福建省泉州市第七中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题

泉州七中2024-2025学年上学期高二年期中考数学试卷 考试时间120分钟 满分150分 (友情提示:请将所有答案填写到答题卡上!请不要错位、越界答题) 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 1. 在直角坐标系xOy中,在y轴上截距为-1且倾斜角为3-的直线方程为( A. x+y+1-0 B.x+y-1-0 C. x-y+I-o D. x-y-1-0 2. 如图,在三校柱4BC-A.BC中,E、F分别是BC、CC.的中点,G为AABC的重心,则GF- A.12c^1 B.-c c.-2{-n D.-2u 3. 两条直线l:ax+(1+a)y=3,:ax+(4-2a)y=2.若/,则a的值是( ) A.0 B.1 C.1或0 D.0或一1 A. 25 B.3 C. D.4 5. 已知点A(-1.,3),B(3.1),直线I:y=mx-2与线段AB有公共点,则实数m的取值范围为( ) A.(-o0-5][1,+) B. [-5.1] C.(--1][5.+) D. [-15] 6. P是枫四1上一点,F,F.分别是圆的左、有焦点,若PPE-一12,则乙FPFE的大 2169 小为( ) B.30 A.60* C. 120* D. 150 7. 如图,在四面体ABCD中,D41平面ABC。CA1CB,C4-CB-AD,E为AB的中点,F为DB上 靠近B的三等分点,则直线DE与CF所成角的余弦值为( ) C. D. 8. 已知点M是圆x*+y-1上的动点,点是圆(x-5)+(y-2)-16上的动点,点P在直线 x+y+5=0上运动,则 PM+lPM的最小值为 B. 149+5 C. 139-5 A. 139+5 D. 149-5 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符 合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。 9.下列说法正确的是() A. 直线ring-y+1-0的倾斜角的取值范图为[0.-][ B. 直线l:dx+y-3-0(eR)恒过定点(3,0) C. 圆C.:x2+-4=0与圆C:x2+-6x-8y+9=0的公共弦所在直线方程为: 6x+8y-13-0 D. 圆x}+y2-4上有且仅有1个点到直线/:x-y+2-0的距离等于1 10. 下列说法命题正确的是( ) A. 已知ā=(0.1,1).5-(0.0,-1):则a在5上的投影向量为(0,0,1) B. 若直线/的方向向量为-(1.3).,平面g的法向量为i--2.0.2),则1/ C. 已知三校锥O-ABC,点P为平面ABC上的一点,且OP-!O4+mOB-nOC(n.meR),则 D. 若向量=m++。(x,是不共面的向量)则称在基底{x.下的坐标为(m,n.k),若 万在基底(a.6.2)下的坐标为(12,3),则在基底(-6.a+6.2.下的坐标为(--3) 11. 如图,点P是校长为2的正方体ABCD-4B.C.D.的表面上一个动点,则( ) # A. 当P在平面BCC.B.上运动时,三校锥P-A4.D的体积为定值4 C. 若F是4.B的中点,当P在底面ABCD上运动,且满足PF//平面B.CD.时, PF长度的最小值是、5 D. 使直线AP与平面ABCD所成的角为45*的点P的轨迹长度为n+4 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。 12. 已知方程mx2+(2m-1)y2=1表示焦点在y轴上的圆,则m的取值范围是 13. 如图,已知二面角a-l-B的大小为60”,Aea,BeB,C,Del, AC11,BD1I且AC=BD-2,CD=4.则AB=_. 14. 我国著名数学家华罗庚说过:“数缺形时少直观,形少数时难入微.”事实 上,很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.如:若实数x,y满足x2+y2-6x+6=0,则x-y的 1x+5y-11 最小值为__ x-2x+1 的最大值为 四、解答题:本题共5小题,共77分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(本小题13分)已知△ABC项点A(1,2)、B(-3,-1) C(3,-3). (1)求边BC上的高所在直线的方程 (2)若直线/过点A:且/的纵截距是横截距的2倍,求直线/的方程 16.(本小题15分)如图,在五面体ABCDEF中,四边形ABCD是矩形, 平面 ADE1平面ABCD,AB=2AD-2EF=4,AE-DE-2. (1)求证:AB//FF; (2)求直线AE与平面BCF所成角的正弦值 17.(本小题15分)已知圆C过M(-1.3),N(1.1)两点,且圆心0在直线2x+y-5-0上 (1)求圆C的方程; (2)设直线y=kx+3与圆C交于A、B两点,在直线y-3上是否存在定点D,使得直线AD、BD的倾斜角 互补?