第01讲 计数原理（专项训练）（全国通用） 2027年高考数学一轮复习讲练测

第01讲 计数原理 目 录 模拟·基础演练 2 题型01 分类加法计数原理的应用 2 题型02 分步乘法计数原理的应用 4 题型03 两个计数原理的综合应用 6 题型04 涂色问题 8 重难·创新演练 10 真题·实战演练 15 模拟·基础演练 考查重点：分类加法、分步乘法计数原理单独应用，辨析选用加法或乘法；两个计数原理综合应用，合理进行分类与分步；涂色问题为典型综合题型，考查区域先后分步、相邻区域分类讨论。重点训练逻辑划分，依托情境分析计数思路，考查推理分析能力。 题型01 分类加法计数原理的应用 1．书桌上有2本不同的语文课外读物和3本不同的数学课外读物．现从中取出一本，则不同的取法种数为（    ） A．5 B．6 C．8 D．9 2．在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到A大学有5个自己感兴趣的专业，B大学有6个自己感兴趣的专业，C大学有3个自己感兴趣的专业，这三个大学他感兴趣的专业各不相同，若他只能从这三个大学中选1个专业，则他的选择共有（   ） A．3种 B．14种 C．30种 D．90种 3．用数字2，3，5可以组成 无重复数字的偶数的个数为（    ） A．15 B．12 C．10 D．5 4．定义“各位数字之和为6的三位数叫幸运数”，如123，222，则所有幸运数的个数为（    ） A．21 B．16 C．11 D．6 5．（多选）若，且，，则对满足条件的不同的有序自然数对的个数以下说法正确的是（   ） A．当时，有6种不同的有序自然数对 B．当时，有5种不同的有序自然数对 C．当时，有3种不同的有序自然数对 D．满足条件的不同的有序自然数对共有14个 6．从1，2，3，…，15共15个数字中，甲、乙两人各取一数（不重复），若甲取到的数是5的倍数且甲取到的数大于乙取到的数，则不同的取法共有（    ） A． B． C． D． 题型02 分步乘法计数原理的应用 7．2026年作为“十五五”开局起步之年，天津文旅春季以花为媒开展了“春风十里•天津等你”的春日经济文旅活动，其中红桥区桃花节，和平区海棠花节，蓟州区梨花节，南开区牡丹节等赏花景点各具特色，吸引了众多游客游玩打卡．某天甲、乙、丙三位同学计划分别从这4个赏花节中任选一个地点前往游玩，则不同游玩方案共有的种数为（ ） A．种 B．种 C．7种 D．12种 8．设集合若集合且，则满足条件的集合的个数是（     ） A． B． C． D． 9．若，则方程表示的直线条数为（    ） A．12 B．13 C．15 D．16 10．小明有4件不同的上衣、5条不同的裤子、2双不同的鞋子．他从中各选一件搭配，不同的穿法共有（     ） A．11种 B．22种 C．24种 D．40种 11．如图，电路中共有7个电阻与一个电灯A，若灯A不亮，分析电阻断路的可能性共有________种情况． 12．有六名同学报名参加三个智力项目，每人参加的项目数不限（允许不参加任何项目），每项人数不限，则不同的报名方法有______种. 题型03 两个计数原理的综合应用 13．甲、乙、丙3人排成一行，其中甲不排在第1位，乙不排在第2位，丙不排在第3位，则共有______种不同的排法． 14．设三位数，若以为三条边的长可以构成一个等腰（含等边）三角形，则这样的三位数n有（   ） A．12种 B．24种 C．28种 D．36种 15．甲、乙、丙三个人从中各取1个数，且所选的数字互不相同．甲说：“我选的数不小于5”；乙说：“我选的数比丙大”；丙说：“我们三个数的和是偶数”，已知三人说法均正确，则满足条件的取法有_____种． 16．如图所示，使电路接通，开关不同的开闭方式有________种. 17．甲同学有5本不同的数学书、4本不同的物理书、3本不同的化学书，现在乙同学向甲同学借书． (1)若借1本书，则有多少种借法？ (2)若每科各借1本书，则有多少种借法？ (3)若任借2本不同学科的书，则有多少种借法？ 18． 名学生分别从，，三个志愿服务项目中任选个参加，要求，两个项目都至少有人参加，则不同的选择方法共有多少种？ 题型04 涂色问题 19．如图，一个地区分为4个区域，现给该地区着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有（ ）种. A．12 B．18 C．24 D．84 20．给如图所示的花圃中A，B，C，D四块区域种花，中间圆形区域不种花.现有6种不同的花可供选择，每块区域种1种花，且相邻区域种不同的花.则不同的种法总数为（   ） A．320 B．630 C．720 D．1560 21．如图，要给 5 个区域染色，有 5 种不同的颜色可供选择，并要求相邻区域颜色不同，则不同的染法种数为_____. 22．某Livehouse舞台的环形氛围灯被设计为如图所示的4个环形相邻灯区．现有5种霓虹灯光色可供选择，要求每个灯区只使用一种颜色，且相邻灯区颜色不相同，则该舞台灯区共有__________种不同的颜色搭配方案． 23．用种不同颜色的粉笔写黑板报，板报设计如图所示，要求相邻区域不能用同一种颜色的粉笔，则该板报共有__________种不同的书写方案． 重难·创新演练 设题创新:题目情境丰富新颖，结合志愿者分配、新定义 “加德数”、函数、对数、子集、区域涂色等载体考查计数原理。跳出单纯数字分配，融合跨模块知识，侧重实际情境逻辑分析，强化分类讨论、容斥思想，检验学生识别模型、合理分类分步的推理能力。 1．（2026·吉林四平·一模）首届“闽超”联赛期间，三明赛区为了给球迷提供更好的服务，派5名志愿者到A，B，C三个公交接驳点进行服务，若每人只能去一个接驳点，每个接驳点至少派一人，其中志愿者甲只能去接驳点A，则不同选派方案的种数为（   ） A．20 B．42 C．44 D．50 2．（2025·浙江杭州·一模）若一个三位数的百位数字是，十位数字是，个位数字是,，且 三个数中最大值和最小值的和等于，则这样的三位数的个数是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·山东泰安·三模）【新定义】若自然数P使得作竖式加法不发生进位现象，称P为“加德数”，如不产生进位，所以11是“加德数”；产生了进位现象，所以42不是“加德数”．那么在小于2026的四位自然数中，“加德数”共有（   ） A．48个 B．54个 C．57个 D．96个 4．（2026·四川成都·模拟预测）【新考法】已知集合，若是的函数，且满足，则函数的个数是（     ） A．4 B．10 C．13 D．23 5．（2025·广东肇庆·模拟预测）从1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字中任取两个，其中一个作为底数，另一个作为真数，则可以得到不同对数值的个数为____________. 6．（2026·云南玉溪·模拟预测）如图，是由七个正六边形区域组成的平面图形，现给这七个区域涂色，有四种不同的颜色可供选择，要求每个区域只涂一种颜色，有公共边的两个正六边形区域颜色不相同，则不同的涂色方案有________种. 7．（2025·四川眉山·模拟预测）现给蚌埠市四区三县区域示意图涂色，有4种颜色供选择，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，且蚌山区、龙子湖区、禹会区、淮上区四区颜色各不相同，则不同的涂色方法有_________种．（用数字作答） 8．（2025·湖南张家界·模拟预测）【新考法】设集合，的子集满足，，这样的子集的个数为________． 9．（2026·江西宜春·二模）将随机排成一行，前三个数构成三位数，后三个数构成三位数，已知的百位数字比的百位数字大3，则满足的不同排列的个数为__________.（用数字作答） 真题·实战演练 高频考点：分类与分步辨析、有限制条件分配选取、涂色模型、计数与排列组合及古典概型交汇；近三年无单独命题，以小而精的选择填空为主，侧重基础 + 中档综合，突出限制条件、情境建模、分类讨论三大热点。 1．（2023·全国甲卷·高考真题）现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（    ） A．120 B．60 C．30 D．20 2．（2020·山东·高考真题）现有5位老师，若每人随机进入两间教室中的任意一间听课，则恰好全都进入同一间教室的概率是（    ） A． B． C． D． 19 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 计数原理 目 录 模拟·基础演练 2 题型01 分类加法计数原理的应用 2 题型02 分步乘法计数原理的应用 4 题型03 两个计数原理的综合应用 6 题型04 涂色问题 8 重难·创新演练 10 真题·实战演练 15 模拟·基础演练 考查重点：分类加法、分步乘法计数原理单独应用，辨析选用加法或乘法；两个计数原理综合应用，合理进行分类与分步；涂色问题为典型综合题型，考查区域先后分步、相邻区域分类讨论。重点训练逻辑划分，依托情境分析计数思路，考查推理分析能力。 题型01 分类加法计数原理的应用 1．书桌上有2本不同的语文课外读物和3本不同的数学课外读物．现从中取出一本，则不同的取法种数为（    ） A．5 B．6 C．8 D．9 【答案】A 【详解】由题意得不同的取法种数为种. 2．在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到A大学有5个自己感兴趣的专业，B大学有6个自己感兴趣的专业，C大学有3个自己感兴趣的专业，这三个大学他感兴趣的专业各不相同，若他只能从这三个大学中选1个专业，则他的选择共有（   ） A．3种 B．14种 C．30种 D．90种 【答案】B 【详解】根据分类加法计数原理可得他的选择共有种. 3．用数字2，3，5可以组成 无重复数字的偶数的个数为（    ） A．15 B．12 C．10 D．5 【答案】D 【详解】分三类，第一类组成一位整数，偶数有2，共1个； 第二类组成两位整数，其中偶数有32和52，共2个； 第三类组成三位整数，其中偶数有352和532，共2个． 由分类加法计数原理知共有偶数5个． 4．定义“各位数字之和为6的三位数叫幸运数”，如123，222，则所有幸运数的个数为（    ） A．21 B．16 C．11 D．6 【答案】A 【详解】设三位数的百位、十位、个位数字分别为， 因为， 所以， 当时，，， 幸运数为，共6个， 当时，，， 幸运数为，共5个， 当时，，， 幸运数为，共4个， 当时，，， 幸运数为，共3个， 当时，，， 幸运数为，共2个， 当时，，， 幸运数为，共1个， 综上所述三位数字之和为6的幸运数总计21个. 5．（多选）若，且，，则对满足条件的不同的有序自然数对的个数以下说法正确的是（   ） A．当时，有6种不同的有序自然数对 B．当时，有5种不同的有序自然数对 C．当时，有3种不同的有序自然数对 D．满足条件的不同的有序自然数对共有14个 【答案】AB 【详解】选项A：当时，，则可取0,1,2,3,4,5，共6个值，对应6种有序自然数对，A正确； 选项B：当时，，则可取0,1,2,3,4，共5个值，对应5种有序自然数对，B正确； 选项C：当时，，则可取0,1,2,3，共4个值，对应4种有序自然数对，不是3种，C错误； 选项D：根据分类加法计数原理，总共有个不同的有序自然数对，不是14个，D错误. 6．从1，2，3，…，15共15个数字中，甲、乙两人各取一数（不重复），若甲取到的数是5的倍数且甲取到的数大于乙取到的数，则不同的取法共有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】1—15中，5的倍数为5，10，15，故甲只能取这3个数. 若甲取5时，乙需取比甲小的数，即1，2，3，4，共4种取法； 若甲取10时，乙需取比甲小的数，即1，...，9，共9种取法； 若甲取15时，乙需取比甲小的数，即1，2，3，...