专题06 解直角三角形四大经典模型重难点培优专题训练（4大题型）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学上册同步学与练（华东师大版）

专题06 解直角三角形四大经典模型重难点培优专题训练 题型导引 题型一：背靠背型 题型二：母子型（叠合式） 题型三：拥抱型 题型四：12345型 知识要点精讲 知识点01、背靠背型 【模型分析】 若三角形中有已知角时，则通过在三角形内作高，构造出两个直角三角形，求其中公共边是解题的关键． 【模型演变】 【模型突破】 如图①，CE＝DA，CD＝EA，CE＋BD＝AB；如图②，CD＝EF，CE＝DF，AD＋CE＋BF＝AB. 知识点02、母子型（叠合式） 【模型分析】 若三角形中有已知角，通过在三角形外作高BC，构造有公共直角的两个三角形求解，其中公共边BC是解题的关键． 【模型突破】 BC为公共边，如图①，AD＋DC＝AC；如图②，DC－BC＝DB. 【模型演变1】 【模型突破】 如图③，DF＝EC，DE＝FC，BF＋DE＝BC，AE＋DF＝AC；如图④，AF＝CE，AC＝FE，BC＋AF＝BE. 【模型演变2】 【模型突破】 如图⑤，BE＋EC＝BC；如图⑥，EC－BC＝BE；如图⑦，AC＝FG，AF＝CG，AD＋DC＝FG，BC＋AF＝BG. 【模型演变3】　 【模型突破】 如图⑧，BC＝FG，BF＝CG，AC＋BF＝AG，EF＋BC＝EG；如图⑨，BC＝FG，BF＝CG，EF＋BC＝EG，BD＋DF＝BF，AC＋BD＋DF＝AG. 知识点03、拥抱型 【模型分析】 分别解两个直角三角形，其中公共边BC是解题的关键． 【模型突破】 BC为公共边． 【模型演变】 【模型突破】 如图①，BF＋FC＋CE＝BE；如图②，BC＋CE＝BE；如图③，AB＝GE，AG＝BE，BC＋CE＝AG，DG＋AB＝DE. 知识点04、12345型 【模型分析】 为什么叫“12345”模型 何为“1，2，3”？ 如图，“tanα，tanβ”. 何为“4，5”？ 如图，当满足tanα，tanβ时，“α+β＝45°. 对于这里的数据，为了便于记忆，通常称为“12345”模型. 在如图所示的由大小相同的小正方形组成的网格内 图示 结论 图① 1.如图①，若tan∠，tan∠，则∠DAF+∠BAE＝45°;（“”+“”＝45°） 2.如图① ,若tan∠DFA＝3,tan∠AEB＝2,则∠DFA+∠AEB＝135°;（“3”+ “2”＝135°） 图② 3.如图②，若tan∠，tan∠AEB＝2，则∠AEB-∠AFG＝45°;（“2”- “”＝45°） 图③ 4.如图③，若tan∠DFA＝3，tan∠，则∠DFA-∠AEH＝45°;（“3”- “＝45°） 【模型突破】 结论1:如图①，若tan∠，tan∠，则∠DAF+∠BAE＝45°;（“”+“”＝45°） 证明:根据网格线计算，，AF＝0，AE2+EF2＝AF2， ∴△AEF是等腰直角三角形，且∠AEF＝90°，∴∠EAF＝45°，∵∠BAD＝90°，∴∠DAF+∠BAE＝45°. 结论2:如图①，若tan∠DFA＝3，tan∠AEB＝2，则∠DFA+∠AEB＝135°;（“3”+“2”＝135°） 证明:∵△AEF是等腰直角三角形， ∴∠AFE＝45°，∠AEF＝90°，∵∠AEB+∠FEC＝90°,∠FEC+∠EFC＝90°, ∴∠AEB＝∠EFC,∵∠DFA+∠EFC＝180°-∠AFE＝135°，∴∠DFA+∠AEB＝135°. 结论3:如图②，若tan∠，tan∠AEB＝2，则∠AEB-∠AFG＝45°;（“2”-“”＝45°） 证明:∵△AEF是等腰直角三角形， ∴∠EAF＝45°， ∵AD∥BC, ∴∠AEB＝∠DAE,∠AFG＝∠DAF, ∴∠AEB-∠AFG＝∠DAE-∠DAF＝∠EAF＝45°.（结论4证明同结论3） 【模型演变】 结论中未直接给出“12345”模型 图示 结论 图① 1.如图①,若tan∠AEB＝2,tan∠,则∠AEB+∠FEC＝90°;（“2”+“”＝90°） 图② 2.如图②,若tan∠AEB＝3,tan∠,则∠AEB+∠FEC＝90°;（“3”+“”＝90°） 图③ 3.如图③,若tan∠,tan∠,则tan（∠BDA+∠DBA）＝ tan∠;（“”+“”＝“”） 图④ 4.如图④,若tan∠,tan∠,则tan（∠BDA+∠DBA）＝ tan∠; （“”+“”＝“”） 重难点题型训练 题型一：背靠背型 1．（2014·江苏南京·一模）如图，A，B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地须经C地沿折线A﹣C﹣B行驶，全长68km．现开通隧道后，汽车直接沿直线AB行驶．已知∠A＝30°，∠B＝45°，则隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走多少千米？（结果精确到0.1km）（参考数据：≈1.4，≈1.7） 2．（19-20九年级上·湖南怀化·期末）为加强我市创建文明卫生城市宣传力度，需要在甲楼A处到E处悬挂一幅宣传条幅，在乙楼顶部D点测得条幅顶端A点的仰角∠ADF=45°，条幅底端E点的俯角为∠FDE=30°，DF⊥AB，若甲、乙两楼的水平距离BC为21米，求条幅的长AE约是多少米？（，结果精确到0.1米） 3．（2021·湖南永州·中考真题）已知锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，边角总满足关系式：． （1）如图1，若，求b的值； （2）某公园准备在园内一个锐角三角形水池中建一座小型景观桥（如图2所示），若米，米，，求景观桥的长度． 4．（2020·四川成都·二模）某次台风来袭时，一棵笔直且垂直于地面的大树AB被刮倾斜后在C处折断倒在地上，树的顶部恰好接触到地面D处，测得∠ACD＝60°，∠ADC＝37°，AD＝5米，求这棵大树AB的高．（结果精确到0.1米）（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，≈1.73）   5．（20-21九年级上·广东深圳·阶段练习）在一次课外活动中，甲、乙两位同学测量公园中孔子塑像的高度，他们分别在A，B两处用高度为1.5m的测角仪测得塑像顶部C的仰角分别为30°，45°，两人间的水平距离AB为20m，求塑像的高度CF．（结果保留根号） 6．（2021·云南·模拟预测）如图，我市计划在某工业园区内，为相距4千米的彩印公司、包装公司修一条笔直的公路．点P表示住宅小区，在彩印公司北偏东方向与包装公司北偏西方向的交点，住宅小区在以P为圆心，0.8千米为半径的范围内，问这条公路是否会穿越这个住宅小区？（参考数据：，） 7．（2021·甘肃武威·中考真题）如图1是平凉市地标建筑“大明宝塔”，始建于明嘉靖十四年（1535年），是明代平凉韩王府延恩寺的主体建筑．宝塔建造工艺精湛，与崆峒山的凌空塔遥相呼应，被誉为平凉古塔“双璧”．某数学兴趣小组开展了测量“大明宝塔的高度”的实践活动，具体过程如下： 方案设计：如图2，宝塔垂直于地面，在地面上选取两处分别测得和的度数（在同一条直线上）． 数据收集：通过实地测量：地面上两点的距离为． 问题解决：求宝塔的高度（结果保留一位小数）． 参考数据：，． 根据上述方案及数据，请你完成求解过程． 8．（2020·四川成都·中考真题）成都“339”电视塔作为成都市地标性建筑之一，现已成为外地游客到成都旅游打卡的网红地．如图，为测量电视塔观景台处的高度，某数学兴趣小组在电视塔附近一建筑物楼顶处测得塔处的仰角为45°，塔底部处的俯角为22°．已知建筑物的高约为61米，请计算观景台的高的值． （结果精确到1米；参考数据：，，） 9．（2020·内蒙古包头·三模）如图，在四边形中，，点D在上，，连接，且． （1）求△ADE的面积． （2）求的长度． （本题中计算过程和结果均保留根号） 10．（2020九年级下·辽宁盘锦·学业考试）一滑板运动场斜坡上的点处竖直立着一个旗杆，旗杆在其点处折断，旗杆顶部落在斜坡上的点处，米，折断部分与斜坡的夹角为75°，斜坡与水平地面的夹角为30°，求旗杆的高度． （, ，精确到1米）． 题型二：母子型（叠合式） 1．（20-21九年级上·江苏无锡·期中）由于发生山体滑坡灾害，武警救援队火速赶往灾区救援，探测出某建筑物废下方点C处有生命迹象，在废墟一侧地面上探测点A、B相距2米，探测线与该地面的夹角分别是30°和60°（如图所示），试确定生命所在点C的深度．（参考数据：≈1.414，≈1.732，结果精确到0.1） · 2．（18-19九年级上·浙江杭州·开学考试）如图是某工厂货物传送带的平面示意图．为提高传送过程的安全性，工厂计划改造传送带与地面的夹角，使其由原来的43°减小为30°．已知原传送带AB长为5米． （1）求新传送带AC的长度（结果保留小数点后一位）； （2）新旧货物传送带着地点B、C之间相距多远（结果保留小数点后一位）？ （参考数据：cos30°≈0.866，tan30°≈0.577，sin43°≈0.682，cos43°≈0.731，tan43°≈0.933．） 3．（19-20八年级下·浙江宁波·期末）如图，某轮船在海上向正东方向航行，在点处测得小岛在北偏东方向，之后轮船继续向正东方向行驶到达处，这时小岛在船的北偏东方向海里处．    （1）求轮船从处到处的航速． （2）如果轮船按原速继续向正东方向航行，再经过多少时间轮船才恰好位于小岛的东南方向？ 4．（20-21九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，山顶上有一个信号塔AC，已知信号塔高AC＝16米，在山脚下点B处测得塔底C的仰角是30°，塔顶A的仰角是45°，求山高CD（点A，C，D在同一条竖直线上）．（结果保留根号）    5．（20-21九年级·全国·假期作业）如图，某大楼的顶部竖有一块宣传牌，小明在斜坡的坡脚处测得宣传牌底部的仰角为，沿斜坡向上走到处测得宣传牌顶部的仰角为，已知斜坡的坡度，米，米，求宣传牌的高度．（测角器的高度忽略不计，参考数据：，， 6．（2021·安徽宿州·二模）如图，在数学综合实践活动中，某小组想要测量某条河的宽度，小组成员在专业人员的协助下利用无人机进行测量，在处测得，两点的俯角分别为45°和30°（即，）．若无人机离地面的高度为120米，且点，，在同一水平直线上，求这条河的宽度．（结果精确到1米）．（参考数据：，） 7．（20-21八年级上·山东·期中）如图，学校科技小组计划测量一处电信塔的高度，小明在A处用仪器测得到塔尖D的仰角∠DAC＝15°，向塔正前方水平直行260m到达点B，测得到塔尖的仰角∠DBC＝30°，若小明的眼睛离地面1.6m，你能计算出塔的高度DE吗？写出计算过程． 8．（2020·辽宁鞍山·中考真题）图1是某种路灯的实物图片，图2是该路灯的平面示意图，为立柱的一部分，灯臂，支架与立柱分别交于A，B两点，灯臂与支架交于点C，已知，，，求支架的长．（结果精确到，参考数据：，，）         9．（2020·河南·模拟预测）如图，在一次空中表演中，水平飞行的歼——10飞机在点发现航展观礼台在俯角为21°方向上.飞机继续向前飞行了800米到达点.此时测得点在点俯角为45°的方向上.请你计算当飞机飞到点的正上方点时（点、、在同一直线上），竖直高度约为多少米？（结果保留整数，参考数值：，，） 10．（2020·河南·二模）如图，一艘渔船沿南偏东42°方向航行，在A处测得一个小岛P在其南偏东64°方向．又继续航行海里到达B处，测得小岛P位于渔船的南偏东72°方向，已知以小岛P为圆心，半径海里的圆形海域内有暗礁．如果渔船不改变航向有没有触礁的危险，请通过计算加以说明．如果有危险，渔船自B处开始，沿南偏东多少度的方向航行，能够安全通过这一海域？（参考数据：，，）    题型三：拥抱型 1．（19-20九年级上·湖南永州·期末）宋家州主题公园拟修建一座柳宗元塑像，如图所示，柳宗元塑像（塑像中高者）在高的假山上，在处测得塑像底部的仰角为，再沿方向前进到达处，测得塑像顶部的仰角为，求柳宗元塑像的高度. （精确到.参考数据：，，，） 2．（18-19九年级上·河南新乡·期末）某公园的人工湖边上有一座山，山顶上有一直竖的建筑物，高为10米.某校数学兴趣小组的同学为了测量山的高度，在公园找了一水平地面，在处测得建筑物点（即山顶）的仰角为，沿水平方向前进20米到达点，测得建筑物顶部点的仰角为，求山的高度.（结果精确到1米，参考数据：，，） 3．（18-19九年级·安徽·阶段练习）如图，某公园的人工湖边上有一座假山，假山顶上有一座高为5米的建筑物CD，数学小组为了测量假山DE的高度，在公园找了一水平地面，在A处测得建筑物底部D点（即假山顶）的仰角为30°，沿水平方向前进25米到达B点，测得建筑物顶部C点的仰角为45°，点A，B，C，D，E在同一平面内，求假山DE的高度．（结果保留根号） 4．（18-19九年级上·四川眉山·期末）在“双创”活动中，某校将双创宣传牌（AB）放置在教学楼顶部（如图所示）．数学兴趣小组成员小明在操场上的点D处，用高度为1 m的测角仪CD，从点C测得宣传牌的底部B的仰角为，然后向教学楼正方向走了4 m到达点F处，又从点E测得宣传牌顶部A的仰角为．已知教学楼高，且点A、B、M在同一直线上，求宣传牌AB的高度．（参考数据：，，，） 5．（2020·河南焦作·一模）某数学兴趣小组学过锐角三角函数后，到市龙源湖公园测量塑像“夸父追日”的高度，如图所示，在A处测得塑像顶部D的仰角为45°，塑像底部E的仰角为30.1°，再沿AC方向前进10m到达B处，测得塑像顶部D的仰角为59.1°．求塑像“夸父追日”DE高度．（结果精确到0.1m．参考数据：sin30.1°≈0.50，cos30.1°≈0.87，tan30.1°≈0.58，sin59.1°≈0.86，cos59.1°≈0.51，tan59.1°≈1.67）              6．（2020·四川眉山·中考真题）某数学兴趣小组去测量一座小山的高度，在小山顶上有一高度为米的发射塔，如图所示，在山脚平地上的处测得塔底的仰角为，向小山前进米到达点处，测得塔顶的仰角为，求小山的高度． 7．（20-21九年级上·江苏常州·期末）如图，在某市景区主干道路旁矗立着一块景区指示牌，小明驾驶汽车由东向西行驶，到达点C处，测得景区指示牌的上沿M处仰角为30°；前进8米后到达B处，测得景区指示牌的下沿N处仰角为45°，再前进4米后到达景区指示牌底部A处，求指示牌的高MN长（结果精确到0.1米，=1.414，=1.732） 8．（2020·陕西西安·模拟预测）如图所示，塑像DE在高54m的小山EC上，在A处测得塑像底部E的仰角为34°，再沿AC方向前进22m到达B处，测得塑像顶部D的仰角为60°，求该塑像DE的高度．（精确到1m，参考数据；sin34°≈0.5，cos34°≈0.8，tan34°≈0.6，≈1.73） 9．（17-18九年级·全国·单元测试）如图，某幢大楼顶部有广告牌，小宇目高为米，他站立在离大楼45米的A处测得大楼顶端点D的仰角为；接着他向大楼前进15米、站在点B处，测得广告牌顶端点的仰角为（取，计算结果保留一位小数） (1)求这幢大楼的高； (2)求这块广告牌的高度． 10．（18-19九年级上·浙江台州·期末）在一次数学综合实践活动中，同学们测量了学校教学楼的高度．如图，CD是高为2m的平台，在D处测得楼顶B的仰角为45°，从平台底部向教学楼方向前进4m到达E处，测得楼顶B的仰角为60°．求教学楼AB的高度（结果保留根号）． 题型四：12345型 1．（2022·四川乐山·中考真题）如图，在中，，，点D是AC上一点，连接BD．若，，则CD的长为（     ） A． B．3 C． D．2 2.（2023.湖北黄冈.中考真题）如图，矩形中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧交于点P，作射线，过点C作的垂线分别交于点M，N，则的长为（    ）    A． B． C． D．4 3.（2022.四川泸州中考真题）如图，在边长为3的正方形中，点是边上的点，且，过点作的垂线交正方形外角的平分线于点，交边于点，连接交边于点，则的长为（    ） A． B． C． D．1 4.（2023·深圳市高级中学联考）如图，正方形中，是中点，连接，，作交于，交于，交于，延长交延长线于，则的值为（    ）    A． B． C． D． 5.（2018湖北中考真题）如图，正方形ABCD中，AB=6，G是BC的中点，将△ABG沿AG对折至△AFG，延长GF交DC于点E，则DE长是( ) A．1         B．1.5        C．2         D．2.5 6.（2023.四川广元 中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，点在轴上，且点在点右方，连接，，若，则点的坐标为________．    7.（2023.内蒙古.中考真题）如图，在中，，将绕点A逆时针方向旋转，得到．连接，交于点D，则的值为________．    8.（2023.山东九年级期中）如图，将已知矩形纸片ABCD的边BC斜着向AD边对折，使点B落在AD上，记为点B'，折痕为CE，再将CD边斜向下对折，使点D落在B'C上，记为点D'，折痕为CF，若B'D'＝2，BE＝，则矩形纸片ABCD的面积为_________． ( A D B C E F D ′ B ′ ) 9.（2023.成都市九年级期中）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，点E、F分别在BC、CD上，若AE=，∠EAF=45°，则AF的长为_________. 10.（2019盐城中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=2x-1的图像分别交x、y轴于点A、B，将直线AB绕点B顺时针旋转45°，交x轴于点C，则直线BC的函数表达式是_______________． ( 22 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 解直角三角形四大经典模型重难点培优专题训练 题型导引 题型一：背靠背型 题型二：母子型（叠合式） 题型三：拥抱型 题型四：12345型 知识要点精讲 知识点01、背靠背型 【模型分析】 若三角形中有已知角时，则通过在三角形内作高，构造出两个直角三角形，求其中公共边是解题的关键． 【模型演变】 【模型突破】 如图①，CE＝DA，CD＝EA，CE＋BD＝AB；如图②，CD＝EF，CE＝DF，AD＋CE＋BF＝AB. 知识点02、母子型（叠合式） 【模型分析】 若三角形中有已知角，通过在三角形外作高BC，构造有公共直角的两个三角形求解，其中公共边BC是解题的关键． 【模型突破】 BC为公共边，如图①，AD＋DC＝AC；如图②，DC－BC＝DB. 【模型演变1】 【模型突破】 如图③，DF＝EC，DE＝FC，BF＋DE＝BC，AE＋DF＝AC；如图④，AF＝CE，AC＝FE，BC＋AF＝BE. 【模型演变2】 【模型突破】 如图⑤，BE＋EC＝BC；如图⑥，EC－BC＝BE；如图⑦，AC＝FG，AF＝CG，AD＋DC＝FG，BC＋AF＝BG. 【模型演变3】　 【模型突破】 如图⑧，BC＝FG，BF＝CG，AC＋BF＝AG，EF＋BC＝EG；如图⑨，BC＝FG，BF＝CG，EF＋BC＝EG，BD＋DF＝BF，AC＋BD＋DF＝AG. 知识点03、拥抱型 【模型分析】 分别解两个直角三角形，其中公共边BC是解题的关键． 【模型突破】 BC为公共边． 【模型演变】 【模型突破】 如图①，BF＋FC＋CE＝BE；如图②，BC＋CE＝BE；如图③，AB＝GE，AG＝BE，BC＋CE＝AG，DG＋AB＝DE. 知识点04、12345型 【模型分析】 为什么叫“12345”模型 何为“1，2，3”？ 如图，“tanα，tanβ”. 何为“4，5”？ 如图，当满足tanα，tanβ时，“α+β＝45°. 对于这里的数据，为了便于记忆，通常称为“12345”模型. 在如图所示的由大小相同的小正方形组成的网格内 图示 结论 图① 1.如图①，若tan∠，tan∠，则∠DAF+∠BAE＝45°;（“”+“”＝45°） 2.如图① ,若tan∠DFA＝3,tan∠AEB＝2,则∠DFA+∠AEB＝135°;（“3”+ “2”＝135°） 图② 3.如图②，若tan∠，tan∠AEB＝2，则∠AEB-∠AFG＝45°;（“2”- “”＝45°） 图③ 4.如图③，若tan∠DFA＝3，tan∠，则∠DFA-∠AEH＝45°;（“3”- “＝45°） 【模型突破】 结论1:如图①，若tan∠，tan∠，则∠DAF+∠BAE＝45°;（“”+“”＝45°） 证明:根据网格线计算，，AF＝0，AE2+EF2＝AF2， ∴△AEF是等腰直角三角形，且∠AEF＝90°，∴∠EAF＝45°，∵∠BAD＝90°，∴∠DAF+∠BAE＝45°. 结论2:如图①，若tan∠DFA＝3，tan∠AEB＝2，则∠DFA+∠AEB＝135°;（“3”+“2”＝135°） 证明:∵△AEF是等腰直角三角形， ∴∠AFE＝45°，∠AEF＝90°，∵∠AEB+∠FEC＝90°,∠FEC+∠EFC＝90°, ∴∠AEB＝∠EFC,∵∠DFA+∠EFC＝180°-∠AFE＝135°，∴∠DFA+∠AEB＝135°. 结论3:如图②，若tan∠，tan∠AEB＝2，则∠AEB-∠AFG＝45°;（“2”-“”＝45°） 证明:∵△AEF是等腰直角三角形， ∴∠EAF＝45°， ∵AD∥BC, ∴∠AEB＝∠DAE,∠AFG＝∠DAF, ∴∠AEB-∠AFG＝∠DAE-∠DAF＝∠EAF＝45°.（结论4证明同结论3） 【模型演变】 结论中未直接给出“12345”模型 图示 结论 图① 1.如图①,若tan∠AEB＝2,tan∠,则∠AEB+∠FEC＝90°;（“2”+“”＝90°） 图② 2.如图②,若tan∠AEB＝3,tan∠,则∠AEB+∠FEC＝90°;（“3”+“”＝90°） 图③ 3.如图③,若tan∠,tan∠,则tan（∠BDA+∠DBA）＝ tan∠;（“”+“”＝“”） 图④ 4.如图④,若tan∠,tan∠,则tan（∠BDA+∠DBA）＝ tan∠; （“”+“”＝“”） 重难点题型训练 题型一：背靠背型 1．（2014·江苏南京·一模）如图，A，B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地须经C地沿折线A﹣C﹣B行驶，全长68km．现开通隧道后，汽车直接沿直线AB行驶．已知∠A＝30°，∠B＝45°，则隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走多少千米？（结果精确到0.1km）（参考数据：≈1.4，≈1.7） 【答案】14.0千米 【分析】首先过点C作CD⊥AB，垂足为D，设CD＝x，即可表示出AC，BC的长，进而求出x的值，再利用锐角三角函数关系得出AD，BD的长，即可得出答案． 【详解】解：如图，过点C作CD⊥AB，垂足为D，设CD＝x． 在Rt△ACD中，sin∠A＝，AC＝＝2x， 在Rt△BCD中，sin∠B＝，BC＝＝x， ∵AC+BC＝2x+x＝68， ∴x＝， 在Rt△ACD中，tan∠A＝，AD＝， 在Rt△BCD中，tan∠B＝，BD＝＝20， AB＝20+20≈54， AC+BC﹣AB＝68﹣54＝14.0（km）． 答：隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走14.0千米． 【点评】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，准确分析计算是解题的关键． 2．（19-20九年级上·湖南怀化·期末）为加强我市创建文明卫生城市宣传力度，需要在甲楼A处到E处悬挂一幅宣传条幅，在乙楼顶部D点测得条幅顶端A点的仰角∠ADF=45°，条幅底端E点的俯角为∠FDE=30°，DF⊥AB，若甲、乙两楼的水平距离BC为21米，求条幅的长AE约是多少米？（，结果精确到0.1米） 【答案】33.1米 【分析】根据题意及解直角三角形的应用直接列式求解即可． 【详解】解： 过点D作DF⊥AB，如图所示： 在Rt△ADF中，DF=BC=21米，∠ADF=45° ∴AF=DF=21米 在Rt△EDF中，DF=21米，∠EDF=30° ∴EF=DF×tan30°=米 ∴AE=AF+BF=+21≈33.1米． 答：条幅的长AE约是33.1米． 【点评】本题主要考查解直角三角形的应用，关键是根据题意及利用三角函数求出线段的长． 3．（2021·湖南永州·中考真题）已知锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，边角总满足关系式：． （1）如图1，若，求b的值； （2）某公园准备在园内一个锐角三角形水池中建一座小型景观桥（如图2所示），若米，米，，求景观桥的长度． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）过C作于点D，解直角三角形即可； （2）由已知条件可知，求得，勾股定理求得， 解即可求得的长 【详解】（1）如图，过C作于点D , 即 （2），，, 在中，设，则 在中， 即: ；解得：（不符题意，舍） 【点评】本题考查解直角三角形应用，掌握锐角三角函数的定义是解题关键． 4．（2020·四川成都·二模）某次台风来袭时，一棵笔直且垂直于地面的大树AB被刮倾斜后在C处折断倒在地上，树的顶部恰好接触到地面D处，测得∠ACD＝60°，∠ADC＝37°，AD＝5米，求这棵大树AB的高．（结果精确到0.1米）（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，≈1.73）   【答案】这棵大树AB原来的高度约是9.2米． 【分析】过点A作AE⊥CD于点E，解Rt△AED，求出DE及AE的长度，再解Rt△AEC，得出CE及AC的长，进而可得出结论． 【详解】过点A作AE⊥CD于点E，则∠AEC＝∠AED＝90°． ∵在Rt△AED中，∠ADC＝37°，AD=5， ∴cos37°＝＝≈0.8， ∴DE≈4， ∵sin37°＝＝≈0.6， ∴AE≈3， 在Rt△AEC中， ∵∠CAE＝90°﹣∠ACE＝90°﹣60°＝30°， ∴CE＝AE·tan∠CAE=AE＝， ∴AC＝2CE＝2， ∴AB＝AC+CE+ED＝2++4＝3+4≈9.2（米）．    答：这棵大树AB原来的高度约是9.2米． 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 5．（20-21九年级上·广东深圳·阶段练习）在一次课外活动中，甲、乙两位同学测量公园中孔子塑像的高度，他们分别在A，B两处用高度为1.5m的测角仪测得塑像顶部C的仰角分别为30°，45°，两人间的水平距离AB为20m，求塑像的高度CF．（结果保留根号） 【答案】()米． 【分析】在和中，求出公共边的长度，然后可求得． 【详解】解：， ， 在中， ， ， 在中， ，， ， 则．即． ． 由题意知： 答：塑像的高为． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数的知识求解． 6．（2021·云南·模拟预测）如图，我市计划在某工业园区内，为相距4千米的彩印公司、包装公司修一条笔直的公路．点P表示住宅小区，在彩印公司北偏东方向与包装公司北偏西方向的交点，住宅小区在以P为圆心，0.8千米为半径的范围内，问这条公路是否会穿越这个住宅小区？（参考数据：，） 【答案】不会 【分析】过点P作于D，根据角的正切值表示出MD和ND的长，然后列方程求解PD的长度，从而做出判断． 【详解】解：如图，过点P作于D． 由题意得． ∴在Rt△PMD中，，即 在Rt△PND中，，即 ∵，即， ∴． 答：这条公路不会穿越这个住宅小区． 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，正确标注方向角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 7．（2021·甘肃武威·中考真题）如图1是平凉市地标建筑“大明宝塔”，始建于明嘉靖十四年（1535年），是明代平凉韩王府延恩寺的主体建筑．宝塔建造工艺精湛，与崆峒山的凌空塔遥相呼应，被誉为平凉古塔“双璧”．某数学兴趣小组开展了测量“大明宝塔的高度”的实践活动，具体过程如下： 方案设计：如图2，宝塔垂直于地面，在地面上选取两处分别测得和的度数（在同一条直线上）． 数据收集：通过实地测量：地面上两点的距离为． 问题解决：求宝塔的高度（结果保留一位小数）． 参考数据：，． 根据上述方案及数据，请你完成求解过程． 【答案】 【分析】设，再利用锐角三角函数用含的代数式表示再列方程，解方程可得答案． 【详解】解： 设， 在中，，      在中，，   ，解得，．            答：宝塔的高度约为． 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握利用直角三角形中的锐角三角函数建立边与边之间的关系是解题的关键． 8．（2020·四川成都·中考真题）成都“339”电视塔作为成都市地标性建筑之一，现已成为外地游客到成都旅游打卡的网红地．如图，为测量电视塔观景台处的高度，某数学兴趣小组在电视塔附近一建筑物楼顶处测得塔处的仰角为45°，塔底部处的俯角为22°．已知建筑物的高约为61米，请计算观景台的高的值． （结果精确到1米；参考数据：，，） 【答案】观景台的高约为214米． 【分析】过点D作DM⊥AB于点M，由题意可得四边形DCBM是矩形，由矩形的性质可得BM=CD=61米；在Rt△BDM中，∠BDM=22°，BM=61米，由此可得tan22°=，即可求得DM=152.5米；再证明△ADM为等腰直角三角形，可得DM=AM=152.5米，由此即可求得观景台的高的长． 【详解】过点D作DM⊥AB于点M，由题意可得四边形DCBM是矩形，    ∴BM=CD=61米， 在Rt△BDM中，∠BDM=22°，BM=61米， tan∠BDM=， ∴tan22°=，解得，DM=152.5米； ∵∠ADM=45°，DM⊥AB， ∴△ADM为等腰直角三角形， ∴DM=AM=152.5米， ∴AB=BM+AM=61+152.5=213.5≈214（米）． 答：观景台的高约为214米． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线，构建直角三角形是解决问题的关键． 9．（2020·内蒙古包头·三模）如图，在四边形中，，点D在上，，连接，且． （1）求△ADE的面积． （2）求的长度． （本题中计算过程和结果均保留根号） 【答案】（1）252；（2） 【分析】（1）过点A作，交于点F，设AF为x，则DF为，列方程解出AF的长度，即可求出△ADE面积； （2）过点B作，交于点G，证得四边形BCFG为矩形，可得AG的长度，在△ABG中，求得∠ABG=30°，即可求出AB的长度． 【详解】解：（1）过点A作，交于点F， 由题意得． 设． ∵， ∴． 在中，∵， ∴， ∴， ∴． ∴ ∴ ．     （2）过点B作，交于点G， ∵BC⊥CE，AF⊥CE，BG⊥AF， ∴四边形BCFG为矩形，． ∵ ∵， ∴． ∴． 【点评】本题考查解直角三角形的应用、含30度角直角三角形的特点和矩形的性质，解题的关键是灵活运用各种知识求出AF的长度． 10．（2020九年级下·辽宁盘锦·学业考试）一滑板运动场斜坡上的点处竖直立着一个旗杆，旗杆在其点处折断，旗杆顶部落在斜坡上的点处，米，折断部分与斜坡的夹角为75°，斜坡与水平地面的夹角为30°，求旗杆的高度． （, ，精确到1米）． 【答案】旗杆的高度约为9米． 【分析】根据题意过点作于点，利用解直角三角形的方法进行分析即可求得答案． 【详解】解：过点作于点， ，，，，， 又， ， ，，， 答：旗杆的高度约为9米． 【点评】本题考查解直角三角形，熟练掌握并根据题意构造直角三角形进行分析是解题的关键． 题型二：母子型（叠合式） 1．（20-21九年级上·江苏无锡·期中）由于发生山体滑坡灾害，武警救援队火速赶往灾区救援，探测出某建筑物废下方点C处有生命迹象，在废墟一侧地面上探测点A、B相距2米，探测线与该地面的夹角分别是30°和60°（如图所示），试确定生命所在点C的深度．（参考数据：≈1.414，≈1.732，结果精确到0.1） · 【答案】生命所在点C的深度为1.7m． 【分析】过点C作CE⊥AB于点E，然后根据三角函数进行求解即可． 【详解】解：过点C作CE⊥AB于点E，如图所示： 由图可得：∠BAC=30°，∠EBC=60°， ∵∠EBC=∠BAC+∠BCA，∴∠BCA=30°，∴AB=BC， ∵AB=2m，∴BC=2m， ∴m， 答：生命所在点C的深度为1.7m． 【点评】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握三角函数的应用是解题的关键． 2．（18-19九年级上·浙江杭州·开学考试）如图是某工厂货物传送带的平面示意图．为提高传送过程的安全性，工厂计划改造传送带与地面的夹角，使其由原来的43°减小为30°．已知原传送带AB长为5米． （1）求新传送带AC的长度（结果保留小数点后一位）； （2）新旧货物传送带着地点B、C之间相距多远（结果保留小数点后一位）？ （参考数据：cos30°≈0.866，tan30°≈0.577，sin43°≈0.682，cos43°≈0.731，tan43°≈0.933．） 【答案】（1）新传送带AC的长约为6.8米；（2）新旧货物传送带着地点B、C之间相距2.3米 【分析】（1）过A作BC的垂线AD．在构建的直角三角形中，首先求出两个直角三角形的公共直角边，进而在Rt△ACD中，求出AC的长． （2）通过解直角三角形，可求出BD、CD的长，进而可求出BC的长． 【详解】（1）过点A作AD垂直于CB的延长线于点D． 在Rt△ADB中，AB=5，∠ABD=43°， ∵，， ∴AD=AB•sin∠ABD=5×sin43°≈3.41， BD=AB•cos∠ABD=5×cos43°≈3.66． 在Rt△ADC中， ∵，∴， 答：新传送带AC的长约为6.8米； （2）在Rt△ACD中，AC≈6.82，∠ACD=30°， ∵， ∴CD=AC•cos∠ACD≈6.82×cos30°≈5.91． ∴BC=CD-BD=5.91-3.66≈2.3． 答：新旧货物传送带着地点B、C之间相距2.3米． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用问题，关键是设法化归为解直角三角形问题，必要时应添加辅助线，构造出直角三角形．在两个直角三角形有公共直角边时，先求出公共边的长是解答此类题的基本思路． 3．（19-20八年级下·浙江宁波·期末）如图，某轮船在海上向正东方向航行，在点处测得小岛在北偏东方向，之后轮船继续向正东方向行驶到达处，这时小岛在船的北偏东方向海里处．    （1）求轮船从处到处的航速． （2）如果轮船按原速继续向正东方向航行，再经过多少时间轮船才恰好位于小岛的东南方向？ 【答案】（1）海里/小时．（2）小时． 【分析】（1）过作，利用特殊三角函数解直角三角形，分别求得OC、BC、AC的长，进而可求得AB的长，再根据速度=路程÷时间解答即可； （2）如图，根据题意可判断△OCD为等腰直角三角形，则CD=OC，进而可得BD的长，再由时间=路程除速度求解即可． 【详解】（1）过作，    由题意得海里，，， （海里）， （海里）， （海里）， （海里）， 速度：（海里/小时）． （2）如图，    由题意，，点在的东南方向， ∴△OCD为等腰直角三角形， ∴（海里）， （海里）， （小时）， 经过小时后到达． 【点评】本题考查解直角三角形的应用，特殊角的三角函数值，理解方位角的概念，熟练运用三角函数解直角三角形是解答的关键． 4．（20-21九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，山顶上有一个信号塔AC，已知信号塔高AC＝16米，在山脚下点B处测得塔底C的仰角是30°，塔顶A的仰角是45°，求山高CD（点A，C，D在同一条竖直线上）．（结果保留根号）    【答案】 【分析】分别解和，得到、，根据即可求解． 【详解】解：在中，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． 【点评】本题考查解直角三角形的实际应用，掌握正切的定义是解题的关键． 5．（20-21九年级·全国·假期作业）如图，某大楼的顶部竖有一块宣传牌，小明在斜坡的坡脚处测得宣传牌底部的仰角为，沿斜坡向上走到处测得宣传牌顶部的仰角为，已知斜坡的坡度，米，米，求宣传牌的高度．（测角器的高度忽略不计，参考数据：，， 【答案】宣传牌的高度为2米． 【分析】过E分别作CD、AC的垂线，设垂足为F、C，则CF=EG，CG=EF，然后在、、中解直角三角形即可． 【详解】解：过分别作、的垂线，设垂足为、， 则，， 在中， 斜坡的坡度，米， 设米，米， ， ， 米，米， 在中，， 米， （米）， 在中，（米）， （米）． 答：宣传牌的高度为2米． 【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用-仰角、俯角问题，正确作出辅助线、构建直角三角形，将实际问题化归为解直角三角形的问题是解答此类题的关键． 6．（2021·安徽宿州·二模）如图，在数学综合实践活动中，某小组想要测量某条河的宽度，小组成员在专业人员的协助下利用无人机进行测量，在处测得，两点的俯角分别为45°和30°（即，）．若无人机离地面的高度为120米，且点，，在同一水平直线上，求这条河的宽度．（结果精确到1米）．（参考数据：，） 【答案】88米 【分析】在Rt△APQ和Rt△BPQ中，利用锐角三角函数，用PQ表示出AQ、BQ的长，然后计算出AB的长． 【详解】解：， ，， 在Rt△APQ中，， ， （米）， 在Rt△BPQ，， （米）， （米）， 答：这条河的宽度约为88米． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用-仰角、俯角问题．解决本题的关键是用含PQ的式子表示出AQ和BQ． 7．（20-21八年级上·山东·期中）如图，学校科技小组计划测量一处电信塔的高度，小明在A处用仪器测得到塔尖D的仰角∠DAC＝15°，向塔正前方水平直行260m到达点B，测得到塔尖的仰角∠DBC＝30°，若小明的眼睛离地面1.6m，你能计算出塔的高度DE吗？写出计算过程． 【答案】出塔的高度DE为131.6m．过程见解析． 【分析】先根据等腰三角形的判定可得，再根据直角三角形的性质可得，然后根据线段的和差即可得． 【详解】解：由题意得：， ， ， ， ， 在中，， ， 即塔的高度DE为． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定、三角形的外角性质、直角三角形的性质，线段和差等知识点，熟练掌握等腰三角形的判定是解题关键． 8．（2020·辽宁鞍山·中考真题）图1是某种路灯的实物图片，图2是该路灯的平面示意图，为立柱的一部分，灯臂，支架与立柱分别交于A，B两点，灯臂与支架交于点C，已知，，，求支架的长．（结果精确到，参考数据：，，）         【答案】49cm 【分析】过点C作CD⊥MN，垂足为D，分别解△ACD和△BCD，即可得到结果． 【详解】解：过点C作CD⊥MN，垂足为D， ∵∠MAC=60°，∠ACB=15°， ∴∠ABC=60°-15°=45°，∠ACD=30°， ∴△BCD是等腰直角三角形， ∵AC=40cm， ∴在Rt△ACD中，AD=AC=20cm， ∴CD=cm， ∴在Rt△BCD中，BC=cm， ∴支架BC的长为49cm． 【点评】本题考查了解直角三角形，涉及到等腰直角三角形的判定和性质，含30°的直角三角形的性质，解题的关键是添加辅助线，构造特殊直角三角形． 9．（2020·河南·模拟预测）如图，在一次空中表演中，水平飞行的歼——10飞机在点发现航展观礼台在俯角为21°方向上.飞机继续向前飞行了800米到达点.此时测得点在点俯角为45°的方向上.请你计算当飞机飞到点的正上方点时（点、、在同一直线上），竖直高度约为多少米？（结果保留整数，参考数值：，，） 【答案】竖直高度约为490米． 【分析】根据题意直接利用解直角三角形的方法进行求解即可． 【详解】解：如图：∴ ∵∴ ∵∴；∴． 答：竖直高度约为490米． 【点评】本题主要考查解直角三角形，关键是根据题意利用三角函数进行求解即可． 10．（2020·河南·二模）如图，一艘渔船沿南偏东42°方向航行，在A处测得一个小岛P在其南偏东64°方向．又继续航行海里到达B处，测得小岛P位于渔船的南偏东72°方向，已知以小岛P为圆心，半径海里的圆形海域内有暗礁．如果渔船不改变航向有没有触礁的危险，请通过计算加以说明．如果有危险，渔船自B处开始，沿南偏东多少度的方向航行，能够安全通过这一海域？（参考数据：，，）    【答案】有危险；渔船自B处开始，沿南偏东小于45度的方向航行，能够安全通过这一海域． 【分析】过点P作PC垂直于AB所在直线，垂足为C，分别在和中利用三角函数用PC表示BC和AC的长度，得到，求解PC的长度，与比较即可得出结论． 【详解】解：如图，过点P作PC垂直于AB所在直线，垂足为C，    根据题意可得，， 在中，， 在中，， ∴， 解得， ∵， ∴如果渔船不改变航向有触礁的危险， ∵， ∴若改变航向，刚好到暗礁区域边界时的， 此时， 即如果有危险，渔船自B处开始，沿南偏东小于45度的方向航行，能够安全通过这一海域． 【点评】本题考查解直角三角形的实际应用，理解题意，构造直角三角形是解题的关键． 题型三：拥抱型 1．（19-20九年级上·湖南永州·期末）宋家州主题公园拟修建一座柳宗元塑像，如图所示，柳宗元塑像（塑像中高者）在高的假山上，在处测得塑像底部的仰角为，再沿方向前进到达处，测得塑像顶部的仰角为，求柳宗元塑像的高度. （精确到.参考数据：，，，） 【答案】柳宗元塑像的高度约为. 【分析】在中，利用正切函数的定义求得AC 的长，继而求得BC的长，在中，同样利用正切函数的定义求得CD的长，从而求得结果. 【详解】在中， ∵，，， ∴， ∴ ∵ ∴ 在中， ∵，，， ∴， ∴ ∴ 答：柳宗元塑像的高度约为 【点评】本题考查了解直角三角形的应用－俯角仰角问题，要先将实际问题抽象成数学问题，分别在两个不同的直角三角形中，借助三角函数的知识，研究角和边的关系. 2．（18-19九年级上·河南新乡·期末）某公园的人工湖边上有一座山，山顶上有一直竖的建筑物，高为10米.某校数学兴趣小组的同学为了测量山的高度，在公园找了一水平地面，在处测得建筑物点（即山顶）的仰角为，沿水平方向前进20米到达点，测得建筑物顶部点的仰角为，求山的高度.（结果精确到1米，参考数据：，，） 【答案】假山的高度DE约为70米． 【分析】过点D作水平线的垂线，利用直角三角形中的三角函数解答即可． 【详解】解：过点D作水平线的垂线，即（DE⊥AB），垂足为E，则C、D、E在一条直线上， 设DE的长为x米， 在Rt△BCE中，∠CBE＝45°， ∴CE＝BE＝CD+DE＝（10+x）米， 在Rt△ADE中，∠A＝35°， AE＝AB+BE＝20+10+x＝30+x， tanA＝， ∴tan35°＝≈， 解得：x≈70， 答：假山的高度DE约为70米． 【点评】此题是解直角三角形的应用---仰角和俯角，解本题的关键是利用三角函数解答． 3．（18-19九年级·安徽·阶段练习）如图，某公园的人工湖边上有一座假山，假山顶上有一座高为5米的建筑物CD，数学小组为了测量假山DE的高度，在公园找了一水平地面，在A处测得建筑物底部D点（即假山顶）的仰角为30°，沿水平方向前进25米到达B点，测得建筑物顶部C点的仰角为45°，点A，B，C，D，E在同一平面内，求假山DE的高度．（结果保留根号） 【答案】假山DE的高度为（15+15）米． 【分析】可先设假山DE的高度为x，得到CE=DE+CD=x+5，再根据直角三角形得到AE=AB+BE=30+x，然后直接运用三角函数解答即可 【详解】解：设假山DE的高度为x， 则CE=DE+CD=x+5， 在Rt△BCE中， ∵∠CBE=45°， ∴BE=CE=x+5， ∴AE=AB+BE=30+x， 在Rt△ADE中，∵∠DAE=30°，DE=x， ∴AE==x， 解答：x=15+15， 答：假山DE的高度为（15+15）米． 【点评】此题考查直角三角形的性质和三角函数的应用，解题关键是设假山DE的高度为x，再进行求解 4．（18-19九年级上·四川眉山·期末）在“双创”活动中，某校将双创宣传牌（AB）放置在教学楼顶部（如图所示）．数学兴趣小组成员小明在操场上的点D处，用高度为1 m的测角仪CD，从点C测得宣传牌的底部B的仰角为，然后向教学楼正方向走了4 m到达点F处，又从点E测得宣传牌顶部A的仰角为．已知教学楼高，且点A、B、M在同一直线上，求宣传牌AB的高度．（参考数据：，，，） 【答案】宣传牌AB的高度为2米 【分析】过点C作于G，设AB为x，根据可得，然后在中解直角三角形即可. 【详解】解：过点C作于G，则， ∵， ∴， 设AB为x， ∵， ∴， ∴CG=4+18+x=22+x， 在中，， 则，即 解得：， 答：宣传牌AB的高度为2米． 【点评】此题考查了解直角三角形的应用，能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键． 5．（2020·河南焦作·一模）某数学兴趣小组学过锐角三角函数后，到市龙源湖公园测量塑像“夸父追日”的高度，如图所示，在A处测得塑像顶部D的仰角为45°，塑像底部E的仰角为30.1°，再沿AC方向前进10m到达B处，测得塑像顶部D的仰角为59.1°．求塑像“夸父追日”DE高度．（结果精确到0.1m．参考数据：sin30.1°≈0.50，cos30.1°≈0.87，tan30.1°≈0.58，sin59.1°≈0.86，cos59.1°≈0.51，tan59.1°≈1.67）              【答案】塑像“夸父追日”DE 的高度约为10.5米 【分析】设，则，解Rt△BCD，求出x的值，再在Rt△ACE中，求出CE的值，从而可计算得出DE的值． 【详解】解：在Rt△ACD中，，则. 设，则 在Rt△BCD中，. ∴ ∴   解得：.             在Rt△ACE中，. ∴ 答：塑像“夸父追日”DE 的高度约为10.5米. 【点评】本题考查的知识点是解直角三角形的实际应用，难度不大，但容易在计算上面出错． 6．（2020·四川眉山·中考真题）某数学兴趣小组去测量一座小山的高度，在小山顶上有一高度为米的发射塔，如图所示，在山脚平地上的处测得塔底的仰角为，向小山前进米到达点处，测得塔顶的仰角为，求小山的高度． 【答案】小山的高度为米 【分析】设塔高BC为x米，根据正切的定义列出关于x的关系式，求出x,进而得出小山的高． 【详解】解：设为米，则米，∵ ∴，而米， 在中，， 则米，米， 在中，， 解得． 答：小山的高度为米． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握锐角三角函数的概念、正确理解仰角和俯角的概念是解题的关键． 7．（20-21九年级上·江苏常州·期末）如图，在某市景区主干道路旁矗立着一块景区指示牌，小明驾驶汽车由东向西行驶，到达点C处，测得景区指示牌的上沿M处仰角为30°；前进8米后到达B处，测得景区指示牌的下沿N处仰角为45°，再前进4米后到达景区指示牌底部A处，求指示牌的高MN长（结果精确到0.1米，=1.414，=1.732） 【答案】MN2.9米 【分析】通过两次解直角三角形计算出AN和AM，再根据AM-AN即可求出MN的长 【详解】解：∵汽车由东西行驶到C处，测得景区指示牌的上沿M处仰角为30°， ∴∠MCA=30°， ∵前进8米后到达B处，测得景区指示牌的下沿N处仰角为45°， ∴BC=8m，∠ ∵前进4米后到达景区指示牌底部A处， ∴AB=AN=4m ∴AC=AB+BC=4+8=12m ∵∠ACM=30° ∴ ∴ ∵=1.732 ∴（米） 答：指示牌的高MN长约为2.9米． 【点评】本题考查俯角、仰角的定义，要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形． 8．（2020·陕西西安·模拟预测）如图所示，塑像DE在高54m的小山EC上，在A处测得塑像底部E的仰角为34°，再沿AC方向前进22m到达B处，测得塑像顶部D的仰角为60°，求该塑像DE的高度．（精确到1m，参考数据；sin34°≈0.5，cos34°≈0.8，tan34°≈0.6，≈1.73） 【答案】64m 【分析】利用直角三角形的边角关系，在两个直角三角形中设未知数列方程求解即可． 【详解】解：由题意可得，EC＝54m，AB＝22m，∠DBC＝60°，∠EAC＝34°， 设DE＝xm，则DC＝（x+54）m， 在Rt△DCB中， ∵tan∠DBC＝，即＝， ∴BC＝， 在Rt△ECA中， ∵tanA＝， ∴AC＝≈＝90（m）， 由题意得，90﹣（x+54）＝22，解得，x≈64， 答：塑像DE的高度约为64m． 【点评】本题考查解直角三角形的实际应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提． 9．（17-18九年级·全国·单元测试）如图，某幢大楼顶部有广告牌，小宇目高为米，他站立在离大楼45米的A处测得大楼顶端点D的仰角为；接着他向大楼前进15米、站在点B处，测得广告牌顶端点的仰角为（取，计算结果保留一位小数） (1)求这幢大楼的高； (2)求这块广告牌的高度． 【答案】(1)楼高为米；(2)广告牌的高度为米． 【分析】（1）首先分析图形：根据题意构造直角三角形，利用三角函数求得米，即可得解； （2）根据题意构造直角三角形，利用三角函数求得米，即可得解． 【详解】（1）解：在中，米； 由 ，得米； 又因为米， 因而大楼米， 答：楼高为米； （2）解：∵在中，米， ，∴米； 因而广告牌米； 答：广告牌的高度为米． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，构造直角三角形是解题的关键． 10．（18-19九年级上·浙江台州·期末）在一次数学综合实践活动中，同学们测量了学校教学楼的高度．如图，CD是高为2m的平台，在D处测得楼顶B的仰角为45°，从平台底部向教学楼方向前进4m到达E处，测得楼顶B的仰角为60°．求教学楼AB的高度（结果保留根号）． 【答案】教学楼AB的高度为（9+3）米． 【分析】设AE=x，则在Rt△BAE中，根据正切可表示AB.由线段的和差分别可以表示BF与FD，在Rt△BDF中，根据∠BDF=45°，可得BF=FD. 【详解】过D作DF垂直于AB，与AB相交于F. 设AE为x米， 在Rt△BAE中，tan∠AEB＝，即tan60°＝， 解得，AB＝x， ∴BF＝x﹣2， ∵∠BDF＝45°， ∴BF＝DF， 则x+4＝x﹣2， 解得，x＝3+3， 则AB＝x＝9+3， 答：教学楼AB的高度为（9+3）米． 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义以及仰角俯角的概念是解决本题的关键． 题型四：12345型 1．（2022·四川乐山·中考真题）如图，在中，，，点D是AC上一点，连接BD．若，，则CD的长为（     ） A． B．3 C． D．2 【答案】C 【分析】法1：先根据，，再由12345模型知：∠BDC＝45°，从而可求出CD． 法2：先根据锐角三角函数值求出，再由勾股定理求出过点D作于点E，依据三角函数值可得从而得，再由得AE=2，DE=1，由勾股定理得AD=，从而可求出CD． 【详解】解法1：∵，，∴根据12345模型知：∠BDC＝45°， ∵，∴三角形BCD为等腰直角三角形，∵，∴CD= 解法2（常规解法）：在中，，，∴∴ 由勾股定理得,过点D作于点E，如图， ∵，，∴ ∴∴∴ ∵∴∴∴, 在中,∴ ∵∴故选：C 【点评】本题主要考查了勾股定理，由锐角正切值求边长，正确作辅助线求出DE的长是解答本题的关键． 2.（2023.湖北黄冈.中考真题）如图，矩形中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧交于点P，作射线，过点C作的垂线分别交于点M，N，则的长为（    ）    A． B． C． D．4 【答案】A 【详解】解法1：因为，所以， 如图，根据“12345”模型，易知，故。    解法2（常规解法）：如图，设与交于点O，与交于点R，作于点Q， 矩形中，，，． 由作图过程可知，平分，四边形是矩形，， 又，，在和中，，， ，，设，则， 在中，由勾股定理得，即， 解得，．． ，． ，，， ，即，解得． 3.（2022.四川泸州中考真题）如图，在边长为3的正方形中，点是边上的点，且，过点作的垂线交正方形外角的平分线于点，交边于点，连接交边于点，则的长为（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【详解】解法1：因为AB=AD=3,，所以AE=1,BE=2,所以 根据“12345”模型，易知，，因为∠DEF=90°，所以， 所以，故，故 ( C D A B E N M H G F ) 解法2（常规解法）：在AD上截取AH＝AE，连接HE． 则∠AHE＝∠AEH＝45°，∴∠DHE＝135°．由题意，AD＝AB，∠EBF＝135°，∴DH＝BE，∠DHE＝∠EBF． ∵∠A＝∠DEF＝90°，∴∠HDE＝∠BEF＝90°－∠DEA，∴△HDE≌△BEF，∴DE＝EF，∴∠EDF＝45°． ∵BE＝2AE，AD＝AB＝3AE，∴tan∠ADE＝，∴tan∠CDN＝，BN＝CN＝BC＝． ∵∠A＝∠DEM＝∠EBM＝90°，∴△ADE≌△BEM，∴BM＝BE＝，∴MN＝BN－BM＝． 4.（2023·深圳市高级中学联考）如图，正方形中，是中点，连接，，作交于，交于，交于，延长交延长线于，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【简证】 【常规法详解】解：∵四边形是正方形，∴， ∵，∴，∴，∴， ∵是中点，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴， ∴，设，则， ∴，∴；故选：C. 5.（2018湖北中考真题）如图，正方形ABCD中，AB=6，G是BC的中点，将△ABG沿AG对折至△AFG，延长GF交DC于点E，则DE长是( ) A．1         B．1.5        C．2         D．2.5 【答案】C 【解析】根据BG是AB的一半，可得tan∠BAG=， 连接AE，易证△AEF≌△AED，∴∠GAE＝45°，∴∠α+∠β＝45°， 根据12345模型知：tan∠DAE=，∴DE=2，故此题选C 6.（2023.四川广元 中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，点在轴上，且点在点右方，连接，，若，则点的坐标为________．    【答案】 【详解】解法1：因为点，点，所以 因为，根据“12345”模型，易知,故. 解法2（常规解法）：∵点，点，∴，， ∵，∴，过点作于点，    ∵，是的角平分线，∴ ∵∴设，则，， ∴解得：或（舍去），∴ 7.（2023.内蒙古.中考真题）如图，在中，，将绕点A逆时针方向旋转，得到．连接，交于点D，则的值为________．    【答案】5 【详解】解法1：因为，根据“12345”模型，易知，故。 解法2（常规解法）：解：过点D作于点F，∵，，，∴， ∵将绕点A逆时针方向旋转得到， ∴，，∴是等腰直角三角形，∴， 又∵，∴，∴是等腰直角三角形，∴， ∵，即， ∵ ，，∴，∴，即， 又∵，∴， ∴，，∴，故答案为：5． 8.（2023.山东九年级期中）如图，将已知矩形纸片ABCD的边BC斜着向AD边对折，使点B落在AD上，记为点B'，折痕为CE，再将CD边斜向下对折，使点D落在B'C上，记为点D'，折痕为CF，若B'D'＝2，BE＝，则矩形纸片ABCD的面积为_________． ( A D B C E F D ′ B ′ ) 【答案】15 【解析】由题意，BC＝B'C，CD＝C'D，∠BCE＝∠B'CE，∠DCF＝∠D'CF． ∵∠BCD＝90°，∴∠ECF＝∠B'CE＋∠D'CF＝45°． ∵BE＝，∴tan∠BCE＝，∴tan∠D'CF＝，tan∠B'CB＝． ∵AD∥BC，∴∠FB'D'＝∠B'CB，∴tan∠FB'D'＝， ∴DF＝D'F＝BD’＝，∴CD＝CD'＝2D'F＝3， ∴BC＝B'C＝B'D'＋CD'＝2＋3＝5，∴S矩形ABCD ＝BC·CD＝5×3＝15． 9.（2023.成都市九年级期中）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，点E、F分别在BC、CD上，若AE=，∠EAF=45°，则AF的长为_________. 【答案】 【解析】根据AB=2，AE=，∠B=90°得到：BE=2，可得tan∠BAE=， ∵∠FAE＝45°，∠BAD＝90°，∴∠BAE+∠DAF＝45°， 根据12345模型知：tan∠DAF=，∴DF=， 再根据勾股定理求得：AF=，故答案为： 10.（2019盐城中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=2x-1的图像分别交x、y轴于点A、B，将直线AB绕点B顺时针旋转45°，交x轴于点C，则直线BC的函数表达式是_______________． 【答案】 【解析】∵一次函数y=2x-1的图像分别交x、y轴于点A、B。 ∴A（，0）B（0，-1），AO=，BO=1，可得tanα=， ∵∠α+∠β+∠ABC＝90°，∠ABC＝45°，∴∠α+∠β＝45°， 根据12345模型知：tanβ=，∴OC=3，C（3，0） ∵B（0，-1），C（3，0），∴直线BC的函数表达式为：，故答案为：。 ( 39 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$