2025年高考数学二轮复习专项训练28 定点、定值问题

2025二轮复习专项训练28 定点、定值问题 [考情分析]　解析几何是数形结合的典范，是高中数学的主要知识模块，定点和定值问题是高考考查的重点知识，在解答题中一般会综合考查直线、圆、圆锥曲线等，试题难度较大，多次以压轴题出现． 【练前疑难讲解】 一、定点问题 求解定点问题常用的方法 (1)“特殊探路，一般证明”，即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目标的一般性证明． (2)“一般推理，特殊求解”，即先由题设条件得出曲线的方程，再根据参数的任意性得到定点坐标． (3)求证直线过定点(x0，y0)，常利用直线的点斜式方程y－y0＝k(x－x0)来证明． 二、定值问题 求圆锥曲线中定值问题常用的方法 (1)引出变量法：其解题流程为 → ↓ → ↓ → (2)特例法：从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． 一、单选题 1．（22-23高三下·河北衡水·阶段练习）已知抛物线过点，动点M，N为C上的两点，且直线AM与AN的斜率之和为0，直线l的斜率为，且过C的焦点F，l把分成面积相等的两部分，则直线MN的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高二上·山东济宁·期末）已知双曲线，抛物线的焦点为，抛物线的准线与双曲线的两条渐近线分别交于点，若为正三角形，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（22-23高三上·山东东营·期末）已知椭圆与直线交于两点，记直线与轴的交点为，点关于原点对称，若，则（   ） A． B．椭圆过个定点 C．存在实数，使得 D． 4．（2023·江苏·二模）已知椭圆，点为右焦点，直线与椭圆交于两点，直线与椭圆交于另一点，则（    ） A．周长为定值 B．直线与的斜率乘积为定值 C．线段的长度存在最小值 D．该椭圆离心率为 三、填空题 5．（2023·全国·模拟预测）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角的正切值为.若直线（且）与双曲线交于A，B两点，直线，的斜率的倒数和为，则直线恒经过的定点为 . 6．（2023·福建漳州·三模）已知椭圆的长轴长为，离心率为，为上的两个动点，且直线与斜率之积为（为坐标原点），则椭圆的短轴长为 ， . 四、解答题 7．（2024·北京·高考真题）已知椭圆：，以椭圆的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点且斜率存在的直线与椭圆交于不同的两点，过点和的直线与椭圆的另一个交点为． (1)求椭圆的方程及离心率； (2)若直线BD的斜率为0，求t的值． 8．（23-24高三上·上海闵行·期中）已知双曲线：的离心率为，点在双曲线上．过的左焦点F作直线交的左支于A、B两点． (1)求双曲线C的方程； (2)若，试问：是否存在直线，使得点M在以为直径的圆上?请说明理由． (3)点，直线交直线于点．设直线、的斜率分别、，求证：为定值． 参考答案： 题号 1 2 3 4 答案 D C AB BCD 1．D 【分析】由题意求出抛物线方程为，设，直线，联立直线和抛物线的方程结合韦达定理由，可求出，再求出直线l的方程，由题意可转化为到直线的距离为到直线距离的，代入求解即可得出答案. 【详解】因为抛物线过点， 所以，解得：，所以， 设， 直线，代入中整理得， 所以,， 所以 ，即， 则，解得：， 所以直线， 直线l的斜率为，且过C的焦点， 所以，则到直线的距离为， 所以l把分成面积相等的两部分，因为直线与直线平行， 所以到直线的距离为到直线距离的， ，解得：或（舍去）. 所以直线MN的方程为. 故选：D. 2．C 【分析】根据双曲线方程，把渐近线表示出来，推出两点坐标，利用为正三角形，列方程解系数既可. 【详解】双曲线的两条渐近线方程为， 抛物线的焦点为，准线方程为，不妨取，， 为正三角形，由对称性可知，直线的倾斜角为，则，解得， 所以双曲线的两条渐近线方程为. 故选：C 3．AB 【分析】将椭圆方程与直线方程联立可得韦达定理的结论，利用垂直关系的向量表示，结合向量数量积坐标运算和韦达定理可整理得到A正确；由A中结论变形可得，由此可得椭圆所过四个定点坐标，知B正确；利用弦长公式表示并化简得到，根据可求得的范围，由此可知C错误；令，可解得，知D错误. 【详解】设，， 由得：， 则，， ，； 对于A，由题意知：，， ，， 即， ，，A正确； 对于B，由知：，则当时，椭圆方程恒成立， 椭圆过定点，，，，共个，B正确； 对于C，， 即； 又，， ，即， 不存在实数，使得，C错误； 对于D，令，解得：，存在实数使得，D错误. 故选：AB. 4．BCD 【分析】通过取不同值求出周长即可判断A，设出点的坐标利用斜率公式化简即可判断B，确定线段取最小值的条件即可判断C，确定、的值即可求出离心率从而判断D． 【详解】该椭圆中，则， 所以离心率为，故D正确； 设，，， 则在、斜率都存在的前提下有，， 于是 为定值，故B正确； 由题意可设的方程为， 联立，消得， 则， 所以 ， 则当时，， 所以线段的长度存在最小值，故C正确. 当时，直线与椭圆交于点和， 不妨取点为，得直线方程为， 求得交点为， 则，，，此时的周长为， 当时，联立，解得，不妨取， 则垂直于轴，此时，，， 此时的周长为， 显然周长不为定值，故A错误； 故选：BCD． 5． 【分析】先根据渐近线的倾斜角算出，然后联立直线和双曲线，结合题目条件和韦达定理找到的关系，从而得到定点. 【详解】因为双曲线方程为一条渐近线的倾斜角的正切值为.所以，解得，所以双曲线方程为. 设，，联立得， . 由韦达定理得，. 因为，所以. 所以，由题意知，此时. 所以直线方程为，恒经过的定点为. 故答案为： 6． 【分析】根据椭圆长轴长、离心率可求得，由此可得短轴长及椭圆方程；设，，根据斜率关系，结合两角和差公式可整理得到，利用两点间距离公式，结合诱导公式和同角三角函数关系可求得结果. 【详解】椭圆的长轴长为，，又离心率， ，椭圆的短轴长为，椭圆； 设，， ，， . 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆的几何性质，求解距离平方和的关键是能够通过三角换元的方式，结合斜率关系得到所满足的关系式，进而结合诱导公式来进行求解. 7．(1) (2) 【分析】（1）由题意得，进一步得，由此即可得解； （2）设，，联立椭圆方程，由韦达定理有，而，令，即可得解. 【详解】（1）由题意，从而， 所以椭圆方程为，离心率为； （2）直线斜率不为0，否则直线与椭圆无交点，矛盾， 从而设，， 联立，化简并整理得， 由题意，即应满足， 所以， 若直线斜率为0，由椭圆的对称性可设， 所以，在直线方程中令， 得， 所以， 此时应满足，即应满足或， 综上所述，满足题意，此时或. 8．(1)； (2)不存在，理由见解析； (3)证明见解析 【分析】(1)根据题意列式求，进而可得双曲线方程； (2)设，联立方程，利用韦达定理判断是否为零即可； (3)用两点坐标表示出直线，得点坐标，表示出，结合韦达定理，证明为定值． 【详解】（1）由双曲线的离心率为，且在双曲线上， 可得，解得，∴双曲线的方程为． （2）双曲线的左焦点为， 当直线的斜率为0时，此时直线为，与双曲线左支只有一个交点，舍去； 当直线的斜率不为0时，设， 联立方程组，消得，易得， 设，则，可得， ∵， 则 ， 即，可得与不垂直， ∴不存在直线，使得点在以为直径的圆上． （3）由直线，得， ∴，又， ∴ ， ∵，∴，且， ∴，即为定值．    【基础保分训练】 一、单选题 1．（22-23高二上·北京丰台·期末）设圆，直线，为上的动点．过点作圆的两条切线，切点为，给出下列四个结论： ①当四边形为正方形时，点的坐标为 ②的取值范围为 ③当为等边三角形时，点坐标为 ④直线恒过定点 其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（21-22高二上·安徽蚌埠·期末）已知直线l与抛物线交于不同的两点A，B，O为坐标原点，若直线的斜率之积为，则直线l恒过定点（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高三下·湖南·阶段练习）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上（异于顶点），（点为坐标原点），过点作直线的垂线与轴交于点，则（    ） A．6 B． C．4 D． 4．（22-23高二上·上海浦东新·期末）已知双曲线：，点P为曲线在第三象限一个动点，以下两个命题，则（    ） ①点P到双曲线两条渐近线的距离为，，则为定值. ②已知A、B是双曲线上关于原点对称不同于P的两个点，若PA、PB的斜率存在且分别为，，则为定值. A．①真②真 B．①假②真 C．①真②假 D．①假②假 二、多选题 5．（23-24高三上·湖南长沙·阶段练习）已知是抛物线的焦点，是上的两点，为原点，则（    ） A．若垂直的准线于点，且，则四边形的周长为 B．若，则的面积为 C．若直线过点，则的最小值为 D．若，则直线恒过定点 6．（22-23高二下·浙江·开学考试）设为双曲线：上一动点，，为上、下焦点，为原点，则下列结论正确的是（    ） A．若点，则最小值为7 B．若过点的直线交于两点（与均不重合），则 C．若点，在双曲线的上支，则最小值为 D．过的直线交于、不同两点，若，则有4条 7．（22-23高二上·湖南衡阳·期中）圆锥曲线的弦与过弦端点的两条切线所围成的三角形叫做“阿基米德三角形”.如图是抛物线的阿基米德三角形，弦AB经过焦点F，又BC，AD均垂直于准线l，且C，D为垂足，则下列说法正确的有（    ） A．以AB为直径的圆必与准线l相切于M点 B．为定值4 C．为定值 D．有最小值 8．（22-23高三上·广东云浮·阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别是，左、右顶点分别是，点是椭圆上异于的任意一点，则下列说法正确的是（    ） A． B．若的面积为，则点的横坐标为 C．存在点满足 D．直线与直线的斜率之积为 三、填空题 9．（2023·湖南长沙·一模）如图，已知抛物线C：，圆E：，直线OA，OB分别交抛物线于A，B两点，且直线OA与直线OB的斜率之积等于，则直线AB被圆E所截的弦长最小值为 ． 10．（22-23高二上·山东枣庄·期末）设椭圆的上顶点为，且长轴长为，过任作两条互相垂直的直线分别交椭圆于，两点，则直线过定点 ． 11．（2022高三·全国·专题练习）已知椭圆左顶点为，为椭圆上两动点，直线交于，直线交于，直线的斜率分别为且， （是非零实数），求 . 12．（2023·湖北武汉·模拟预测）已知为双曲线上一点，以为切点的切线为，直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，则（为坐标原点）的面积为 ． 四、解答题 13．（2024·浙江杭州·二模）已知是椭圆的左，右顶点，点与椭圆上的点的距离的最小值为1. (1)求点的坐标. (2)过点作直线交椭圆于两点（与不重合），连接，交于点. （ⅰ）证明：点在定直线上； （ⅱ）是否存在点使得，若存在，求出直线的斜率；若不存在，请说明理由. 14．（2023·江苏南通·一模）已知双曲线的左顶点为，过左焦点的直线与交于两点.当轴时，，的面积为3. (1)求的方程； (2)证明：以为直径的圆经过定点. 15．（2023·四川南充·三模）已知椭圆的左、右焦点为，，离心率为．点P是椭圆C上不同于顶点的任意一点，射线、分别与椭圆C交于点A、B，的周长为8． (1)求椭圆C的标准方程； (2)若，，求证：为定值． 16．（23-24高二上·浙江·期中）已知双曲线的右焦点，离心率为. (1)求双曲线的方程； (2)过点直线与双曲线交于两点，设直线的斜率分别为，求证：为定值. 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A A A BCD CD ABC BD 1．B 【分析】对于①，当四边形为正方形时，利用，求出，再设，利用，解方程，可知①不正确； 对于②，设，利用， 以及二次函数知识可得；故②正确 对于③，根据为等边三角形，可得，，设出点的坐标，利用可求出结果； 对于④，设出点的坐标，求出以为直径的圆的方程，利用两圆的方程相减得到公共弦的方程，将代入直线的方程恒成立，可得答案. 【详解】对于①，当四边形为正方形时，， 又圆的圆心，半径， 所以， 设点，则， 所以， 化简得，该方程的判别式，该方程无解， 所以不存在点使得四边形为正方形，故①不正确； 对于②，由①可知， ，即的取值范围为，故②正确； 对于③，设点，则， 当为等边三角形时，可知， 又平分，所以， 在直角三角形中，由于, 所以，即，所以， 又点，所以， 化简得，解得，所以，则，故③不正确； 对于④，设点，则，， 以为直径的圆的圆心为，半径为， 所以以为直径的圆的方程为， 化简得， 联立，得， 所以直线的方程为：， 将代入直线的方程恒成立， 故直线恒过定点，故④正确. 所以正确的答案有2个， 故选：B. 2．A 【分析】设出直线方程，联立抛物线方程，得到，进而得到的值，将直线的斜率之积为，用A,B点坐标表示出来，结合的值即可求得答案. 【详解】设直线方程为 ， 联立 ，整理得： ， 需满足 ，即 ， 则 ， 由 ，得： ， 所以 ，即 ， 故 ， 所以直线l为：，当时，， 即直线l恒过定点， 故选：A. 3．A 【分析】设，由，得为的中点, 表示的方程，求出点的坐标，结合抛物线的定义求得结果. 【详解】法一：依题意，设，由，得为的中点且， 则，易得直线的垂线的方程为. 令，得，故，由抛物线的定义易知， 故， 故选:A. 法二：特殊值法.不妨设，则，则，易得直线的垂线的方程为.令，得，故，又，故. 故选:A. 4．A 【分析】 根据给定条件，求出双曲线的渐近线方程，借助点到直线距离计算判断①，利用斜率坐标公式计算判断②作答. 【详解】依题意，设，且有，双曲线的渐近线为， 因此为定值，①真； 设，则，且，显然， 否则，之一垂直于y轴，由双曲线对称性知另一条必垂直于x轴，其斜率不存在，不符合题意， 则为定值，②真， 所以①真②真. 故选：A 5．BCD 【分析】对于A，由条件可得垂直于轴，然后可得四边形的周长，对于B，由条件可得点的横纵坐标，即可得的面积，对于C，设直线，然后联立抛物线的方程消元，然后得到，然后结合基本不等式可得的最小值，对于D，设直线，然后联立抛物线方程消元，然后由可求出的值. 【详解】   对于选项，由题意知，且垂直于轴，根据抛物线的定义可知. 设与轴的交点为，易知， 故， 所以四边形的周长为，选项错误； 对于选项，由题意得，解得，所以， 从而，选项正确； 对于选项，若直线过点，设直线， 联立直线与抛物线方程得，易得， 则， 所以， 当且仅当时，等号成立，选项C正确； 对于选项D，设直线，联立直线与抛物线方程得， 则，即，，所以， 由可得， 即，解得， 故直线的方程为，即直线恒过定点，选项D正确. 故选：BCD. 6．CD 【分析】结合双曲线的图象与性质，逐项判断，即可确定本题答案. 【详解】由双曲线：，得，设， 则，当且仅当时取等号，所以最小值为，故A错误； 设两点坐标分别为，， 当时，有， 又因为，所以； 当时，有一个不存在； 故B错误； ，故C正确； 由双曲线：，可得通径长为，且实轴长，所以这样的直线有4条，故D正确.    故选：CD 7．ABC 【分析】根据抛物线的切线方程，相似关系，联立直线与抛物线方程后根与系数的关系，两角和的正切公式代入即可求解. 【详解】 先证明出抛物线在其上一点处的切线方程为 证明如下： 由于点在抛物线上， 则， 联立 即，， 所以抛物线在其上一点 处的切线方程为 设，，设直线AB的方程为， 联立消去x得， 根据根与系数的关系可得， 又抛物线在点A处的切线方程为，即 同理可知，抛物线在点B处的切线方程为， 由题意知，， 直线MA的斜率为，直线MB的斜率为， ， 所以，，即点M在以AB为直径的圆上， 联立， 解得， 所以点M的横坐标为， 所以点M在抛物线的准线上，即以AB为直径的圆必与准线l相切于M点， 故A正确; 当AB垂直于x轴时，由抛物线的对称性可知，点 M为抛物线的准线与x轴的交点， 此时，则，， 又此时，则为定值4， 当AB不与x轴垂直时，直线AB的斜率为， 直线MF的斜率为， ， 则，在中，， 又以AB为直径的圆与准线l相切于M点， 设以AB为直径的圆的圆心为，即得， 则点M坐标为， 则， 故B正确; ， 故C正确; 由题意知，， 则 又根据题意知，则无最小值. 故D错误. 故选：ABC. 8．BD 【分析】结合椭圆的定义、直线斜率、椭圆中三角形的面积等知识对选项进行分析，从而确定正确选项. 【详解】依题意， 所以，A选项错误. ，， ，B选项正确.    ，“” 中的等号成立的条件是， 所以不存在满足，C选项错误. 设，， ， ，D选项正确. 故选：BD. 9． 【分析】先由两直线斜率之积构造齐次化方程，得出直线AB过定点，再利用直线与圆的位置关系计算弦长确定最值即可. 【详解】设，，设：，又，∴， ∴，∴． ∴，∴， ∴直线AB恒过点， 由图结合圆的弦长公式可知，当圆心E到动直线AB的距离最大时，即 当直线时，弦长最短，此时弦最小为． 故答案为： 10． 【分析】根据题意求出椭圆C的方程，设直线AB的方程为，与椭圆方程联立，结合韦达定理与，求得的值，进而可得答案． 【详解】根据题意椭圆的焦点在轴上，设椭圆的方程为 ∵上顶点为，∴， 又长轴长为，∴， 则椭圆C的方程为，    易知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为， 由可得， ∴， 又， ∴，解得或． 当时，直线AB经过点D，不满足题意， 则直线AB的方程为，故直线AB过定点． 故答案为：． 11．1 【分析】设，由以及解出，代入椭圆方程求出；同理可得；进而求出的值． 【详解】解法1：可得点，设，则， 由可得，即有， ，，两边同乘以，可得，解得，将代入椭圆方程可得，由可得，可得； 故答案为：． 解法2：作变换之后椭圆变为圆，方程为， ， 设，则， ， ∴， ， ∴. 故答案为：． 12． 【分析】根据给定条件，求出双曲线渐近线方程，设出直线的方程，联立求出点的纵坐标，再利用直线与双曲线相切借助判别式求出三角形面积作答. 【详解】双曲线的渐近线为，直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，    显然直线不垂直于y轴，设直线，， 由得点的纵坐标，由得点的纵坐标， 由消去x得， 于是，化简得， 直线与x轴交点的横坐标为， 所以的面积. 故答案为： 13．(1)； (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）存在， 【分析】（1）设，利用两点间距离公式得，然后根据分类讨论求解即可； （2）（ⅰ）设直线，与椭圆方程联立方程，结合韦达定理得，写出直线，的方程，进而求解即可； （ⅱ）由题意点在以为直径的圆上，代入圆的方程求得，写出直线的方程，与椭圆联立，求得点C的坐标，进而可得答案. 【详解】（1）设是椭圆上一点，则， 因为， ①若，解得（舍去）， ②若，解得（舍去）或， 所以点的坐标位. （2）（ⅰ）设直线， 由，得，所以， 所以，① 由，得或， 易知直线的方程为，② 直线的方程为，③ 联立②③，消去，得，④ 联立①④，消去，则， 解得，即点在直线上； （ⅱ）由图可知，，即，所以点在以为直径的圆上， 设，则，所以，即. 故直线的方程为， 直线的方程与椭圆方程联立，得，因为, 所以，所以,故. 14．(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意，可得，，进而求解； （2）设方程为，，联立直线和双曲线方程组，可得，以为直径的圆的方程为，由对称性知以为直径的圆必过轴上的定点，进而得到，进而求解. 【详解】（1）当轴时，两点的横坐标均为， 代入双曲线方程，可得，，即， 由题意，可得，解得，，， 双曲线的方程为：； （2）方法一：设方程为，， 以为直径的圆的方程为， 由对称性知以为直径的圆必过轴上的定点，令，可得 ， 而， ， 对恒成立，， 以为直径的圆经过定点； 方法二：设方程为， 由对称性知以为直径的圆必过轴上的定点. 设以为直径的圆过， ， 而 ， ， ，即对恒成立， ，即以为直径的圆经过定点. 15．(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用椭圆的定义及性质计算即可； （2）设直线PA的方程为，设，，联立椭圆方程结合韦达定理可得的关系，再由易知向量线性关系转化，计算即可. 【详解】（1）∵， ∴， 由离心率为得，从而， 所以椭圆C的标准方程为． （2）   设，，则， 可设直线PA的方程为，其中， 联立，化简得， 则，同理可得，． 因为，． 所以 ， 所以是定值. 16．【小题1】； 【小题2】证明见解析 【分析】 （1）根据焦点坐标，离心率列出方程组，求出，即可写出双曲线方程. （2）先根据题意可判断直线AB的斜率存在且不为0,结合过点设出直线方程；再与双曲线方程联立得到两根之和、两根之积；最后表示出，结合韦达定理化简即可证明结果. 【详解】（1）由题意得，解得，所以双曲线的方程为. （2）由题意得直线AB的斜率存在且不为0.设直线方程为，，. 联立，消去得， 所以. ， 又， . 【能力提升训练】 一、单选题 1．（21-22高二下·四川遂宁·阶段练习）点，是曲线C：的左右焦点，过作互相垂直的两条直线分别与曲线交于A，B和C，D；线段AB，CD的中点分别为M，N，直线与x轴垂直且点G在C上.若以G为圆心的圆与直线MN恒有公共点，则圆面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（21-22高二下·贵州贵阳·期末）抛物线的焦点为，其准线与轴的交点为，过点作直线与此抛物线交于，两点，若，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 二、多选题 3．（2023·安徽·三模）已知抛物线的焦点为，准线为，、是上异于点的两点（为坐标原点）则下列说法正确的是（    ） A．若、、三点共线，则的最小值为 B．若，则的面积为 C．若，则直线过定点 D．若，过的中点作于点，则的最小值为 4．（22-23高三下·广东清远·阶段练习）已知是抛物线的焦点，点在抛物线上，过点的两条互相垂直的直线，分别与抛物线交于，和，，过点分别作，的垂线，垂足分别为，，则（    ） A．四边形面积的最大值为2 B．四边形周长的最大值为 C．为定值 D．四边形面积的最小值为32 三、填空题 5．（2023·辽宁大连·三模）已知为坐标原点，是双曲线的左､右焦点，双曲线上一点满足，且，则双曲线的渐近线方程为 .点A是双曲线上一定点，过点的动直线与双曲线交于两点，为定值，则当时实数的值为 . 6．（2023·黑龙江哈尔滨·一模）如图，椭圆与双曲线有公共焦点，，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为两曲线的一个公共点，且，则 ；为的内心，三点共线，且，轴上点满足，，则的最小值为 ． 四、解答题 7．（2022·辽宁沈阳·二模）已知椭圆的焦距为2，且经过点． (1)求椭圆C的方程； (2)经过椭圆右焦点F且斜率为的动直线l与椭圆交于A、B两点，试问x轴上是否存在异于点F的定点T，使恒成立？若存在，求出T点坐标，若不存在，说明理由． 8．（2023·重庆·一模）已知双曲线E：的离心率为2，左、右焦点分别为，点为双曲线E右支上异于其顶点的动点，过点A作圆C：的一条切线AM，切点为M，且． (1)求双曲线E的标准方程； (2)设直线与双曲线左支交于点B，双曲线的右顶点为，直线 AD， BD分别与圆C相交，交点分别为异于点D的点P，Q．判断弦PQ是否过定点，如果过定点，求出定点，如果不过定点，说明理由． 9．（24-25高二上·湖南株洲·阶段练习）椭圆与椭圆：有相同的焦点，且经过点. (1)求椭圆的方程； (2)椭圆的右焦点为，设动直线与坐标轴不垂直，与椭圆交于不同的，两点，且直线和的斜率互为相反数. ①证明：动直线恒过轴上的某个定点，并求出该定点的坐标； ②求面积的最大值. 10．（23-24高二上·江苏盐城·阶段练习）已知，M为平面上一动点，且满足，记动点M的轨迹为曲线E. (1)求曲线E的方程； (2)若，过点的动直线交曲线E于P，Q（不同于A，B）两点，直线AP与直线BQ的斜率分别记为，，求证：为定值，并求出定值. 参考答案： 题号 1 2 3 4 答案 B B ABD ABD 1．B 【分析】讨论斜率，斜率存在时设、联立曲线C，应用韦达定理求线段AB，CD的中点坐标，进而确定的方程，可得过定点，若以G为圆心的圆半径为，只需保证可满足圆与直线恒有公共点，即得面积最小值. 【详解】当直线斜率均存在时，令且，则， 联立与曲线C并整理得：， 且，则， 所以，故， 联立与曲线C并整理得：， 同理，，，可得， 直线，故过定点， 当直线中一条的斜率不存在时，令，则， 所以，，故过， 而，要使以G为圆心的圆与直线MN恒有公共点，且圆面积最小， 若圆的半径为，只需恒成立，故圆最小面积为. 故选：B 【点睛】关键点点睛：讨论直线斜率，设直线方程联立曲线方程，结合韦达定理求线段中点坐标，进而确定的方程，得到过定点，根据恒有公共点有圆半径为，只需保证恒成立即可. 2．B 【分析】根据抛物线标准方程，得到焦点坐标和准线方程，设出直线方程，联立抛物线方程，整理得到关于的一元二次方程，根据垂直，得到点的横坐标，根据韦达定理，得到的横坐标，在由抛物线的定义，可得答案. 【详解】由，则焦点，且准线方程为直线，即， 设过点的直线方程为，联立抛物线可得：， 消去可得：，化简得：， 因为，且直线过点，所以， 即点位于以线段为直径的圆上， 易知以线段为直径的圆的方程为， 将代入上式，可得，解得，（舍去）， 则点的横坐标，设点的横坐标， 由韦达定理可得：，则， 根据抛物线的定义，可得，， 则， 故选：B. 3．ABD 【分析】设出直线的方程，将直线的方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理、焦半径公式以及基本不等式可求得的最小值，可判断A选项；求出点的横坐标的绝对值，利用三角形的面积公式可判断B选项；设直线的方程为，将直线的方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理以及求出的值，求出直线所过定点的坐标，可判断C选项；利用抛物线的定义以及基本不等式可判断D选项. 【详解】对于A选项，易知抛物线的焦点为， 当直线与轴重合时，直线与抛物线只有一个公共点，不合乎题意， 设直线的方程为，设点、， 联立可得，， 由韦达定理可得，，则， 易知，，所以，， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为，A对； 对于B选项，设点，，可得，所以，， 则，所以，，B对； 对于C选项，易知的斜率存在，设直线的方程为， 设点、，由于直线不过原点，所以，， 联立可得，， 由韦达定理可得，所以，， 因为，则，解得， 所以，直线的方程为，故直线过定点，C错； 对于D选项，过点作于点，过点作于点， 设，，所以， 因为 ， 所以，则的最小值为，当且仅当时，等号成立，D对． 故选：ABD． 【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下： （1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； （2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； （3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明. 4．ABD 【分析】根据给定条件，求出抛物线的方程，确定四边形形状，利用勾股定理及均值不等式计算判断A，B；设出直线的方程，与抛物线方程联立，求出弦长即可计算推理判断C，D作答. 【详解】依题意，，解得，即抛物线：，焦点，准线方程为：，直线，与坐标轴不垂直， 因为，，则四边形为矩形，有， 当且仅当时取等号，，即四边形面积的最大值为2，A正确； 因为，则， 当且仅当时取等号，因此四边形周长的最大值为，B正确；    设直线方程为：，，由消去y得：，则， ，同理， 因此，C错误； 四边形面积， 当且仅当时取等号，所以四边形面积的最小值为32，D正确. 故选：ABD 【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的几何图形面积范围或最值问题，可以以直线的斜率、横(纵)截距、图形上动点的横(纵)坐标为变量，建立函数关系求解作答. 5． 【分析】第一空，先判定△为直角三角形.再由勾股定理求得即可； 第二空，设直线，根据韦达定理表示，由于为定值，用待定系数法计算即可. 【详解】（1）根据，取的中点，易知， 可知，，即△为直角三角形. 设，依题意有，解得， 根据勾股定理得，解得， 故双曲线为等轴双曲线，渐近线为. （2）当时，双曲线， 设直线， 联立方程组，化简得， ， ， 因为为定值，所以 法一：， ， ，解得， 法二：，解得. 故答案为：， 6． 4 【分析】第一空：利用椭圆与双曲线的定义及性质，结合图形建立方程，求出，在利用余弦定理建立关于离心率的齐次方程解出即可； 第二空：由为的内心，得出角平分线，利用角平分线的性质结合平面向量得出及，代入中利用基本不等式求最值即可. 【详解】①由题意得椭圆与双曲线的焦距为， 椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为， 不妨设点在双曲线的右支上， 由双曲线的定义：， 由椭圆的定义：， 可得：， 又，由余弦定理得： ， 即， 整理得：， 所以：； ②为的内心， 所以为的角平分线，则有，同理：， 所以， 所以，即， 因为， 所以，故， 为的内心，三点共线， 即为的角平分线，则有，又， 所以，即， 因为， 所以，故， 所以 ， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为， 故答案为：4，. 【点睛】方法点睛：离心率的求解方法， （1）直接法：由题意知道利用公式求解即可； （2）一般间接法：由题意知道或利用的关系式求出，在利用公式计算即可； （3）齐次式方程法：建立关于离心率的方程求解. 7．(1) (2)存在；点 【分析】（1）根据题意，得到，再由椭圆经过点，联立方程组，求得，即可求解. （2）设直线l的方程为，联立方程组，得到，设点坐标为，由，得到，得到，得到，列出方程，求得，即可求解． 【详解】（1）解：由椭圆的焦距为2，故，则， 又由椭圆经过点，代入得，解得， 所以椭圆的方程为． （2）解：根据题意，直线l的斜率显然不为零，令， 由椭圆右焦点，故可设直线l的方程为， 联立方程组，整理得， 则， 设，，且， 设存在点，设点坐标为，由，可得， 又因为， 所以，所以， 所以直线和关于轴对称，其倾斜角互补，即有， 则，所以， 所以，整理得， 即，即， 解得，符合题意，即存在点满足题意． 【点睛】方法技巧：解答圆锥曲线的定点、定值问题的策略： 1、参数法：参数解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中核心变量（通常为变量）；②利用条件找到过定点的曲线之间的关系，得到关于与的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标； 2、由特殊到一般发：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关. 8．(1) (2)是，定点为 【分析】（1）由切线有，结合条件等式、离心率即可求； （2）直线为与双曲线联立，结合韦达定理可得B点坐标，则由可判断，即可得弦PQ恒过圆心. 【详解】（1）双曲线的离心率为，因为双曲线上点切圆C：于M，且， 则，即，即， 故双曲线E的标准方程为. （2）弦PQ过定点，理由如下： 由（1）得，则，. 则直线为，联立得， 则，，， ， ，由得， . ∴，∴为圆C的直径，故弦PQ恒过圆心 【点睛】直线与圆锥曲线定点问题，一般通过联立直线与圆锥曲线，结合韦达定理将可能过定点的直线表示出来，进而判断是否过定点. 本题可能过定点的线段为圆上的弦，直径恒过圆心，故先通过分析判断是否该弦为直径. 9．(1) (2)①证明见解析，定点；② 【分析】（1）根据椭圆的焦点及椭圆过的点列方程求解即可； （2）①先联立方程组得出韦达定理再计算斜率和即可；②结合定点列出面积再换元得出面积的最大值. 【详解】（1）椭圆：的焦点坐标为， 所以椭圆的焦点坐标也为，即得焦距为， ∵椭圆过点， ∴， ∴，， ∴椭圆的标准方程为. （2）设直线：（）， 由，得， 设，，所以，， 所以 ， 因为直线和的斜率互为相反数， 所以，所以， 所以， 所以. 即，所以， 因为，所以，所以动直线恒过轴上的定点 ②由①知，， 且，即， 又 令，则， ∴ （当且仅当时取“＝”） ∴. 【点睛】关键点点睛：求面积最值的关键点是令换元得出再结合基本不等式计算即可得出最值. 10．(1) (2)证明见解析； 【分析】（1）利用圆锥曲线的定义即可得曲线方程，但要注意只有双曲线右支； （2）设直线方程，联立方程组，根据韦达定理进行运算可证为定值，之后求出定值即可. 【详解】（1）由题可知，则的轨迹是实轴长为， 焦点为即的双曲线的右支，则， 所以曲线的方程为：(或). （2）由题可知过点的动直线斜率存在且不为，则设斜率为， 所以直线的方程为：，设，，    联立 ，可得， 则 ，可得，即或， 则 ， 所以为定值，定值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025二轮复习专项训练28 定点、定值问题 [考情分析]　解析几何是数形结合的典范，是高中数学的主要知识模块，定点和定值问题是高考考查的重点知识，在解答题中一般会综合考查直线、圆、圆锥曲线等，试题难度较大，多次以压轴题出现． 【练前疑难讲解】 一、定点问题 求解定点问题常用的方法 (1)“特殊探路，一般证明”，即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目标的一般性证明． (2)“一般推理，特殊求解”，即先由题设条件得出曲线的方程，再根据参数的任意性得到定点坐标． (3)求证直线过定点(x0，y0)，常利用直线的点斜式方程y－y0＝k(x－x0)来证明． 二、定值问题 求圆锥曲线中定值问题常用的方法 (1)引出变量法：其解题流程为 → ↓ → ↓ → (2)特例法：从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． 一、单选题 1．（22-23高三下·河北衡水·阶段练习）已知抛物线过点，动点M，N为C上的两点，且直线AM与AN的斜率之和为0，直线l的斜率为，且过C的焦点F，l把分成面积相等的两部分，则直线MN的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高二上·山东济宁·期末）已知双曲线，抛物线的焦点为，抛物线的准线与双曲线的两条渐近线分别交于点，若为正三角形，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（22-23高三上·山东东营·期末）已知椭圆与直线交于两点，记直线与轴的交点为，点关于原点对称，若，则（   ） A． B．椭圆过个定点 C．存在实数，使得 D． 4．（2023·江苏·二模）已知椭圆，点为右焦点，直线与椭圆交于两点，直线与椭圆交于另一点，则（    ） A．周长为定值 B．直线与的斜率乘积为定值 C．线段的长度存在最小值 D．该椭圆离心率为 三、填空题 5．（2023·全国·模拟预测）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角的正切值为.若直线（且）与双曲线交于A，B两点，直线，的斜率的倒数和为，则直线恒经过的定点为 . 6．（2023·福建漳州·三模）已知椭圆的长轴长为，离心率为，为上的两个动点，且直线与斜率之积为（为坐标原点），则椭圆的短轴长为 ， . 四、解答题 7．（2024·北京·高考真题）已知椭圆：，以椭圆的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点且斜率存在的直线与椭圆交于不同的两点，过点和的直线与椭圆的另一个交点为． (1)求椭圆的方程及离心率； (2)若直线BD的斜率为0，求t的值． 8．（23-24高三上·上海闵行·期中）已知双曲线：的离心率为，点在双曲线上．过的左焦点F作直线交的左支于A、B两点． (1)求双曲线C的方程； (2)若，试问：是否存在直线，使得点M在以为直径的圆上?请说明理由． (3)点，直线交直线于点．设直线、的斜率分别、，求证：为定值． 【基础保分训练】 一、单选题 1．（22-23高二上·北京丰台·期末）设圆，直线，为上的动点．过点作圆的两条切线，切点为，给出下列四个结论： ①当四边形为正方形时，点的坐标为 ②的取值范围为 ③当为等边三角形时，点坐标为 ④直线恒过定点 其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（21-22高二上·安徽蚌埠·期末）已知直线l与抛物线交于不同的两点A，B，O为坐标原点，若直线的斜率之积为，则直线l恒过定点（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高三下·湖南·阶段练习）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上（异于顶点），（点为坐标原点），过点作直线的垂线与轴交于点，则（    ） A．6 B． C．4 D． 4．（22-23高二上·上海浦东新·期末）已知双曲线：，点P为曲线在第三象限一个动点，以下两个命题，则（    ） ①点P到双曲线两条渐近线的距离为，，则为定值. ②已知A、B是双曲线上关于原点对称不同于P的两个点，若PA、PB的斜率存在且分别为，，则为定值. A．①真②真 B．①假②真 C．①真②假 D．①假②假 二、多选题 5．（23-24高三上·湖南长沙·阶段练习）已知是抛物线的焦点，是上的两点，为原点，则（    ） A．若垂直的准线于点，且，则四边形的周长为 B．若，则的面积为 C．若直线过点，则的最小值为 D．若，则直线恒过定点 6．（22-23高二下·浙江·开学考试）设为双曲线：上一动点，，为上、下焦点，为原点，则下列结论正确的是（    ） A．若点，则最小值为7 B．若过点的直线交于两点（与均不重合），则 C．若点，在双曲线的上支，则最小值为 D．过的直线交于、不同两点，若，则有4条 7．（22-23高二上·湖南衡阳·期中）圆锥曲线的弦与过弦端点的两条切线所围成的三角形叫做“阿基米德三角形”.如图是抛物线的阿基米德三角形，弦AB经过焦点F，又BC，AD均垂直于准线l，且C，D为垂足，则下列说法正确的有（    ） A．以AB为直径的圆必与准线l相切于M点 B．为定值4 C．为定值 D．有最小值 8．（22-23高三上·广东云浮·阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别是，左、右顶点分别是，点是椭圆上异于的任意一点，则下列说法正确的是（    ） A． B．若的面积为，则点的横坐标为 C．存在点满足 D．直线与直线的斜率之积为 三、填空题 9．（2023·湖南长沙·一模）如图，已知抛物线C：，圆E：，直线OA，OB分别交抛物线于A，B两点，且直线OA与直线OB的斜率之积等于，则直线AB被圆E所截的弦长最小值为 ． 10．（22-23高二上·山东枣庄·期末）设椭圆的上顶点为，且长轴长为，过任作两条互相垂直的直线分别交椭圆于，两点，则直线过定点 ． 11．（2022高三·全国·专题练习）已知椭圆左顶点为，为椭圆上两动点，直线交于，直线交于，直线的斜率分别为且， （是非零实数），求 . 12．（2023·湖北武汉·模拟预测）已知为双曲线上一点，以为切点的切线为，直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，则（为坐标原点）的面积为 ． 四、解答题 13．（2024·浙江杭州·二模）已知是椭圆的左，右顶点，点与椭圆上的点的距离的最小值为1. (1)求点的坐标. (2)过点作直线交椭圆于两点（与不重合），连接，交于点. （ⅰ）证明：点在定直线上； （ⅱ）是否存在点使得，若存在，求出直线的斜率；若不存在，请说明理由. 14．（2023·江苏南通·一模）已知双曲线的左顶点为，过左焦点的直线与交于两点.当轴时，，的面积为3. (1)求的方程； (2)证明：以为直径的圆经过定点. 15．（2023·四川南充·三模）已知椭圆的左、右焦点为，，离心率为．点P是椭圆C上不同于顶点的任意一点，射线、分别与椭圆C交于点A、B，的周长为8． (1)求椭圆C的标准方程； (2)若，，求证：为定值． 16．（23-24高二上·浙江·期中）已知双曲线的右焦点，离心率为. (1)求双曲线的方程； (2)过点直线与双曲线交于两点，设直线的斜率分别为，求证：为定值. 【能力提升训练】 一、单选题 1．（21-22高二下·四川遂宁·阶段练习）点，是曲线C：的左右焦点，过作互相垂直的两条直线分别与曲线交于A，B和C，D；线段AB，CD的中点分别为M，N，直线与x轴垂直且点G在C上.若以G为圆心的圆与直线MN恒有公共点，则圆面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（21-22高二下·贵州贵阳·期末）抛物线的焦点为，其准线与轴的交点为，过点作直线与此抛物线交于，两点，若，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 二、多选题 3．（2023·安徽·三模）已知抛物线的焦点为，准线为，、是上异于点的两点（为坐标原点）则下列说法正确的是（    ） A．若、、三点共线，则的最小值为 B．若，则的面积为 C．若，则直线过定点 D．若，过的中点作于点，则的最小值为 4．（22-23高三下·广东清远·阶段练习）已知是抛物线的焦点，点在抛物线上，过点的两条互相垂直的直线，分别与抛物线交于，和，，过点分别作，的垂线，垂足分别为，，则（    ） A．四边形面积的最大值为2 B．四边形周长的最大值为 C．为定值 D．四边形面积的最小值为32 三、填空题 5．（2023·辽宁大连·三模）已知为坐标原点，是双曲线的左､右焦点，双曲线上一点满足，且，则双曲线的渐近线方程为 .点A是双曲线上一定点，过点的动直线与双曲线交于两点，为定值，则当时实数的值为 . 6．（2023·黑龙江哈尔滨·一模）如图，椭圆与双曲线有公共焦点，，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为两曲线的一个公共点，且，则 ；为的内心，三点共线，且，轴上点满足，，则的最小值为 ． 四、解答题 7．（2022·辽宁沈阳·二模）已知椭圆的焦距为2，且经过点． (1)求椭圆C的方程； (2)经过椭圆右焦点F且斜率为的动直线l与椭圆交于A、B两点，试问x轴上是否存在异于点F的定点T，使恒成立？若存在，求出T点坐标，若不存在，说明理由． 8．（2023·重庆·一模）已知双曲线E：的离心率为2，左、右焦点分别为，点为双曲线E右支上异于其顶点的动点，过点A作圆C：的一条切线AM，切点为M，且． (1)求双曲线E的标准方程； (2)设直线与双曲线左支交于点B，双曲线的右顶点为，直线 AD， BD分别与圆C相交，交点分别为异于点D的点P，Q．判断弦PQ是否过定点，如果过定点，求出定点，如果不过定点，说明理由． 9．（24-25高二上·湖南株洲·阶段练习）椭圆与椭圆：有相同的焦点，且经过点. (1)求椭圆的方程； (2)椭圆的右焦点为，设动直线与坐标轴不垂直，与椭圆交于不同的，两点，且直线和的斜率互为相反数. ①证明：动直线恒过轴上的某个定点，并求出该定点的坐标； ②求面积的最大值. 10．（23-24高二上·江苏盐城·阶段练习）已知，M为平面上一动点，且满足，记动点M的轨迹为曲线E. (1)求曲线E的方程； (2)若，过点的动直线交曲线E于P，Q（不同于A，B）两点，直线AP与直线BQ的斜率分别记为，，求证：为定值，并求出定值. 学科网（北京）股份有限公司 $$