专题02 反比例函数的图象与性质重难点题型专训（21大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练 （沪教版）

专题02 反比例函数的图象与性质重难点题型专训（21大题型+15道拓展培优） 题型一 用反比例函数描述数量关系 题型二 根据定义判断是否是反比例函数 题型三 根据反比例函数的定义求参数 题型四 求反比例函数值 题型五 由反比例函数值求自变量 题型六 判断（画）反比例函数图象 题型七 已知反比例函数的图象，判断其解析式 题型八 由反比例函数图象的对称性求点的坐标 题型九 已知双曲线分布的象限，求参数范围 题型十 判断反比例函数的增减性 题型十一 判断反比例函数图象所在的象限 题型十二 已知反比例函数的增减性求参数 题型十三 比较反比例函数值或自变量的大小 题型十四 已知比例系数求特殊图形的面积 题型十五 根据图形面积求比例系数 题型十六 求反比例函数解析式 题型十七 反比例函数与几何综合 题型十八 一次函数与反比例函数图象综合判断 题型十九 一次函数与反比例函数的交点问题 题型二十 一次函数与反比例函数的实际应用 题型二十一 一次函数与反比例函数的其他综合应用 知识点一、反比例函数的定义 一般地，形如 (为常数，)的函数称为反比例函数，其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数. 特别说明： （1） 在中，自变量是分式的分母，当时，分式无意义，所以自变 量的取值范围是，函数的取值范围是.故函数图象与轴、轴无 交点. （2） ()可以写成()的形式，自变量的指数是－1，在解 决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一条件. （3） ()也可以写成的形式，用它可以迅速地求出反比例函数的比 例系数，从而得到反比例函数的解析式. 知识点二、确定反比例函数的关系式 确定反比例函数关系式的方法仍是待定系数法，由于反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要知道一对的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出的值，从而确定其解析式. 　　用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是： 　（1）设所求的反比例函数为： ()； （2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入关系式，得到关于待定系数的方程； （3）解方程求出待定系数的值； （4）把求得的值代回所设的函数关系式中. 知识点三、反比例函数的图象和性质 　　1、反比例函数的图象特征： 反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与轴、轴相交，只是无限靠近两坐标轴. 特别说明： （1） 若点()在反比例函数的图象上，则点()也在此图象上，所以反 比例函数的图象关于原点对称； （2） 在反比例函数(为常数，)中，由于，所以两个分支 都无限接近但永远不能达到轴和轴． 2、画反比例函数的图象的基本步骤： （1）列表：自变量的取值应以0为中心，在0的两侧取三对（或三对以上）互为相反数的值，填写值时，只需计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数； （2）描点：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点； （3）连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线.注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交； （4）反比例函数图象的分布是由的符号决定的：当时，两支曲线分别位于第一、三象限内，当时，两支曲线分别位于第二、四象限内． 3、反比例函数的性质 （1）如图1，当时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，值随值的增大而减小； 　（2）如图2，当时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，值随值的增大而增大； 特别说明：反比例函数的增减性不是连续的，它的增减性都是在各自的象限内的增减情况，反比例函数的增减性都是由反比例系数的符号决定的；反过来，由双曲线所在的位置和函数的增减性，也可以推断出的符号. 【经典例题一 用反比例函数描述数量关系】 【例1】（23-24八年级上·云南文山·期末）已知点是反比例函数上一点，则下列各点中在该图像上的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先把点（3，1）代入双曲线 ( k ≠0)，求出 k 的值，再对各选项进行判断即可． 【详解】解：∵点（3，1）是双曲线 ( k ≠0）上一点， ∴ k =3×1=3， A 、1×3=-3≠3，此点不在反比例函数的图像上，故本选项错误； B 、1×=≠3，此点不在反比例函数的图像上，故本选项错误； C 、×（-9）=-3≠3，此点不在反比例函数的图像上，故本选项错误； D 、6×=3，此点在反比例函数的图像上，故本选正确， 故选： D． 【点睛】本题考查了反比例函数，解题的关键是熟知反比例函数图像上各点的坐标一定适合此函数的解析式． 1．（2024·湖北恩施·一模）如图的电路图中，用电器的电阻是可调节的，其范围为，已知电压，下列描述中错误的是（    ） A．与成反比例： B．与成反比例： C．电阻越大，功率越小 D．用电器的功率的范围为 【答案】A 【分析】根据功率判断即可． 【详解】∵， ∴， ∴A选项错误 故选：A． 【点睛】本题考查物理的电功率公式，熟记物理公式是解题的关键． 2．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）若以方程 的两个实数根作为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数y的图象上，则满足条件的k值为 ． 【答案】-2 【分析】设方程的两个根分别为，根据题意得到＝，结合判别式，即可求解． 【详解】解：∵以方程的两个根为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数数y的图象上， ∴设方程的两个根分别为， ∴＝，即， ∴ 解得： ∵， ∴， ∴． 故答案为：-2． 【点睛】本题考查了一元二次方程 的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根，也考查了反比例函数． 3．（24-25八年级上·全国·假期作业）若矩形的两邻边长度分别为x，y，面积保持不变，下表给出了x与y的一些值求矩形面积． x 1 8 y 4 2 (1)请你根据表格信息写出y与x之间的函数关系式； (2)根据函数关系式完成上表． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查求反比例函数解析式、求函数的自变量或函数值， （1）根据矩形的面积公式设出关系式，再把点代入求解析式即可； （2）利用函数解析式求自变量或函数值即可． 【详解】（1）解：设， 把代入得，， ∴； （2）解：把代入得，， 把代入得，， 把代入得，， 把代入得，， 把代入得，， 完成表格如下： 【经典例题二 根据定义判断是否是反比例函数】 【例2】（2024·上海·模拟预测）下列关于函数说法错误的个数为（    ） （1）已知反比例函数的图像在第一象限，则k的取值范围是且； （2）单曲线不是反比例函数 （3）只要满足且自变量k为不为0的常数的函数，就是反比例函数 （4）抛物线的解析式由顶点坐标和开口方向决定 （5）直线是常值函数，常值函数不是函数 （6）直线不是函数 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义、函数的定义、二次函数图像的性质等知识点，理解相关定义成为解题的关键． 根据反比例函数的定义、函数的定义、二次函数图像的性质逐个判断即可． 【详解】解：（1）已知反比例函数的图像在第一象限，则k的取值范围是且，说法正确； （2）单曲线不是反比例函数，说法错误； （3）只要满足且自变量k为不为0的常数的函数，就是反比例函数，说法正确； （4）抛物线的解析式由顶点坐标和开口方向决定，说法错误； （5）直线是常值函数，常值函数是函数，说法错误； （6）直线不是函数，说法错误． 综上，错误的有4个． 故选：D． 1．（2024·湖南株洲·一模）下列关系中，成反比例函数关系的是（　　） A．圆的面积与它的半径之间的关系 B．用频率估计概率时，概率与频率的关系 C．电压一定时，电流与电阻之间的关系 D．小明的身高与年龄之间的关系 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的定义，根据题意写出关系式，再根据反比例函数的定义判断即可．解题的关键是掌握：形如（为常数，）的函数称为反比例函数．其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于的一切实数． 【详解】解：A．圆的面积与半径的关系，即，是二次函数关系，故此选项不符合题意； B．用频率估计概率时，概率与频率的关系为，是正比例函数关系，故此选项不符合题意； C．电压一定时，电流与电阻之间的关系为，电流与电阻之间的关系是反比例函数关系，故此选项符合题意； D．小明的身高与年龄之间没有特定关系，故此选项不符合题意； 故选：C． 2．（23-24八年级上·全国·单元测试）下列函数：①xy＝1；②y＝；③y＝5x－1；④y＝3－x，其中y不是x的反比例函数的有 ． 【答案】④ 【分析】根据形如y＝（k≠0）的函数是反比例函数，可得答案． 【详解】解：：①xy＝1；②y＝；③y＝5x－1；y是x的反比例函数； ④y＝3－x不是反比例函数， 故答案为④． 【点睛】本题考查了反比例函数的定义和方程式的变形，涉及的知识面比较广． 反比例函数解析式的一般形式y＝（k≠0），也可转化为y＝kx－1（k≠0）的形式，特别注意不要忽略k≠0这个条件． 3．（2024八年级上·北京·专题练习）某商场出售一批进价为2元的贺卡，在市场营销中发现此商品的日销售单价x元与日销售量y个之间有如下关系： x （元） 3 4 5 6 y （个） 20 15 12 10 (1)请你认真分析表中数据，从你所学习过的一次函数、反比例函数和其它函数中确定哪种函数能表示其变化规律，说明确定是这种函数而不是其它函数的理由，并求出它的解析式； (2)设经营此贺卡的销售利润为W元，试求出W（元）与x（元）之间的函数关系式．若物价局规定此贺卡的售价最高不能超过10元/个，请你求出当日销售单价x定为多少元时，才能获得最大日销售利润？ 【答案】(1)； (2)当日销售单价x定为10元时，才能获得最大日销售利润 【分析】本题考查了反比例函数的定义，两个变量的积是定值，也考查了根据实际问题和反比例函数的关系式求最大值，属于中等难度的题，解答此类题目的关键是仔细理解题意． （1）要确定y与x之间的函数关系式，通过观察表中数据，可以发现x与y的乘积是相同的，都是60，所以可知y与x成反比例，用待定系数法求解即可； （2）首先要知道纯利润=（销售单价日销售数量y，这样就可以确定W与x的函数关系式，然后根据题目的售价最高不超过10元/张，就可以求出获得最大日销售利润时的日销售单价x． 【详解】（1）解：反比例函数能表示其变化规律．因为表中每对x、y的值的乘积均为60，是一个定值．其解析式为； （2）∵， 又∵， ∴当，W最大， 故当日销售单价x定为10元时，才能获得最大日销售利润． 【经典例题三 根据反比例函数的定义求参数】 【例3】（23-24八年级上·江西吉安·期末）已知反比例函数，当时，y随x的增大而增大，则m的值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】反比例函数的自变量次数为，y随x的增大而增大，说明反比例函数在第四象限，且，据此列出方程与不等式即可求得m的值． 【详解】由题意得： ． ∴且． ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数的定义及其增减性，解题的关键根据反比例函数的定义及增减性列出方程与不等式． 1．（23-24八年级上·浙江绍兴·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，轴于点，点是线段上的点，连接．点在线段上，且，函数的图象经过点．当点在线段上运动时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设点C的坐标为（c,0），根据已知写出P的坐标，再代入反比例函数解析式，根据ｃ的取值范围即可求解． 【详解】解：设点C的坐标为（c,0） ∵点的坐标为，轴于点， ∴P（） ∵函数的图象经过点 ∴ ∴c=2k-4 ∵0≤c≤4 ∴0≤2k-4≤4 ∴ 故选：C 【点睛】考核知识点：反比例函数．理解反比例函数的意义是关键． 2．（24-25八年级上·全国·课后作业）在平面直角坐标系内，点， ，，分别在三个不同的象限，若反比例函数的图象经过其中两点，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数的定义，找出经过反比例函数图像的点是解题的关键．因为三点在三个不同象限，所以反比例函数经过两点，，待定系数法求反比例函数解析式即可． 【详解】解：点， ，，分别在三个不同的象限，点在第一象限，点在第二象限， ∴点一定在第四象限， ∵反比例函数的图像经过其中两点， ∴反比例函数的图像经过，， ， ． 故答案为：． 3．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）已知反比例函数的图象经过点． (1)求反比例函数表达式； (2)若点在该函数图象上，求m的值． 【答案】(1)； (2)或． 【分析】本题主要考查了反比例函数图像上点的性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数图像上点的特征． （1）将点代入求解即可； （2）将点代入（1）求出的表达式中即可求出的值． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过， ∴将代入，得， ∴反比例函数解析式为； （2）解：∵点在这个函数图像上， ∴把代入得， 解得：或， ∴的值为或． 【经典例题四 求反比例函数值】 【例4】（24-25八年级上·安徽合肥·期中）点在反比例函数的图象上，则时，y的值为（   ） A． B． C． D．4 【答案】D 【分析】此题考查待定系数法求反比例函数解析式、求反比例函数值等知识． 先根据点在反比例函数的图象上得到，则，把代入即可求出y的值． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得， ∴， 当时，， 故选：D 1．（23-24八年级上·山东菏泽·阶段练习）若反比例函数的图象经过，则这个函数的图象一定过（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了利用待定系数法求反比例函数解析式，再根据函数解析式分析是否经过所给的点，通过已知条件求出，即函数解析式为，然后将选项逐个代入验证即可解题． 【详解】解：反比例函数的图象经过， ，解得， 反比例函数解析式为， 当时，， 这个函数的图象一定过，不过， 当时，，这个函数的图象不过， 当时，，这个函数的图象不过， 综上所述，这个函数的图象一定过， 故选：A． 2．（2024·山东聊城·三模）如图是从原点开始的通道宽度为1的回形图，，反比例函数与该回形图的交点依次记为、、、……，则的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了在反比例函数图象上的点坐标的特征，找规律，找出点坐标的规律是解题的关键．分别写出前三个回形的点坐标，找出规律，得到第个回形4个点的规律，分别是，，，，然后找出第2024个点在第几个回形的第几个点即可算出答案． 【详解】由题意可知，反比例函数图象上点坐标为，观察图象，可以发现： 第1个回形有2个点，， 第2个回形有4个点，分别是，，， 第3个回形有4个点，分别是，，， 第个回形有4个点，分别是，，， 那么第2024个点在第507个回形的第2个点，那么点坐标为 故答案为： 3．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的3倍，那么称这样的方程为“三倍根方程”．例如，方程的两个根是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”． (1)下列方程是三倍根方程的是______；（填序号即可） ①；②；③． (2)如果关于的方程是“三倍根方程”，求的值； (3)如果点在反比例函数的图象上，那么关于的方程是“三倍根方程”吗？请说明理由． (4)如果关于的一元二次方程是“3倍根方程”，那么、c应满足的关系是______．（直接写出答案） 【答案】(1)③ (2)； (3)方程是“三倍根方程”；见解析 (4) 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了一元二次方程的解和解一元二次方程． （1）分别求出①②③三个方程的根，然后根据题中所给定义可进行求解； （2）根据“三倍根方程”的定义设关于x的方程的两个根为，进而根据一元二次方程根与系数的关系及方差的解可进行求解； （3）方程化为方程，解方程求得方程的根，根据“三倍根方程”的定义即可求出答案； （4）根据“三倍根方程”的概念得到原方程可以改写为，解方程即可得到结论． 【详解】（1）解：由可得：，不满足“三倍根方程”的定义； 由可得：，不满足“三倍根方程”的定义； 由可得：，满足“三倍根方程”的定义； 故答案为：③； （2）解：设关于x的方程的两个根为， 由一元二次方程根与系数的关系可知：，， ∴，； （3）解：点在反比例函数的图象上， ， 方程化为方程， 整理得， 解得，， 方程是“三倍根方程”； （4）解：根据“三倍根方程”的概念设一元二次方程的两个根为和． 原方程可以改写为， ， ． 解得． ，，之间的关系是． 故答案为：． 【经典例题五 由反比例函数值求自变量】 【例5】（23-24八年级上·吉林长春·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点、均在函数的图像上，顶点在函数的图像上，且轴，轴，若，则线段AB的长为（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数图像上点的坐标特征．设点的横坐标为，根据函数图像上点的坐标特征可得，继而得到，，得出，，再根据，即可得解．理解和掌握函数图像上点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：延长交轴于点，延长交轴于点， ∴轴，轴， 设点的横坐标为， ∵点在函数的图像上， 当时，得， ∴， ∴点的纵坐标为，点的横坐标为， ∵顶点、均在函数的图像上， 当时，得；当时，得； ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴或（舍去）， ∴． 故选：C． 1．（2024·江苏扬州·模拟预测）小明同学利用计算机软件绘制函数（为常数）的图象如图所示，由学习函数的经验，可以推断常数的值满足（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查函数与图象．由图象可知，当时，，即可判断；当时，函数值不存在，即可判断． 【详解】解：由图象可知，当时，， ∵，， ∴ ∴； 当时，函数值不存在， ∵函数图象在第二象限不连续， ∴， 故选：D 2．（23-24八年级上·四川达州·期末）个反比例函数，在第一象限内的图象如图所示，点在反比例函数的图象上，它们的横坐标分别是，纵坐标分别是1，3，5，…，共2024个连续奇数，过点分别作y轴的平行线，与的图象的交点依次为，的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及规律探索，根据题意先总结出的纵坐标为，根据，的关系，即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】∵的纵坐标分别是1，3，5，是连续奇数， ∴的纵坐标为， ∴的纵坐标为4045， ∵在反比例函数图象上， ∴的横坐标为， ∴的横坐标为， ∵在反比例函数图象上， ∴的纵坐标为， ∴的纵坐标为， ∴， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·安徽滁州·期中）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压（千帕）与气体的体积（立方米）成反比例关系，其图象如图所示． (1)求该反比例函数的表达式；（不用写自变量取值范围） (2)当气球内的气压是千帕时，求此时气体的体积是多少立方米． 【答案】(1)； (2)立方米． 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用．关键是根据图象建立函数关系式，并会运用函数式解答题目的问题． （1）将已知点的坐标代入到反比例函数的一般形式中即可求得其解析式； （2）当时，代入求解即可； 【详解】（1）解：设表达式为， ∵图象经过点， ∴， ∴表达式为； （2）解：当时，． 解得立方米． 【经典例题六 判断（画）反比例函数图象】 【例8】（23-24八年级上·山西临汾·期末）某中学要在校园内划出一块面积是的矩形土地作为花园，设这个矩形相邻两边长分别为米和米，则与之间的函数关系用图象表示大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象，根据题意可得，得到是反比例函数，又根据，，得到图象分布在第一象限，据此即可求解． 【详解】解：由矩形的面积可得，， ∴， ∴是反比例函数， ∵，， ∴图象分布在第一象限， 故选：． 1．（23-24八年级上·江苏泰州·期末）当菱形的面积一定时，它的两条对角线的长分别为．选取组数对，在坐标系中进行描点，则正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象，先利用菱形的面积公式求出与的函数解析式，再根据的取值范围及函数的性质判断即可求解，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：设菱形的面积为，则， ∴， ∴是的反比例函数， ∵，， ∴图象分布在第一象限，的值随的增大而减小， ∴描点正确的是， 故选：． 2．（23-24八年级上·内蒙古赤峰·期末）已知反比例函数图象上的三个点，，，其中，则，，的大小关系是 （用“＜”连接）． 【答案】 【分析】根据平方的非负性得出，再分析反比例函数图象上点的坐标特征解答即可． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴反比例函数图象位于第二，第四象限内，且每一象限内y随x的增大而增大． ∵点，，在反比例函数图象上， 且， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了根据反比例函数图象的性质比较反比例函数值的大小，根据平方的非负性判断反比例函数图象所处的象限，并熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 3．（24-25八年级上·全国·课后作业）在同一平面直角坐标系中，分别画出函数与的图象． (1)填写表格： __ __ __ __ (2)根据表格中的对应值为点坐标，在下图中画出函数图象． 【答案】(1)填表见解析 (2)画图见解析 【分析】（）根据函数解析式求出对应的函数值后填写表格即可； （）以表格中的对应值为点的坐标，描出点连线即可画出函数图象； 本题考查了画反比例函数图象，掌握画反比例函数图象的步骤是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，；当时，； 当时，，当时，； ∴填写表格如下： （2）解：画函数图象如下： 【经典例题七 已知反比例函数的图象，判断其解析式】 【例7】（23-24八年级上·江苏淮安·期中）如图是某同学利用计算机软件绘制的某函数的图像，根据图像判断可能是下列的哪一个函数（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了函数的图象；能够通过函数的图象得出结论是解题的关键．由图象可知，当时，函数值不存在，当时，，当时，随的增大先增大后减小；据此即可判断． 【详解】解：A、，当时，随的增大而减小，与图象不符，不符合题意； B、，满足图象特点，符合题意； C、，当时，，与图象不符，不符合题意； D、，当时，，与图象不符，不符合题意； 故选：B． 1．（2024·浙江温州·二模）某气球内充满一定质量的气体，温度不变时，气球内气体的压强与气体的体积的关系是如图所示的反比例函数．当气球内气体的压强大于200kPa，气球就会爆炸．为了不让气球爆炸，则气球内气体的体积需满足的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由图可求出压强与气体的体积的关系式为，为了不让气球爆炸，则需要，结合图象可知：若，则． 【详解】解：由图可知函数为反比例函数，且过， 设气球内气体的压强与气体的体积的关系为， 则，即， 为了不让气球爆炸，则需要， 当时，，如图： 结合图象可知：若，则， 故选：D． 【点睛】本题考查反比例函数，解题的关键是结合函数图象求出压强与气体的体积的关系，并根据的取值求出的取值． 2．（23-24八年级上·北京·期末）如图为反比例函数的图象，请写出满足图象的一个的值 ．    【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，根据图象可得比例系数的坐标在和之间，即可得，据此即可求解，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：由图象可得，比例系数的坐标在和之间， ∴，即， ∴满足图象的一个的值可以为， 故答案为：． 3．（23-24八年级上·全国·课后作业）把下列函数的解析式与其图象对应起来． （1）；（2）；（3）；（4）． A．   B．   C．   D． 【答案】（1）B；（2）A；（3）C；（4）D 【分析】根据反比例函数的选择即可得到结论． 【详解】解：（1）的图象在一，三象限，对应着图象B； （2）的图象关于y轴对称，且函数值为正，在x轴上方，对应着图象A； （3）的图象在二，四象限，对应着图象C； （4）的图象关于y轴对称，且函数值为负，在x轴方下方，对应着图象D． 【点睛】本题考查了反比例函数的选择，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 【经典例题八 由反比例函数图象的对称性求点的坐标】 【例8】（23-24八年级上·四川绵阳·期末）如图为反比例函数与在第一象限中的图象，点P为其中一个反比例函数图象上点，过点P作y轴的垂线与另一个反比例函数图象交于点A，过点P作x轴的垂线与另一个反比例函数图象交于点B，则面积应是（　　） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查反比例函数的图像和性质，熟练掌握反比例函数的图像和性质是解题的关键．设，即可求出点A，点B的坐标从而求出面积． 【详解】解： P在反比例函数图象上， 设， 点A，点B在反比例函数图象上， 过点P作y轴的垂线与另一个反比例函数图象交于点A，过点P作x轴的垂线与另一个反比例函数图象交于点B， ， ， ． 故选C． 1．（23-24八年级上·江苏镇江·期末）如图，在平面直角坐标系中，有一个5×2的矩形DEFG网格，每个小正方形的边长都是1个单位长度，反比例函数（k≠0，x＞0）的图像经过格点A（小正方形的顶点），同时还经过矩形DEFG的边FG上的C点，反比例函数（k≠0，x＜0）的图像经过格点B，且，则k的值是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的对称性，且AB距离3个单位长度，可得A点、B点的横坐标，进而得到C点的横坐标．根据，且AB=3，可得C点与直线AB的距离．将A点和C点的坐标代入函数表达式即可求出k． 【详解】令经过A点和C点的反比例函数为，经过B点的反比例函数为 ∵， ∴关于y轴对称 ∴A点、B点关于y轴对称 设，则 ∵，AB=3 ∴△ABC的高为 ∴ 将，代入得∶ 解得：k= 故选：D 【点睛】本题主要考查了反比例函数图像和性质，理解反比例函数的图像和性质是解题的关键． 2．（23-24八年级上·浙江湖州·期末）如图，经过原点O的直线与反比例函数的图象交于A，B两点（点A在第一象限），过点A作AC∥x轴，与反比例函数图象交于点C，则△ABC的面积为 ． 【答案】8 【分析】设设点A坐标为(a，)，根据反比例函数的对称性，则点B坐标为(-a，-)，再根据ACx轴，则有可求得点C纵坐标为，代入y=，则可求得点C坐标为（-，），然后利用三角形面积公式即可求解． 【详解】解：设点A坐标为(a，)，由反比例函数的对称性， 则有点B坐标为(-a，-)， ∵ACx轴， ∴点C纵坐标为， 把y=代入y=，得x=-， ∴C（-，）， ∴S△ABC= 故答案为：8． 【点睛】本题考查反比例函数图象性质，三角形面积，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 3．（23-24八年级上·山西临汾·期中）阅读下列材料，完成后面任务： 我们知道，利用描点法可以画出反比例函数的图象，其图象是双曲线，那么如何画出函数的图象呢？下面是小明同学对该函数的图象画法的探究过程． 利用描点法画图象： 列表： x … -6 -2 0 1 1．5 2．5 3 4 6 10 … y … 0．5 0 -1 -3 -7 9 5 3 2 1．5 … 描点、连线： 任务： (1)函数的自变量的取值范围为______． (2)由图可知，该函数图象的对称中心是______． (3)由图象可知，该函数的图象是由函数的图象平移得到的，请写出平移方式． 【答案】(1) (2) (3)该函数的图象是由函数的图像先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的． 【分析】本题考查反比例函数的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）利用函数解析式求自变量的取值范围即可； （2）根据图象解答问题即可； （3）根据平移的性质解决问题即可． 【详解】（1）解：∵函数有意义， ∴， 解得：； （2）∵，， ∴的对称中心为． （3）函数的图象是由函数的图象向右平移个单位，向上平移个单位得到． 【经典例题九 已知双曲线分布的象限，求参数范围】 【例9】（24-25八年级上·湖南邵阳·阶段练习）如图是三个反比例函数在轴上方的图象，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的图像及性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键，由图象分布的位置可得，再由时，由图象可得，进而可得，即可求解． 【详解】解：反比例函数的图象分布在第二象限，反比例函数和的图象分布在第一象限， ， 当时，由图象可得， ， 故选：B． 1．（2024·云南昆明·一模）已知反比例函数的图象分别位于第一、三象限，则的值可以是（    ） A．0 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是反比例函数的性质，先根据反比例函数的性质列出关于的不等式，求出的取值范围，进而可得出结论，熟知反比例函数的图象与系数的关系是解答此题的关键． 【详解】解：∵反比例函数的图象分别位于第一、三象限， ∴， ∴的值可以是， 故选：B． 2．（2024·陕西西安·模拟预测）已知反比例函数的图象经过第一、三象限，与是反比例函数图象上的两个点，若且，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，明确图象上点的坐标适合解析式是解题的关键．根据图象上点的坐标特征得到，，变形为，，由得到，即可得到，由，可得，再求解即可． 【详解】解：点，，，为反比例函数图象上的两点， ，， ，， ， ， ， ， ， 解得：或， 反比例函数的图象经过第一、三象限， ， 故答案为2． 3．（23-24八年级上·陕西西安·期末）已知一次函数与反比例函数图像交于，． (1)求反比例函数的表达式； (2)观察图像，请直接写出不等式的解集． 【答案】(1) (2)或者 【分析】（1）先将交点、代入反比例函数求得的值，进而求出函数解析式； （2）根据一次函数和反比例函数的图像可以求得一次函数值小于反比例函数值的解集． 【详解】（1）解：由题意可知：反比例函数经过，， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为：， 故答案为：； （2）解：∵反比例函数的第二象限的图像可知，的取值范围为：， 反比例函数的第四象限的图像可知， 的取值范围：， ∴不等式的解集：或者． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的图像性质，灵活运用反比例函数的性质是解题的关键． 【经典例题十 判断反比例函数的增减性】 【例10】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）已知反比例函数，下列结论正确的是（    ） A．图象必经过点 B．图象在第一、三象限内 C．随的增大而增大 D．若，则 【答案】A 【分析】此题主要考查了反比例函数的性质，关键是掌握反比例函数，当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小，注意“在每一个象限”这几个字． 根据反比例函数的性质：反比例函数的图象是双曲线；当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．凡是反比例函数图象上的点，横纵坐标之积进行分析即可． 【详解】解：A、因为，所以该反比例函数图象必经过点，选项正确，故本选项符合题意； B、反比例函数中的，则该函数图象位于第二、四象限，选项错误，故本选项不符合题意； C、反比例函数的图象在每一个象限内，y随x的增大而增大，故选项错误，不符合题意； D、当时，y的取值范围是，故选项错误，故本选项不符合题意； 故选：A． 1．（2024·湖南岳阳·二模）如图所示，小英同学根据学习函数的经验，自主尝试在平面直角坐标系中画出了一个解析式为的函数图象．根据这个函数的图象，下列说法正确的是（    ）    A．图象与x轴没有交点 B．当时 C．函数图象关于原点成中心对称 D．y随x的增大而减小 【答案】A 【分析】本题主要考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．根据函数图象对各项进行判断，即可解题． 【详解】解：A、图象与x轴没有交点，正确，符合题意； B、当时，B项错误，不符合题意； C、函数图象关于原点成中心对称，错误，不符合题意； D、当或时，y随x的增大而减小，D项错误，不符合题意； 故选：A． 2．（24-25八年级上·河北石家庄·开学考试）小明利用学习函数获得的经验研究函数的性质，得到如下结论： ①该函数自变量的取值范围为；②该函数与y轴交于点； ③该函数图象不经过第四象限；④该函数图象关于y轴对称； ⑤若，是该函数上两点，当时，一定有． 其中说法正确的有 ．（填序号） 【答案】①②③ 【分析】①根据分式有意义的条件即可判断；②把代入即可；③当时，判断是否大于0即可；④取两个点代入验证即可；⑤取两个点代入验证即可．本题考查了函数的图象、函数自变量的取值范围及对称性，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：①， ， 故①正确； ②当时，， 该函数与轴交于点， 故②正确； ③，， ∴当时， ，， 则，此时该函数图象不经过第四象限； 当时， ，， 则，此时该函数图象不经过第四象限； 当时， ，， 则，此时该函数图象不经过第四象限； 该函数图象不经过第四象限； 故③正确； ④若该函数图象关于轴对称， 则函数图象的每一个点都关于轴对称， 当时，， 当时，， ∵， 而与不关于轴对称， 故④错误； ⑤当时，取，时， ∴，， 则， 故⑤错误， 故答案为：①②③． 3．（23-24八年级上·山东淄博·阶段练习）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．结合已有经验，请画出函数的图象，并探究该函数性质． (1)绘制函数图象 ①列表：下列是x与y的几组对应值，其中_____； x …… 1 2 3 4 5 …… y …… 1 5 5 a …… ②描点：根据表中的数值描点，请在下图中描出点； ③连线：请用平滑的曲线顺次连接各点，画出函数图象： (2)探究函数性质 请写出函数的两条性质：___________________________________________；___________________________________________． (3)运用函数图象及性质 ①写出方程的解_________________； ②写出不等式的解集_________________； ③写出不等式与的解集_________________． 【答案】(1)①1；②见解析；③见②图 (2)的图象关于y轴对称；当时，y随x的增大而增大（答案不唯一）； (3)①或；②或；③或． 【分析】本题考查了列表描点画函数图象，根据函数图象获取信息，画出函数图象，从函数图象获取信息是解题的关键． （1）①把代入解析式即可得的值；②③按要求描点，连线即可； （2）观察函数图象，可得函数性质； （3）①由函数图象可得答案；②观察函数图象即得答案；③观察函数图象即得答案． 【详解】（1）解：①列表：当时，， 故答案为：1； ②描点，③连线如下： （2）观察函数图象可得：的图象关于轴对称，当时，y随x的增大而增大； 故答案为：的图象关于轴对称；当时，y随x的增大而增大； （3）①观察函数图象可得：当时，或， ∴方程的解是或， 故答案为：或； ②观察函数图象可得，当或时，， ∴不等式的解集或， 故答案为：或； ③观察函数图象可得，当或时，， 不等式与的解集或， 故答案为：或． 【经典例题十一 判断反比例函数图象所在的象限】 【例11】（24-25八年级上·内蒙古包头·阶段练习）对于反比例函数，下列说法正确的是(      ) A．图象经过点 B．图象位于第一、三象限 C．y随x的增大而增大 D．当时， 【答案】D 【分析】本题考查的是反比例函数的性质，根据题目中的函数解析式和反比例函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：反比例函数， A、当时，，图象经过点，故选项A不符合题意； B、∵，故该函数图象位于第二、四象限，故选项B不符合题意； C、在每个象限内，随的增大而增大，故选项C不符合题意； D、∵当时，，时， ∴当时，，故选项D符合题意； 故选：D． 1．（23-24八年级上·山东泰安·期中）表示关系式（1），（2），（3），（4）的图像依次是（　　）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的图像，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键； 根据反比例函数的图形函数性质判断即可． 【详解】（1）是双曲线，，，故图像②符合； （2）是双曲线，，，故图像③符合； （3）是双曲线，，，故图像④符合； （4）是双曲线，，，故图像①符合； 故选：B 2．（2024八年级上·北京·专题练习）若点，在反比例函数y的图象上，且，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是反比例函数的图象和性质，由于的图象在一、三象限，根据反比例函数的性质得出不等式组，解不等式组即可求解． 【详解】解：由可知图象位于一、三象限，在每一象限内随的增大而减小， 点，在反比例函数的图象上，且， 点、不在同一象限， ∴点在第三象限，点在第一象限， ， 解得． 故答案为：． 3．（23-24八年级上·湖北襄阳·期末）某同学在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数的图象与性质．其探究过程如下： （1）绘制函数图象 ①列表：下表是与的几组对应值，其中____________； 1 2 3 ②描点：根据表中各组对应值，在平面直角坐标系中描出了各点； ③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象，请你把图象补充完整．    （2）探究函数性质 通过观察图象，写出该函数的两条性质： ①____________________________________； ②____________________________________． （3）运用图象和函数性质 当时，写出自变量的取值范围____________． 【答案】（1），图象见解析； （2）①函数的图象关于y轴对称， ②当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大； （3）或． 【分析】（1）把代入解析式即可求得，进而即可描点连线，补充图象； （2）根据（1）中的图象，从函数的对称性，增减性方面得出函数图象的两条性质即可； （3）根据图象得出答案． 【详解】解：（1）把代入得， ， ∴， 画出图象如图：    故答案为； （2）通过观察图象，得到： 性质1：函数的图象关于轴对称； 性质2：当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大； 故答案为：①函数的图象关于y轴对称，②当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大； （3）由图象可知，当时，自变量x的取值范围为或， 【点睛】本题考查反比例的图象和性质，列表、描点、连线是作函数图象的基本方法，利用图象得出性质和结论是解决问题的根本目的． 【经典例题十二 已知反比例函数的增减性求参数】 【例12】（2024·河南平顶山·二模）小明使用图形计算器探究函数的图象，他输入了一组a、b的值，得到了下面的函数图象，由学习函数的经验，可以推断出小明输入的a、b的值满足（　　）    A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查函数的图象；能够通过已学的反比例函数图象确定的取值是解题的关键．由图象可知，当时，，可知；根据函数解析式自变量的取值范围可以知道，结合图象可以知道函数的取不到的值大概是在1的位置，所以． 【详解】解：由图象可知，当时，， ； ，结合图象可以知道函数的取不到的值大概是在1的位置， ． 故选：C 1．（23-24八年级上·山东日照·期末）若点，，在反比例函数的图象上，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，根据反比例函数的图象与性质求解判断即可，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】∵， ∴反比例函数的图象经过第一、三象限，在每一象限内，随的增大而减小， ∵，， ∴点在第三象限内，点在第一象限内， ∴，则， 故选：． 2．（2024八年级上·全国·专题练习）反比例函数，当时，函数的最大值和最小值之差为，则 ． 【答案】或 【分析】根据反比例函数的增减性质列解一元一次方程解答即可．此题考查反比例函数的增减性：当>时，在每个象限内随的增大而减小，当时，在每个象限内随的增大而增大，以及正确解一元一次方程． 【详解】解：当>时，在每个象限内随的增大而减小， ∴设时，则当时，， ∴， 解得， ∴； 当时，在每个象限内随的增大而增大， ∴设时，则当时，， ∴， 解得， ∴； ∴或， 故答案为：或． 3．（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）为检测一种玩具气球的质量情况，需往气球里充满一定量的气体，当温度不变时，气球里的气体的压强是气体体积的反比例函数，其图象如图所示． (1)求反比例函数的表达式；（不用写自变量取值范围） (2)若气球内气体的压强不能超过，为安全起见，则其体积要控制在什么范围? 【答案】(1) (2)气体的体积应不小于 【分析】此题考查了反比例函数的应用． （1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）把代入（1）中的函数解析式，求出，根据反比例函数的增减性进行解答即可 【详解】（1）解：设，由题意知 ，即； （2）当时，． 在第一象限，随的增大而减小， 当时，， 为了安全起见，气体的体积应不小于． 【经典例题十三 比较反比例函数值或自变量的大小】 【例13】（2024上·山西晋中·九年级统考阶段练习）反比例函数的图象在第一、三象限，点、、是图象上的三点，则，，的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数图象在第一、三象限，反比例函数图象在第一、三象限，随的增大而减小，再根据三点横坐标的特点即可得出结论是解决问题的关键． 【详解】解：∵的图象在第一、三象限， ∴反比例函数图象在每个象限内随的增大而减小， ∵， ∴点、在第一象限，点在第三象限， ∴，， ∴， 故选：B． 1．（24-25八年级上·四川成都·期中）已知点，都在反比例函数的图象上，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质．根据题意可得，从而得到点Q在第一象限，而点P比点Q靠近y轴．画出如图的大致图象，在第一象限取一点Q，作点Q关于原点的对称点，连结，点P的位置可以是或，可得答案． 【详解】解：由题意得，，而4t的正负性无法判断，应分类讨论，才能比较与． ∵， ∴． ∴． ∴点Q在第一象限，而点P比点Q靠近y轴． ∴画出如图的大致图象，在第一象限取一点Q，作点Q关于原点的对称点， 连结，点P的位置可以是或．    ∴由图象可知，或到x轴的距离都比点Q到x轴的距离大． ∴． ∵． ∴， 故选C． 2．（24-25八年级上·山东威海·期中）已知点，都在反比例函数的图像上，若，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】此题主要考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的性质分两种情况进行讨论：①当点、在图象的同一支上时，与同正或同负，无解；②当点、在图象的两支上时，，，解得：，关键是掌握当时，在图象的每一支上，随的增大而增大． 【详解】解：， 在图象的每一支上，随的增大而增大， ①当点、在图象的同一支上时，与同正或同负，与相矛盾， 无解； ②当点、在图象的两支上时， ， ，， 解得：． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·广西南宁·期中）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点 (1)求反比例函数的表达式； (2)已知点都在反比例函数的图象上，若，比较，的大小． 【答案】(1) (2)在同一象限内，；两点不在同一象限内， 【分析】本题考查了求反比例函数解析式，反比例函数图象的性质； （1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）分在同一象限内，两点不在同一象限内，根据反比例函数图象，即可求解． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过点 ∴ ∴反比例函数的表达式为： （2）∵ ∴反比例函数的图象在每一个象限内，的值随的增大而增大， 分以下两种情形： ①在同一象限内，当时， 当时，， ②两点不在同一象限内， 当时，即 综上所述，在同一象限内，；两点不在同一象限内， 【经典例题十四 已知比例系数求特殊图形的面积】 【例14】（2024上·山东泰安·九年级统考期中）如图是反比例函数和在x轴上方的图象，轴的平行线分别与这两个函数图象交于、两点，点在轴上，则的面积为（　　） A．3 B．6 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是反比例函数系数的几何意义，利用反比例函数的比例系数的几何意义求出与的面积，从而得出的面积，最后运用平行线之间三角形“同底等高”面积相等的性质，即可得到答案．掌握反比例函数系数的几何意义是解题的关键． 【详解】解：如图， 连接、，设交轴于， 轴的平行线分别与这两个函数图象相交于点，， 轴， 点、在反比例函数和在轴上方的图象上， ， ， 轴, 与“同底等高”， ， 故选：A． 1．（24-25八年级上·广东佛山·期中）如图，平行于x轴的直线与函数，的图象分别相交于A，B两点，点C在x轴的负半轴上．则的面积为（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，的几何意义，连接，根据反比例函数的几何意义，得出，即可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵轴， ∴， ，， 则， 故选：C． 2．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，点A，C在双曲线上，点B，D在双曲线上，轴，且四边形是平行四边形，则的面积为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了已知比例系数求特殊图形的面积，由平行于y轴的直线上的点横坐标相等，设出点的坐标，再根据平行四边形面积公式求解即可． 【详解】解：设，， 轴，四边形是平行四边形， 轴，， ， ，， ， ， 边上的高， 的面积， 故答案为：8． 3．（24-25八年级上·山东济南·期中）如图，点在反比例函数的图象上，过点P作轴交反比例函数的图象于点M，作轴交反比例函数的图象于点N，连接． (1)求k的值； (2)求的面积； (3)连接，直接写出的面积． 【答案】(1)6 (2) (3) 【分析】本题考查反比例函数解析式，反比例函数k的几何意义．掌握反比例函数图象上的任意一点作x轴、y轴的垂线，它们与x轴、y轴所围成的矩形面积为k的绝对值是解题关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）延长交y轴、x轴分别为A、B，得到，进而得到，求出即可求解； （3）根据题意得到，由即可求解． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， k的值为6； （2）解：如图，延长交y轴、x轴分别为A、B， ∵点 ∴， ∵点M、点N在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴， 的面积为； （3）解：的面积为．理由： ∵点M、点N在反比例函数的图象上， ∴， ∴ ， 的面积是． 【经典例题十五 根据图形面积求比例系数】 【例15】（2024上·广东佛山·九年级佛山市实验学校校考期中）如图，在平面直角坐标系中，点、均在反比例函数的图象上，若的面积为8，则k的值为（    ）．    A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】B 【分析】本题考查的是求解反比例函数的解析式，如图，过作轴于，过作轴于，证明，再利用面积公式列方程求解即可，熟记反比例函数比例系数的性质是解本题的关键. 【详解】：如图，过作轴于，过作轴于，      ∵点、均在反比例函数的图象上， ∴，解得：， ∴， ∴,，，, ∵， ∴， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去） ∴， 故选B 1．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，点A是反比例函数的图象上一点，过点A作轴，垂足为点C，延长至点B，使，点D是y轴上任意一点，连接，，若的面积是6，则k 的值是  （   ） A．2 B．4 C．3 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义，掌握反比例函数的图象与性质并能熟练运用数形结合的思想是解答问题的关键．连结、，轴，由得到．由得到，则，再根据反比例函数图象所在象限即可得到满足条件的k的值． 【详解】解：如图，连结、，    ∵轴， ∴． ∴． ∵， ∵， ∴， ∵图象位于第一象限，则， ∴． 故选B． 2．（24-25八年级上·四川乐山·课后作业）如图， 的顶点A在x轴上， 对角线，相交于点D，且点C，D在反比例函数 的图象上． 若的面积为4， 则k= ． 【答案】/ 【分析】设A点坐标为，设C点坐标为，进而得到，根据D点在反比例函数上可得，根据平行四边形的面积公式可得，即可求解． 【详解】解： 设A点坐标为，设C点坐标为， ∵C点在反比例函数上，因此代入C点坐标，得C点坐标为 ∵点D是线段的中点， ∴ ∵D点在反比例函数上， ∴，化简得：，即 根据平行四边形的面积公式可得：，即 联立得： 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质及反比例函数系数k的几何意义，灵活运用所学知识是解决问题的关键． 3．（24-25八年级上·山东威海·期末）如图，点A是反比例函数图象上一点，过点A作y轴的平行线，交函数的图象于点B，连接，交反比例函数的图象于点C，已知． (1)求k的值； (2)连接，若点A的横坐标为4，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，求反比例函数的解析式； （1）延长交轴于点，根据反比例函数的几何意义直接计算即可； （2）过点作，先求出正比例函数的解析式，然后求出点的坐标，从而求出，最后根据计算即可； 熟知反比例函数的几何意义是关键． 【详解】（1）解：如图，延长交轴于点， ∵点A是反比例函数图象上一点，过点A作y轴的平行线，交函数的图象于点B，且 ∴， 解得， 故k的值为； （2）如图，过点作， ∵点A的横坐标为4，点A是反比例函数图象上一点， ∴， ∵平行于y轴， ∴点的横坐标为4， 解得， ∴正比例函数的图象与反比例函数图象的交点的坐标为 ， 故的面积为． 【经典例题十六 求反比例函数解析式】 【例16】（2024·吉林长春·八年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点轴于点轴于点，交于点．若，则的值为（    ）    A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】根据A、B两点的坐标求出，由得到，再由反比例函数的性质得到，由此求出m的值即可得到答案． 【详解】解：∵，，轴，轴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵反比例函数的图象经过点、， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何综合，正确推出以及是解题的关键． 1．（24-25八年级上·四川成都·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过的顶点轴，延长交轴于点．若，则的值是（    ） A．1 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】设点，用含的代数式表示出点坐标，将、代入，即可求解， 本题考查了求反比例函数解析式，解题的关键是：表示出、的坐标． 【详解】解：∵， 设点，则，代入，得：，解得：， 故选：D． 2．（24-25八年级上·四川眉山·期中）在平面直角坐标系中，已知点，点，点，将绕点B顺时针旋转某个角度后，点A落在y轴的正半轴上，此时点C恰好落在反比例函数（k为常数，且）的图像上，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，勾股定理，求反比例函数解析式，设点A的对应点E坐标为，点C的对应点F坐标为，利用勾股定理求出，，，由旋转的性质可得；据此可得，解方程求出，进而可得，解方程可得，则． 【详解】解：设点A的对应点E坐标为，点C的对应点F坐标为， ∵点，点，点， ∴，，， 由旋转的性质可得， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·山东威海·阶段练习）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与x轴相交于点C． (1)求反比例函数的表达式； (2)观察图象，直接写出不等式的解集； (3)若为x轴上的一动点，连接，当的面积为3时，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)点P的坐标为或 【分析】主要考查了反比例函数几何综合题，求反比例函数解析式，根据一次函数与反比例函数的图象交点求不等式解集． （1）利用一次函数求出，问题随之得解； （2）反比例函数值大于一次函数值时自变量的取值范围即是不等式的解集，数形结合作答即可； （3）先求出，表示出，根据的面积为3，表示出，解方程即可求解． 【详解】（1）解：（1）函数的图象经过， ， 解得：， ， ， 反比例函数表达式为：； （2）函数的图象经过， ， ， 由图可得，不等式的解集是：或； （3）如图： 在中，当时，得， 解得：， ， ， ， ，， ， 解得：或8， 点P的坐标为或． 【经典例题十七 反比例函数与几何综合】 【例17】（2024上·山东淄博·九年级统考期中）如图，矩形的顶点和正方形的顶点都在反比例函数的图象上，点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质的应用，由题意，首先根据的坐标求出，然后可设，再由正方形，建立关于的方程，进而得解． 【详解】点的坐标为在反比例函数上， ． ． 反比例函数的解析式为． 点在反比例函数图象上， 可设． ． ∵正方形， ∴ ，． ， ． ． 故选：B． 1．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，矩形的顶点，分别在轴、轴的正半轴上，反比例函数的图象经过矩形的对称中心，与边交于点，且，连接，，，若的面积为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，反比例函数的图像上顶点的坐标特征，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握这些知识．设点，根据矩形的对称中心的性质得出延长恰好经过点，，确定，然后结合图像及反比例函数的意义，得出，代入求解即可． 【详解】解：四边形是矩形， ，，设点， 矩形的对称中心， 延长经过点，， ， ， ， ， 点在反比例函数图像上， ， ， ， ， 故选：B． 2．（24-25八年级上·山东青岛·期中）如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴的平行线交反比例函数的图象于点，点在轴上，若的面积为10，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数图象及性质，反比例函数和几何结合．根据题意连接，，继而得，即可求得值． 【详解】解：连接，， 轴， ， ， ， ， ， ． 3．（24-25八年级上·山东威海·期中）如图，点，在反比例函数的图象上，轴于点D，轴于点C，． (1)求m，n的值及反比例函数的表达式． (2)连接，在线段上是否存在点E，使的面积等于3，若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． (3)若P是y轴上的一个动点，请直接写出当的周长最小时点P的坐标． 【答案】(1)，， (2)存在， (3) 【分析】本题考查了反比例函数与几何的综合问题，解题的关键是求出函数解析式，根据反比例函数的性质解题. （1）将点A，点B坐标代入可求，由，即可求解； （2）由面积和差关系列出等式，即可求解； （3）作点关于y轴的对称点，连接交y轴于点，此时有最小值，求出的解析式，即可求解． 【详解】（1）解：点，在反比例函数的图象上， ， 即， ， ， ，， 点，点， ， 反比例函数的表达式为； （2）设点， ，，，， ， ， 点； （3）的周长， 又是定值， 当的值最小是，的周长最小， 如图，作点关于y轴的对称点，连接交y轴于点，此时有最小值， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 当时，， 点． 【经典例题十八 一次函数与反比例函数图象综合判断】 【例18】（2024上·山东烟台·九年级统考期中）反比例函数与一次函数（）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，先根据一次函数的性质判断出m取值，再根据反比例函数的性质判断出m的取值，二者一致的即为正确答案，要掌握它们的性质才能灵活解题． 【详解】解：A、由函数的增减性可知，但从函数图象与y轴的交点来看，相矛盾，故A错误； B、由函数的增减性可知，但从函数图象与y轴的交点来看，相矛盾，故B错误； C、由函数的图象可知，由函数的图象可知，故C正确； D、由函数的图象可知，由函数的图象可知，相矛盾，故D错误； 故选：C． 1．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）反比例函数中，当时，，点在此反比例函数图象上，则m的值为（    ） A．2 B． C．8 D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数，用待定系数法求反比例函数的解析式，再把代入函数解析式求出m的值即可． 【详解】解：如图， ∵在反比例函数的图象中，当时，， ∴反比例函数经过坐标， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为， ∵点在此反比例函数图象上， ∴ ∴， 故选：A． 2．（2024·宁夏银川·校考三模）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，，则不等式的解集是 ． 【答案】或 【分析】根据一次函数图象与反比例函数图象的上下位置关系结合交点坐标，即可得出不等式的解集． 【详解】解：将点代入反比例函数得：， 解得：， ∴反比例函数为， 将点代入得： ∴点的坐标是， ∴要使得不等式，只需要一次函数的图象在反比例函数图象的上方，结合两个函数图象的交点，可得：或 故答案为：或 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是根据两函数图象的上下位置关系解不等式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据两函数图象的上下位置关系结合交点坐标得出不等式的解集是关键． 3．（2024上·湖南常德·九年级校联考期中）如图，已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于点． (1)求n，a与b的值； (2)若，请直接写出x的取值范围； (3)求的面积． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）把代入反比例函数，求出k值，再把点B的坐标代入反比例函数解析式求出n的值，然后利用待定系数法即可确定a、b的值； （2）根据A、B的坐标结合图象即可得出答案． （3）求出直线与x轴的交点C的坐标，分别求出和的面积，然后相加即可． 【详解】（1）把点代入反比例函数， 得， ∴反比例函数为， ∵点也在反比例函数， ∴， ∴， ∵一次函数的图象过点，， ∴， 解得； （2）∵的x取值范围反映在图象上就是直线位于双曲线上方部分所对应的自变量的取值范围， ∴根据图象可知：的x的取值范围为或． （3）如图，设直线与x轴的交点为C， 当时，， ∴， ∴． 【点睛】本题是一次函数和反比例函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，函数与不等式的关系，熟练掌握其性质是解决此题的关键． 【经典例题十九 一次函数与反比例函数的交点问题】 【例19】（2024上·浙江·九年级周测）观察函数和的图像可知，不等式的解集为（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】A 【分析】联立函数解析式求出交点坐标，再根据图象即可得到不等式的解集． 【详解】解：联立函数和得到， ， 解得或， 即函数和的图像的交点为和，如图，    观察图象可知，不等式的解集为或， 故选：A 【点睛】此题考查了反比例函数和一次函数图象交点问题、图象法解不等式，准确求出交点坐标是解题的关键． 1．（24-25八年级上·安徽马鞍山·期中）如图，点在双曲线上，点在双曲线上，轴，点是轴上一点，连接、，若的面积是4，则的值（    ） A． B．7 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，反比例函数的图象，连接，设与轴交点为，得到，再利用反比例函数系数的几何意义，得到，，然后根据列方程求出的值，再结合函数图象即可得到答案，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，设与轴交点为， ∵轴， ∴轴，， ∵点在双曲线上，点在双曲线上， ∴，， ∴， 解得， ∵双曲线分布在二、四象限， ∴， ∴， 故选：． 2．（2024下·全国·八年级专题练习）如图，函数与函数（）的图像交于点A，则根据图像可得不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与不等式（组）的关系及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合．从图像上得到函数y＝﹣x+1与函数（x＞0）的图像交点坐标，再根据两个函数的增减性，即可得到不等式的解集． 【详解】解：函数与函数（）的图像交于点， 当时，函数（）的图像对应的点在函数的点的上边，不等式成立， ∴不等式的解集是． 故本题答案为：． 3．（2024上·四川泸州·九年级校考期中）如图，一次函数（为常数，且）的图像与反比例函数的函数交于，两点． (1)求一次函数的表达式； (2)在轴上是否存在点，使的周长最小，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题（求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点），待定系数法求一次函数的解析式，两点之间线段最短， （1）把点代入中求出，即，代入中求出即可； （2）求出点的坐标，作点关于轴的对称点，连接，与轴交于点，求出点即可； 理解求反比例函数与一次函数的交点坐标的实质和对称的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵一次函数（为常数，且）的图像与反比例函数的函数交于，两点， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴一次函数的解析式为； （2）作点关于轴的对称点，连接，与轴交于点， ∴， 此时的周长最小，则点即为所作， ∵一次函数（为常数，且）的图像与反比例函数的函数交于，两点， ∴， 解得：，， ∴，， ∴， 设直线的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴存在点，使的周长最小． 【经典例题二十 一次函数与反比例函数的实际应用】 【例20】（2024下·江苏苏州·八年级校考期中）为了响应“绿水青山就是金山银山”的号召，建设生态文明，德州市某工厂自年月开始限产并进行治污改造，其月利润万元与月份之间的变化如图所示，治污完成前是反比例函数图像的一部分，治污完成后是一次函数图像的部分，下列选项错误的是（    ） A．月份的利润为万元 B．治污改造完成后每月利润比前一个月增加万元 C．月份该厂利润达到万元 D．治污改造完成前后共有个月的利润低于万元 【答案】D 【分析】利用已知点求出一次函数与反比例函数的解析式，然后逐项分析即可解答． 【详解】解：A、设反比例函数的解析式为，把代入得，， 反比例函数的解析式为：， ∵当时，， 月份的利润为万元，正确，不合题意； B、治污改造完成后，从月到月，利润从万到万，故每月利润比前一个月增加万元，正确，不合题意； C、设一次函数解析式为：， 则，解得：， 故一次函数解析式为：， 当时，，解得：， ∴治污改造完成后的第个月，即月份该厂利润达到万元，正确，不合题意． D、当时，，解得：， ∴只有月，月，月共个月的利润低于万元，不正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了一次函数与反比函数的应用，正确求出函数解析是解题关键． 1．（2024上·河北邢台·九年级校考期末）某品牌热水器中，原有水的温度为，开机通电，热水器启动开始加热（加热过程中水温与开机时间x分钟满足一次函数关系），当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降（水温下降过程中水温与开机时间x分钟成反比例函数关系）．当水温降至时，热水器又自动以相同的功率加热至……重复上述过程，如图，根据图像提供的信息，则 （1）当时，水温开机时间x分钟的函数表达式 ； （2）当水温为时， ； （3）通电分钟时，热水器中水的温度y约为 ． 【答案】 【分析】（1）设直线解析式为，结合图像点，代入即可得到答案； （2）设反比例函数解析式为，结合图像点代入求出k，将代入即可得到答案； （3）根据（1）（2）解析式得到从℃加热到℃，需要的时间，从而得到相应时间段，然后利用第一段反比例函数求值即可得到答案． 【详解】解：（1）设直线解析式为，将点，代入可得， ，解得， 故答案为：； （2）设反比例函数解析式为，将点代入可得， ， ∴， 当时， ，解得， 故答案为； （3）当时，，解得， ∴从℃加热到℃，需要分钟，，，，将 代入，，可得． 【点睛】本题考查反比例函数图像与一次函数图像共存问题，解题的关键是求出两个解析式及周期对应的时间． 2．（2024上·云南红河·九年级统考期末）国家卫健委官方网站消息，截至2024年11月25号，31个省（自治区、直辖市）和新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗344311.4万剂次，疫苗在2024年经过三期临床试验时，测得成人注射一针疫苗后体内抗体浓度与注射时间天之间的函数关系如图所示． (1)根据图象求与之间的函数关系式； (2)体内抗体浓度不低于的持续时间为多少天？ 【答案】(1) (2)体内抗体浓度不低于的持续时间为31天 【分析】（1）利用待定系数法求解析式； （2）分别求出当时，当时的x的值，即可得到答案． 【详解】（1）解：当时，设与之间的函数关系式是， 图象过，则，解得：， 与之间的函数关系式是： 当时，设与之间的函数关系式是，图象过，， 解得：，与之间的函数关系式是 （2）当时，，解得：． 当时，，解得： （天） 答：体内抗体浓度不低于的持续时间为31天． 【点睛】此题考查了一次函数与反比例函数的实际应用，待定系数法求函数解析式，已知函数值求自变量的值，正确理解题意是解题的关键． 3．（23-24八年级上·福建福州·阶段练习）在平面直角坐标系中，画出反比例函数的图象，并写出当时，y的取值范围. 【答案】图象见解析，或. 【分析】本题考查了反比例函数的图像及性质及画函数图像，描点画出图形，进而即可写出当时，y的取值范围． 【详解】解：列表如下： x … 1 2 3 6 … y … 6 3 2 1 … 函数图象如下： . 当时，或.    . 【经典例题二十一 一次函数与反比例函数的其他综合应用】 【例21】（2024上·安徽蚌埠·九年级校联考期中）如图，是坐标原点，的直角顶点，，反比例函数的图象经过斜边的中点，为该反比例函数图象上的一点，若则下列说法错误的是（    ） AI    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件得出的坐标，根据中点坐标公式得出的坐标，进而即可求解k的值，求得直线，联立与反比例函数解析式，得出的坐标，进而根据两点距离公式求得，，进而即可求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴，，则， ∴ ∵是的中点， ∴， ∵反比例函数的图象经过斜边的中点． ∴；故A不符合题意； ∴反比例数解析式为 ∵，， 设直线的解析式为 ∴ 解得： ∴直线的解析式为， ∵， 设直线的解析式为，将点代入并解得， ∴直线的解析式为， ∵反比例数解析式为， 联立， 解得：或， ∵D的横坐标大于2，则，故B不符合题意； 当时， ，故C不符合题意； 而， ∴，故D符合题意； 故选D 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，反比例函数与一次函数交点问题，平行线的性质，求解一次函数的解析式，勾股定理的应用，一元二次方程的解法，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 1．（2024·山东德州·中考真题）如图点A，C在反比例函的图象上，点B，D在反比例函数的图象上，轴，若，，与的距离为5，则的值为（   ） A． B．1 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是：根据题意列出等量关系式．设，两点的坐标分别为 、 ，根据点与点的横坐标相同，点与点的横坐标相同，得到点B的坐标为，点D的坐标为，由，，得到，根据与的距离为5，把代入中，即可求解． 【详解】解：设，两点的坐标分别为 、 ， ∵轴， ∴点与点的横坐标相同，点与点的横坐标相同， ∴点B的坐标为，点D的坐标为， ∵，， ∴ ， 解得 ， ∵与的距离为5， ∴ ， 把代入中，得： ， 即， 解得：， 故选：D． 2．（2024上·重庆·九年级重庆市凤鸣山中学校联考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点B、D在反比例函数的图象上，对角线与相交于坐标原点O，若点，菱形的边长为5，则k的值是 ．    【答案】8 【分析】根据菱形的性质得到，根据勾股定理得到，，求得直线的解析式为，求得的解析式为，设，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵点， ∴， ∵菱形的边长为5， ， ∴， ∵对角线与相交于坐标原点O， ∴直线的解析式为， ∴的解析式为， 设， ， 或（舍去）， ， ∵D在反比例函数的图象上， ， 故答案为：8． 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、菱形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答． 3．（2024上·山东青岛·九年级校考期中）如图，已知，是一次函数的图像与反比例函数的图像的两个交点．    (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)根据图像写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围； (3)求的面积； (4)在x轴上是否存在一点P，使是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或 (3) (4)存在，P点坐标为，，， 【分析】（1）首先把A点的坐标代入反比例函数解析式中，求得反比例函数解析式，然后把B点坐标代入反比例函数解析式中求得B点的坐标，再根据待定系数法求得一次函数的解析式； （2）一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围，就是一次函数的图像在反比例函数的图像的上方部分自变量的范围； （3）设一次函数与y轴交点为C，由一次函数解析式可得，所以，进而可得和，所以可得答案； （4）当是等腰三角形时，分三种情况讨论：①当时，②当时，③当时，分别求P点坐标即可． 【详解】（1）将代入得：，   则反比例函数的解析式是， 将代入得：，      则B的坐标为，   将，代入得：   ， 解得：，   ∴一次函数的解析式为． （2）根据图像，结合题意，得或． （3）设一次函数与y轴交点为点C，由一次函数解析式， 当时，代入解析式得， ∴， ∴， ∴ ， ∴的面积为； （4）在x轴上存在点P，使是等腰三角形 由可得：， 当是等腰三角形时，分三种情况讨论： ①当时，过点A作轴于点S，由，等腰三角形三线合一的性质得：    ，由 ，， ∴， 故； ②当时，根据题意，得， 在中，由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴， ③当时，P点在O点左侧时，， P点在O点右侧时，， 综上所述，当P点坐标为，，，时，是等腰三角形． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，等腰三角形的判定和性质，分类思想，勾股定理，熟练掌握待定系数法，勾股定理和分类思想是解题的关键． 1．（2024·湖南郴州·模拟预测）1896年，挪威生理学家古德贝发现，每个人有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长的特点，这就导致每个人在蒙上眼睛行走时，虽然主观上沿某一方向直线前进，但实际上走出的是一个大圆圈！这就是有趣的“瞎转圈”现象．经研究，某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径y/米是其两腿迈出的步长之差x/厘米的反比例函数，y与x之间有如下表的关系： x/厘米 1 2 3 5 y/米 14 7 2.8 当某人两腿迈出的步长之差为0.5厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为（    ） A．7米 B．14米 C．21米 D．28米 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的应用，正确的理解题意是解题的关键． 先用待定系数法求出反比例函数解析式，再把代入反比例函数的解析式求解即可． 【详解】解：设与之间的函数表达式为， ， ， 与之间的函数表达式为； 当时，米， 当某人两腿迈出的步长之差为0.5厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为28米； 故选：D． 2．（23-24八年级上·四川雅安·期末）如图，轴，垂足为D，分别交双曲线于点A，B，若的面积为6，则k的值为（　     　）                                       A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【分析】本题考查了反比例系数k的几何意义，设，则，根据k的几何意义，得到，，进而得到，根据的面积为6，列出方程求解即可． 【详解】解：设， ∵轴，垂足为D，分别交双曲线于点A，B，， ∴，， ∴， ∵的面积为6， ∴， 解得：， 故选：A． 3．（24-25八年级上·全国·课后作业）一次函数与反比例函数在同一直角坐标系内的大致图象如图，则k，b的取值范围是（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数和一次函数的图象，掌握函数图象在哪个象限内与相关参数的关系是解题的关键． 先判断出一次函数与反比例函数的图象在哪个象限内，再判断出k、b的大小即可． 【详解】解：∵一次函数的图象与y轴的交点在y轴的负半轴上． ∴. ∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴， 综上所述， ． 故选C． 4．（23-24八年级上·内蒙古·阶段练习）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数的图象在第一象限交于点，连接，且．则不等式的解集为(    ) A．或 B．或 C．或 D．-3<x<0或x>3 【答案】C 【分析】根据题意可得B（2，0），C（0，-2），再根据，可求出A的坐标为（3，1），从而可得出反比例函数解析式为：，将不等式变形为，即可得不等式的解集是一次函数大于反比例函数时的取值范围，即可得出答案． 【详解】∵直线与轴交于点，与轴交于点， ∴可得B（2，0），C（0，-2）， ∵， ∴点A的纵坐标为1， 将A的纵坐标代入得x=3， ∴A（3，1）， ∴反比例函数解析式为：， 联立两个解析式得， 解得或， ，即不等式的解集是一次函数大于反比例函数时的取值范围， ∴取值范围是或， 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数和几何综合，解不等式，将不等式变形得出不等式的解集是一次函数大于反比例函数时的取值范围是解题关键． 5．（23-24八年级上·山东枣庄·自主招生）如图，在平面直角坐标中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，正方形的顶点C、D在第一象限，顶点D在反比例函数的图象上，若正方形向左平移n个单位后，顶点C恰好落在该反比例函数的图象上，则n的值是（    ） A．1 B．3 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数的图象及性质，正方形的性质；熟练掌握反比例函数解析式的求法，灵活运用正方形的性质是解题的关键．过点作轴过点作轴，可证，，则可求，，确定函数解析式，向左移动个单位后为，进而求的值； 【详解】解：在正方形中，， 过点作轴，过点作轴， ，， ， ，， ， ，， 当时，， 令，解得， ∴，， ， 顶点在反比例函数上， ， ， 同理可证：， ，， ， 向左移动个单位后为， ， ， 故选：A． 6．（24-25八年级上·湖南常德·期中）若点，在双曲线上，则，的大小关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据时，在每一象限内，的值随着的增大而减小，据此即可求解，掌握反比例函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴在每一象限内，的值随着的增大而减小， ∵， ∴， 故答案为：． 7．（24-25八年级上·山东泰安·期中）在反比例函数的图象上有两点，当时，有，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查反比例函数的性质．首先根据当时，有则判断函数图象所在象限，再根据所在象限判断的取值范围． 【详解】解：时，， 反比例函数图象在第一，三象限， ， 解得：． 故答案为：． 8．（24-25八年级上·福建福州·阶段练习）已知点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是 ．（用<号连接） 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．根据反比例函数的性质先判断图象分布的信息，再判断函数在各个象限内的增减性即可判断大小． 【详解】解：， 故反比例函数图象分布在第二、四象限，在每个象限内随的增大而增大， 在第二象限， ， ， ， ， 故答案为：． 9．（24-25八年级上·上海·期中）在直角坐标系中，已知点，，，若反比例函数在第一象限内的图像与三角形有交点，那么的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，两函数交点坐标的求法，有一定难度．注意自变量的取值范围． 根据反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数和三角形有交点的临界条件分别是交点为、与线段有交点，由此求解即可． 【详解】解：反比例函数和三角形有交点的第一个临界点是交点为． ∵过点的反比例函数解析式为， ； 随着值的增大，反比例函数的图象必须和线段有交点才能满足题意， 经过，的直线解析式为， 由， 得：． 根据， 得：． 综上可知：． 故答案为：． 10．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点，在轴上，若点，，则实数的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数，根据，的纵坐标相同以及点在反比例函数上得到的坐标，进而用代数式表示的长度，然后根据列出一元一次方程求解即可． 【详解】四边形是平行四边形， ,的纵坐标相同， ， 的纵坐标是， 点在反比例函数图象上， 将代入函数表达式中，得到， ， ， ，的纵坐标是， ， 即， 解得． 故答案为：． 11．（24-25八年级上·山东威海·期中）已知汽车匀速从A市行驶到B市，设汽车行驶的时间为t小时，速度为v千米/时，且速度限定为不超过120千米/时．若从A市到B市汽车的行驶里程为480千米． (1)求关于的函数表达式和自变量t的取值范围； (2)若汽车从上午从市出发，如果汽车在当天到之间到达市，求汽车行驶速度的范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查反比例函数在行程问题中的应用： （1）根据时间、速度、路程之间的关系可列函数表达式，根据限速情况求t的取值范围； （2）先计算出上午到以及到的时长，再将它们分别代入关于的函数表达式，即可得汽车行驶的速度范围． 【详解】（1）解：由题意知， 关于的函数表达式为：， 速度限定为不超过120千米/时， ， ， ； （2）解：到用时小时，到用时小时， 将代入，得：， 将代入，得：， 汽车行驶速度的范围为． 12．（24-25八年级上·福建福州·期中）如图，它是反比例函数（为常数，且）图象的一支． (1)的取值范围为 ；画出图象另一支的示意图； (2)在这个函数图象上任取点和．若，判断和的大小关系，并说明． 【答案】(1)，图见解析 (2)见解析 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质，是解题的关键： （1）根据反比例函数图象所在的象限，判断的取值范围，利用对称性画出另一支的示意图即可； （2）分在同一象限内，和不在同一象限内两种情况进行讨论说明即可． 【详解】（1）解：由图象可知，反比例函数图象过第二象限，则另一支在第四象限， ∴， ∴， 画图如下： （2）由图象可知：在每一个象限内，随的增大而增大， ∵和在反比例函数图象上， ∴当在同一象限内时，， 当不在同一象限内时，； 13．（24-25八年级上·上海·期中）如图，双曲线经过点和点，轴，点是的中点． (1)试求的值； (2)试求三角形的面积． 【答案】(1)； (2)9． 【分析】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，坐标与图形性质，以及反比例函数的意义，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． （1）将坐标代入反比例解析式求出的值即可； （2）设点C的坐标为，由点是的中点，可得，再由轴，，得出，解得，可求得，再根据三角形面积公式求出三角形面积． 【详解】（1）解：将点代入解析式， 得：； （2）解：由（1）得反比例函数关系式为， 设点C的坐标为， 点是的中点， ， 轴，， ， ， ， 三角形的面积． 14．（24-25八年级上·山东威海·期中）如图，已知，，三点在反比例函数的图象上，且． (1)当时，连接，，，求的面积（用含k的式子表示）． (2)请比较与的大小关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征， （1）将点，，代入在反比例函数，然后利用割补法求面积即可； （2）将点，，代入在反比例函数，可得，，再由，即可得出答案． 【详解】（1）解： 当时，，，， ，，三点在反比例函数的图象上， ，，， ∴，，， 如图，过作轴于，过作交于，过作交于，则，， ∴，，， ∴ ； （2）解：，理由如下： ∵，，三点在反比例函数的图象上， ，，， ，， ∵，， ∴， ． 15．（23-24八年级上·江苏盐城·期末）为预防某种流感病毒，某校对教室采取喷洒药物的方式进行消毒．在消毒过程中，先进行的药物喷洒，接着封闭教室，然后打开门窗进行通风．教室内空气中的含药量与药物在空气中的持续时间之间的函数关系如图所示，在打开门窗通风前分别满足两个一次函数关系，在通风后满足反比例函数关系． (1)求药物喷洒后空气中含药量与药物在空气中的持续时间的函数表达式； (2)如果室内空气中的含药量达到及以上且持续时间不低于，才能有效消毒，通过计算说明此次消毒是否有效？ 【答案】(1)； (2)此次消毒有效，理由见解析 【分析】本题考查了反比例函数的应用：能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型，理解题意以及对函数的分类讨论是解题关键． （1）当时，y与x为反比例函数关系式，，可得反比例函数解析式； （2）计算正比例函数和反比例函数的函数值为5对应的自变量的值，则它们的差为含药量不低于的持续时间，然后与比较大小即可判断此次消毒是否有效． 【详解】（1）解：当时， 设，将代入， 则， ∴； （2）解：此次消毒有效．理由如下： 当时， 设，将代入， 则，解得：， ∴； 当时，，解得， 当时，，解得， ∵， ∴此次消毒有效． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 反比例函数的图象与性质重难点题型专训（21大题型+15道拓展培优） 题型一 用反比例函数描述数量关系 题型二 根据定义判断是否是反比例函数 题型三 根据反比例函数的定义求参数 题型四 求反比例函数值 题型五 由反比例函数值求自变量 题型六 判断（画）反比例函数图象 题型七 已知反比例函数的图象，判断其解析式 题型八 由反比例函数图象的对称性求点的坐标 题型九 已知双曲线分布的象限，求参数范围 题型十 判断反比例函数的增减性 题型十一 判断反比例函数图象所在的象限 题型十二 已知反比例函数的增减性求参数 题型十三 比较反比例函数值或自变量的大小 题型十四 已知比例系数求特殊图形的面积 题型十五 根据图形面积求比例系数 题型十六 求反比例函数解析式 题型十七 反比例函数与几何综合 题型十八 一次函数与反比例函数图象综合判断 题型十九 一次函数与反比例函数的交点问题 题型二十 一次函数与反比例函数的实际应用 题型二十一 一次函数与反比例函数的其他综合应用 知识点一、反比例函数的定义 一般地，形如 (为常数，)的函数称为反比例函数，其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数. 特别说明： （1） 在中，自变量是分式的分母，当时，分式无意义，所以自变 量的取值范围是，函数的取值范围是.故函数图象与轴、轴无 交点. （2） ()可以写成()的形式，自变量的指数是－1，在解 决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一条件. （3） ()也可以写成的形式，用它可以迅速地求出反比例函数的比 例系数，从而得到反比例函数的解析式. 知识点二、确定反比例函数的关系式 确定反比例函数关系式的方法仍是待定系数法，由于反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要知道一对的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出的值，从而确定其解析式. 　　用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是： 　（1）设所求的反比例函数为： ()； （2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入关系式，得到关于待定系数的方程； （3）解方程求出待定系数的值； （4）把求得的值代回所设的函数关系式中. 知识点三、反比例函数的图象和性质 　　1、反比例函数的图象特征： 反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与轴、轴相交，只是无限靠近两坐标轴. 特别说明： （1） 若点()在反比例函数的图象上，则点()也在此图象上，所以反 比例函数的图象关于原点对称； （2） 在反比例函数(为常数，)中，由于，所以两个分支 都无限接近但永远不能达到轴和轴． 2、画反比例函数的图象的基本步骤： （1）列表：自变量的取值应以0为中心，在0的两侧取三对（或三对以上）互为相反数的值，填写值时，只需计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数； （2）描点：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点； （3）连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线.注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交； （4）反比例函数图象的分布是由的符号决定的：当时，两支曲线分别位于第一、三象限内，当时，两支曲线分别位于第二、四象限内． 3、反比例函数的性质 （1）如图1，当时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，值随值的增大而减小； 　（2）如图2，当时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，值随值的增大而增大； 特别说明：反比例函数的增减性不是连续的，它的增减性都是在各自的象限内的增减情况，反比例函数的增减性都是由反比例系数的符号决定的；反过来，由双曲线所在的位置和函数的增减性，也可以推断出的符号. 【经典例题一 用反比例函数描述数量关系】 【例1】（23-24八年级上·云南文山·期末）已知点是反比例函数上一点，则下列各点中在该图像上的点是（    ） A． B． C． D． 1．（2024·湖北恩施·一模）如图的电路图中，用电器的电阻是可调节的，其范围为，已知电压，下列描述中错误的是（    ） A．与成反比例： B．与成反比例： C．电阻越大，功率越小 D．用电器的功率的范围为 2．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）若以方程 的两个实数根作为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数y的图象上，则满足条件的k值为 ． 3．（24-25八年级上·全国·假期作业）若矩形的两邻边长度分别为x，y，面积保持不变，下表给出了x与y的一些值求矩形面积． x 1 8 y 4 2 (1)请你根据表格信息写出y与x之间的函数关系式； (2)根据函数关系式完成上表． 【经典例题二 根据定义判断是否是反比例函数】 【例2】（2024·上海·模拟预测）下列关于函数说法错误的个数为（    ） （1）已知反比例函数的图像在第一象限，则k的取值范围是且； （2）单曲线不是反比例函数 （3）只要满足且自变量k为不为0的常数的函数，就是反比例函数 （4）抛物线的解析式由顶点坐标和开口方向决定 （5）直线是常值函数，常值函数不是函数 （6）直线不是函数 A．1 B．2 C．3 D．4 1．（2024·湖南株洲·一模）下列关系中，成反比例函数关系的是（　　） A．圆的面积与它的半径之间的关系 B．用频率估计概率时，概率与频率的关系 C．电压一定时，电流与电阻之间的关系 D．小明的身高与年龄之间的关系 2．（23-24八年级上·全国·单元测试）下列函数：①xy＝1；②y＝；③y＝5x－1；④y＝3－x，其中y不是x的反比例函数的有 ． 3．（2024八年级上·北京·专题练习）某商场出售一批进价为2元的贺卡，在市场营销中发现此商品的日销售单价x元与日销售量y个之间有如下关系： x （元） 3 4 5 6 y （个） 20 15 12 10 (1)请你认真分析表中数据，从你所学习过的一次函数、反比例函数和其它函数中确定哪种函数能表示其变化规律，说明确定是这种函数而不是其它函数的理由，并求出它的解析式； (2)设经营此贺卡的销售利润为W元，试求出W（元）与x（元）之间的函数关系式．若物价局规定此贺卡的售价最高不能超过10元/个，请你求出当日销售单价x定为多少元时，才能获得最大日销售利润？ 【经典例题三 根据反比例函数的定义求参数】 【例3】（23-24八年级上·江西吉安·期末）已知反比例函数，当时，y随x的增大而增大，则m的值为（    ） A．1 B． C． D．2 1．（23-24八年级上·浙江绍兴·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，轴于点，点是线段上的点，连接．点在线段上，且，函数的图象经过点．当点在线段上运动时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·全国·课后作业）在平面直角坐标系内，点， ，，分别在三个不同的象限，若反比例函数的图象经过其中两点，则的值为 ． 3．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）已知反比例函数的图象经过点． (1)求反比例函数表达式； (2)若点在该函数图象上，求m的值． 【经典例题四 求反比例函数值】 【例4】（24-25八年级上·安徽合肥·期中）点在反比例函数的图象上，则时，y的值为（   ） A． B． C． D．4 1．（23-24八年级上·山东菏泽·阶段练习）若反比例函数的图象经过，则这个函数的图象一定过（    ） A． B． C． D． 2．（2024·山东聊城·三模）如图是从原点开始的通道宽度为1的回形图，，反比例函数与该回形图的交点依次记为、、、……，则的坐标为 ． 3．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的3倍，那么称这样的方程为“三倍根方程”．例如，方程的两个根是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”． (1)下列方程是三倍根方程的是______；（填序号即可） ①；②；③． (2)如果关于的方程是“三倍根方程”，求的值； (3)如果点在反比例函数的图象上，那么关于的方程是“三倍根方程”吗？请说明理由． (4)如果关于的一元二次方程是“3倍根方程”，那么、c应满足的关系是______．（直接写出答案） 【经典例题五 由反比例函数值求自变量】 【例5】（23-24八年级上·吉林长春·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点、均在函数的图像上，顶点在函数的图像上，且轴，轴，若，则线段AB的长为（    ） A． B． C． D．2 1．（2024·江苏扬州·模拟预测）小明同学利用计算机软件绘制函数（为常数）的图象如图所示，由学习函数的经验，可以推断常数的值满足（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·四川达州·期末）个反比例函数，在第一象限内的图象如图所示，点在反比例函数的图象上，它们的横坐标分别是，纵坐标分别是1，3，5，…，共2024个连续奇数，过点分别作y轴的平行线，与的图象的交点依次为，的长为 ． 3．（24-25八年级上·安徽滁州·期中）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压（千帕）与气体的体积（立方米）成反比例关系，其图象如图所示． (1)求该反比例函数的表达式；（不用写自变量取值范围） (2)当气球内的气压是千帕时，求此时气体的体积是多少立方米． 【经典例题六 判断（画）反比例函数图象】 【例8】（23-24八年级上·山西临汾·期末）某中学要在校园内划出一块面积是的矩形土地作为花园，设这个矩形相邻两边长分别为米和米，则与之间的函数关系用图象表示大致是（   ） A． B． C． D． 1．（23-24八年级上·江苏泰州·期末）当菱形的面积一定时，它的两条对角线的长分别为．选取组数对，在坐标系中进行描点，则正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·内蒙古赤峰·期末）已知反比例函数图象上的三个点，，，其中，则，，的大小关系是 （用“＜”连接）． 3．（24-25八年级上·全国·课后作业）在同一平面直角坐标系中，分别画出函数与的图象． (1)填写表格： __ __ __ __ (2)根据表格中的对应值为点坐标，在下图中画出函数图象． 【经典例题七 已知反比例函数的图象，判断其解析式】 【例7】（23-24八年级上·江苏淮安·期中）如图是某同学利用计算机软件绘制的某函数的图像，根据图像判断可能是下列的哪一个函数（    ） A． B． C． D． 1．（2024·浙江温州·二模）某气球内充满一定质量的气体，温度不变时，气球内气体的压强与气体的体积的关系是如图所示的反比例函数．当气球内气体的压强大于200kPa，气球就会爆炸．为了不让气球爆炸，则气球内气体的体积需满足的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·北京·期末）如图为反比例函数的图象，请写出满足图象的一个的值 ．    3．（23-24八年级上·全国·课后作业）把下列函数的解析式与其图象对应起来． （1）；（2）；（3）；（4）． A．   B．   C．   D． 【经典例题八 由反比例函数图象的对称性求点的坐标】 【例8】（23-24八年级上·四川绵阳·期末）如图为反比例函数与在第一象限中的图象，点P为其中一个反比例函数图象上点，过点P作y轴的垂线与另一个反比例函数图象交于点A，过点P作x轴的垂线与另一个反比例函数图象交于点B，则面积应是（　　） A．1 B． C． D． 1．（23-24八年级上·江苏镇江·期末）如图，在平面直角坐标系中，有一个5×2的矩形DEFG网格，每个小正方形的边长都是1个单位长度，反比例函数（k≠0，x＞0）的图像经过格点A（小正方形的顶点），同时还经过矩形DEFG的边FG上的C点，反比例函数（k≠0，x＜0）的图像经过格点B，且，则k的值是（    ） A．2 B． C． D． 2．（23-24八年级上·浙江湖州·期末）如图，经过原点O的直线与反比例函数的图象交于A，B两点（点A在第一象限），过点A作AC∥x轴，与反比例函数图象交于点C，则△ABC的面积为 ． 3．（23-24八年级上·山西临汾·期中）阅读下列材料，完成后面任务： 我们知道，利用描点法可以画出反比例函数的图象，其图象是双曲线，那么如何画出函数的图象呢？下面是小明同学对该函数的图象画法的探究过程． 利用描点法画图象： 列表： x … -6 -2 0 1 1．5 2．5 3 4 6 10 … y … 0．5 0 -1 -3 -7 9 5 3 2 1．5 … 描点、连线： 任务： (1)函数的自变量的取值范围为______． (2)由图可知，该函数图象的对称中心是______． (3)由图象可知，该函数的图象是由函数的图象平移得到的，请写出平移方式． 【经典例题九 已知双曲线分布的象限，求参数范围】 【例9】（24-25八年级上·湖南邵阳·阶段练习）如图是三个反比例函数在轴上方的图象，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 1．（2024·云南昆明·一模）已知反比例函数的图象分别位于第一、三象限，则的值可以是（    ） A．0 B．2 C． D． 2．（2024·陕西西安·模拟预测）已知反比例函数的图象经过第一、三象限，与是反比例函数图象上的两个点，若且，则的值为 ． 3．（23-24八年级上·陕西西安·期末）已知一次函数与反比例函数图像交于，． (1)求反比例函数的表达式； (2)观察图像，请直接写出不等式的解集． 【经典例题十 判断反比例函数的增减性】 【例10】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）已知反比例函数，下列结论正确的是（    ） A．图象必经过点 B．图象在第一、三象限内 C．随的增大而增大 D．若，则 1．（2024·湖南岳阳·二模）如图所示，小英同学根据学习函数的经验，自主尝试在平面直角坐标系中画出了一个解析式为的函数图象．根据这个函数的图象，下列说法正确的是（    ）    A．图象与x轴没有交点 B．当时 C．函数图象关于原点成中心对称 D．y随x的增大而减小 2．（24-25八年级上·河北石家庄·开学考试）小明利用学习函数获得的经验研究函数的性质，得到如下结论： ①该函数自变量的取值范围为；②该函数与y轴交于点； ③该函数图象不经过第四象限；④该函数图象关于y轴对称； ⑤若，是该函数上两点，当时，一定有． 其中说法正确的有 ．（填序号） 3．（23-24八年级上·山东淄博·阶段练习）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．结合已有经验，请画出函数的图象，并探究该函数性质． (1)绘制函数图象 ①列表：下列是x与y的几组对应值，其中_____； x …… 1 2 3 4 5 …… y …… 1 5 5 a …… ②描点：根据表中的数值描点，请在下图中描出点； ③连线：请用平滑的曲线顺次连接各点，画出函数图象： (2)探究函数性质 请写出函数的两条性质：___________________________________________；___________________________________________． (3)运用函数图象及性质 ①写出方程的解_________________； ②写出不等式的解集_________________； ③写出不等式与的解集_________________． 【经典例题十一 判断反比例函数图象所在的象限】 【例11】（24-25八年级上·内蒙古包头·阶段练习）对于反比例函数，下列说法正确的是(      ) A．图象经过点 B．图象位于第一、三象限 C．y随x的增大而增大 D．当时， 1．（23-24八年级上·山东泰安·期中）表示关系式（1），（2），（3），（4）的图像依次是（　　）． A． B． C． D． 2．（2024八年级上·北京·专题练习）若点，在反比例函数y的图象上，且，则m的取值范围是 ． 3．（23-24八年级上·湖北襄阳·期末）某同学在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数的图象与性质．其探究过程如下： （1）绘制函数图象 ①列表：下表是与的几组对应值，其中____________； 1 2 3 ②描点：根据表中各组对应值，在平面直角坐标系中描出了各点； ③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象，请你把图象补充完整．    （2）探究函数性质 通过观察图象，写出该函数的两条性质： ①____________________________________； ②____________________________________． （3）运用图象和函数性质 当时，写出自变量的取值范围____________． 【经典例题十二 已知反比例函数的增减性求参数】 【例12】（2024·河南平顶山·二模）小明使用图形计算器探究函数的图象，他输入了一组a、b的值，得到了下面的函数图象，由学习函数的经验，可以推断出小明输入的a、b的值满足（　　）    A．， B．， C．， D．， 1．（23-24八年级上·山东日照·期末）若点，，在反比例函数的图象上，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 2．（2024八年级上·全国·专题练习）反比例函数，当时，函数的最大值和最小值之差为，则 ． 3．（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）为检测一种玩具气球的质量情况，需往气球里充满一定量的气体，当温度不变时，气球里的气体的压强是气体体积的反比例函数，其图象如图所示． (1)求反比例函数的表达式；（不用写自变量取值范围） (2)若气球内气体的压强不能超过，为安全起见，则其体积要控制在什么范围? 【经典例题十三 比较反比例函数值或自变量的大小】 【例13】（2024上·山西晋中·九年级统考阶段练习）反比例函数的图象在第一、三象限，点、、是图象上的三点，则，，的大小关系是（　　） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·四川成都·期中）已知点，都在反比例函数的图象上，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·山东威海·期中）已知点，都在反比例函数的图像上，若，则的取值范围是 . 3．（24-25八年级上·广西南宁·期中）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点 (1)求反比例函数的表达式； (2)已知点都在反比例函数的图象上，若，比较，的大小． 【经典例题十四 已知比例系数求特殊图形的面积】 【例14】（2024上·山东泰安·九年级统考期中）如图是反比例函数和在x轴上方的图象，轴的平行线分别与这两个函数图象交于、两点，点在轴上，则的面积为（　　） A．3 B．6 C． D． 1．（24-25八年级上·广东佛山·期中）如图，平行于x轴的直线与函数，的图象分别相交于A，B两点，点C在x轴的负半轴上．则的面积为（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 2．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，点A，C在双曲线上，点B，D在双曲线上，轴，且四边形是平行四边形，则的面积为 ． 3．（24-25八年级上·山东济南·期中）如图，点在反比例函数的图象上，过点P作轴交反比例函数的图象于点M，作轴交反比例函数的图象于点N，连接． (1)求k的值； (2)求的面积； (3)连接，直接写出的面积． 【经典例题十五 根据图形面积求比例系数】 【例15】（2024上·广东佛山·九年级佛山市实验学校校考期中）如图，在平面直角坐标系中，点、均在反比例函数的图象上，若的面积为8，则k的值为（    ）．    A．3 B．6 C．9 D．12 1．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，点A是反比例函数的图象上一点，过点A作轴，垂足为点C，延长至点B，使，点D是y轴上任意一点，连接，，若的面积是6，则k 的值是  （   ） A．2 B．4 C．3 D．6 2．（24-25八年级上·四川乐山·课后作业）如图， 的顶点A在x轴上， 对角线，相交于点D，且点C，D在反比例函数 的图象上． 若的面积为4， 则k= ． 3．（24-25八年级上·山东威海·期末）如图，点A是反比例函数图象上一点，过点A作y轴的平行线，交函数的图象于点B，连接，交反比例函数的图象于点C，已知． (1)求k的值； (2)连接，若点A的横坐标为4，求的面积． 【经典例题十六 求反比例函数解析式】 【例16】（2024·吉林长春·八年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点轴于点轴于点，交于点．若，则的值为（    ）    A．2 B．4 C．6 D．8 1．（24-25八年级上·四川成都·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过的顶点轴，延长交轴于点．若，则的值是（    ） A．1 B． C．3 D． 2．（24-25八年级上·四川眉山·期中）在平面直角坐标系中，已知点，点，点，将绕点B顺时针旋转某个角度后，点A落在y轴的正半轴上，此时点C恰好落在反比例函数（k为常数，且）的图像上，则k的值为 ． 3．（24-25八年级上·山东威海·阶段练习）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与x轴相交于点C． (1)求反比例函数的表达式； (2)观察图象，直接写出不等式的解集； (3)若为x轴上的一动点，连接，当的面积为3时，求点P的坐标． 【经典例题十七 反比例函数与几何综合】 【例17】（2024上·山东淄博·九年级统考期中）如图，矩形的顶点和正方形的顶点都在反比例函数的图象上，点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，矩形的顶点，分别在轴、轴的正半轴上，反比例函数的图象经过矩形的对称中心，与边交于点，且，连接，，，若的面积为，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·山东青岛·期中）如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴的平行线交反比例函数的图象于点，点在轴上，若的面积为10，则的值为 ． 3．（24-25八年级上·山东威海·期中）如图，点，在反比例函数的图象上，轴于点D，轴于点C，． (1)求m，n的值及反比例函数的表达式． (2)连接，在线段上是否存在点E，使的面积等于3，若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． (3)若P是y轴上的一个动点，请直接写出当的周长最小时点P的坐标． 【经典例题十八 一次函数与反比例函数图象综合判断】 【例18】（2024上·山东烟台·九年级统考期中）反比例函数与一次函数（）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）反比例函数中，当时，，点在此反比例函数图象上，则m的值为（    ） A．2 B． C．8 D． 2．（2024·宁夏银川·校考三模）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，，则不等式的解集是 ． 3．（2024上·湖南常德·九年级校联考期中）如图，已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于点． (1)求n，a与b的值； (2)若，请直接写出x的取值范围； (3)求的面积． 【经典例题十九 一次函数与反比例函数的交点问题】 【例19】（2024上·浙江·九年级周测）观察函数和的图像可知，不等式的解集为（    ） A．或 B． C． D．或 1．（24-25八年级上·安徽马鞍山·期中）如图，点在双曲线上，点在双曲线上，轴，点是轴上一点，连接、，若的面积是4，则的值（    ） A． B．7 C． D． 2．（2024下·全国·八年级专题练习）如图，函数与函数（）的图像交于点A，则根据图像可得不等式的解集是 ． 3．（2024上·四川泸州·九年级校考期中）如图，一次函数（为常数，且）的图像与反比例函数的函数交于，两点． (1)求一次函数的表达式； (2)在轴上是否存在点，使的周长最小，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【经典例题二十 一次函数与反比例函数的实际应用】 【例20】（2024下·江苏苏州·八年级校考期中）为了响应“绿水青山就是金山银山”的号召，建设生态文明，德州市某工厂自年月开始限产并进行治污改造，其月利润万元与月份之间的变化如图所示，治污完成前是反比例函数图像的一部分，治污完成后是一次函数图像的部分，下列选项错误的是（    ） A．月份的利润为万元 B．治污改造完成后每月利润比前一个月增加万元 C．月份该厂利润达到万元 D．治污改造完成前后共有个月的利润低于万元 1．（2024上·河北邢台·九年级校考期末）某品牌热水器中，原有水的温度为，开机通电，热水器启动开始加热（加热过程中水温与开机时间x分钟满足一次函数关系），当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降（水温下降过程中水温与开机时间x分钟成反比例函数关系）．当水温降至时，热水器又自动以相同的功率加热至……重复上述过程，如图，根据图像提供的信息，则 （1）当时，水温开机时间x分钟的函数表达式 ； （2）当水温为时， ； （3）通电分钟时，热水器中水的温度y约为 ． 2．（2024上·云南红河·九年级统考期末）国家卫健委官方网站消息，截至2024年11月25号，31个省（自治区、直辖市）和新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗344311.4万剂次，疫苗在2024年经过三期临床试验时，测得成人注射一针疫苗后体内抗体浓度与注射时间天之间的函数关系如图所示． (1)根据图象求与之间的函数关系式； (2)体内抗体浓度不低于的持续时间为多少天？ 3．（23-24八年级上·福建福州·阶段练习）在平面直角坐标系中，画出反比例函数的图象，并写出当时，y的取值范围. 【经典例题二十一 一次函数与反比例函数的其他综合应用】 【例21】（2024上·安徽蚌埠·九年级校联考期中）如图，是坐标原点，的直角顶点，，反比例函数的图象经过斜边的中点，为该反比例函数图象上的一点，若则下列说法错误的是（    ） AI    A． B． C． D． 1．（2024·山东德州·中考真题）如图点A，C在反比例函的图象上，点B，D在反比例函数的图象上，轴，若，，与的距离为5，则的值为（   ） A． B．1 C．5 D．6 2．（2024上·重庆·九年级重庆市凤鸣山中学校联考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点B、D在反比例函数的图象上，对角线与相交于坐标原点O，若点，菱形的边长为5，则k的值是 ．    3．（2024上·山东青岛·九年级校考期中）如图，已知，是一次函数的图像与反比例函数的图像的两个交点．    (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)根据图像写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围； (3)求的面积； (4)在x轴上是否存在一点P，使是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 1．（2024·湖南郴州·模拟预测）1896年，挪威生理学家古德贝发现，每个人有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长的特点，这就导致每个人在蒙上眼睛行走时，虽然主观上沿某一方向直线前进，但实际上走出的是一个大圆圈！这就是有趣的“瞎转圈”现象．经研究，某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径y/米是其两腿迈出的步长之差x/厘米的反比例函数，y与x之间有如下表的关系： x/厘米 1 2 3 5 y/米 14 7 2.8 当某人两腿迈出的步长之差为0.5厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为（    ） A．7米 B．14米 C．21米 D．28米 2．（23-24八年级上·四川雅安·期末）如图，轴，垂足为D，分别交双曲线于点A，B，若的面积为6，则k的值为（　     　）                                       A．4 B．6 C．8 D．10 3．（24-25八年级上·全国·课后作业）一次函数与反比例函数在同一直角坐标系内的大致图象如图，则k，b的取值范围是（　　）    A． B． C． D． 4．（23-24八年级上·内蒙古·阶段练习）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数的图象在第一象限交于点，连接，且．则不等式的解集为(    ) A．或 B．或 C．或 D．-3<x<0或x>3 5．（23-24八年级上·山东枣庄·自主招生）如图，在平面直角坐标中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，正方形的顶点C、D在第一象限，顶点D在反比例函数的图象上，若正方形向左平移n个单位后，顶点C恰好落在该反比例函数的图象上，则n的值是（    ） A．1 B．3 C．5 D．6 6．（24-25八年级上·湖南常德·期中）若点，在双曲线上，则，的大小关系是 ． 7．（24-25八年级上·山东泰安·期中）在反比例函数的图象上有两点，当时，有，则k的取值范围是 ． 8．（24-25八年级上·福建福州·阶段练习）已知点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是 ．（用<号连接） 9．（24-25八年级上·上海·期中）在直角坐标系中，已知点，，，若反比例函数在第一象限内的图像与三角形有交点，那么的取值范围为 ． 10．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点，在轴上，若点，，则实数的值为 ． 11．（24-25八年级上·山东威海·期中）已知汽车匀速从A市行驶到B市，设汽车行驶的时间为t小时，速度为v千米/时，且速度限定为不超过120千米/时．若从A市到B市汽车的行驶里程为480千米． (1)求关于的函数表达式和自变量t的取值范围； (2)若汽车从上午从市出发，如果汽车在当天到之间到达市，求汽车行驶速度的范围． 12．（24-25八年级上·福建福州·期中）如图，它是反比例函数（为常数，且）图象的一支． (1)的取值范围为 ；画出图象另一支的示意图； (2)在这个函数图象上任取点和．若，判断和的大小关系，并说明． 13．（24-25八年级上·上海·期中）如图，双曲线经过点和点，轴，点是的中点． (1)试求的值； (2)试求三角形的面积． 14．（24-25八年级上·山东威海·期中）如图，已知，，三点在反比例函数的图象上，且． (1)当时，连接，，，求的面积（用含k的式子表示）． (2)请比较与的大小关系，并说明理由． 15．（23-24八年级上·江苏盐城·期末）为预防某种流感病毒，某校对教室采取喷洒药物的方式进行消毒．在消毒过程中，先进行的药物喷洒，接着封闭教室，然后打开门窗进行通风．教室内空气中的含药量与药物在空气中的持续时间之间的函数关系如图所示，在打开门窗通风前分别满足两个一次函数关系，在通风后满足反比例函数关系． (1)求药物喷洒后空气中含药量与药物在空气中的持续时间的函数表达式； (2)如果室内空气中的含药量达到及以上且持续时间不低于，才能有效消毒，通过计算说明此次消毒是否有效？ 学科网（北京）股份有限公司 $$