精品解析： 河南省南阳市淅川县2024-2025学年九年级上学期期中阶段调研数学试卷

2024年秋期期中九年级阶段性调研 数 学 注意事项： 1．本题卷共8页，三大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案写在答题卡上．答在试题卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是　　 A. B. 且 C. 且 D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用二次根式的定义结合分式有意义的条件得出答案． 【详解】∵代数式有意义，∴x﹣1≥0，且x﹣2≠0， 解得：x≥1且x≠2． 故选B． 【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题的关键． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式的化简，根据二次根式的性质及运算法则逐项判断即可． 【详解】解：A、，故本选项计算错误； B、，故本选项计算错误； C、，故本选项计算错误； D、，故本选项计算正确． 故选：D 3. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根，可得，进而即可求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴． 解得：． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 4. 如图，直线、交于点O，，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理，找到与相关的线段比例关系进行求解．本题主要考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握该定理并能准确找到对应线段的比例关系是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 故选：A． 5. 如图，在中，点，分别在，边上，与不平行，那么下列条件中，不能判断的是 （     ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．由于，则根据相似三角形的判定方法可对各选项进行判断． 【详解】解： 当时，， 当时，， 当时，． 故选：． 6. 若m、n是一元二次方程x2＋3x﹣9＝0的两个根，则的值是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】由于m、n是一元二次方程x2＋3x−9＝0的两个根，根据根与系数的关系可得m＋n=−3，mn=−9，而m是方程的一个根，可得m2＋3m−9=0，即m2＋3m=9，那么m2＋4m＋n=m2＋3m＋m＋n，再把m2＋3m、m＋n的值整体代入计算即可． 【详解】解：∵m、n是一元二次方程x2＋3x−9＝0的两个根， ∴m＋n＝−3，mn＝−9， ∵m是x2＋3x−9＝0的一个根， ∴m2＋3m−9＝0， ∴m2＋3m＝9， ∴m2＋4m＋n＝m2＋3m＋m＋n＝9＋（m＋n）＝9−3＝6． 故选：C． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）两根x1、x2之间的关系：x1＋x2=−，x1•x2=． 7. 某校主教学楼示意图如下，教学楼围出一块长，宽的矩形区域，中间是绿化区域，三面有等宽的道路，矩形区域内三面道路的面积正好与绿化区域的面积相等．设道路的宽度为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，根据“矩形区域内三面道路的面积正好与绿化区域的面积相等”可知：绿化区域的面积矩形区域的面积建立方程，是解决问题的关键． 【详解】解：∵矩形区域内三面道路的面积正好与绿化区域的面积相等， ∴绿化区域的面积矩形区域的面积， 设道路的宽度为，则， 故选：C． 8. 在商场里，为方便一部分残疾人出入，商场特意设计了一种特殊通道“无障碍通道”，如图，线段BC表示无障碍通道，线段AD表示普通扶梯，其中“无障碍通道”BC的坡度（或坡比）为i＝1：2，BC＝12米，CD＝6米，∠D＝30°，（其中点A、B、C、D均在同一平面内）则垂直升降电梯AB的高度约为（　　）米． A. 10 B. 10﹣12 C. 12 D. 10+12 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理，可得CE，BE的长，根据正切函数，可得AE的长，再根据线段的和差，可得答案． 【详解】解：如图，延长AB交DC的延长线于点E， 由BC的坡度（或坡比）为i＝1：2，得BE：CE＝1：2． 设BE＝x，CE＝2x． 在Rt△BCE中，由勾股定理，得BE2+CE2＝BC2， 即x2+（2x）2＝（12）2， 解得x＝12（米）， ∴BE＝12（米），CE＝24（米）， DE＝DC+CE＝6+24＝30（米）， 由tan30°＝，得 ， 解得AE＝10． 由线段的和差，得 AB＝AE﹣BE＝（10﹣12）（米）， 故选：B． 【点睛】此题考查解直角三角形的应用，利用勾股定理得出CE，BE的长是解题关键，又利用了正切函数，线段的和差． 9. 已知直线，且相邻的两条平行直线间的距离均等，将一个含的直角三角板按图示放置，使其三个顶点分别在三条平行线上，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数等知识点．过点A作于D，过点B作于E，根据同角的余角相等求出，然后证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，然后利用勾股定理列式求出，最后利用锐角的正弦等于对边比斜边列式计算即可解答． 【详解】解：如图：过点A作于D，过点B作于E， 设 间的距离为， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在等腰直角中，， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴． 故选：C． 10. 如图，若方格纸中每个小正方形的边长均为1，则阴影部分的面积为（ ） A. 8 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形的面积公式，关键在于证明；证明，求得，再根据三角形的面积关系求得结果． 【详解】设的高为，的高为 由图可得： ∴ ∵ ∴ ∵ 由①②可得： ∴ 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了等式的基本性质，运用等式的基本性质对等式进行变形成为解题的关键． 根据等式的基本性质变形得到x、y的关系、然后代入计算即可． 【详解】解： ， 则． 故答案为：． 12. 如果最简二次根式与是同类二次根式，那么a的值是______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式和同类二次根式，熟记相关概念是解题关键．根据最简二次根式和同类二次根式的定义可得，解方程即可得． 【详解】解：， 而最简二次根式与是同类二次根式， ， 解得：， 故答案为：5． 13. 已知，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据题意得即可求解． 【详解】解：由题意得：，， 解得：， ∴ ∴ 故答案为： 14. 如图所示，在四边形中，，，M为中点，动点P从点B出发沿向终点C运动，连接，，取中点N，连接，求线段的最小值 _____． 【答案】2 【解析】 【分析】过点D作于E，根据垂线段最短得到点P与点E重合时，最小，根据解直角三角形的性质求出，根据三角形中位线定理计算，得到答案． 【详解】解：如图，过点D作于E， 则当点P与点E重合时，最小， 在中，，， ∴， ∵M为中点，N是中点， ∴是的中位线， ∴， ∴线段的最小值为， 故答案为：2． 【点睛】本题考查解直角三角形的性质、垂线段最短，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键． 15. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点D，E为AC，BC上两个动点，若将∠C沿DE折叠，点C的对应点恰好落在AB上，且恰为直角三角形，则此时CD的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】先用勾股定理计算，再利用折叠的性质和相似求出线段的长． 【详解】解：， ， 由折叠可知：， 若， ∥， ， ， ， 解得：， 若， ， ， ， ， 解得： 故答案为或． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，折叠的性质和勾股定理，解题的关键是找出相似三角形，列出比例线段． 三、解答题（共75分） 16. 计算或解方程： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2） （3）， （4）， 【解析】 【分析】本题考查实数的运算，解一元二次方程， （1）根据零指数幂，绝对值的代数意义，特殊角三角函数值，负整数指数幂将原式化简，再进行加减运算即可； （2）第一项先将二次根式化为最简二次根式，再进行分母有理化，第二项根据平方差公式进行运算，最后再合并即可； （3）利用求根公式进行求解即可； （4）将方程右边的项进行移项，然后利用因式分解法求解即可； 掌握相应的运算法则、运算顺序、性质及公式，解一元二次方程的方法是解题的关键． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 ， 此时，，， ∵， ∴， ∴，； 【小问4详解】 ， ， ， ， 或， 解得：，． 17. 先化简，再求值．其中的值是一元二次方程的解． 【答案】， 【解析】 【分析】先根据分式混合运算法则计算，即可化简，再求出方程的根据，然后选择使分式有意义的值代入化简式计算即可． 【详解】解： ， ∵ ∴，， ∵， ∴当时，原式． 【点睛】本题考查分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算法则和解一元二次方程是解题的关键． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、． （1）以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出的一个位似，使它与的相似比为； （2）将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后的，判断与，能否是关于某一点M为位似中心的位似图形？若是，请在图中画出位似中心M，并写出点M的坐标． 【答案】（1） 所作如图所示： （2）是，如图画出， M的坐标为 【解析】 【分析】本题主要考查了作图位似变换，平移变换，熟练掌握位似变换的性质是解题的关键． （1）根据位似变换的性质找出对应点，再顺次连接对应点，即可解题； （2）根据平移变换的性质画出，再根据位似中心的性质求解，即可解题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：与是关于某一点M为位似中心的位似图形，如图，M的坐标为． 19. 综合与实践：小星学习解直角三角形知识后，结合光的折射规律进行了如下综合性学习． 【实验操作】 第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处投射到底部B处，入射光线与水槽内壁的夹角为； 第二步：向水槽注水，水面上升到的中点E处时，停止注水．（直线为法线，为入射光线，为折射光线．） 【测量数据】 如图，点A，B，C，D，E，F，O，N，在同一平面内，测得，，折射角． 【问题解决】 根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题： （1）求的长； （2）求B，D之间的距离（结果精确到0.1cm）． （参考数据：，，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据等腰三角形的性质计算出的值； （2）利用锐角三角函数求出长，然后根据计算即可． 【小问1详解】 解：在中，， ∴， ∴， 【小问2详解】 解：由题可知， ∴， 又∵， ∴， ∴． 20. 已知：平行四边形ABCD的两边AB、BC的长是关于x的方程x2﹣mx+﹣＝0的两个实数根． （1）试说明：无论m取何值方程总有两个实数根 （2）当m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长； （3）若AB的长为2，那么平行四边形ABCD的周长是多少？ 【答案】 （1）证明：∵关于x的方程x2﹣mx+﹣＝0，△＝m2﹣2m+1＝（m﹣1）2 ∵（m﹣1）2≥0 ∴无论m取何值方程总有两个实数根； （2）m＝1，菱形的边长为； （3）平行四边形ABCD的周长为5． 【解析】 【分析】（1）利用根的判别式求出△的符号进而得出答案； （2）利用菱形的性质以及一元二次方程的解法得出答案； （3）将AB＝2代入方程解得m＝，进而得出x的值． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形ABCD是菱形 ∴AB＝BC即（m﹣1）2＝0， ∴m＝1代入方程得： ∴ ∴x1＝x2＝， 即菱形的边长为； （3）解：将AB＝2代入方程x2﹣mx+﹣＝0， 解得：m＝， 将代入方程，x2﹣mx+﹣＝0， 解得：x1＝2，x2＝， 即BC＝， 所以平行四边形ABCD的周长为2+2+＝5． 【点睛】考查了一元二次方程的解法以及菱形的性质和根的判别式等知识，得出m的值是解题关键． 21. 如图，在中，，于D，作于E，F是中点，连接交于点G． （1）求证：； （2）若，，求的值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由，，可得，证明即可； （2）由（1）得，即，如图，连接，则为中位线，，，证明，则，即，求出，可得，即，计算求解即可． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 ∵， ∴，而，， ∴， ∴， 如图，连接， ∵，， ∴D为中点， ∵F为中点， ∴为中位线， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴，即， 解得； ∴的值为． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，中位线定理．熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 22. “我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人． （1）求该市参加健身运动人数的年均增长率； （2）为支持市民的健身运动，市政府决定从公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数． 【答案】（1）该市参加健身运动人数的年均增长率为 （2）购买的这种健身器材的套数为200套 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该市参加健身运动人数的年均增长率为，根据从2021年的32万人增加到2023年的50万人，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设购买的这种健身器材的套数为套，根据市政府向该公司支付货款24万元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【小问1详解】 解：设该市参加健身运动人数的年均增长率为， 由题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：该市参加健身运动人数的年均增长率为； 【小问2详解】 解：∵元， ∴购买的这种健身器材的套数大于100套， 设购买的这种健身器材的套数为套， 由题意得：， 整理得：， 解得：， 当时，售价元（不符合题意，故舍去）， 答：购买的这种健身器材的套数为200套． 23. 小明在学习角平分线知识的过程中，做了进一步探究：如图1，在中，的平分线交于点， 发现．小明想通过证明来验证这个结论．证明：延长至，使得， 请你完成上述证明过程： 结论应用 已知在中，，，边上有一动点，连结，点关于的对称点为点，连结交于点． （1）请你完成发现中的证明过程； （2）如图2当，，求的值； （3）如图3当，与的边垂直时，求的值． 【答案】（1）见解析 （2）2 （3）或或1 【解析】 【分析】（1）延长至，使得，连接，可推出，从而，从而推出，进一步得出结论； （2）可推出平分，从而得出； （3）分为三种情形：当时，由（1）知：，当时，作于，不妨设，则，，，从而得出，当时，可得出． 【小问1详解】 证明：如图1， 延长至，使得，连接， ， ， 平分， ， ， ∴， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ， 点关于的对称点为点， 平分， ； 【小问3详解】 解：如图2， 当时， ， 由（1）知：， 如图3， 当时， 作于， 不妨设，则， ，， ， 如图4， 当时， 可得， ， 综上所述：或或1． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，角平分线的定义，解直角三角形，平行线分线段成比例定理等知识，解决问题的关键是分类讨论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋期期中九年级阶段性调研 数 学 注意事项： 1．本题卷共8页，三大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案写在答题卡上．答在试题卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是　　 A. B. 且 C. 且 D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 9 4. 如图，直线、交于点O，，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，点，分别在，边上，与不平行，那么下列条件中，不能判断的是 （     ） A. B. C. D. 6. 若m、n是一元二次方程x2＋3x﹣9＝0的两个根，则的值是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 12 7. 某校主教学楼示意图如下，教学楼围出一块长，宽的矩形区域，中间是绿化区域，三面有等宽的道路，矩形区域内三面道路的面积正好与绿化区域的面积相等．设道路的宽度为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 在商场里，为方便一部分残疾人出入，商场特意设计了一种特殊通道“无障碍通道”，如图，线段BC表示无障碍通道，线段AD表示普通扶梯，其中“无障碍通道”BC的坡度（或坡比）为i＝1：2，BC＝12米，CD＝6米，∠D＝30°，（其中点A、B、C、D均在同一平面内）则垂直升降电梯AB的高度约为（　　）米． A. 10 B. 10﹣12 C. 12 D. 10+12 9. 已知直线，且相邻的两条平行直线间的距离均等，将一个含的直角三角板按图示放置，使其三个顶点分别在三条平行线上，则的值是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，若方格纸中每个小正方形的边长均为1，则阴影部分的面积为（ ） A. 8 B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若，则______． 12. 如果最简二次根式与是同类二次根式，那么a的值是______． 13. 已知，则________． 14. 如图所示，在四边形中，，，M为中点，动点P从点B出发沿向终点C运动，连接，，取中点N，连接，求线段的最小值 _____． 15. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点D，E为AC，BC上两个动点，若将∠C沿DE折叠，点C的对应点恰好落在AB上，且恰为直角三角形，则此时CD的长为___________． 三、解答题（共75分） 16. 计算或解方程： （1） （2） （3） （4） 17. 先化简，再求值．其中的值是一元二次方程的解． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、． （1）以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出的一个位似，使它与的相似比为； （2）将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后的，判断与，能否是关于某一点M为位似中心的位似图形？若是，请在图中画出位似中心M，并写出点M的坐标． 19. 综合与实践：小星学习解直角三角形知识后，结合光的折射规律进行了如下综合性学习． 【实验操作】 第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处投射到底部B处，入射光线与水槽内壁的夹角为； 第二步：向水槽注水，水面上升到的中点E处时，停止注水．（直线为法线，为入射光线，为折射光线．） 【测量数据】 如图，点A，B，C，D，E，F，O，N，在同一平面内，测得，，折射角． 【问题解决】 根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题： （1）求的长； （2）求B，D之间的距离（结果精确到0.1cm）． （参考数据：，，） 20. 已知：平行四边形ABCD的两边AB、BC的长是关于x的方程x2﹣mx+﹣＝0的两个实数根． （1）试说明：无论m取何值方程总有两个实数根 （2）当m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长； （3）若AB的长为2，那么平行四边形ABCD的周长是多少？ 21. 如图，在中，，于D，作于E，F是中点，连接交于点G． （1）求证：； （2）若，，求的值． 22. “我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人． （1）求该市参加健身运动人数的年均增长率； （2）为支持市民的健身运动，市政府决定从公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数． 23. 小明在学习角平分线知识的过程中，做了进一步探究：如图1，在中，的平分线交于点， 发现．小明想通过证明来验证这个结论．证明：延长至，使得， 请你完成上述证明过程： 结论应用 已知在中，，，边上有一动点，连结，点关于的对称点为点，连结交于点． （1）请你完成发现中的证明过程； （2）如图2当，，求的值； （3）如图3当，与的边垂直时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $