2025年高考数学二轮复习专项训练27 最值、范围问题

2025二轮复习专项训练27 最值、范围问题 [考情分析]　解析几何是数形结合的典范，是高中数学的主要知识模块，最值、范围问题是高考考查的重点知识，在解答题中一般会综合考查直线、圆、圆锥曲线等，试题难度较大，多次以压轴题出现． 【练前疑难讲解】 一、最值问题 圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法 一是几何方法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解； 二是代数方法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为关于某个(些)变量的函数，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解． 二、范围问题 范围问题的求解策略 解决有关范围问题时，先要恰当地引入变量(如点的坐标、角、斜率等)，其方法有： (1)利用判别式来构造不等式； (2)利用已知参数的取值范围； (3)利用隐含的不等关系； (4)利用已知不等关系构造不等式； (5)利用函数值域的求法． 一、单选题 1．（22-23高三上·广西桂林·阶段练习）已知双曲线的左，右焦点分别为，点在双曲线的右半支上，点，则的最小值为（    ） A． B．4 C．6 D． 2．（2023·全国·模拟预测）已知直线与椭圆交于两点，是椭圆上异于的一点．若椭圆的离心率的取值范围是，则直线，斜率之积的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（2023·山东烟台·二模）已知双曲线C经过点，且与椭圆有公共的焦点，点M为椭圆的上顶点，点P为C上一动点，则（    ） A．双曲线C的离心率为 B． C．当P为C与的交点时， D．的最小值为1 4．（24-25高二上·重庆渝中·阶段练习）已知点是左、右焦点为，的椭圆：上的动点，则（    ） A．若，则的面积为 B．使为直角三角形的点有6个 C．的最大值为 D．若，则的最大、最小值分别为和 三、填空题 5．（23-24高二上·重庆沙坪坝·阶段练习）过椭圆上一动点分别向圆：和圆：作切线，切点分别为，，则的取值范围为 . 6．（22-23高三上·安徽阜阳·期末）已知椭圆 C的焦点为 为 C 上一点满足，则C 的离心率取值范围是 ． 四、解答题 7．（2024·天津·高考真题）已知椭圆的离心率为．左顶点为，下顶点为是线段的中点（O为原点），的面积为． (1)求椭圆的方程． (2)过点C的动直线与椭圆相交于两点．在轴上是否存在点，使得恒成立．若存在，求出点纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由． 8．（22-23高二下·浙江杭州·期末）设抛物线，过焦点的直线与抛物线交于点，.当直线垂直于轴时，.    (1)求抛物线的标准方程. (2)已知点，直线，分别与抛物线交于点，. ①求证：直线过定点； ②求与面积之和的最小值. 参考答案： 题号 1 2 3 4 答案 D D ACD BCD 1．D 【分析】首先利用双曲线的定义转化，再结合图象，求的最小值，再联立方程求交点坐标. 【详解】由题意并结合双曲线的定义可得 ， 当且仅当，，三点共线时等号成立. 而直线的方程为，由可得，所以， 所以点的坐标为. 所以当且仅当点的坐标为时，的最小值为. 故选：D. 2．D 【分析】先设点的坐标，然后将的坐标代入方程中，相减，构造出直线，的斜率，相乘转化只含有的表达式，再根据的关系以及椭圆的离心率的取值范围是建立不等式，求出直线，斜率之积的取值范围即可. 【详解】设， 由直线与椭圆交于两点可知两点关于原点对称， 所以且， 由题意知：，两式相减得： ， 即， 又， 由椭圆的离心率的取值范围是， 即， 所以， 即， 故选：D. 3．ACD 【分析】根据题意中的点求出双曲线方程，结合离心率的定义即可判断A；根据双曲线的渐近线，结合图形即可判断B；根据椭圆与双曲线的定义，结合余弦定理计算即可判断C；由两点距离公式，结合二次函数的性质即可判断D. 【详解】A：由题意，，设双曲线的标准方程为， 将点代入得，所以双曲线方程为， 得其离心率为，故A正确； B：由A选项的分析知，双曲线的渐近线方程为，如图， ，所以，得，故B错误； C：当P为双曲线和椭圆在第一象限的交点时，由椭圆和双曲线的定义知， ，解得， 又，在中，由余弦定理得，故C正确； D：设，则， 所以， 当时，，故D正确. 故选：ACD. 4．BCD 【分析】根据焦点三角形面积的相关结论即可判断A；结合椭圆性质可判断B；结合椭圆定义可求线段和差的最值，判断CD. 