江苏南京市东山外国语学校2024-2025学年九年级上学期数学期中测试卷

( 学校________________班级____________姓名____________考场____________准考证号 ………………………… 密 ………… 封 ………… 线 ………… 内 ………… 不 ………… 要 ………… 答 ………… 题 ………………………… ) 2024-2025学年江苏南京市东山外国语学校九上数学期中测试卷 题号 一 二 三 四 五 总分 得分 A卷（100分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1、（4分）函数中，自变量的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2、（4分）在一个直角三角形中，如果斜边长是10，一条直角边长是6，那么另一条直角边长是（ ）． A．6 B．7 C．8 D．9 3、（4分）关于反比例函数，下列说法中错误的是( ) A．它的图象分布在一、三象限 B．它的图象过点(-1，-3) C．当x>0时，y的值随x的增大而增大 D．当x<0时，y的值随x的增大而减小 4、（4分）如图，在平面直角坐标系中，点B在x轴上，△AOB是等腰三角形，AB=AO=5，BO=6，则点A的坐标为（　　） A．（3，4） B．（4，3） C．（3，5） D．（5，3） 5、（4分）若函数，则当函数值y＝8时，自变量x的值是（ ） A．± B．4 C．±或4 D．4或－ 6、（4分）已知直线，则下列说法中正确的是（ ） A．这条直线与轴交点在正半轴上，与轴交点在正半轴上 B．这条直线与轴交点在正半轴上，与轴交点在负半轴上 C．这条直线与轴交点在负半轴上，与轴交点在正半轴上 D．这条直线与轴交点在负半轴上，与轴交点在负半轴上 7、（4分）某小组在“用频率估计概率”的试验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线图，那么符合这一结果的试验最有可能的是（　　） A．在装有1个红球和2个白球（除颜色外完全相同）的不透明袋子里随机摸出一个球是“白球” B．从一副扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“红色的” C．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面朝上” D．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6 8、（4分）矩形具有而平行四边形不具有的性质是（ ） A．对角线互相平分 B．邻角互补 C．对角相等 D．对角线相等 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9、（4分）函数为任意实数)的图象必经过定点，则该点坐标为____． 10、（4分）如图，在菱形中，对角线交于点，过点作于点，已知BO=4，S菱形ABCD=24，则___． 11、（4分）在学校的社会实践活动中，一批学生协助搬运初一、二两个年级的图书，初一年级需要搬运的图书数量是初二年级需要搬运的图书数量的两倍.上午全部学生在初一年级搬运，下午一半的学生仍然留在初一年级（上下午的搬运时间相等）搬运，到放学时刚好把初一年级的图书搬运完.下午另一半的学生去初二年级搬运图书，到放学时还剩下一小部分未搬运，最后由三个学生再用一整天的时间刚好搬运完.如果这批学生每人每天搬运的效率是相同的，则这批学生共有人数为______. 12、（4分）已知在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线交于O，且∠ABC的角平分线与∠ACB的外角平分线交于P，∠OPC和∠OCP角平分线交于H，∠H=117.5°，则∠A=________ 13、（4分）一组数据：1，2，1，0，2，a，若它们的众数为1，则这组数据的平均数为_______． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14、（12分）某公司经营甲、乙两种商品，两种商品的进价和售价情况如下表： 进价(万元/件) 售价(万元/件) 甲 12 14.5 乙 8 10 两种商品的进价和售价始终保持不变．现准备购进甲、乙两种商品共20件．设购进甲种商品件，两种商品全部售出可获得利润为万元． （1）与的函数关系式为__________________； （2）若购进两种商品所用的资金不多于200万元，则该公司最多购进多少合甲种商品？ （3）在（2）的条件下，请你帮该公司设计一种进货方案，使得该公司获得最大利润，并求出最大利润是多少？ 15、（8分）为了提高学生书写汉字的能力，增强保护汉字的意识，某校举办了“汉字听写大赛”，学生经选拔后进入决赛，测试同时听写100个汉字，每正确听写出一个汉字得1分，本次决赛，学生成绩为（分），且（无满分），将其按分数段分为五组，绘制出以下不完整表格： 组别 成绩（分） 频数（人数） 频率 一 2 二 10 0.2 三 12 四 0.4 五 6 请根据表格提供的信息，解答以下问题： （1）本次决赛共有__________名学生参加； （2）直接写出表中：_______________________ （3）请补全右面相应的频数分布直方图； （4）若决赛成绩不低于80分为优秀，则本次大赛的优秀率为__________． 16、（8分）按照下列要求画图并作答： 如图，已知． 画出BC边上的高线AD； 画的对顶角，使点E在AD的延长线上，，点F在CD的延长线上，，连接EF，AF； 猜想线段AF与EF的大小关系是：______；直线AC与EF的位置关系是： ______． 17、（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l与x轴，y轴分别交于A、B两点，且过点B（0，4）和C（2，2）两点． （1）求直线l的解析式； （2）求△AOB的面积； （3）点P是x轴上一点，且满足△ABP为等腰三角形，直接写出所有满足条件的点P的坐标． 18、（10分）有两个不透明的布袋，其中一个布袋中有一个红球和两个白球，另一个布袋中有一个红球和三个白球，它们除了颜色外其他都相同．在两个布袋中分别摸出一个球， （1）用树形图或列表法展现可能出现的所有结果； （2）求摸到一个红球和一个白球的概率． B卷（50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19、（4分）如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，CD上的点，AE=CF，连接EF，BF，EF与对角线AC交于点O，且BE=BF，∠BEF=2∠BAC，FC=2，则AB的长为_________． 20、（4分）正比例函数图象经过，则这个正比例函数的解析式是_________. 21、（4分）一直角三角形的两条直角边分别是4cm和3cm，则其斜边上中线的长度为 ___________. 22、（4分）点D、E、F分别是△ABC三边的中点，若△ABC的周长是16，则△DEF的周长是_____． 23、（4分）若分式方程有增根,则k的值是_________. 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24、（8分）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，4），B（1，1），C（3，1）． （1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1； （2）画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的△A2B2C2； （3）在（2）的条件下，求线段BC扫过的面积（结果保留π）． 25、（10分）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示． （1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1； （2）将△ABC向右平移6个单位，作出平移后的△A2B2C2，并写出△A2B2C2各顶点的坐标； （3）观察△A1B1C1和△A2B2C2，它们是否关于某条直线对称？若是，请在图上画出这条对称轴． 26、（12分）如图,在△ABC中,∠ACB=90°，AC=BC，E为AC边的中点，过点A作AD⊥AB交BE的延长线于点D，CG平分∠ACB交BD于点G.F为AB边上一点，连接CF，且∠ACF=∠CBG. (1)求证：BG=CF； (2)求证：CF=2DE； (3)若DE=1，求AD的长 参考答案与详细解析 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1、A 【解析】 根据二次根式的性质的意义，被开方数大于或等于0，可以求出x的范围． 【详解】 解：由有意义得，解得： 故选A 本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 2、C 【解析】 本题直接根据勾股定理求解即可． 【详解】 由勾股定理的变形公式可得：另一直角边长==1． 故选C． 本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 3、C 【解析】 试题分析：反比例函数的性质：当时，图象位于一、三象限，在每一象限，y随x的增大而减小；当时，图象位于二、四象限，在每一象限，y随x的增大而增大. 解：A、因为，所以它的图象分布在一、三象限，B、它的图象过点（-1，-3），D、当，y的值随x的增大而减小，均正确，不符合题意； C、当，y的值随x的增大而减小，故错误，本选项符合题意. 考点：反比例函数的性质 点评：反比例函数的性质是初中数学的重点，贯穿于整个初中数学的学习，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握. 4、A 【解析】 先过点A作AC⊥OB，根据△AOB是等腰三角形，求出OA=AB，OC=BC，再根据点B的坐标，求出OC的长，再根据勾股定理求出AC的值，从而得出点A的坐标． 【详解】 过点A作AC⊥OB， ∵△AOB是等腰三角形， ∴OA=AB，OC=BC， ∵AB=AO=5，BO=6， ∴OC=3， ∴AC=， ∴点A的坐标是（3，4）． 故选：A． 此题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，关键是作出辅助线，求出点A的坐标． 5、D 【解析】 把y=8代入第二个方程，解得x=4大于2，所以符合题意； 把y=8代入第一个方程，解得： x=， 又由于x小于等于2，所以x=舍去， 所以选D 6、C 【解析】 先确定直线y=kx+b经过第一、二、三限，即可对各选项进行判断． 【详解】 解：∵直线y=kx+b，k＞0，b＞0， ∴直线y=kx+b经过第一、二、三象限， 故选：C． 本题考查了一次函数与系数的关系：对于一次函数y=kx+b，它与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．当k＞0，b＞0⇔y=kx+b的图象在一、二、三象限；k＞0，b＜0⇔y=kx+b的图象在一、三、四象限；k＜0，b＞0⇔y=kx+b的图象在一、二、四象限；k＜0，b＜0⇔y=kx+b的图象在二、三、四象限． 7、D 【解析】 根据统计图可知，试验结果在0.16附近波动，即其概率P≈0.16，计算四个选项的概率，约为0.16者即为正确答案． 【详解】 根据图中信息，某种结果出现的频率约为0.16， 在装有1个红球和2个白球（除颜色外完全相同）的不透明袋子里随机摸出一个球是“白球”的概率为≈0.67>0.16，故A选项不符合题意， 从一副扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“红色的”概率为≈0.48>0.16，故B选项不符合题意， 掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面朝上”的概率是=0.5>0.16，故C选项不符合题意， 掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6的概率是≈0.16，故D选项符合题意， 故选D. 本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．熟练掌握概率公式是解题关键. 8、D 【解析】 根据矩形相对于平行四边形的对角线特征：矩形的对角线相等，求解即可． 【详解】 解：由矩形对角线的特性可知：矩形的对角线相等． 故选：D． 本题考查的知识点是矩形的性质以及平行四边形的性质，掌握矩形以及平行四边形的边、角、对角线的性质是解此题的关键． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9、 (1，2) 【解析】 先把函数解析式化为y=k（x-1）+2的形式，再令x=1求出y的值即可． 【详解】 解：函数可化为， 当，即时，， 该定点坐标为． 故答案为：． 本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，把原函数的解析式化为y=k（x-1）+2的形式是解答此题的关键． 10、 【解析】 根据菱形面积=对角线积的一半可求，再根据勾股定理求出，然后由菱形的面积即可得出结果. 【详解】 ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． 本题考查了菱形的性质、勾股定理以及菱形面积公式.熟练掌握菱形的性质，由勾股定理求出是解题的关键. 11、8 【解析】 设二年级需要搬运的图书为a本，则一年级搬运的图书为2a本，这批学生有x人，每人每天的搬运效率为m，根据题意的等量关系建立方程组求出其解即可． 【详解】 解：设二年级需要搬运的图书为a本，则一年级搬运的图书为2a本，这批学生有x人，每人每天的搬运效率为m，由题意得： 解得：x=8，即这批学生有8人 本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，二元一次方程组的解法的运用，设参数法列方程解实际问题的运用，解答时根据工作量为2a和a建立方程是关键，运用整体思想是难点． 12、70° 【解析】 根据三角形内角和定理，可得∠HCP+∠HPC=62.5°，由角平分线的性质，得∠OCP+∠OPC=125°，由三角形外角性质，得到∠BOC的度数，然后∠OBC+OCB=55°，然后可以计算得到∠A的度数. 【详解】 解：∵∠H=117.5°， ∴∠HCP+∠HPC=180°-117.5°=62.5°， ∵CH平分∠OCP，PH平分∠OPC， ∴∠OCP+∠OPC=2（∠HCP+∠HPC）= 125°， ∴∠BOC=125°， ∴∠OBC+∠OCB=180°-125°=55°， ∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB， ∴∠ABC+∠ACB=2（∠OBC+OCB）=110°， ∴∠A=180°-110°=70°； 故答案为：70°. 本题考查了角平分线的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，解题的关键是灵活运用性质求出有关的角度. 13、. 【解析】 根据众数为1，求出a的值，然后根据平均数的概念求解： ∵众数为1，∴a=1. ∴平均数为：. 考点：1.众数；2.平均数. 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14、（1）w＝0.5x+40；（2）10；（3）该公司购进甲种商品10件，乙种商品10件时，该公司获得最大利润，最大利润是45万元 【解析】 （1）设该公司购进甲种商品x件，则乙种商品（20﹣x）件，根据题意可得等量关系：公司获得的利润w＝甲种商品的利润+乙种商品的利润，根据等量关系可得函数关系式； （2）根据资金不多于20万元列出不等式组； （3）根据一次函数的性质：k＞0时，w随x的增大而增大可得答案． 【详解】 解：（1）设该公司购进甲种商品x件，则乙种商品（20﹣x）件， 根据题意得：w＝（14.5﹣12）x+（10﹣8）（20﹣x）， 整理得：w＝0.5x+40； 故答案为：w＝0.5x+40； （2）由题意得：12x+8（20﹣x）≤200，解得x≤10， 故该公司最多购进10台甲种商品； （3）∵对于函数w＝0.5x+40，w随x的增大而增大， ∴当x＝10时，能获得最大利润，最大利润为：w＝0.5×10+40＝45（万元）， 故该公司购进甲种商品10件，乙种商品10件时，该公司获得最大利润，最大利润是45万元． 此题主要考查了一次函数的应用，关键是正确理解题意，找出等量关系，列出函数关系式． 15、解：（1）50；（2）20，0.24；（3）见详解；（4）52%． 【解析】 （1）用第二组的频数除以它所占的频率得到调查的总人数； （2）用第四组的频率乘以样本容量得到a的值，用第三组的频数除以样本容量得到b的值； （3）利用a的值补全频数分布直方图； （4）用第四组和第五组的频数和除以样本容量即可． 【详解】 解：解：（1）10÷0.2=50， 所以本次决赛共有50名学生参加； （2）a=50×0.4=20，b==0.24； 故答案为50；20；0.24； （3）补全频数分布直方图为： （4）本次大赛的优秀率=×100%=52%． 故答案为50；20；0.24；52%． 本题考查了频数（率）分布直方图：能从频数分布直方图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题． 16、画图见解析；画图见解析；；． 【解析】 (1)直接利用钝角三角形高线的作法得出答案； (2)利用圆规与直尺截取得出E，F位置进而得出答案； (3)利用已知线段和角的度数利用全等三角形的判定与性质分析得出答案． 【详解】 如图所示：高线AD即为所求； 如图所示： 猜想线段AF与EF的大小关系是：； 理由：在和中 ， ≌， ； 直线AC与EF的位置关系是：． 理由：在和中 ， ≌， ， ． 故答案为；． 本题考查了作图，三角形全等的判定与性质等，正确作出钝角三角形的高线是解题关键． 17、（1）y＝﹣x+4；（2）8；（3）点P坐标为（﹣4，0）或（4+4，0）或（4﹣4，0）或（0，0） 【解析】 （1）直线过（2，2）和（0，4）两点，则 待定系数法求解析式． （2）先求A点坐标，即可求△AOB的面积 （3）分三类讨论，可求点P的坐标 【详解】 解（1）设直线l的解析式y＝kx+b ∵直线过（2，2）和（0，4） ∴ 解得： ∴直线l的解析式y＝﹣x+4 （2）令y＝0，则x＝4 ∴A（4，0） ∴S△AOB＝×AO×BO＝×4×4＝8 （3）∵OA＝4，OB＝4 ∴AB＝4 若AB＝AP＝4 ∴在点A左边，OP＝4﹣4， 在点A右边，OP＝4+4 ∴点P坐标（4+4，0），（4﹣4，0） 若BP＝BP＝4 ∴P（﹣4，0） 若AP＝BP则点P在AB的垂直平分线上， ∵△AOB是等腰直角三角形， ∴AB的垂直平分线过点O ∴点P坐标（0，0） 本题考查了待定系数法求一次函数解析式，等腰三角形的性质，关键是利用分类讨论的思想解决问题． 18、（1）见解析；（2） 【解析】 （1）按照树状图的画法画出树状图即可； （2）根据树状图得出摸到一红一白的概率． 【详解】 （1）树状图如下： （2）根据树状图得： 共有12种情况，其中恰好1红1白的情况有5种 故概率P= 本题考查利用树状图求概率，注意，本题还可用列表法求概率，应熟练掌握这两种方法． 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19、6 【解析】 先证明△AOE≌△COF，Rt△BFO≌Rt△BFC，再证明△OBC、△BEF是等边三角形即可求出答案. 【详解】 如图，连接BO， ∵四边形ABCD是矩形， ∴DC∥AB，∠DCB=90° ∴∠FCO=∠EAO 在△AOE与△COF中， ∴△AOE≌△COF ∴OE=OF,OA=OC ∵BF=BE ∴BO⊥EF，∠BOF=90° ∵∠BEF=2∠BAC=∠CAB+∠AOE ∴∠EAO=∠EOA， ∴EA=EO=OF=FC=2 在Rt△BFO与Rt△BFC中 ∴Rt△BFO≌Rt△BFC ∴BO=BC 在Rt△ABC中，∵AO=OC， ∴BO=AO=OC=BC ∴△BOC是等边三角形 ∴∠BCO=60°，∠BAC=30° ∴∠FEB=2∠CAB=60°， ∵BE=BF ∴EB=EF=4 ∴AB=AE+EB=2+4=6， 故答案为6. 本题考查的是全等三角形的性质与判定和等边三角形的判定与性质，能够充分调动所学知识是解题本题的关键. 20、 【解析】 设解析式为y＝kx，再把（3，−6）代入函数解析式即可算出k的值，进而得到解析式． 【详解】 解：设这个正比例函数的解析式为y＝kx（k≠0）， ∵正比例函数的图象经过点（3，−6）， ∴−6＝3k， 解得k＝−2， ∴y＝−2x． 故答案是：y＝−2x． 此题主要考查了待定系数法求正比例函数解析式，关键是掌握凡是函数图象经过的点，必能满足解析式． 21、cm 【解析】 【分析】先利用勾股定理求出直角三角形的斜边长，然后再根据直角三角形斜边中线的性质进行解答即可. 【详解】直角三角形的斜边长为：=5cm， 所以斜边上的中线长为：cm， 故答案为：cm. 【点睛】本题考查了勾股定理、直角三角形斜边中线，熟知直角三角形斜边中线等于斜边的一半是解题的关键. 22、1． 【解析】 据D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，可以判断DF、FE、DE为三角形中位线，利用中位线定理求出DF、FE、DE与AB、BC、CA的长度关系即可解答． 【详解】 如图，∵D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，∴ED、FE、DF为△ABC中位线，∴DFBC，FEAB，DEAC，∴DF+FE+DEBCABAC（AB+BC+CA）16＝1． 故答案为：1． 本题考查了三角形的中位线定理，根据中点判断出中位线，再利用中位线定理是解题的基本思路． 23、-1 【解析】 增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．有增根，最简公分母x-7=0，所以增根是x=7，把增根代入化为整式方程的方程即可求出未知字母的值． 【详解】 解：方程两边都乘（x-3），得 1-2（x-3）=-k， ∵方程有增根， ∴最简公分母x-3=0，即增根是x=3， 把x=3代入整式方程，得k=-1． 故答案为：-1． 考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行： ①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24、（1）作图见解析；（2）作图见解析；（3）2π. 【解析】 【分析】（1）利用轴对称的性质画出图形即可； （2）利用旋转变换的性质画出图形即可； （3）BC扫过的面积=，由此计算即可； 【详解】（1）△ABC关于x轴对称的△A1B1C1如图所示； （2）△ABC绕点O逆时针旋转90°后的△A2B2C2如图所示； （3）BC扫过的面积= ==2π． 【点睛】本题考查了利用轴对称和旋转变换作图，扇形面积公式等知识，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键． 25、（1）见解析；（2）见解析，A2（6，4），B2（4，2），C2（5，1）；（1）△A1B1C1和△A2B2C2是轴对称图形，对称轴为图中直线l：x＝1,见解析. 【解析】 （1）根据轴对称图形的性质，找出A、B、C的对称点A1、B1、C1，画出图形即可； （2）根据平移的性质，△ABC向右平移6个单位，A、B、C三点的横坐标加6，纵坐标不变； （1）根据轴对称图形的性质和顶点坐标，可得其对称轴是l：x=1． 【详解】 （1）由图知，A（0，4），B（﹣2，2），C（﹣1，1），∴点A、B、C关于y轴对称的对称点为A1（0，4）、B1（2，2）、C1（1，1），连接A1B1，A1C1，B1C1，得△A1B1C1； （2）∵△ABC向右平移6个单位，∴A、B、C三点的横坐标加6，纵坐标不变，作出△A2B2C2，A2（6，4），B2（4，2），C2（5，1）； （1）△A1B1C1和△A2B2C2是轴对称图形，对称轴为图中直线l：x=1． 本题考查了轴对称图形的性质和作图﹣平移变换，作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形． 26、（1）详见解析；（2）详见解析；（3） 【解析】 （1）利用“ASA”判断△BCG≌△CFA，从而得到BG=CF； （2）连结AG，利用等腰直角三角形的性质得CG垂直平分AB，则BG=AG，再证明∠D=∠GAD得到AG=DG，所以BG=DG，接着证明△ADE≌△CGE得到DE=GE，则BG=2DE，利用利用△BCG≌△CFA得到CF=BG，于是有CF=2DE； （3）先得到BG=2，GE=1，则BE=3，设CE=x，则BC=AC=2CE=2x，在Rt△BCE中利用勾股定理得到x +（2x）=3，解得x= ，所以BC=，AB= BC=,然后在Rt△ABD中利用勾股定理计算AD的长． 【详解】 (1)证明：∵∠ACB=90°，AC=BC， ∴△ACB为等腰直角三角形， ∴∠CAF=∠ACG=45°， ∵CG平分∠ACB， ∴∠BCG=45°， 在△BCG和△CFA中 ， ∴△BCG≌△CFA， ∴BG=CF； (2)证明：连结AG， ∵CG为等腰直角三角形ACB的顶角的平分线， ∴CG垂直平分AB， ∴BG=AG， ∴∠GBA=∠GAB， ∵AD⊥AB， ∴∠D+∠DBA=90°,∠GAD+∠GAB=90°， ∴∠D=∠GAD， ∴AG=DG， ∴BG=DG， ∵CG⊥AB，DA⊥AB， ∴CG∥AD， ∴∠DAE=∠GCE, ∵E为AC边的中点， ∴AE=CE， 在△ADE和△CGE中 ， ∴△ADE≌△CGE， ∴DE=GE， ∴DG=2DE， ∴BG=2DE， ∵△BCG≌△CFA， ∴CF=BG， ∴CF=2DE； (3)∵DE=1， ∴BG=2，GE=1，即BE=3， 设CE=x，则BC=AC=2CE=2x， 在Rt△BCE中,x+(2x) =3,解得x=， ∴BC=， ∴AB= BC=， 在Rt△ABD中,∵BD=4,AB= ， ∴AD=. 此题考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形，解题关键在于作辅助线 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$