，14，共14种取法； 故根据分类加法计数原理共有种. 题型02 分步乘法计数原理的应用 7．2026年作为“十五五”开局起步之年，天津文旅春季以花为媒开展了“春风十里•天津等你”的春日经济文旅活动，其中红桥区桃花节，和平区海棠花节，蓟州区梨花节，南开区牡丹节等赏花景点各具特色，吸引了众多游客游玩打卡．某天甲、乙、丙三位同学计划分别从这4个赏花节中任选一个地点前往游玩，则不同游玩方案共有的种数为（ ） A．种 B．种 C．7种 D．12种 【答案】A 【详解】根据题意，每位同学都可以独立从4个赏花节中任选一个， 甲有4种选择，乙有4种选择，丙也有4种选择， 根据分步乘法计数原理得，总方案数为种. 8．设集合若集合且，则满足条件的集合的个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由集合得， 由集合且，得集合中必有元素3，4中的一个或两个，共有3种选择方法， 集合中可以有5，6，7中的元素，共有8种选择方法， 所以共有个满足条件的集合. 9．若，则方程表示的直线条数为（    ） A．12 B．13 C．15 D．16 【答案】B 【详解】当时，方程只表示直线， 当时，对应的数组有个， 但是下列各组中的方程分别表示同一条直线： ，，， ，，， 所以方程表示的直线条数为． 10．小明有4件不同的上衣、5条不同的裤子、2双不同的鞋子．他从中各选一件搭配，不同的穿法共有（     ） A．11种 B．22种 C．24种 D．40种 【答案】D 【详解】第一步选上衣有4种选法，第二步选裤子有5种选法，第三步选鞋子有2种选法，所以共有种选法. 11．如图，电路中共有7个电阻与一个电灯A，若灯A不亮，分析电阻断路的可能性共有________种情况． 【答案】63 【详解】每个电阻都有断路与通路两种状态，图中从上到下的三条支线，分别记为支线，，， 支线，中至少有一个电阻断路的情况都有3（种）； 支线中至少有一个电阻断路的情况有（种）， 每条支线至少有一个电阻断路，灯就不亮，因此灯不亮的情况共有（种）情况. 12．有六名同学报名参加三个智力项目，每人参加的项目数不限（允许不参加任何项目），每项人数不限，则不同的报名方法有______种. 【答案】 【详解】结合题意，每位同学可选择不参加项目、参加1个、2个或3个项目， 可得单个同学的报名选择数为种. 6名同学的报名选择相互独立，依据分步乘法计数原理， 可得总报名方法数为. 题型03 两个计数原理的综合应用 13．甲、乙、丙3人排成一行，其中甲不排在第1位，乙不排在第2位，丙不排在第3位，则共有______种不同的排法． 【答案】2 【详解】由甲、乙、丙3人排成一行，其中甲不排在第1位，乙不排在第2位，丙不排在第3位， 可先排甲，甲从第位或第位中选一个位置，共有种排法， 则乙只有一种选法，丙只有一种排法， 根据分步乘法计数原理，共有种不同的排法. 14．设三位数，若以为三条边的长可以构成一个等腰（含等边）三角形，则这样的三位数n有（   ） A．12种 B．24种 C．28种 D．36种 【答案】C 【详解】先考虑等边三角形情况，共有，此时n有4种， 再考虑等腰三角形情况，若是腰，即， 当时，，则，与等边三角形情况重复； 当时，，则（的情况等边三角形已有），此时n有2种； 当时，，则，此时n有3种； 当时，，则，有3种； 故n有（种）同理，时，时也都有8种. 共有（种）． 15．甲、乙、丙三个人从中各取1个数，且所选的数字互不相同．甲说：“我选的数不小于5”；乙说：“我选的数比丙大”；丙说：“我们三个数的和是偶数”，已知三人说法均正确，则满足条件的取法有_____种． 【答案】10 【详解】由题意可知，甲选的数字为5或6， 若甲选的数字是5，因为三个数的和是偶数，则乙和丙选的数一个是奇数一个是偶数，且乙选的数比丙选的数大，故共有种取法； 若甲选的数是6，因为三个数的和是偶数，则乙和丙选的数同为奇数或者同为偶数，且乙选的数比丙选的数大，故共有种取法； 故满足条件的取法有种. 16．如图所示，使电路接通，开关不同的开闭方式有________种. 【答案】21 【详解】左侧并联部分有个开关，每个开关有开、闭种状态，总状态数为种， 其中线路断开的情况为个开关均断开，共种， 因此左侧线路接通的状态数为种. 右侧并联部分有个开关，每个开关有开、闭种状态，总状态数为种， 其中线路断开的情况为个开关均断开，共种， 因此右侧线路接通的状态数为种. 根据分步乘法计数原理，可得电路接通的开关开闭方式共有种. 17．甲同学有5本不同的数学书、4本不同的物理书、3本不同的化学书，现在乙同学向甲同学借书． (1)若借1本书，则有多少种借法？ (2)若每科各借1本书，则有多少种借法？ (3)若任借2本不同学科的书，则有多少种借法？ 【答案】(1)12种 (2)60种； (3)47种． 【详解】（1）借1本书，可按书的学科分类，共种． （2）每科各借1本，需要从数学、物理、化学三科各选1本，共种． （3）借2本不同学科的书，分为“数学+物理”“数学+化学”“物理+化学”三类，共种． 18．名学生分别从，，三个志愿服务项目中任选个参加，要求，两个项目都至少有人参加，则不同的选择方法共有多少种？ 【答案】 【详解】不考虑限制条件，即名学生参加三个志愿服务项目，共有种选择方法； 若项目无人参加，即名学生参加两个志愿服务项目，有种选择方法； 若项目无人参加，即名学生参加两个志愿服务项目，有种选择方法； 若，两个项目都无人参加，即名学生只能全部参加项目，只有1种选择方法，这种方法在前面被重复扣除，因此需要补回， 所以符合条件的方法共有种选择方法． 题型04 涂色问题 19．如图，一个地区分为4个区域，现给该地区着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有（ ）种. A．12 B．18 C．24 D．84 【答案】D 【详解】按是否同色分为两类： （1）A与D同色： 给A着色：有种方法； 给B着色：与A不同色，有种方法； 给C着色：与A不同色，有种方法； 给D着色：与A同色，仅种方法； 则此类方法数：种； （2）A与D不同色 给A着色：有种方法； 给B着色：与A不同色，有种方法； 给D着色：与均不同色，有种方法； 给C着色：与均不同色，有种方法； 则此类方法数：种； 所以方法总数为：种. 20．给如图所示的花圃中A，B，C，D四块区域种花，中间圆形区域不种花.现有6种不同的花可供选择，每块区域种1种花，且相邻区域种不同的花.则不同的种法总数为（   ） A．320 B．630 C．720 D．1560 【答案】B 【详解】现有6种不同的花可供选择，要求每个区域只种1种花且相邻区域的花不同， 则四块区域最少种2种花，最多种4种花，所以分三类： 若种2种花，则A和C相同，B和D相同，有种方法； 若种3种花，则需要其中两块区域种同一种花，A和C相同或B和D相同，有种； 若种4种花，有种， 则不同的种法总数为． 21．如图，要给 5 个区域染色，有 5 种不同的颜色可供选择，并要求相邻区域颜色不同，则不同的染法种数为_____. 【答案】540 【详解】先给③选择一个颜色，有种； 剩下的①‑②‑④‑⑤这4个区域看作直线链条，4 个区域，4 种剩余颜色，相邻区域颜色不同， 第一个区域①：4 种；后面每一个都不能和前一个同色，各 3 种：； 所以不同的染法种数为. 22．某Livehouse舞台的环形氛围灯被设计为如图所示的4个环形相邻灯区．现有5种霓虹灯光色可供选择，要求每个灯区只使用一种颜色，且相邻灯区颜色不相同，则该舞台灯区共有__________种不同的颜色搭配方案． 【答案】260 【详解】第1个灯区有5种颜色可选，第2个灯区不能与第1个灯区同色，有4种颜色可选， 若第3个灯区与第1个灯区同色，则只有1种颜色可选，此时第4个灯区不能与第1，3个灯区同色，有4种颜色可选； 若第3个灯区与第1个灯区颜色不同，也不能与第2个灯区同色，则有3种颜色可选，此时第4个灯区不能与第1，3个灯区同色，有3种颜色可选， 所以该舞台灯区共有种不同的颜色搭配方案． 23．用种不同颜色的粉笔写黑板报，板报设计如图所示，要求相邻区域不能用同一种颜色的粉笔，则该板报共有__________种不同的书写方案． 【答案】 【详解】完成工作可分四步： 第一步，“英语角”用的粉笔颜色有种不同的选法； 第二步，“语文学苑”用的粉笔颜色不能与“英语角”用的粉笔颜色相同，有种不同的选法； 第三步，“理综世界”用的粉笔颜色与“英语角”和“语文学苑”用的粉笔颜色都不相同，有种不同的选法： 第四步，“数学天地”用的粉笔颜色只要与“理综世界”用的粉笔颜色不同即可，有种不同的选法． 由分步乘法计数原理知，该板报共有种不同的书写方案． 重难·创新演练 设题创新:题目情境丰富新颖，结合志愿者分配、新定义 “加德数”、函数、对数、子集、区域涂色等载体考查计数原理。跳出单纯数字分配，融合跨模块知识，侧重实际情境逻辑分析，强化分类讨论、容斥思想，检验学生识别模型、合理分类分步的推理能力。 1．（2026·吉林四平·一模）首届“闽超”联赛期间，三明赛区为了给球迷提供更好的服务，派5名志愿者到A，B，C三个公交接驳点进行服务，若每人只能去一个接驳点，每个接驳点至少派一人，其中志愿者甲只能去接驳点A，则不同选派方案的种数为（   ） A．20 B．42 C．44 D．50 【答案】D 【详解】已知志愿者甲固定去A，因此A已满足至少1人的要求，仅需保证B、C两个接驳点均至少分配1人， 剩余4名志愿者每人可选择A、B、C中任意一个接驳点， 4名志愿者无限制分配的总情况数为种； 排除B接驳点无人的情况：剩余4人均分配到A或C，共种； 排除C接驳点无人的情况：剩余4人均分配到A或B，共种； 上述两类排除情况中，“B、C均无人，剩余4人均分配到A”的情况被重复排除，需补回1种； 由容斥原理，符合条件的选派方案种数为. 2．（2025·浙江杭州·一模）若一个三位数的百位数字是，十位数字是，个位数字是,，且 三个数中最大值和最小值的和等于，则这样的三位数的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为三个数中最大值和最小值的和等于，且， 若，则，或，或，或，或 若，则，，或，，或 ，或，或， 若，则，可以是，或，可以是， 所以符合条件的三位数的个数是. 3．（2025·山东泰安·三模）【新定义】若自然数P使得作竖式加法不发生进位现象，称P为“加德数”，如不产生进位，所以11是“加德数”；产生了进位现象，所以42不是“加德数”．那么在小于2026的四位自然数中，“加德数”共有（   ） A．48个 B．54个 C．57个 D．96个 【答案】C 【详解】在小于2026的四位自然数中，当千位数字时，“加德数”需要满足个位数字，十位数字． 当千位数字为1时，百位和十位数字可以为0，1，2，3，个位数字可以为0,1，2，此时共有个； 当千位数字为2时，百位数字只能为0，十位数字可以为0，1，2，个位数字可以为0，1，2，此时共有个． 所以共有个． 4．（2026·四川成都·模拟预测）【新考法】已知集合，若是的函数，且满足，则函数的个数是（     ） A．4 B．10 C．13 D．23 【答案】B 【详解】情况一：值域中只有一个元素1，即值域为，对，只有1个函数符合题意； 情况二：值域中有两个元素，即值域为， ，其余两个不属于的元素，其函数值只能在中选，且至少有一个是，有种情况，所以符合题意的函数有个； 情况三：值域中有三个或三个以上元素，假设值域，满足，剩余一个元素不可能同时取到和两个函数值，矛盾； 综上所述，满足题意的一共有个. 5．（2025·广东肇庆·模拟预测）从1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字中任取两个，其中一个作为底数，另一个作为真数，则可以得到不同对数值的个数为____________. 【答案】 【详解】由于1只能作真数，底数可为其余8个数字中的任意一个，所形成的8个对数式的值均为0， 从除1以外的其余各数任取两数分别作为对数的底数和真数，共能组成个对数式， 其中，，，， 因此，不同的对数值的个数为. 6．（2026·云南玉溪·模拟预测）如图，是由七个正六边形区域组成的平面图形，现给这七个区域涂色，有四种不同的颜色可供选择，要求每个区域只涂一种颜色，有公共边的两个正六边形区域颜色不相同，则不同的涂色方案有________种. 【答案】 【详解】我们按区域顺序分步计算涂色方案，根据相邻区域不同色的要求，每一步的选择数如下： 涂区域A：共4种颜色可选，有种方案。 涂区域B：B与A相邻，颜色不同，有种方案。 涂区域C：C与A、B都相邻，颜色都不同，有种方案。 涂区域D：D与B、C都相邻，颜色都不同，B、C异色，因此有种方案。 涂区域E：E仅与D相邻，颜色不同，有种方案。 涂区域F：F与D、E都相邻，D、E异色，因此有种方案。 涂区域G：G仅与E、F都相邻，E、F异色，因此有种方案。 根据分步乘法计数原理，总方案数为： . 7．（2025·四川眉山·模拟预测）现给蚌埠市四区三县区域示意图涂色，有4种颜色供选择，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，且蚌山区、龙子湖区、禹会区、淮上区四区颜色各不相同，则不同的涂色方法有_________种．（用数字作答） 【答案】192 【详解】先涂四个区，要求颜色各不相同，共有种涂法； 再涂三个县： 怀远县：与禹会区，淮上区相邻，两个区颜色不同，故怀远县可选的颜色有2种； 固镇县：与淮上区，怀远县相邻，两个区颜色不同，故固镇县可选的颜色有2种； 五河县：与淮上区，固镇县相邻，两个区颜色不同，故五河县可选的颜色有2种； 根据分步乘法计数原理可知：共有种涂色方法． 8．（2025·湖南张家界·模拟预测）【新考法】设集合，的子集满足，，这样的子集的个数为________． 【答案】 【详解】先求使成立的的子集的个数， 在中取出至少一个元素 的方式有7种，而集合的子集有个， 因此， 再扣除其中使的集合的个数，这些取法中均被取出，而集合的子集有个，因此, 从而满足条件的子集的个数为 9．（2026·江西宜春·二模）将随机排成一行，前三个数构成三位数，后三个数构成三位数，已知的百位数字比的百位数字大3，则满足的不同排列的个数为__________.（用数字作答） 【答案】36 【详解】由题意，设的百位数字为，的百位数字为， 因为的百位数字比的百位数字大3， 所以在中，满足条件的只有组：，，， 因为，所以的十位数字比的十位数字小， 假设剩余的个数字为、、、，且， ①若的十位数字取，则的十位数字有种选择，的个位数字有种选择，的个位数字有种选择，共有种选择， ②若的十位数字取，则的十位数字有种选择，的个位数字有种选择，的个位数字有种选择，共有种选择， ③若的十位数字取，则的十位数字有种选择，的个位数字有种选择，的个位数字有种选择，共有种选择， 综上所述，满足条件的、共有种. 真题·实战演练 高频考点：分类与分步辨析、有限制条件分配选取、涂色模型、计数与排列组合及古典概型交汇；近三年无单独命题，以小而精的选择填空为主，侧重基础 + 中档综合，突出限制条件、情境建模、分类讨论三大热点。 1．（2023·全国甲卷·高考真题）现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（    ） A．120 B．60 C．30 D．20 【答案】B 【详解】不妨记五名志愿者为， 假设连续参加了两天公益活动，再从剩余的4人抽取2人各参加星期六与星期天的公益活动，共有种方法， 同理：连续参加了两天公益活动，也各有种方法， 所以恰有1人连续参加了两天公益活动的选择种数有种. 故选：B. 2．（2020·山东·高考真题）现有5位老师，若每人随机进入两间教室中的任意一间听课，则恰好全都进入同一间教室的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】5位老师，每人随机进入两间教室中的任意一间听课，共有种方法， 其中恰好全都进入同一间教室，共有2种方法，所以. 故选：B 19 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $