域内存在垂直于纸面的匀强磁场I、II，磁感应强度分别为B1，B2。两圆半径均为r，相切于O点。一束宽度为2r的带电粒子流沿x轴正方向射入后都汇聚到坐标原点O。已知粒子的质量均为m、电荷量均为+q、进入磁场的速度均为v，不计带电粒子的重力及粒子间的相互作用力。下列说法正确的是（    ） A．B1的大小为 B．从O点进入磁场II的粒子的速度仍相等 C．若，则粒子在磁场II的边界的射出点在四分之一圆周上 D．若，则粒子在磁场II中运动的最长时间为 【答案】AD 【解析】A．由磁聚焦的特点可知，粒子在磁场中的运动半径与磁场圆的半径相等，即 解得 故A正确； B．洛伦兹力只改变带电粒子的运动方向不改变其速度的大小，其速度大小相等，但速度的方向不同，故B错误； C．若，则 可知粒子离开磁场II最远的位置离原点为r，如图所示 由几何关系，弦所对最大圆心角为60°，故粒子在磁场II的边界的射出点在六分之一圆周上，故C正确； D．若，则 由此可知，粒子离开磁场II运动轨迹的弦越长，运动的时间越长，如图所示 粒子在磁场中运动轨迹的圆心角为60°，则粒子在磁场II中运动的最长时间为 故D正确； 故选AD。 【变式4-2】（多选）（2023·山东·模拟预测）利用磁聚焦和磁控束可以改变一束平行带电粒子的宽度，人们把此原理运用到薄膜材料制备上，使芯片技术得到飞速发展。如图，宽度为的带正电粒子流水平向右射入半径为的圆形匀强磁场区域，磁感应强度大小为，这些带电粒子都将从磁场圆上O点进入正方形区域，正方形过O点的一边与半径为的磁场圆相切。在正方形区域内存在一个面积最小的匀强磁场区域，使汇聚到O点的粒子经过该磁场区域后宽度变为，且粒子仍沿水平向右射出，不考虑粒子间的相互作用力及粒子的重力，下列说法正确的是（　　） A．正方形区域中匀强磁场的磁感应强度大小为，方向垂直纸面向里 B．正方形区域中匀强磁场的磁感应强度大小为，方向垂直纸面向里 C．正方形区域中匀强磁场的最小面积为 D．正方形区域中匀强磁场的最小面积为 【答案】BC 【解析】AB． 根据磁聚焦原理，粒子在半径为的圆形磁场区域中运动，粒子运动的轨迹半径为，有 解得 要使汇聚到O点的粒子经正方形区域内的磁场偏转后宽度变为，且粒子仍沿水平向右射出，作出轨迹如图所示，由几何关系可知粒子的轨迹半径，正方形中磁场区域内应该为圆形磁场的一部分，有 解得 比较可得 由左手定则可知，方向垂直纸面向里，A错误，B正确； CD． 如图，磁场区域的最小面积为 C正确，D错误。 故选BC。 【变式4-3】（2023·广东·模拟预测）磁聚焦和磁发散技术在许多真空系统中得到了广泛应用，如电子显微镜技术，它的出现为科学研究做出了重大贡献。现有一个磁发散装置，如图所示，在半径为R的圆形区域内存在垂直纸面向外，磁感应强度为B的匀强磁场，在圆形磁场区域右侧有一方向竖直向下，电场强度为E的匀强电场，电场左边界与圆形磁场右边界相切。在水平地面上放置一个足够长的荧光屏PQ，它与磁场相切于P点。粒子源可以持续的从P点向磁场内发射速率为v方向不同的带正电同种粒子。经观测：有一粒子a以竖直向上的初速度射入磁场，该粒子经磁场偏转后恰好以水平方向离开磁场，然后进入电场区域。粒子b进入磁场的速度方向与粒子a的速度方向夹角为（未知），进入磁场后，粒子b的运动轨迹恰好能通过圆形磁场的圆心O，最终也进入到电场区域。已知电场强度和磁感应强度的关系满足，不计粒子重力及粒子间相互作用。求： （1）粒子的比荷； （2）粒子b与粒子a的夹角和b粒子打在荧光屏上的亮点到P点的距离x； （3）入射方向与荧光屏所在平面成区间范围内的粒子，最终打到荧光屏上形成的亮线长度。 【答案】（1）；（2），；（3） 【解析】（1）由a粒子的运动可知粒子在磁场中运动的半径为 由牛顿第二定律有 可得粒子的比荷 （2）画出粒子b的运动轨迹，如图所示 根据几何关系可知构成一个边长为R的菱形，则 由于，b粒子经过Q点的速度方向与垂直，所以粒子b进入电场的方向也沿水平方向。b粒子进入电场中做类平抛运动，有 ， 解得 所以b粒子打在荧光屏上的亮点到P点的距离为 （3）入射方向与P点右侧荧光屏成的粒子，在磁场与电场中的运动轨迹如图所示 由几何关系可知，粒子进入电场时距离荧光屏的距离为 进入电场后，粒子做类平抛运动，有 ， 解得 所以该粒子打到荧光屏的位置距离P点的距离为；根据（2）可知，入射方向与P点左侧荧光屏成的粒子，打到荧光屏的位置距离P点的距离为，所以入射方向与荧光屏所在平面成区间范围内的粒子，最终打到荧光屏上形成的亮线长度为 题型5 磁场最小面积问题 【例5】（多选）（2023·湖北·模拟预测）如图所示，有一个正方形区域ABCD，在内部某一区域内有一垂直于纸面向里、磁感应强度大小为的矩形匀强磁场。一个质量为m、电量为q（）的带电粒子从CD的中点以速度v垂直于CD射入正方形区域，从BC边的中点垂直于BC飞出该正方形区域，不计粒子的重力，下列说法正确的是（　　） A．该粒子在磁场里运动的时间 B．该粒子在磁场里运动的时间 C．该矩形区域磁场的最小面积 D．该矩形区域磁场的最小面积 【答案】AD 【解析】AB．根据题意可知带电粒子在磁场中运动轨迹如图所示 洛伦兹力提供向心力，则有 又 解得 ， 该粒子在磁场里转过的角度为，则运动的时间为 故A正确，B错误； CD．该矩形区域磁场的最小面积如图所示，由几何知识可知该矩形区域磁场的最小面积为 故C错误，D正确。 故选AD。 【变式5-1】（2024·山西临汾·二模）如图所示，M、N为纸面内一直线上的两点，某圆形区域中存在垂直纸面的匀强磁场。一质量为m、电荷量为的带电粒子，垂直于直线从M点以速度为v进入圆形磁场区域，经过磁场的偏转，粒子再次通过该直线的位置为N，且方向与直线之间的夹角。已知M、N两点间的距离为L，不计粒子的重力。求： （1）磁感应强度B的大小； （2）圆形磁场区域的最小面积S。 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）根据题意可知，粒子的运动轨迹如图所示 粒子偏转了120°角，由几何关系可得 可得 根据 得 可得 （2）圆形磁场区域边界一定通过M、P两点，要使圆形磁场区域的面积最小，根据几何知识可知，该区域应为以MP为直径的圆。磁场区域的最小半径 磁场区域的最小面积 【变式5-2】（2023·黑龙江·一模）如图所示，OA与y轴的夹角，在此角范围内有沿y轴负方向的匀强电场，一质量为m、电荷量为q（q>0）的粒子以速度v0从左侧平行于x轴射入电场，入射点为P，经电场后沿垂直于OA的方向由Q点进入一矩形磁场区域（未画出，方向垂直纸面向外），并沿x轴负方向经过O点。已知O点到Q点的距离为6l，不计粒子的重力，求： （1）匀强电场的电场强度大小； （2）匀强磁场的磁感应强度大小； （3）矩形磁场区域的最小面积。 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】（1）如图所示 带电粒子进入电场时，初速度为v0，带电粒子在电场中运动的时间为t，由牛顿第二定律得 粒子在电场中做类平抛运动 由 得 又因为 解得，匀强电场的电场强度大小为 （2）粒子在磁场中做圆周运动，设圆心为O1，半径为r，由几何关系得 解得 由于粒子的入射速度与电场垂直，则粒子在电场中做类平抛运动，分解Q点的速度得 解得 由牛顿第二定律得 联立解得，匀强磁场得磁感应强度大小为 （3）由图知，带电粒子从Q点射入磁场，包含圆弧的最小矩形磁场区域为图中虚线所示，矩形区域长为 矩形区域宽为 所以该区域的最小面积为 【变式5-3】（23-24高二下·安徽·期末）如图所示，平面直角坐标系xOy的第二象限内存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B1（B1未知），第一象限内一圆形区域中存在垂直纸面向外、磁感应强度大小为的匀强磁场（图中未画出）。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子从x轴上的P点以速度v0沿与x轴负方向成45°角的方向射入第二象限内的匀强磁场中，恰好从M点垂直于y轴射入第一象限，在第一象限内经磁场偏转后从N点垂直x轴射入第四象限，已知O、P之间的距离为L，O、N之间的距离为2L，不计粒子重力，求： （1）第二象限内磁场的磁感应强度大小B1； （2）第一象限内圆形匀强磁场区域的最小面积S。 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）根据题意，作出粒子的运动轨迹如图所示 根据洛伦兹力提供向心力有 由几何关系可得 解得 （2）根据题意，当磁场区域面积最小时，如图所示 根据洛伦兹力提供向心力有 解得 所以磁场圆的最小半径为 所以磁场的最小面积为 【变式5-4】（23-24高二上·内蒙古赤峰·期末）如图所示，第一象限内有垂直纸面向里的匀强磁场（图中未画出），一质量为m、电荷量为q的带正电粒子从x轴上的M点以速度v0垂直于x轴射入磁场，从y轴上的N点射出时速度方向与y轴正方向的夹角α=60°，M点和原点O间的距离为d，不计粒子所受的重力。 （1）求匀强磁场磁感应强度B的大小； （2）若仅在第一象限内一矩形（MN为矩形的一条边）区域内存在磁场，求矩形磁场的最小面积S0。 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）设粒子在磁场中做半径为r的匀速圆周运动，根据几何关系有 粒子受到的洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律有 联立解得 （2）粒子的运动轨迹如图所示 根据几何关系可知，矩形区域面积最小时，矩形的长为 矩形的宽为 联立解得矩形区域的面积为 题型6 带电粒子带电性不确定形成的多解 【例6】（多选）（23-24高二下·四川广元·开学考试）如图所示， 左右边界分别为PP'、QQ'的匀强磁场的宽度为d， 磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里。一个质量为m、电荷量为q的粒子，沿图示方向以速度垂直射入磁场。欲使粒子不能从边界QQ'射出， 粒子入射速度的最大值可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】粒子射入磁场后做匀速圆周运动，由知，粒子的入射速度越大，R越大，当粒子的径迹和边界QQ′相切时，粒子刚好不从QQ′射出，此时其入射速度v0应为最大。若粒子带正电，其运动轨迹如图a所示（此时圆心为O点），根据几何关系有 且 联立解得 若粒子带负电，其运动轨迹如图b所示（此时圆心为O′点），根据几何关系有 且 联立解得 故选AC。 【变式6-1】（多选）（22-23高二下·全国·课前预习）如图所示，匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，MN是它的下边界。现有质量为m、电荷量为q的带电粒子与MN成30°角垂直射入磁场，则粒子在磁场中运动的时间可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】由于带电粒子的电性不确定，其轨迹可能是如图所示的两种情况 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，可得 根据线速度和周期的关系，可得 联立解得 由图可知，若为正电荷，轨迹对应的圆心角为θ1＝300°，若为负电荷，轨迹对应的圆心角为θ2＝60°，则对应时间分别为 故选AD。 【变式6-2】（多选）（21-22高二·全国·课时练习）如图所示，在x轴上方存在着垂直于纸面向里的匀强磁场。一个质量为m、电荷量大小为q（不计重力）的带电粒子从坐标原点O处以速度v进入磁场，粒子进入磁场时的速度方向垂直于磁场且与x轴正方向成120°角，若粒子在磁场中运动时与x轴的最大距离为a，则磁感应强度B的大小和该粒子的电性可能是（　　） A．，带正电 B．，带正电 C．，带负电 D．，带负电 【答案】BC 【解析】粒子的运动轨迹如图所示 若粒子带正电，则 解得 若粒子带负电，则 解得 故选BC。 题型7 磁场方向不确定形成的多解 【例7】（多选）（2023高二·全国·专题练习）如图所示，A点的离子源沿纸面垂直OQ方向向上射出一束负离子，离子的重力忽略不计。为把这束负离子约束在OP之下的区域，可加垂直纸面的匀强磁场。已知O、A两点间的距离为s，负离子的比荷为，速率为v，OP与OQ间的夹角为30°，则所加匀强磁场的磁感应强度B的大小和方向可能是（　　） A．，垂直纸面向里 B．，垂直纸面向里 C．，垂直纸面向外 D．，垂直纸面向外 【答案】BD 【解析】AB．当所加匀强磁场方向垂盲纸面向里时，由左手定则知：负离子向右偏转。约束在OP之下的区域的临界条件是离子运动轨迹与OP相切。如图（大圆弧） 由几何知识知 而 所以 所以当离子轨迹的半径小于s时满足约束条件。由牛顿第二定律及洛伦兹力公式列出 所以得 故A错误，B正确； CD．当所加匀强磁场方向垂直纸面向外时，由左手定则知：负离子向左偏转。约束在OP之下的区域的临界条件是离子运动轨迹与OP相切。如图（小圆弧） 由几何知识知道相切圆的半径为，所以当离子轨迹的半径小于时满足约束条件。 由牛顿第二定律及洛伦兹力公式列出 所以得 故C错误，D正确。 故选BD。 【变式7-1】（多选）某电子以固定的正电荷为圆心在匀强磁场中做匀速圆周运动，磁场方向垂直于它的运动平面，电子所受电场力恰好是磁场对它作用力的3倍。若电子电量为e，质量为m，磁感应强度为B。那么，电子运动的角速度可能是（  ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】当洛伦兹力方向和电场力方向相同时，有： F电+evB=① 其中 F电=3evB② 联立①②解得 当洛伦兹力方向和电场力方向相反时，有： F电-evB=③ 联立②③得 故选AC。 题型8 临界状态不唯一形成的多解 【例8】（23-24高二下·江苏扬州·期中）如图所示，直线MN与水平方向成60°角，MN的右上方存在垂直纸面向外的匀强磁场，左下方存在垂直纸面向里的匀强磁场，两磁场的磁感应强度大小均为B．一粒子源位于上的点，能水平向右发射不同速率、质量为m、电荷量为的同种粒子（重力不计，粒子间的相互作用不计），所有粒子均能通过上的点，已知，则粒子的速度可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】粒子可能在两个磁场间做多次运动，画出粒子可能的轨迹，如图所示 所有粒子对应的圆心角均为，由几何关系可知 根据洛伦兹力提供向心力，则有 解得 当时，可得 故选C。 【变式8-1】（23-24高二上·山东青岛·期末）长度为L的水平板上方区域存在垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场，从距水平板中心正上方的P点处以水平向右的速度释放一个质量为m、电荷量为e的电子，若电子能打在水平板上，速度应满足（　　） A． B． C． D．或 【答案】C 【解析】电子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，则有 解得 根据分析，当半径很小或者半径很大时，电子均不能够到达水平板上，两个临界点轨迹分别与水平板相切、轨迹恰好经过水平板两端点，如图所示 根据几何关系可知 ， 解得 或 则有 故选C。 【变式8-2】（多选）（22-23高二上·河南南阳·期中）如图所示，区域内有一方向垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场，，弧是直径为2L的半圆，在一条直线上。在A点有一个粒子源，可以沿AD方向发射速度大小不同的带正电的粒子，均打到弧上。已知粒子的比荷均为k，不计粒子间相互作用及重力，则关于粒子在上述过程中的运动时间可能的是（　　） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】粒子在磁场中转动周期 粒子打到正E界面时，转动角度最小，运动时间最短，根据几何关系，转动角度为 最短时间为 设圆弧上存在一点轨迹圆心与B连线恰与圆弧相切，则从点射出的粒子转动角度最大，运动时间最大，根据几何关系，转动角度为 最长时间为 故运动时间范围为 故选BC。 【变式8-3】（多选）（2024高三·全国·专题练习）如图所示，边长为L的等边三角形区域ACD内、外的匀强磁场的磁感应强度大小均为B、方向分别垂直纸面向里、向外。三角形顶点A处有一质子源，能沿∠A的角平分线发射速度大小不等、方向相同的质子（质子重力不计、质子间的相互作用可忽略），所有质子恰能通过D点，已知质子的比荷，则质子的速度可能为（　　） A． B．BkL C． D． 【答案】ABD 【解析】质子可能的运动轨迹如图所示 由几何关系可得 2nRcos60°＝L（n＝1，2，…） 由洛伦兹力提供向心力，则有 联立解得 故选ABD。 【变式8-4】（多选）（2023·全国·模拟预测）如图所示，空间中有一个底角均为的梯形，上底与腰长相等为L，梯形处于磁感应强度大小为B、垂直于纸面向外的匀强磁场中，现c点存在一个粒子源，可以源源不断射出速度方向沿cd，大小可变的电子，电子的比荷为k，为使电子能从ab边射出，速度大小可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】能够从ab边射出的电子，半径最小为从b点射出，如图所示 由几何关系可知 半径最大为从a点射出，如图所示 由几何关系可知 由牛顿第二定律有 解得 则有 为使粒子从ab边射出磁场区域，粒子的速度范围为 故选BC。 题型9 运动的周期性形成的多解 【例9】（多选）（2023·湖北·模拟预测）如图所示的xOy坐标系中，y轴的左侧存在垂直纸面向外、磁感应强度大小未知的匀强磁场，y轴右侧的匀强磁场垂直纸面方向且大小未知，一带正电的粒子由y轴上（0，）处沿与y轴正方向成30°角的方向以速度v射入磁场，已知粒子的比荷为k，粒子在y轴右侧的轨道半径为L，最终粒子经过O点，粒子重力不计。下列说法正确的是（　　） A．若y轴右侧的磁场垂直纸面向里，则y轴右侧的磁感应强度大小为 B．若y轴右侧的磁场垂直纸面向里，则粒子从射入到运动至O点的时间为 C．若y轴右侧的磁场垂直纸面向外，则粒子从射入到运动至O点的时间可能为 D．若y轴右侧的磁场垂直纸面向外，则粒子从射入到运动至O点的时间可能为 【答案】AD 【解析】A．若y轴右侧的磁场垂直纸面向里，由题意作出粒子的运动轨迹，如图甲所示 根据 解得 由几何关系可知 则有 A正确； B．由几何关系可知粒子在y轴右侧偏转的角度为60°，则粒子从射入到运动至O点的时间 由于 解得 B错误； CD．若y轴右侧的磁场垂直纸面向外，粒子可能在y轴左右两侧各偏转一次经过O点，如图乙所示，由几何关系可知粒子在y轴左侧的轨道半径 则y轴左侧磁场的磁感应强度大小 粒子运动的时间 由于 解得 若y轴右侧的磁场垂直纸面向外，粒子可能在y轴的左侧偏转一次、在y轴的右侧偏转两次经过O点，如图丙所示 由几何关系可知粒子在y轴左侧的轨道半径 则y轴左侧磁场的磁感应强度大小 粒子运动的时间 由于 解得 C错误，D正确。 故选AD。 【变式9-1】（多选）（2024·江西鹰潭·二模）如图正六边形是一个绝缘筒的截面，筒内无磁场，在每边中点处开一小孔。现有质量为m，电荷量为q的粒子（不计重力），从其中一个小孔以垂直边长方向、大小恰当的初速度，进入外部磁感应强度大小为B的无限大匀强磁场。磁场方向垂直截面，若粒子可以不与筒相碰，以相同速度回到起点，那么该过程粒子经历的时间可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】A．粒子的轨迹可能如下图所示 由 可得 由几何关系 解得 故在六边形内运动的时间至少为 联立可得 粒子在磁场中的运动周期为 故粒子在磁场中的运动时间至少为 该过程粒子经历的时间可能是 （n=1，2，3…） 当时 A正确； D．粒子的轨迹可能如下图所示 由几何关系 解得 故在六边形内运动的时间至少为 联立可得 粒子在磁场中的运动周期为 故粒子在磁场中的运动时间至少为 该过程粒子经历的时间可能是 （n=1，2，3…） 当时 D正确； BC．由上述分析可知，BC错误。 故选AD。 【变式9-2】（多选）（2023高三·全国·专题练习）如图所示，正方形abcd区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，O点是cd边的中点，一个带正电的粒子(重力忽略不计)若从O点沿纸面以垂直于cd边的速度射入正方形内，经过时间t0刚好从c点射出磁场。现设法使该带电粒子从O点沿纸面以与Od成30°角的方向(如图中虚线所示)，以各种不同的速率射入正方形内，那么下列说法中正确的是（  ） A．该带电粒子不可能刚好从正方形的某个顶点射出磁场 B．若该带电粒子从ab边射出磁场，它在磁场中经历的时间可能是 C．若该带电粒子从bc边射出磁场，它在磁场中经历的时间可能是t0 D．若该带电粒子从bc边射出磁场，它在磁场中经历的时间可能是 【答案】ABC 【解析】A．带电粒子以垂直于cd边的速度射入正方形内，经过时间t0刚好从c点射出磁场，则知带电粒子的运动周期为T＝2t0。作出粒子从O点沿纸面以与Od成30°角的方向射入恰好从各边射出的轨迹，如图所示。 发现粒子不可能经过正方形的某顶点，故A正确； B．作出粒子恰好从ab边射出的临界轨迹③④，由几何关系知圆心角不大于150°，在磁场中经历的时间不大于个周期，即；圆心角不小于60°，在磁场中经历的时间不小于个周期，即，故B正确； CD．作出粒子恰好从bc边射出的临界轨迹②③，由几何关系知圆心角不大于240°，在磁场中经历的时间不大于个周期，即；圆心角不小于150°，在磁场中经历的时间不小于个周期，即，故C正确，D错误。 故选ABC。 【变式9-3】（23-24高三下·山西晋中·月考）如图甲所示，正方形区域ABCD内部有一垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小，M、N分别为AD、BC边中点。现在从M点，平行AB方向，以某一初速度射入一个质量为m、电荷量为q的负电粒子，发现该粒子刚好从B点离开磁场区域，已知磁场区域的边长，该粒子的比荷，不计粒子重力。 （1）求该粒子射入磁场时的速度大小； （2）若取垂直纸面向里为磁场的正方向，磁感应强度按图乙的方式变化，时刻，粒子同样从M点平行AB射入，发现粒子恰好能从N点离开，已知，求该粒子射入磁场的速度可能的取值以及粒子运动的时间。 【答案】（1）；（2）， 【解析】（1）粒子的运动轨迹如图甲所示 设粒子做匀速圆周运动的半径为，由几何关系可知 代入数据，解得 由 代入数据，解得 （2）因为，粒子的轨迹如图乙所示 设粒子做匀速圆周运动的半径为，由几何关系可得 ， 由 联立上述方程可解得 ， 粒子运动时间 由于周期性，粒子转过的角度为 ， 代入上述公式，可解得 ， 代入数据解得 ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$