【详解】A选项：由椭圆方程，所以，，所以， 所以的面积为，故A错误； B选项：当或时为直角三角形，这样的点有4个， 设椭圆的上下顶点分别为，，则,同理， 知，所以当位于椭圆的上、下顶点时也为直角三角形， 其他位置不满足，满足条件的点有6个，故B正确； C选项：由于， 所以当最小即时，取得最大值，故C正确； D选项：因为， 又，则的最大、最小值分别为和， 当点位于直线与椭圆的交点时取等号，故D正确. 故选：BCD 5． 【分析】易知两圆的圆心为椭圆的两焦点，由勾股定理可得，，由椭圆的定义可得，设，利用二次函数的基本性质可求得的取值范围. 【详解】，，，易知、为椭圆的两个焦点， ，    根据椭圆定义， 设，则，即， 则， 当时，取到最小值． 当时，取到最大值． 故的取值范围为：. 故答案为：. 6． 【分析】设，，利用余弦定理可得，再结合基本不等式推出，即可求得答案. 【详解】设椭圆C的方程为， 设，，则， 在中，，有, 得，即， 故，因为，即，当且仅当时取等号， 故，即，故 ， 解得，由，所以C的离心率取值范围是， 故答案为： 7．(1) (2)存在，使得恒成立. 【分析】（1）根据椭圆的离心率和三角形的面积可求基本量，从而可得椭圆的标准方程. （2）设该直线方程为：，， 联立直线方程和椭圆方程并消元，结合韦达定理和向量数量积的坐标运算可用表示，再根据可求的范围. 【详解】（1）因为椭圆的离心率为，故，，其中为半焦距， 所以，故， 故，所以，，故椭圆方程为：. （2） 若过点的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为：， 设， 由可得， 故且 而， 故 ， 因为恒成立，故，解得. 若过点的动直线的斜率不存在，则或， 此时需，两者结合可得. 综上，存在，使得恒成立. 【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的范围问题，往往需要用合适的参数表示目标代数式，表示过程中需要借助韦达定理，此时注意直线方程的合理假设. 8．(1) (2)①证明见解析；②. 【分析】（1）利用弦长求解p，即可求解抛物线方程； （2）（i）设直线方程，与抛物线联立，韦达定理找到坐标关系，表示出直线方程，即可求出定点； （ii）利用面积分割法求出两个三角形面积表达式，然后利用二次函数求最值即可. 【详解】（1）由题意，当直线垂直于轴时，，代入抛物线方程得，则，所以，即，所以抛物线. （2）（i）设，，直线， 与抛物线联立，得，因此，. 设直线，与抛物线联立，得， 因此，，则.同理可得. 所以. 因此直线，由对称性知，定点在轴上， 令得， ， 所以直线过定点. （ii）因为， ， 所以， 当且仅当时取到最小值. 【基础保分训练】 一、单选题 1．（2024·江苏泰州·模拟预测）已知F为椭圆的右焦点，P为C上一点，Q为圆上一点，则的最大值为（    ） A．5 B． C． D．6 2．（21-22高二上·陕西西安·期末）已知是双曲线的左焦点，，是双曲线右支上的动点，则的最小值为（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 3．（2023·全国·模拟预测）已知抛物线的焦点为，过点的直线交于两点，为坐标原点，记与的面积分别为和，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（23-24高二上·江西·阶段练习）已知椭圆的左焦点为，点是上任意一点，则的值可能是（    ） A． B．3 C．6 D．8 5．（23-24高二上·全国·课后作业）（多选）设抛物线的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率可以是（　　） A． B． C．1 D．2 6．（21-22高二·江苏·假期作业）已知双曲线：，下列结论正确的是（   ） A．双曲线的渐近线方程为 B．双曲线的焦点到渐近线的距离为 C．与双曲线的渐近线平行的直线与双曲线一定没有交点 D．若直线与双曲线没有交点，则的取值范围为 三、填空题 7．（23-24高二上·重庆沙坪坝·期中）若P是椭圆上一动点，，则的最大值为 ． 8．（2024·全国·模拟预测）已知点是抛物线：上的动点，过点作圆：的切线，切点为，则的最小值为 . 9．（2023·浙江·一模）已知，分别是双曲线的左右焦点，且C上存在点P使得，则a的取值范围是 ． 四、解答题 10．（2022·江苏泰州·模拟预测）已知，是过点的两条互相垂直的直线，且与椭圆相交于A，B两点，与椭圆相交于C，D两点． (1)求直线的斜率k的取值范围； (2)若线段，的中点分别为M，N，证明直线经过一个定点，并求出此定点的坐标． 11．（2022·江苏盐城·三模）已知双曲线：过点，渐近线方程为，直线是双曲线右支的一条切线，且与的渐近线交于A，B两点． (1)求双曲线的方程； (2)设点A，B的中点为M，求点M到y轴的距离的最小值． 12．（2023·全国·模拟预测）已知抛物线的焦点为，直线与交于两点，且当，时，． (1)求抛物线的方程； (2)若，求面积的最小值． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 答案 B A B BC BC ABD 1．B 【分析】由题意设椭圆的左焦点为，作出图形，结合图形和椭圆的定义可知当三点共线时取到最大值. 【详解】由题意知，，设椭圆的左焦点为， 如图，P为C上一点，Q为圆上一点，，半径为1， ， 当且仅当三点共线时，等号成立， 所以的最大值为. 故选：B 2．A 【分析】由双曲线方程求出，再根据点在双曲线的两支之间，结合可求得答案 【详解】由，得，则， 所以左焦点为，右焦点， 则由双曲线的定义得， 因为点在双曲线的两支之间， 所以， 所以，当且仅当三点共线时取等号， 所以的最小值为9， 故选：A 3．B 【分析】设出直线，联立，得到两根之和，两根之积，得，，，利用基本不等式即可求出最值. 【详解】由题意得：，设直线，联立得： ，设，不妨令， 则， 故， ， 则， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：B 4．BC 【分析】根据到焦点距离的范围求解即可. 【详解】由题意可知，所以，即. 故选：BC. 5．BC 【分析】设直线方程，并与抛物线联立方程，再用根的判别式来处理，即可求得斜率范围. 【详解】抛物线的准线与x轴交于点Q，     准线为，Q点的坐标， 又直线l过点Q，且斜率必存在， 可设l：， 联立，可得， 当时，得，即交点为， 当时，由得，即， 解得，或， 综上，k的取值范围是． 故选：BC. 6．ABD 【分析】A选项，利用焦点在轴上的双曲线方程为进行求解；B选项，利用点到直线距离公式进行求解；C选项，与渐近线平行的直线与双曲线有一个焦点；D选项，直线的斜率与渐近线斜率相比较，得到的取值范围． 【详解】解：对于，由双曲线：，则，，所以其渐近线方程为，故A正确； 对于B，由双曲线：，则，，，其焦点坐标为，其渐近线方程为，所以一个焦点到渐近线的距离为，故B正确； 对于C，与渐近线平行的直线与双曲线有且仅有一个交点，故C不正确； 对于D，若直线与双曲线没有交点，则的斜率应该和双曲线渐近线斜率比较，则或，故D正确． 故选：ABD． 7．4 【分析】令，应用两点距离公式有，结合椭圆的有界性求最大值. 【详解】令，则，又， 所以，又， 当时，的最大值为4. 故答案为：4 8． 【分析】设，求出到圆的圆心的距离的最小值，然后根据勾股定理求解的最小值． 【详解】设，则， 故当时，取最小值. 又由圆的切线性质可得此时. 故答案为： 9． 【分析】根据双曲线的定义结合条件可得，，进而可得，即得. 【详解】因为，双曲线， 又， 所以，， 又， 解得， 即a的取值范围是. 故答案为：. 10．(1)； (2)证明见解析；定点. 【分析】（1）根据直线，均与椭圆相交，联立方程利用求解；（2）利用韦达定理分别求M，N的坐标，进而求出直线的方程判断定点． 【详解】（1）根据题意直线，的斜率均存在且不为0 直线，分别为，， 联立得， 由得，则或， 同理，则， 所以k的取值范围为． （2）设，，由（1）得， 所以，则， 所以，则， 同理， 则直线的方程为， 化简整理得 因此直线经过一个定点． 11．(1) (2)2 【分析】（1）由渐近线可得，再把点代入方程即可解得； （2）点M到y轴的距离的即为点M的横坐标为，联立方程利用韦达定理可求，分析求解即可，但要注意讨论直线的斜率是否存在． 【详解】（1）由题设可知，解得 则：． （2）设点M的横坐标为 当直线斜率不存在时，则直线： 易知点到轴的距离为﹔ 当直线斜率存在时，设：，，， 联立，整理得， ， 整理得 联立，整理得， 则，则，即 则，即 ∴此时点到轴的距离大于2； 综上所述，点到轴的最小距离为2． 12．(1) (2) 【分析】（1）已知条件直线的解析式为，设，，联立抛物线方程，利用韦达定理结合弦长公式可得拋物线的方程； （2）利用得到m，n的关系，利用面积公式将的面积表示为关于n的函数，结合二次函数的性质可得答案． 【详解】（1）当，时，直线的解析式为． 设，，联立消去并整理得， ，， ，解得． ， ， 整理得，解得（舍负）， 抛物线的方程为． （2）由（1）知，，设，，联立 消去并整理得，，， ，． ，， 即， 整理得． 将，，代入上式得． 又，，且， 解得或． 点到直线的距离， ， 的面积． 又或， 当时，的面积最小，且最小面积为． 【点睛】方法点睛：与圆锥曲线有关的最值问题的两种解法 （1）数形结合法：根据待求值的几何意义，充分利用平面图形的几何性质求解； （2）构建函数法：先引入变量，构建以待求量为因变量的函数，再求其最值，常用基本不等式或导数法求最值（注意：有时需先换元后再求最值）． 【能力提升训练】 一、单选题 1．（22-23高三上·山西·阶段练习）已知点F为抛物线C：的焦点，过点F作两条互相垂直的直线，，直线与C交于A，B两点，直线与C交于D，E两点，则的最小值为（    ） A．64 B．54 C．50 D．48 2．（2023·河北邯郸·三模）在平面直角坐标系内，已知，，动点满足，则（）的最小值是（    ） A． B．2 C．4 D．16 3．（2023·安徽蚌埠·一模）若椭圆上存在两点到点的距离相等，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（2022·河北唐山·二模）双曲线具有如下光学性质：如图，是双曲线的左、右焦点，从右焦点发出的光线m交双曲线右支于点P，经双曲线反射后，反射光线n的反向延长线过左焦点．若双曲线C的方程为，下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．当n过时，光由所经过的路程为13 C．射线n所在直线的斜率为k，则 D．若，直线PT与C相切，则 5．（23-24高二上·广西南宁·期中）已知椭圆，、分别为它的左右焦点，、分别为它的左、右顶点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（    ） A．点到右焦点的距离的最大值为3，最小值为1 B．的最小值为 C．若为直角三角形，则的面积为 D．的范围为 6．（23-24高二上·江苏扬州·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，点是双曲线的右支上一点，过点的直线与双曲线的两条渐近线分别交于，则（　　） A．的最小值为8 B．为定值 C．若直线与双曲线相切，则点的纵坐标之积为； D．若直线经过，且与双曲线交于另一点，则的最小值为. 三、填空题 7．（2023·辽宁·一模）已知椭圆C：的左、右焦点分别为、，点、在椭圆C上，满足，，若椭圆C的离心率，则实数λ取值范围为 . 8．（21-22高二上·江西抚州·阶段练习）椭圆与双曲线有公共焦点，设椭圆与双曲线在第一象限内交于点，椭圆与双曲线的离心率分别为为坐标原点，，则的取值范围是 . 9．（2022高二上·全国·专题练习）设双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线交双曲线左支于，两点，则的最小值为 ． 四、解答题 10．（2024·天津·高考真题）已知椭圆的离心率为．左顶点为，下顶点为是线段的中点（O为原点），的面积为． (1)求椭圆的方程． (2)过点C的动直线与椭圆相交于两点．在轴上是否存在点，使得恒成立．若存在，求出点纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由． 11．（2023·广西柳州·二模）已知抛物线经过点，过点的直线与抛物线有两个不同交点，且直线交轴于，直线交轴于. (1)求直线斜率的取值范围； (2)证明：存在定点，使得，且. 12．（23-24高三下·江西抚州·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知双曲线经过点，点与点关于原点对称，为上一动点，且异于两点. (1)求的离心率； (2)若△的重心为，点，求的最小值； (3)若△的垂心为，求动点的轨迹方程. 13．（2022·全国·高考真题）设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，． (1)求C的方程； (2)设直线与C的另一个交点分别为A，B，记直线的倾斜角分别为．当取得最大值时，求直线AB的方程． 14．（2024·山东济宁·一模）已知椭圆，直线与椭圆交于A、B两点，为坐标原点，且，，垂足为点． (1)求点的轨迹方程； (2)求面积的取值范围． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 答案 C C B CD ACD AB 1．C 【分析】利用韦达定理表示出弦长和，利用基本不等式可求最小值. 【详解】抛物线：的焦点， 因为，所以直线，斜率存在，且均不为0. 设直线的方程为，，， 由得， 所以，所以， 因为，所以将中的替换为可得， 所以， 当且仅当，即时取等号. 故的最小值是50. 故选:C. 2．C 【分析】由题意求出点P的轨迹方程，则可以看成圆上动点与定直线上动点的距离，求得其最小值，即可求得答案. 【详解】因为，，动点满足， 则，整理得， 可以看成圆上动点与定直线上动点的距离， 其最小值为圆心到直线的距离减去圆的半径2，即， 因此，的最小值是， 故选：C. 3．B 【分析】利用点差法可得直线AB的斜率，从而可得AB垂直平分线直线方程，由点P在AB垂直平分线上，结合AB的中点在椭圆内可解. 【详解】记中点为，则， 由题意点在线段的中垂线上， 将坐标代入椭圆方程得 两式相减可得， 所以，得， 所以的中垂线的方程为，令得， 由题意，，故，所以 所以 故选：B. 4．CD 【分析】对于A：判断出，由定义和勾股定理联立方程组即可求得；对于B：利用双曲线的定义直接求得；对于C：先求出双曲线的渐近线方程，由P在双曲线右支上，即可得到n所在直线的斜率的范围；对于D：设直线PT的方程为.利用相切解得，进而求出.即可求出. 【详解】对于A：若，则. 因为P在双曲线右支上，所以.由勾股定理得： 二者联立解得：.故A错误； 对于B：光由所经过的路程为. 故B错误； 对于C：双曲线的方程为.设左、右顶点分别为A、B.如图示： 当与同向共线时，的方向为，此时k=0，最小. 因为P在双曲线右支上，所以n所在直线的斜率为.即. 故C正确. 对于D：设直线PT的方程为. ，消去y可得：. 其中，即，解得 代入，有，解得：x=9. 由P在双曲线右支上，即，解得：（舍去），所以. 所以. 故D正确 故选：CD 5．ACD 【分析】对于A,利用焦半径的范围求解即可；对于B，利用位于椭圆上顶点时最大求解即可；对于C，利用点坐标求的面积即可；对于D，设利用二次函数求的范围即可. 【详解】对A，易知，则，故A正确； 对B，位于椭圆上顶点时最大， 此时最小，且 故此时为等边三角形，，故B错误； 对C，若为直角三角形，由B知， ， 所以或，不妨设， 则此时点横坐标，代入，得， 故的面积为：，故C正确； 对D，,设 则， 由得：， 故， 故，故D正确. 故选：ACD 6．AB 【分析】设，由，可判定A正确；化简，可判定B正确；设直线的方程为，联立方程组，结合，得到，在化简，可判定C不正确；根据通经长和实轴长，可判定D错误. 【详解】由题意，双曲线，可得，则， 所以焦点，且， 设，则，且，即， 双曲线的两条渐近线的方程为， 对于A中，由， 所以A正确； 对于B中， （定值），所以B正确； 对于C中，不妨设，直线的方程为， 联立方程组，整理得， 若直线与双曲线相切，则， 整理得， 联立方程组，解得，即点的纵坐标为， 联立方程组，解得，即点的纵坐标为， 则点的纵坐标之积为 所以C不正确； 对于D中，若点在双曲线的右支上，则通经最短，其中通经长为， 若点在双曲线的左支上，则实轴最短，实轴长为，所以D错误. 故选：AB. 7． 【分析】先写出点、的坐标，再利用求得点的坐标，将点的坐标代入椭圆C方程即可化简出实数λ与离心率的关系，从而得到实数λ取值范围. 【详解】根据题意知，由得， 不妨设点在第一象限，则点的坐标为. 由知，且， 从而得到点的坐标为. 将点的坐标代入椭圆C方程得， 整理得，即， 所以. 又因为，所以，即实数λ取值范围为. 故答案为：. 8． 【分析】根据椭圆和双曲线得定义求得，再根据，可得，从而有，求出的范围，根据，结合基本不等式即可得出答案. 【详解】解：设， 则有， 所以，即， 又因为，所以， 所以，即，则， 由，得，所以，所以， 则， 由，得， 因为， 当且仅当，即时，取等号， 因为，所以，所以， 即， 所以的取值范围是. 故答案为：. 9．22 【分析】由双曲线的定义可得，，据此，再由两点的位置特征可得是双曲线的通径时，最小，从而可得答案. 【详解】根据双曲线，得，， 由双曲线的定义可得： ①， ②， ①+②可得：， 由于过双曲线的左焦点的直线交双曲线的左支于，两点， 可得，即有． 则，当是双曲线的通径时最小， 故. 故答案为：22 10．(1) (2)存在，使得恒成立. 【分析】（1）根据椭圆的离心率和三角形的面积可求基本量，从而可得椭圆的标准方程. （2）设该直线方程为：，， 联立直线方程和椭圆方程并消元，结合韦达定理和向量数量积的坐标运算可用表示，再根据可求的范围. 【详解】（1）因为椭圆的离心率为，故，，其中为半焦距， 所以，故， 故，所以，，故椭圆方程为：. （2） 若过点的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为：， 设， 由可得， 故且 而， 故 ， 因为恒成立，故，解得. 若过点的动直线的斜率不存在，则或， 此时需，两者结合可得. 综上，存在，使得恒成立. 【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的范围问题，往往需要用合适的参数表示目标代数式，表示过程中需要借助韦达定理，此时注意直线方程的合理假设. 11．(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由抛物线过可求得抛物线方程，设，与抛物线方程联立，由可得的范围，并确定韦达定理结论；根据可求得且，由此可确定的范围； （2）易知在轴上，设，利用向量数乘的坐标运算可得，，求得方程后，令可推导得到，同理得到，代入中，整理后代入韦达定理的结论可构造方程求得的值，从而确定定点. 【详解】（1）抛物线经过点，，解得：，抛物线； 由题意知：直线斜率存在，设，，， 由得：， ，解得：或； ，，，， 又直线与轴相交于两点， ， 即，解得：且； 综上所述：直线斜率的取值范围为. （2）设点，， 由，，知：共线，即在轴上， 则可设，，， ，，，同理可得：， ，直线， 令得：，同理可得：， ，， 由（1）知：，， ，解得：， 存在定点满足题意. 【点睛】思路点睛：本题考查直线与抛物线综合应用中存在定点满足某条件的问题，求解此类问题的基本思路如下： ①假设直线方程，与抛物线方程联立，整理为关于或的一元二次方程的形式； ②利用求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式； ③利用韦达定理表示出所求量，将所求量转化为关于变量的函数的形式或构造方程； ④化简所得函数式或方程，整理可得定点坐标. 12．(1) (2) (3)（去除点）. 【分析】（1）将点代入双曲线的方程求出值，即可求得的离心率； （2）根据三角形的重心公式求得动点的轨迹方程，根据两点间距离公式求出的最小值； （3）根据求动点的轨迹方程. 【详解】（1）因为双曲线经过点，所以，解得， 所以的离心率， （2）易知.设. 因为△的重心为 ，所以,解得, 因为，所以，即. 因为不共线，所以 且， 所以的轨迹不含两点. 故，当且仅当时，等号成立， 即的最小值为. （3）因为为△的垂心，所以， 设， 当直线或的斜率为0时，点的坐标为或， 此时点与点重合，不合题意，舍. 当直线或的斜率不为0时，直线与的斜率存在， 则， 由（2）知，则， 则. 因为，所以， ，则，得， 则，因为构成三角形，故不能在轨迹上， 综上，动点的轨迹方程为（去除点）. 13．(1)； (2). 【分析】（1）由抛物线的定义可得，即可得解； （2）法一：设点的坐标及直线，由韦达定理及斜率公式可得，再由差角的正切公式及基本不等式可得，设直线，结合韦达定理可解. 【详解】（1）抛物线的准线为，当与x轴垂直时，点M的横坐标为p， 此时，所以， 所以抛物线C的方程为； （2）[方法一]：【最优解】直线方程横截式 设，直线， 由可得，， 由斜率公式可得，， 直线，代入抛物线方程可得， ，所以，同理可得， 所以 又因为直线MN、AB的倾斜角分别为，所以， 若要使最大，则，设，则， 当且仅当即时，等号成立， 所以当最大时，，设直线， 代入抛物线方程可得， ，所以， 所以直线. [方法二]：直线方程点斜式 由题可知，直线MN的斜率存在. 设,直线 由 得：，,同理，. 直线MD:,代入抛物线方程可得：，同理，. 代入抛物线方程可得:,所以，同理可得， 由斜率公式可得： （下同方法一）若要使最大，则， 设，则， 当且仅当即时，等号成立， 所以当最大时，，设直线， 代入抛物线方程可得，，所以，所以直线. [方法三]：三点共线 设， 设,若 P、M、N三点共线，由 所以，化简得， 反之，若,可得MN过定点 因此，由M、N、F三点共线，得，       由M、D、A三点共线，得，       由N、D、B三点共线，得， 则，AB过定点（4,0） （下同方法一）若要使最大，则， 设，则， 当且仅当即时，等号成立， 所以当最大时，，所以直线. 【整体点评】（2）法一：利用直线方程横截式，简化了联立方程的运算，通过寻找直线的斜率关系，由基本不等式即可求出直线AB的斜率，再根据韦达定理求出直线方程，是该题的最优解，也是通性通法； 法二：常规设直线方程点斜式，解题过程同解法一； 法三：通过设点由三点共线寻找纵坐标关系，快速找到直线过定点，省去联立过程，也不失为一种简化运算的好方法． 14．(1) (2) 【分析】（1）分直线l斜率不存在和存在两种情况进行讨论，结合韦达定理以及向量垂直的坐标表示即可求得P的轨迹方程； （2）分直线l斜率不存在和存在两种情况进行讨论，求出弦长的取值范围，结合面积公式即可求得答案. 【详解】（1）①当直线l斜率不存在时，由椭圆的对称性，不妨设直线l在y轴右侧， 直线OA的方程为， 由，解得，，所以，， 所以，直线AB的方程为，此时． 同理，当直线l在y轴左侧时，． ②当直线l斜率存在时，设直线l的方程为，，， 由消去y整理得，， ∴，且，， 又∵，∴即：， 所以，， 则， 故， 所以满足， 所以，． 综上，，所以，点P的轨迹方程为． （2）①由（1）可知，当直线l斜率不存在或斜率为0时，． ②当直线l斜率存在且不为0时， ， ∵，∴，当且仅当，即等号成立． ∴，∴， ∴， 综上，．    【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025二轮复习专项训练27 最值、范围问题 [考情分析]　解析几何是数形结合的典范，是高中数学的主要知识模块，最值、范围问题是高考考查的重点知识，在解答题中一般会综合考查直线、圆、圆锥曲线等，试题难度较大，多次以压轴题出现． 【练前疑难讲解】 一、最值问题 圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法 一是几何方法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解； 二是代数方法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为关于某个(些)变量的函数，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解． 二、范围问题 范围问题的求解策略 解决有关范围问题时，先要恰当地引入变量(如点的坐标、角、斜率等)，其方法有： (1)利用判别式来构造不等式； (2)利用已知参数的取值范围； (3)利用隐含的不等关系； (4)利用已知不等关系构造不等式； (5)利用函数值域的求法． 一、单选题 1．（22-23高三上·广西桂林·阶段练习）已知双曲线的左，右焦点分别为，点在双曲线的右半支上，点，则的最小值为（    ） A． B．4 C．6 D． 2．（2023·全国·模拟预测）已知直线与椭圆交于两点，是椭圆上异于的一点．若椭圆的离心率的取值范围是，则直线，斜率之积的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（2023·山东烟台·二模）已知双曲线C经过点，且与椭圆有公共的焦点，点M为椭圆的上顶点，点P为C上一动点，则（    ） A．双曲线C的离心率为 B． C．当P为C与的交点时， D．的最小值为1 4．（24-25高二上·重庆渝中·阶段练习）已知点是左、右焦点为，的椭圆：上的动点，则（    ） A．若，则的面积为 B．使为直角三角形的点有6个 C．的最大值为 D．若，则的最大、最小值分别为和 三、填空题 5．（23-24高二上·重庆沙坪坝·阶段练习）过椭圆上一动点分别向圆：和圆：作切线，切点分别为，，则的取值范围为 . 6．（22-23高三上·安徽阜阳·期末）已知椭圆 C的焦点为 为 C 上一点满足，则C 的离心率取值范围是 ． 四、解答题 7．（2024·天津·高考真题）已知椭圆的离心率为．左顶点为，下顶点为是线段的中点（O为原点），的面积为． (1)求椭圆的方程． (2)过点C的动直线与椭圆相交于两点．在轴上是否存在点，使得恒成立．若存在，求出点纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由． 8．（22-23高二下·浙江杭州·期末）设抛物线，过焦点的直线与抛物线交于点，.当直线垂直于轴时，.    (1)求抛物线的标准方程. (2)已知点，直线，分别与抛物线交于点，. ①求证：直线过定点； ②求与面积之和的最小值. 【基础保分训练】 一、单选题 1．（2024·江苏泰州·模拟预测）已知F为椭圆的右焦点，P为C上一点，Q为圆上一点，则的最大值为（    ） A．5 B． C． D．6 2．（21-22高二上·陕西西安·期末）已知是双曲线的左焦点，，是双曲线右支上的动点，则的最小值为（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 3．（2023·全国·模拟预测）已知抛物线的焦点为，过点的直线交于两点，为坐标原点，记与的面积分别为和，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（23-24高二上·江西·阶段练习）已知椭圆的左焦点为，点是上任意一点，则的值可能是（    ） A． B．3 C．6 D．8 5．（23-24高二上·全国·课后作业）（多选）设抛物线的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率可以是（　　） A． B． C．1 D．2 6．（21-22高二·江苏·假期作业）已知双曲线：，下列结论正确的是（   ） A．双曲线的渐近线方程为 B．双曲线的焦点到渐近线的距离为 C．与双曲线的渐近线平行的直线与双曲线一定没有交点 D．若直线与双曲线没有交点，则的取值范围为 三、填空题 7．（23-24高二上·重庆沙坪坝·期中）若P是椭圆上一动点，，则的最大值为 ． 8．（2024·全国·模拟预测）已知点是抛物线：上的动点，过点作圆：的切线，切点为，则的最小值为 . 9．（2023·浙江·一模）已知，分别是双曲线的左右焦点，且C上存在点P使得，则a的取值范围是 ． 四、解答题 10．（2022·江苏泰州·模拟预测）已知，是过点的两条互相垂直的直线，且与椭圆相交于A，B两点，与椭圆相交于C，D两点． (1)求直线的斜率k的取值范围； (2)若线段，的中点分别为M，N，证明直线经过一个定点，并求出此定点的坐标． 11．（2022·江苏盐城·三模）已知双曲线：过点，渐近线方程为，直线是双曲线右支的一条切线，且与的渐近线交于A，B两点． (1)求双曲线的方程； (2)设点A，B的中点为M，求点M到y轴的距离的最小值． 12．（2023·全国·模拟预测）已知抛物线的焦点为，直线与交于两点，且当，时，． (1)求抛物线的方程； (2)若，求面积的最小值． 【能力提升训练】 一、单选题 1．（22-23高三上·山西·阶段练习）已知点F为抛物线C：的焦点，过点F作两条互相垂直的直线，，直线与C交于A，B两点，直线与C交于D，E两点，则的最小值为（    ） A．64 B．54 C．50 D．48 2．（2023·河北邯郸·三模）在平面直角坐标系内，已知，，动点满足，则（）的最小值是（    ） A． B．2 C．4 D．16 3．（2023·安徽蚌埠·一模）若椭圆上存在两点到点的距离相等，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（2022·河北唐山·二模）双曲线具有如下光学性质：如图，是双曲线的左、右焦点，从右焦点发出的光线m交双曲线右支于点P，经双曲线反射后，反射光线n的反向延长线过左焦点．若双曲线C的方程为，下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．当n过时，光由所经过的路程为13 C．射线n所在直线的斜率为k，则 D．若，直线PT与C相切，则 5．（23-24高二上·广西南宁·期中）已知椭圆，、分别为它的左右焦点，、分别为它的左、右顶点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（    ） A．点到右焦点的距离的最大值为3，最小值为1 B．的最小值为 C．若为直角三角形，则的面积为 D．的范围为 6．（23-24高二上·江苏扬州·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，点是双曲线的右支上一点，过点的直线与双曲线的两条渐近线分别交于，则（　　） A．的最小值为8 B．为定值 C．若直线与双曲线相切，则点的纵坐标之积为； D．若直线经过，且与双曲线交于另一点，则的最小值为. 三、填空题 7．（2023·辽宁·一模）已知椭圆C：的左、右焦点分别为、，点、在椭圆C上，满足，，若椭圆C的离心率，则实数λ取值范围为 . 8．（21-22高二上·江西抚州·阶段练习）椭圆与双曲线有公共焦点，设椭圆与双曲线在第一象限内交于点，椭圆与双曲线的离心率分别为为坐标原点，，则的取值范围是 . 9．（2022高二上·全国·专题练习）设双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线交双曲线左支于，两点，则的最小值为 ． 四、解答题 10．（2024·天津·高考真题）已知椭圆的离心率为．左顶点为，下顶点为是线段的中点（O为原点），的面积为． (1)求椭圆的方程． (2)过点C的动直线与椭圆相交于两点．在轴上是否存在点，使得恒成立．若存在，求出点纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由． 11．（2023·广西柳州·二模）已知抛物线经过点，过点的直线与抛物线有两个不同交点，且直线交轴于，直线交轴于. (1)求直线斜率的取值范围； (2)证明：存在定点，使得，且. 12．（23-24高三下·江西抚州·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知双曲线经过点，点与点关于原点对称，为上一动点，且异于两点. (1)求的离心率； (2)若△的重心为，点，求的最小值； (3)若△的垂心为，求动点的轨迹方程. 13．（2022·全国·高考真题）设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，． (1)求C的方程； (2)设直线与C的另一个交点分别为A，B，记直线的倾斜角分别为．当取得最大值时，求直线AB的方程． 14．（2024·山东济宁·一模）已知椭圆，直线与椭圆交于A、B两点，为坐标原点，且，，垂足为点． (1)求点的轨迹方程； (2)求面积的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$