若存在,求出点D的坐标;若不存在,说明理由 18.(本小题17分)如图,在三校柱ABC-A.B.C.中,底面是边长为2的等边三角形.CC.-2.D,E分别 是线段AC.CC.的中点,C.在平面ABC内的射影为D (1)求证:4.C1平面BDE (2)若点F为梭B.C的中点,求点F到平面BDE的距离 (3)若点F为线段B.C.上的动点(不包括端点),求锐二面角F一BD-E的余弦值的取值范围 19.(本小题17分)古希腊亚历山大时期最后一位重要的几何学家帕普斯(Pappus,公元3世纪末)在其 代表作《数学汇编》中研究了“三线轨迹”问题:平面上,到两条已知直线距离的乘积是到第三条直线 距离的平方的k倍的动点轨迹为二次曲线(在平面上,由二元二次方程所表示的曲线,叫做二次曲线).常 数火的大小和直线的位置等决定了曲线的形状.为了研究方便,我们设平面内三条给定的直线为 1$(i=1,2.3),当三条直线中有相交直线时,记l.=A,.=B,4.=C,动点P到直线4的$$ 距离为d.(i-1.2.3),且满足d.d.-k;阅读上述材料,完成下列问题 (1)当1./.,14时,若k=1,且.与,的距离为2,点P在.与之间运动时,求动点P的轨迹所 围成的面积. (2)若ABC是等腰直角三角形,乙BAC是直角,点P在乙BAC内(包括两边)运动,试探求k为何值 时,P的轨迹是圆? (3)若。ABC是等腰三角形,AB=AC,点P在乙BAC内(包括两边)任意运动,当k-1时,问在此等 明理由 泉州七中2024-2025学年上学期高二年期中考数学试卷参考答案 12.1)13. 25 14. 3-6 8.【解】由题意可知:圆x+y”-1的圆心为o(0.0).半径=1.(x-5)+(y-2)^{=16的心A(5.2). 半径r”=4.则PM PO-1.PMP-4.即|PM+lPMPO+P-5 ,解得a-b--5,即 B(-5,-5).因为\PO=PB,则$M+lPM\PB+lPA-5 AB-5=49-5,所以 PPM+PM的最小值为149-5.故选:D. 11.【解】对于A:△AA.D的面积不变,点P到平面44.DD的距离为正方体校长。 对于B:以D为原点,DA.DC.DD.所在的直线分别为x轴、y轴和2轴,建立空间直角坐标系,可得 4(2.0.2)D(0.0.2).C(0.2.2).设P(x.2-x0).0<x$2. 则DP=(x.2-x,-2).4C=(-2.2.0). DP4C 寻. 设直线D.P与AC.所成角为e.则cosθ=cosD.P.4C)- 当o{-1ls1时, (x-1)+3 ,所以B正确; 对于C. 由B(2.2.2).D(0.0.2).C(0.2.0).F(2.1.2),设P(m,n.0),0<m52.0<n52.则 CB=(2.0.2).CD=(0.-2.2).FP=(m-2.n-1,-2) [n.CD--2b+2c-0 设平面CB.D的一个法向量为i-(a.b.c).则 lnCB=2a+2c=o' 取a-1.可得b--1.c=-1,所以n-0.-1.-1). 因为PF//平面B.CD,所以FP.n=(m-2)-(n-1+2=0,可得n-m+1. 所以FP-(m-2)+(n-1)+4-2m-4m+8-2(m-1)+66. 当m=1时,等号成立,所以C错误. 对于D:因为直线AP与平面ABCD所成的角为45,由441平面ABCD,得直线AP与44所成的角为45, 若点P在平面DCC.D.和平面BCCB.内,因为乙B.4B=45.2D4D-45,故不成立: 在平面ADDA内,点P的轨迹是AD=2V:在平面ABB、4内,点P的轨迹是AB=2$: 在平面AB.C.D时,作PM1平面ABCD,如图所示,因为ZPAM-45,所以PM=AM, 又因为PM=AB.所以AM=AB.所以4P=AB,所以点P的轨迹是以4.点为圆心,以2 为半径的四分之一圆,所以点P的轨迹的长度为-x2x2=x,综上,点P的轨迹的总长度 为t+42,所以D正确:故选:ABD. 14.【解】得(x-3){+-3,令x+y=1,则直线x+y=/与(x-3){}+2=3有公共点, 所以圆心到直线x+y=1的距离为d- #{+y-,y可以看作 -21 1+3) (x-1)+y) 1Vy-1 点(x.y)到直线x+3y-1-0的距离与它到41.0距离比值的2倍,设过点A1,0的直 #x-2x+1 [y=k(x-1) (x-~3)+-3 -的最大值为2. 故答案为:3-6:2. 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 -3-(-1)1 所以其垂直斜率满足k一kc=-1,即k.=3,.....4 所以边BC的高所在直线的方程为y-(2)=3(x-1),即3x-y-1-0:...-6 当直线1不过坐标原点时,由题意设直线方程为-1,.3 a 2a {-2a 所以直线/方程为1,即2x+y-4-0,.-6 24 综上所述,直线/的方程为y=2x或2x+y-4-0...-7 16. 【解】(1)因为四边形ABCD为矩形,所以AB//CD, 又AB平面CDEF。CDC平面CDEF,所以AB//平面CDEF,...3 又平面ABEFo平面CDEF-EF,ABC平面ABEF,所以ABIIEF:.....5 (2)取AD的中点O,BC的中点M,连接OE,OM. 则OM1AD,由AE=DE=$,得OE1AD,HOE-1. 因为平面ADE1平面ABCD,平面ADE1平面ABCD=AD. OE一平面ADE,所以OE1平面ABCD. .....2 由OMC平面ABCD,得OE1OM,建立如图空间直角坐标系O-xyz. O(0.0.0) 40.0.0). B0.4.0) C(-1,4.0) E(0,0,1) F(0.2.1) ...3 则AE=(-1.0.1).BC=(-2.0.0).BF=(-1,-2.1),设i-(x.y.2)为平面BCF的一个法向量, [n.BC--2x-0 令y=1,得x=0,z=2,所以in-(0.1.2)....-6 0.所以直线AE与平面BCF所成角的正弦值为10 2 ....10 5 17.【解】(1)由题意得MN的中点E的坐标为(0.2),直线MN的斜率为-1. 因为CE1MN.所以直线CE的斜率为1. 所以直线CE的方程为y-2=X.即y=x+2,....-2 1=r+2 [r=1 解方程组{ $1=3. .C(t.3) ...4 所以圆C的半径r=[(M(}-(1+)+(3-3)=2,所以园C的方程为(x-1) +(y-3)^}=4..6 v=r+3 (2)由{ (1-1)(y~3) 去y整理得(1+)x-2x-3-0,.2 设D(13),则--3.kn--3 (ko.k。分别为直线AD,BD的斜率). x-1' 2-7 因为直线AD,BD的倾斜角互补,所以k+k=0,.....6 即凸-3--0. 即(y-3)(×-1)+(v-3)(x-1)-0. X-1 -f 即2h-(+)-0.将()式代入得62 整理得(13) 故点D的坐标为(-3.3). 所以在直线y=3上存在定点D(-3,3)满足条件 ...-9 18.【解】(1)连接AC.因为△ABC为等边三角形,D为AC中点,则BD1AC. 由题意可知平面ACCA1平面ABC,平面ACC4.O平面ABC=AC,BDc平面ABC, 所以BD平面A4.CC......1 则4C平面44.C.C.可得BD1A.C. ....-2 由题设知四边形A4.C.C为菱形,则AC1AC....3 因为D.E分别为AC,CC.中点,则DE/AC,可得4AC1.DE,....4 且BDODE=D.BD.DE-平面BDE.所以4.C1.平面BDE...5 (2)C.在平面ABC内的射影为D,所以C.D1.平面ABC,由题设知四边形A4.C.C为菱形,D是线段AC的中 点,△ACC为正三角形,由BD一平面ABC,AC一平面ABC,可得C.D1BD,C.D1AC. 又因为AABC为等边三角形,D为AC中点,所以BD1AC,则以D为坐标原点,DB,DA.DC.所在直线为 X. y.2辅,可建立如图所示空间直角坐标系,......1 则D(080). n(.0). (.-10) (.、). (-).B(5.).(.2). #}. .得-(0D)0... [m.DB-5x-0 设平面BDE的一个法向量为m-(x,y,z),则{ 令2-1,则x=0. y-.可得m=(0.、V3.1)....-4 所以点F到平面BDE的距离为- m (3)因为CB-(5.1.o).C4-(0.3.) 设F(×,y,2),CF=aCB(0<<1).则(x.y,z-)-(5a.A.0). 可得x-..-,即F(a.A).可得DF-(a,A3).....1 由(2)知:平面BDE的一个法向量m-(0,5,1) [in.DB-3a-0 设平面FBD的法向量n=(a.b.c).则{ l DF-3a+db+3-o”' 令b=.则a=0,c=- ,可得n-(0,5.- )。..3 令3-&-1e(2.3). 因为#(),),得o(^-n(# 19.解:(注意不同建系)(1)以4为y轴,为x轴,建立平面直角坐标系,1.:x=2,....1 设P(x.y),因为P在/,之间,所以d,=x,d.=2-x,d,-yl,..- 由定义得dd=d},所以x(2-x)=y}.化简得(x-1)+y=1,...4 表示以(1.0)为圆心,1为半径的圆:所以动点P的轨迹围成的图形面积S=r^?=死:....5 (2)以A为坐标原点,为y轴,.为x轴,建立平面直角坐标系.设:x+y-c=0(c>0),......1 2 化简整理:b+h+(2k-2)xy-2kcx-2key+ke*=0①. 当k=1时,方程①没有xy项,此时方程①为:+y-2cx-2cy+c2-0....4 即(x-c)+(y-c)=c^2,此方程表示圆心为(c,c),半径为c的圆,所以当k=1时,P的轨迹是圆......5 (3)以4为坐标原点,乙CAB的角平分线为x轴,建立平面直角坐标系, 设:y=t,:y=-tx(t>0).1.:x=a(a>0),点P(x,y),...1 R+1 .-x:-al. 因为P在乙CAB内部,所以x-y>0,得d.-_y ...4 #24. a(t+1)(2x-a) 由②得:+-2a(t+1)-^'(+1),代入③P-, PD"2(ar”+a-m)x-la'(+)-m]' PD ,