专题2.1 函数的解析式与定义域、值域【八大题型】（讲义）-2025年高考数学二轮复习【举一反三】专练（新高考专用）

专题2.1 函数的解析式与定义域、值域【八大题型】 【新高考专用】 1、函数的解析式与定义域、值域 函数的解析式与定义域、值域问题是高考数学的重点、热点内容。函数问题定义域优先，在解答函数问题时首先要考虑定义域；函数的解析式在高考中较少单独考查，多在解答题中出现；函数的值域在整个高考范畴应用的非常广泛，例如恒成立问题、有解问题、实际应用问题、基本不等式问题、向量的最值问题、解析几何的函数性研究问题等；常常需要转化为求最值问题。在高考二轮复习过程中，在熟练掌握函数基础知识和基本解题方法的同时，也要加强训练综合性较强的题目. 【知识点1 函数的定义域的求法】 1．求给定解析式的函数定义域的方法 求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义. 2．求抽象函数定义域的方法 (1)若已知函数f(x)的定义域为[a,b]，则复合函数f[g(x)]的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出. (2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a,b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]上的值域. 【知识点2 函数解析式的四种求法】 1．函数解析式的四种求法 (1)配凑法：由已知条件f(g(x))=F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式. (2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法来求解. (3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围. (4)方程思想：已知关于f(x)与或f(-x)等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x). 【知识点3 求函数值域的一般方法】 1．求函数值域的一般方法 (1)分离常数法； (2)反解法； (3)配方法； (4)不等式法； (5)单调性法； (6)换元法； (7)数形结合法； (8)导数法. 【题型1 具体函数的定义域的求解】 【例1】（2024·山东·一模）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2024·湖南岳阳·模拟预测）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24高一上·江西南昌·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（      ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25高一上·山西·期中）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【题型2 抽象函数、复合函数的定义域的求解】 【例2】（2024·江苏镇江·模拟预测）若函数的定义域为，则的定义域为（     ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2024·江西九江·模拟预测）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2024·河北衡水·模拟预测）已知函数的定义域为，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（24-25高一上·山西·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【题型3 已知函数定义域求参数】 【例3】（24-25高一上·四川成都·期中）函数的定义域为，则（    ） A．2 B．－2 C．－1 D．1 【变式3-1】（23-24高一上·江西宜春·阶段练习）已知函数的定义域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）已知函数． （1）若的定义域为，求实数的值； （2）若的定义域为，求实数的取值范围． 【变式3-3】（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）已知函数 (1)若，求实数m及； (2)若，求的定义域； (3)若的定义域为，求实数m的取值范围. 【题型4 已知函数类型求解析式】 【例4】（24-25高一上·河南驻马店·阶段练习）设为一次函数，且．若，则的解析式为（    ） A．或 B． C． D． 【变式4-1】（23-24高一上·云南·期中）若函数，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（23-24高一上·云南昭通·阶段练习）（1）若二次函数满足，且图象过原点，求的解析式; （2）已知是一次函数，且满足，求的解析式. 【变式4-3】（24-25高一上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）已知函数是一次函数，且满足. (1)求的解析式； (2)在（1）的条件下，求函数的解析式，并求的值. 【题型5 已知f(g(x))求解析式】 【例5】（2024·重庆·模拟预测）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25高一上·江西·阶段练习）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25高三上·黑龙江佳木斯·开学考试）求下列函数解析式 (1)函数满足， 求函数的解析式; (2)函数满足，求函数的解析式. 【变式5-3】（23-24高一上·安徽蚌埠·期中）求下列函数的解析式： (1)已知，求； (2)已知，求； (3)已知是一次函数，且，求； (4)定义在区间上的函数满足，求的解析式． 【题型6 函数值域的求解】 【例6】（2024·北京怀柔·模拟预测）已知函数，则对任意实数x，函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（23-24高一上·浙江·阶段练习）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（23-24高一上·江苏常州·期中）下列函数中，值域为的是（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（24-25高一上·湖南·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【题型7 根据函数的值域或最值求参数】 【例7】（23-24高一下·广东梅州·期中）已知函数在上的值域为，则（    ） A．4 B．5 C．8 D．10 【变式7-1】（23-24高一上·四川广安·期中）若函数的值域为，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（23-24高一上·重庆南岸·阶段练习）（1）已知函数的定义域为R，求实数的取值范围； （2）的值域为，求实数的取值范围． 【变式7-3】（23-24高一上·浙江嘉兴·阶段练习）已知． (1)若时，求的值域； (2)函数，若函数的值域为，求a的取值范围． 【题型8 分段函数及其应用】 【例8】（24-25高一上·河南·阶段练习）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（24-25高一上·河北廊坊·阶段练习）已知函数，且，则等于（   ） A．-3 B．-1 C．1 D．3 【变式8-2】（2024·吉林长春·模拟预测）已知函数，，当时，，的值分别为（    ） A．1，0 B．0，0 C．1，1 D．0，1 【变式8-3】（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知函数若当时，，则的最大值是（   ） A．4 B．3 C．7 D．5 1．（2024·广东江苏·高考真题）已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2022·北京·高考真题）函数的定义域是 ． 3．（2022·浙江·高考真题）已知函数则 ；若当时，，则的最大值是 ． 4．（2024·上海·高考真题）已知则 ． 5．（2024·上海·高考真题）已知，求的的取值范围 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.1 函数的解析式与定义域、值域【八大题型】 【新高考专用】 1、函数的解析式与定义域、值域 函数的解析式与定义域、值域问题是高考数学的重点、热点内容。函数问题定义域优先，在解答函数问题时首先要考虑定义域；函数的解析式在高考中较少单独考查，多在解答题中出现；函数的值域在整个高考范畴应用的非常广泛，例如恒成立问题、有解问题、实际应用问题、基本不等式问题、向量的最值问题、解析几何的函数性研究问题等；常常需要转化为求最值问题。在高考二轮复习过程中，在熟练掌握函数基础知识和基本解题方法的同时，也要加强训练综合性较强的题目. 【知识点1 函数的定义域的求法】 1．求给定解析式的函数定义域的方法 求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义. 2．求抽象函数定义域的方法 (1)若已知函数f(x)的定义域为[a,b]，则复合函数f[g(x)]的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出. (2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a,b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]上的值域. 【知识点2 函数解析式的四种求法】 1．函数解析式的四种求法 (1)配凑法：由已知条件f(g(x))=F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式. (2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法来求解. (3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围. (4)方程思想：已知关于f(x)与或f(-x)等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x). 【知识点3 求函数值域的一般方法】 1．求函数值域的一般方法 (1)分离常数法； (2)反解法； (3)配方法； (4)不等式法； (5)单调性法； (6)换元法； (7)数形结合法； (8)导数法. 【题型1 具体函数的定义域的求解】 【例1】（2024·山东·一模）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先由函数有意义得，解该不等式即可得解. 【解答过程】要使函数有意义，则，即， 所以或，解得或， 所以函数的定义域为. 故选：D. 【变式1-1】（2024·湖南岳阳·模拟预测）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据开偶数次方根号里的数大于等于零即可得解. 【解答过程】由， 得，解得， 所以函数的定义域是. 故选：B. 【变式1-2】（23-24高一上·江西南昌·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（      ） A． B． C． D． 【解题思路】先由函数的定义域求出的定义域，再由可得答案. 【解答过程】因为函数的定义域为，所以满足，即， 又函数有意义，得，解得， 所以函数的定义域为. 故选：C. 【变式1-3】（24-25高一上·山西·期中）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】由即可求解. 【解答过程】要使函数有意义，必须满足，解得， 所以函数的定义域为. 故选：B. 【题型2 抽象函数、复合函数的定义域的求解】 【例2】（2024·江苏镇江·模拟预测）若函数的定义域为，则的定义域为（     ） A． B． C． D． 【解题思路】利用抽象函数定义域的求解原则可求出函数的定义域，对于函数，可列出关于的不等式组，由此可得出函数的定义域. 【解答过程】因为函数的定义域为，则，可得， 所以，函数的定义域为， 对于函数，则有，解得， 因此，函数的定义域为. 故选：C. 【变式2-1】（2024·江西九江·模拟预测）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由题可知解即可得答案. 【解答过程】解：因为函数的定义域为， 所以，，即，解得， 所以，函数的定义域为 故选：C. 【变式2-2】（2024·河北衡水·模拟预测）已知函数的定义域为，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据给定条件，利用函数有意义并结合复合函数的意义列出不等式组，求解不等式组作答. 【解答过程】因为函数的定义域为，又函数有意义， 则有，解得或， 所以函数的定义域是. 故选：C. 【变式2-3】（24-25高一上·山西·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据抽象函数求定义域的方法计算即可. 【解答过程】因为的定义域为，所以在中，，则， 则在中，，则． 又，所以的定义域为． 故选：B. 【题型3 已知函数定义域求参数】 【例3】（24-25高一上·四川成都·期中）函数的定义域为，则（    ） A．2 B．－2 C．－1 D．1 【解题思路】根据定义域知不等式的解集，再由不等式解集得出对应方程的根，即可得解. 【解答过程】因为的定义域为， 所以的解集为， 得 ，解得，，故. 故选：A． 【变式3-1】（23-24高一上·江西宜春·阶段练习）已知函数的定义域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】将问题转化为不等式恒成立问题，分类讨论与两种情况，结合根的判别式得到不等式，从而得解. 【解答过程】因为的定义域为， 所以不等式对任意的恒成立， 当时，恒成立，满足题意； 当时，则，解得； 综上，，即的取值范围是. 故选：D. 【变式3-2】（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）已知函数． （1）若的定义域为，求实数的值； （2）若的定义域为，求实数的取值范围． 【解题思路】（1）根据题意，由二次型不等式的解集，即可求得参数的取值； （2）根据题意，不等式在上恒成立，即可求得参数范围. 【解答过程】（1）的定义域为，即的解集为， 故， 解得； （2）的定义域为，即恒成立， 当时，，经检验满足条件； 当时，解得， 综上，． 【变式3-3】（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）已知函数 (1)若，求实数m及； (2)若，求的定义域； (3)若的定义域为，求实数m的取值范围. 【解题思路】（1）根据求出m的值，然后即可求出的值； （2）根据可得出的解析式，让解析式有意义即可求出的定义域； （3）根据的定义域可得出的最小值，从而得出m的范围. 【解答过程】（1），解得，所以，则， 所以； （2）当时，，要使有意义，则， 解得，所以的定义域为； （3）因为的定义域为， 所以在上恒成立， 所以的最小值，解得， 所以m的取值范围为. 【题型4 已知函数类型求解析式】 【例4】（24-25高一上·河南驻马店·阶段练习）设为一次函数，且．若，则的解析式为（    ） A．或 B． C． D． 【解题思路】设，根据已知条件可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，再结合可得出、的值，即可得出函数的解析式. 【解答过程】设，其中，则， 所以，，解得或. 当时，，此时，合乎题意； 当时，，此时，不合乎题意. 综上所述，. 故选：B. 【变式4-1】（23-24高一上·云南·期中）若函数，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据已知条件代入直接求解解析式即可. 【解答过程】因为，所以，，，. 故选：A. 【变式4-2】（23-24高一上·云南昭通·阶段练习）（1）若二次函数满足，且图象过原点，求的解析式; （2）已知是一次函数，且满足，求的解析式. 【解题思路】（1）根据待定系数法即可求解， （2）根据待定系数法即可求解. 【解答过程】解：（1）设 , , 且图象过原点, 解得 （2）设 ， 则, , 即 不论为何值都成立, 解得 . 【变式4-3】（24-25高一上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）已知函数是一次函数，且满足. (1)求的解析式； (2)在（1）的条件下，求函数的解析式，并求的值. 【解题思路】（1）利用待定系数法，结合题目中的函数类型以及所满足的等式，可得答案； （2）将（1）的答案代入题目中的等式，可得答案. 【解答过程】（1）由题意可设，代入， 则，整理可得，解得， 所以. （2）由，则； 由，则. 【题型5 已知f(g(x))求解析式】 【例5】（2024·重庆·模拟预测）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用换元法令求解析式即可． 【解答过程】令，则，且，则， 可得， 所以. 故选：B. 【变式5-1】（24-25高一上·江西·阶段练习）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】用换元法，令，解出，代入解析式，即可得到答案. 【解答过程】令，所以， 结合，得， 所以： 即. 故选：D. 【变式5-2】（24-25高三上·黑龙江佳木斯·开学考试）求下列函数解析式 (1)函数满足， 求函数的解析式; (2)函数满足，求函数的解析式. 【解题思路】（1）令，用换元法进行求解； （2）用替换的，得到，与原式组成方程组，解方程组即可得到的解析式. 【解答过程】（1）令，则(R)，又， 所以， 所以函数的解析式为. （2）∵， ∴用替换上式中的，得到， 解方程组，得. 【变式5-3】（23-24高一上·安徽蚌埠·期中）求下列函数的解析式： (1)已知，求； (2)已知，求； (3)已知是一次函数，且，求； (4)定义在区间上的函数满足，求的解析式． 【解题思路】（1）利用配凑法求解即可； （1）利用配凑法或换元法求解即可； （3）利用待定系数法求解即可； （4）利用方程组法求解即可. 【解答过程】（1）因为， 所以． （2）解法一（换元法）：令，，则， 所以， 所以． 解法二（配凑法）：， 因为，所以． （3）设， 则， 所以，解得或， 所以或． （4）对任意的有， 由，① 得，② 联立①②解得，． 【题型6 函数值域的求解】 【例6】（2024·北京怀柔·模拟预测）已知函数，则对任意实数x，函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据给定条件，利用不等式的性质求出函数值域得解. 【解答过程】依题意，， 显然，则，于是， 所以函数的值域是. 故选：C. 【变式6-1】（23-24高一上·浙江·阶段练习）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】分离参数后，利用二次函数的性质求解最值，即可结合不等式的性质求解. 【解答过程】由可得， 由于函数，所以， 故， 故选：B. 【变式6-2】（23-24高一上·江苏常州·期中）下列函数中，值域为的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据定义域即可直接求得值域进行判断. 【解答过程】由已知值域为，故A错误 因为定义域为， 值域为，故B正确. ，，，所以，故C错误. ，，所以，故D错误. 故选：B. 【变式6-3】（24-25高一上·湖南·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】当时，由换元法结合二次函数的值域即可得到结果，当时，由基本不等式即可得到其值域. 【解答过程】根据题意，当时，，令，可得， 所以，因此可得， 由二次函数性质可得，当时，取得最大值， 此时 ； 当时，，当且仅当，即时，等号成立； 所以的最小值为20，因此； 综上可得，函数的值域为. 故选：A. 【题型7 根据函数的值域或最值求参数】 【例7】（23-24高一下·广东梅州·期中）已知函数在上的值域为，则（    ） A．4 B．5 C．8 D．10 【解题思路】首先利用二次函数最值求出，则得到其单调性，则，代入计算即可. 【解答过程】的对称轴为，则，解得， 则在上单调递增， 所以，即， 所以，为方程的两个根， 即为方程的两个根，所以. 故选：D. 【变式7-1】（23-24高一上·四川广安·期中）若函数的值域为，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意由二次函数值域利用判别式即可求得实数m的取值范围. 【解答过程】因为函数的值域为， 所以能取遍所有大于或等于零的实数， 即方程在实数范围内有解． 所以，解得． 故选：B． 【变式7-2】（23-24高一上·重庆南岸·阶段练习）（1）已知函数的定义域为R，求实数的取值范围； （2）的值域为，求实数的取值范围． 【解题思路】（1）由题意可知：在上恒成立，分和两种情况，结合判别式运算求解； （2）由题意可知：的值域包含，分和两种情况，结合二次函数运算求解. 【解答过程】（1）由题意可知：在上恒成立， 当，即时，，即，不合题意； 当，即时，，解得， 综上所述：的取值范围是； （2）由题意可知：的值域包含， 当时，，因为，可得， 所以的值域为，符合题意； 当时，则，解得， 综上所述：实数的取值范围是． 【变式7-3】（23-24高一上·浙江嘉兴·阶段练习）已知． (1)若时，求的值域； (2)函数，若函数的值域为，求a的取值范围． 【解题思路】（1）根据函数解析式，采用分离常数项的方法，结合不等式性质，可得答案； （2）根据二次根式的定义，结合二次函数的性质，可得答案. 【解答过程】（1）由，则， 由不等式性质，则，，，，， 故，即的值域为. （2）由题意，， 由函数的值域为，则有解且无最大值， 当时，符合题意； 当时，根据二次函数的性质，可得， 其中，，，，解得或， 综上，故. 【题型8 分段函数及其应用】 【例8】（24-25高一上·河南·阶段练习）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由分段函数解析式，利用换元法可求得时函数的值域为，再由基本不等式可求得当时，函数的值域为，即可得出结论. 【解答过程】根据题意当时，， 令，可得，所以，因此可得； 由二次函数性质可得当，即时，取得最大值， 此时的值域为； 当时，， 当且仅当，即时，等号成立； 此时的最小值为5，因此的值域为； 综上可得，函数的值域为. 故选：A. 【变式8-1】（24-25高一上·河北廊坊·阶段练习）已知函数，且，则等于（   ） A．-3 B．-1 C．1 D．3 【解题思路】根据分段函数的解析式可得，分类讨论建立对应的方程，解之即可求解. 【解答过程】因为，所以，故， 所以当时，，解得，舍去； 当时，，解得，满足题意； 综上：. 故选：A. 【变式8-2】（2024·吉林长春·模拟预测）已知函数，，当时，，的值分别为（    ） A．1，0 B．0，0 C．1，1 D．0，1 【解题思路】分x为有理数和无理数，利用 和的解析式求解. 【解答过程】解：当x为有理数时，，, , 当x为无理数时，，， ，， 故选：D. 【变式8-3】（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知函数若当时，，则的最大值是（   ） A．4 B．3 C．7 D．5 【解题思路】画出的图象，根据题意，数形结合，即可求得问题. 【解答过程】根据题意，作出的图象如下所示：    数形结合可知，要使的值域为，且取得最大值， 则只需，即可，故的最大值为. 故选：C. 1．（2024·广东江苏·高考真题）已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】代入得到，再利用函数性质和不等式的性质，逐渐递推即可判断. 【解答过程】因为当时，所以， 又因为， 则， ， ， ， ，则依次下去可知，则B正确； 且无证据表明ACD一定正确. 故选：B. 2．（2022·北京·高考真题）函数的定义域是 ． 【解题思路】根据偶次方根的被开方数非负、分母不为零得到方程组，解得即可； 【解答过程】解：因为，所以，解得且， 故函数的定义域为； 故答案为：. 3．（2022·浙江·高考真题）已知函数则 ；若当时，，则的最大值是 ． 【解题思路】结合分段函数的解析式求函数值，由条件求出的最小值,的最大值即可. 【解答过程】由已知，， 所以 ， 当时，由可得，所以， 当时，由可得，所以， 等价于，所以， 所以的最大值为. 故答案为：；. 4．（2024·上海·高考真题）已知则 ． 【解题思路】利用分段函数的形式可求. 【解答过程】因为故， 故答案为：. 5．（2024·上海·高考真题）已知，求的的取值范围 . 【解题思路】分与两段求解二次不等式可得. 【解答过程】根据题意知. 当时，,即，解得，则有； 当时，,即，，即时，不等式都成立. 综上所述，的的取值范围为. 故答案为：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$