精品解析：山西省长治市2024-2025学年高三上学期11月月考数学试题

姓名 准考证号 秘密★启用前 数 学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在试卷和答题卡指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案用0.5mm的黑色笔迹签字笔写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，若，则（ ） A. 3 B. 1 C. 0 D. 【答案】C 【解析】 【分析】依题意可得，则或，求出的值，再代入检验即可. 【详解】因为，且， 所以，则或，解得或或， 当时，，，符合题意； 当时，集合不满足元素的互异性，故舍去； 当时，，，不满足，故舍去； 同理，则则或，即或或， 由以上分析可知符合题意，不符合题意， 时，，，不符合题意； 综上可得. 故选：C 2. 已知条件与，那么是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】由推不出，故充分性不成立； 由推得出，故必要性成立， 所以是的必要不充分条件. 故选：B 3. 复数z满足（为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的运算法则计算即可. 【详解】由，可得，所以，所以. 故选：A. 4. 已知向量，，若，，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】依题意可得，根据数量积的坐标表示得到方程，解得即可. 【详解】因为，所以，又，， 所以，又，解得. 故选：A 5. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】可证明为偶函数，又易得时，可得结论. 【详解】由，解得，均能满足有意义， 故函数的定义域为，关于原点对称， 因为， 所以为偶函数，故排除B； 又，所以在上单调递增， 当时，，所以时，， 所以当时，，所以排除A，D； 故选：C. 6. 已知圆锥底面半径为3，侧面展开图扇形的圆心角为216°，则该圆锥内半径最大的球的体积是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆锥表面积公式求出母线长，再由等面积法,可得圆锥内部最大球即与圆锥相切的球的半径以及球的体积. 【详解】画出圆锥的侧面展开图 设母线长为，依题意 解得： 所以圆锥的高为作出圆锥轴截面图象， 设圆锥内部最大球即与圆锥相切的球的半径为 根据等面积法求解得： 解得， 故选：A． 7. 某市九月份30天的空气质量指数如下： 54 51 53 62 52 52 50 58 61 60 63 62 59 57 58 17 18 30 29 31 40 55 84 73 44 70 67 44 46 84 则将该市空气质量指数按照从低到高的顺序排列，其分位数是（ ） A. 61 B. 62 C. 61.5 D. 62.5 【答案】D 【解析】 【分析】根据百分数计算规则计算可得. 【详解】因为， 其中该市空气质量指数按照从低到高的顺序排列第个数为，第个数为， 所以分位数是. 故选：D 8. 已知等差数列的前n项和为，且，，，则的所有取值的和等于（ ） A. 24 B. 26 C. 37 D. 44 【答案】B 【解析】 【分析】根据题干条件得到,联立方程求解即可. 【详解】等差数列的前项和为，，， 得到 ，同理得到 可得：， 由等差数列的通项公式和求和公式得到 联立两个方程消去，可得：， 解得：或. 所以的所有取值的和等于26， 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，，则( ). A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用“，”分段法比较出三者的大小关系. 【详解】因为单调递减，所以，因为单调递增， 所以，因为单调递增，所以， 故，即A正确，C错误；则，所以B正确；则，所以D正确. 故选：ABD. 10. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用诱导公式判断A、C，利用诱导公式及二倍角公式判断B，利用同角三角函数的基本关系求出，再由及两角差的正弦公式判断D. 【详解】对于A：，故A正确； 对于B： ，故B正确； 对于C：，故C错误； 对于D：因为，所以，又，， 所以，则， 所以，故D正确. 故选：ABD 11. 已知函数在处有极值，则（ ） A. B. 的极大值为 C. 有三个零点 D. 【答案】AB 【解析】 【分析】求出函数的导函数，根据求出的值，再代入检验，从而得到函数的单调性与极值，即可判断. 【详解】因为， 所以，依题意，解得或， 当时，不满足题意， 当时， 所以当或时，当时， 所以在，上单调递增，在上单调递减， 则在处取得极大值，在处取得极小值， 则极大值为，极小值我为，所以有且仅有一个零点，故A、B正确，C错误； 由，，而在上单调递减， 所以，故D错误. 故选：AB 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，，则函数的单调递减区间为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据余弦函数的性质，然后根据整体换元法求解. 【详解】时，， 结合余弦函数的性质，当和时， 函数单调递减，此时， 故答案为：. 13. 已知函数，，存在直线过点与曲线和都相切，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】设直线与曲线相切于点，与曲线相切于点，利用导数的几何意义表示出切线方程，根据切线过点，求出，即可求出切线方程，再得到方程组，即可求出. 【详解】设直线与曲线相切于点，与曲线相切于点， 由，则，则，则切线为， 又切线过点，所以，即，所以， 所以切线方程为，由，则， 则，解得. 故答案为： 14. 人类四种血型与基因类型的对应关系为：O型对应基因类型ii，A型对应基因类型ai或aa，B型对应基因类型bi或bb，AB型对应基因类型ab．其中a和b是显性基因，i是隐性基因．一对夫妻的血型一个是A型，一个是B型，则其子女的血型中最可能出现的是__________型，概率值为__________． 【答案】 ①. AB ②. 【解析】 【分析】用列举法列出所有可能得子女血型的基因类型，结合古典概型的概率公式计算可得. 【详解】因为A型对应基因类型ai或aa，B型对应基因类型bi或bb， 所以这对夫妻子女血型的基因类型有： 父母血型的基因组合 子女血型的基因类型 aibi ab ai bi ii aibb ab ab bi bi aabi ab ai ab ai aabb ab ab ab ab 以上种情况是等可能得，构成了该事件的样本空间， 其中基本事件，即基因类型ab共有个， 所以子女的血型中概率最大的是AB型，其概率为. 故答案为：AB； 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列与是两个不同的数列． （1）设数列为单调递增数列，为单调递减数列，记集合，求集合中元素个数的最大值； （2）若为等差数列，且不是常数列，，判断是否为等差数列． 【答案】（1）1 （2）不是 【解析】 【分析】（1）从散点图的角度即可判断； （2）结合等差数列的定义即可判断. 【小问1详解】 因为为递增数列，所以体现在散点图上，是呈上升趋势， 为递减数列，所以体现在散点图上，是呈下降趋势，两者至多一个交点， 所以集合中元素个数的最大值为1. 【小问2详解】 设的公差为，不等于0， 所以显然不是一个定值， 所以不是等差数列． 16. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知． （1）求A； （2）若D是BC边上一点，且，，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将角化边，再结合余弦定理计算可得； （2）首先可得，记，设，，利用锐角三角函数及正弦定理得到，，再由余弦定理得到，即可得解. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理可得，即， 由余弦定理， 所以，又，所以； 【小问2详解】 因为，记，则， 因为，设，， 在中，，即， 在中，，所以，所以， 所以，即， 在中由余弦定理有，整理得，即， 所以，即. 17. 如图，直四棱柱中底面为平行四边形，，，是棱的中点． （1）证明：平面； （2）求二面角的余弦值． 【答案】（1） 连接，因为，，， 所以，又， 所以， 所以， 所以，又，所以， 因为，，所以，所以， 又四棱柱为直四棱柱，所以平面，平面， 所以，又，平面， 所以平面， 又平面，所以， 又，平面， 所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据三角形相似可以证明，从而得到，再证明平面，即可得到，即可得证； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知、、两两互相垂直，如图建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，， 设平面的法向量为， 则， 取，则， ； 由（1）得平面的法向量， 设二面角为，显然二面角为锐二面角， 所以，所以二面角的余弦值为. 18. 已知． （1）当时，求函数在区间上的最值； （2）若恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）最大值为，最小值为； （2）. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，即可得到函数的单调性，再求出极值与端点处的函数值，即可得到函数在区间上的最值； （2）利用必要性探路可得，令，利用导数说明函数的单调性，求出的最小值，依题意可得，再参变分离即可求出的取值范围. 【小问1详解】 当时，则， 所以当时，当或时， 所以在上单调递减，在，上单调递增， 又，所以函数在区间上的最大值为； ，， 因为， 因为，所以，则， 所以， 所以函数在区间上的最小值为； 综上可得函数在区间上的最大值为，最小值为； 【小问2详解】 因为，令， 则恒成立的必要条件是，即， 由，令，则， 因为，所以当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 因为当时，所以，则在上没有零点， 又，所以存在，使得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 要使，只需，即， 因为，所以， 代入中，解得， 令，则， 所以当时，则在上单调递增， 所以当时，所以，即， 综上可得的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：第二问解题的关键是必要性探路得到，再利用隐零点的思想求出. 19. 悬链线，也称为悬垂线或悬链曲线，是在均匀重力场中，将一条柔软且不可伸长的绳索两端固定时所形成的曲线，这种曲线的形状类似于一条链子自然悬挂时的轮廓．后人给出了悬链线的函数表达式，其中a为悬链线系数，称为双曲余弦函数，其函数表达式．双曲正弦函数的表达式． （1）讨论的单调性并求其最值； （2）若函数，证明：曲线是中心对称图形； （3）（ⅰ）证明：①；②； （ⅱ）已知正项数列（）满足，，直接写出其通项公式；判断是否存在实数a，使得，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为，最小值，没有最大值； （2） 证明：函数的定义域为， 又 ， 所以曲线是中心对称图形，且对称中心为； （3） （ⅰ）证明：① ． ② ； （ⅱ） 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，即可求出函数的单调区间与最值； （2）首先求出函数的定义域，再由即可证明； （3）（ⅰ）利用双曲余弦函数和双曲正弦函数的函数表达式，结合指数式的运算，化简即可证明； （ⅱ）由（ⅰ）可知，设，可得，从而求出，即可得解. 【小问1详解】 因为，则定义域为， 且为增函数，且当时， 所以当时，当时， 即的单调递减区间为，单调递增区间为， 则当时取得最小值，没有最大值； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）由（ⅰ）可知，又，， 可设，则， ，，， 所以， 记，则，解得或， 所以或， 则， 则. 【点睛】关键点点睛：本题第三问关键是得到，从而设，推导出. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 姓名 准考证号 秘密★启用前 数 学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在试卷和答题卡指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案用0.5mm的黑色笔迹签字笔写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，若，则（ ） A. 3 B. 1 C. 0 D. 2. 已知条件与，那么是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 复数z满足（为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，，若，，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 5. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆锥底面半径为3，侧面展开图扇形的圆心角为216°，则该圆锥内半径最大的球的体积是（ ） A. B. C. D. 7. 某市九月份30天的空气质量指数如下： 54 51 53 62 52 52 50 58 61 60 63 62 59 57 58 17 18 30 29 31 40 55 84 73 44 70 67 44 46 84 则将该市空气质量指数按照从低到高的顺序排列，其分位数是（ ） A. 61 B. 62 C. 61.5 D. 62.5 8. 已知等差数列的前n项和为，且，，，则的所有取值的和等于（ ） A. 24 B. 26 C. 37 D. 44 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，，则( ). A. B. C. D. 10. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则 11. 已知函数在处有极值，则（ ） A. B. 的极大值为 C. 有三个零点 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，，则函数的单调递减区间为__________． 13. 已知函数，，存在直线过点与曲线和都相切，则__________． 14. 人类四种血型与基因类型的对应关系为：O型对应基因类型ii，A型对应基因类型ai或aa，B型对应基因类型bi或bb，AB型对应基因类型ab．其中a和b是显性基因，i是隐性基因．一对夫妻的血型一个是A型，一个是B型，则其子女的血型中最可能出现的是__________型，概率值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列与是两个不同的数列． （1）设数列为单调递增数列，为单调递减数列，记集合，求集合中元素个数的最大值； （2）若为等差数列，且不是常数列，，判断是否为等差数列． 16. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知． （1）求A； （2）若D是BC边上一点，且，，求的值． 17. 如图，直四棱柱中底面为平行四边形，，，是棱的中点． （1）证明：平面； （2）求二面角的余弦值． 18. 已知． （1）当时，求函数在区间上的最值； （2）若恒成立，求的取值范围． 19. 悬链线，也称为悬垂线或悬链曲线，是在均匀重力场中，将一条柔软且不可伸长的绳索两端固定时所形成的曲线，这种曲线的形状类似于一条链子自然悬挂时的轮廓．后人给出了悬链线的函数表达式，其中a为悬链线系数，称为双曲余弦函数，其函数表达式．双曲正弦函数的表达式． （1）讨论的单调性并求其最值； （2）若函数，证明：曲线是中心对称图形； （3）（ⅰ）证明：①；②； （ⅱ）已知正项数列（）满足，，直接写出其通项公式；判断是否存在实数a，使得，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $