集合的基本关系课件-2025届高考数学知识点题型及考项复习

第一章 集合与常用逻辑用语 1.1.2 集合的基本关系 2025年高考数学一轮基础知识复习 1 必备知识解读 知识点1 维恩图 知识点2 子集 例2-1 (2024·安徽皖北六校期末联考)已知集合, ,则( ) B A. B. C. D. 【解析】“ ”表示元素与集合的关系，故D错误；集合B中的元素都是集合A中的元素， 但集合A中的元素3并非集合B中的元素，则依据两集合的包含关系可知，选项B正确. 2 例2-2 (2024·江苏扬州中学检测)已知集合,3，，，若 ，则 实数 ___. 【解析】 ， 元素3,4必为 中元素， 又由元素的互异性可知， ， . 3 知识点3 真子集 例3-3 能正确表示集合和集合 关系的 维恩图是( ) B A. B. C. D. 【解析】由，解得或，所以，故 .结合选项图 形，可知B正确. 4 例3-4 (2024·浙江省杭州市期中)下面四个集合中,表示空集的是( ) A A.,} B. C. D.0 【解析】选项A中,因为方程 无 实数解,所以, }中无任何元素,表示空集. 选项B,C中，中分别含有一个元素 ,0,显然不是空集. 选项D中,0不是集合. 5 知识点4 集合的相等与子集的关系 例4-5 设,，若集合,,,,，则 ___. 2 【解析】 6 例4-6 已知集合,,,, , },则，， 满足的关系是( ) 2 B A. B. C. D. 7 【解析】方法1 ，，，，，, ,,,,,, ， ， ，，，…}.由各集合中的元素可知 . 方法2 ,,,,, }. 因为,且,所以与 都表示被3除余1的数，而 表示被6除余1的数，故 . 8 知识点5 有限集的子集个数 例5-7 已知集合，0，，，，，且，则集合 的真子集个数为( ) D A.8 B.7 C.4 D.3 【解析】 集合，0，，，，，且 ， ， ， 的真子集有： ，， ． 故集合 的真子集个数为3． 9 例5-8 已知集合，则集合 的所有非空真子集的个数是 ( ) A A.6 B.7 C.14 D.15 【解析】，1， ， 方法1 （列举法） 满足条件的集合有：，，，，， ，共6个. 方法2 （公式法） 集合A的元素个数为3，则集合A的所有非空真子集的个数为 ． 10 关键能力构建 题型1 集合间关系的判断 例9 指出下列各组集合之间的关系： （1）， ; 【解析】在数轴上表示出集合,，如图1.1.2-3所示.由图可知集合 中的元素都在集 合中，但集合中有些元素（比如0，）不在集合中，故 .（数形结合直 接判断） 图1.1.2-3 11 （2）, 是8的正约数}； 图1.1.2-4 【解析】,可知集合中的任意一个元素都是集合 中 的元素，但集合中的有些元素不在集合中，故 .用维恩图 表示更加直观，如图1.1.2-4.（数形结合直接判断） （3）,,或, ； 【解析】方法1 由得,或,；由,或, 得,从而 .（根据集合的元素特征进行判断） 方法2 集合中的元素是平面直角坐标系中第一、三象限内的点，集合 中的元素也是 平面直角坐标系中第一、三象限内的点，从而 .（根据集合的几何意义进行判断） 12 （4）,,, . 【解析】对于任意,有，,而, . ,, . 由子集的定义知， . 设,此时,解得 . 在时无解， . 综上所述，.（【巧判断】判断时，首先判断,再在集合 中找出一 个元素不属于集合 即可） 13 例10 设是不大于5的自然数，，,且 ， ,且，，请说明，，， 之间的关系. 【解析】由题可知,,,,所以， , 集合与集合无属于关系和包含关系.又集合的真子集有 ,, ,共三个，所以 ,, },（【易混点】以集合为元素组成新的集合，说明了集合与元素的相对 性） 所以 ，（【注意】这里是“ ”而不是“ ”）集合，与集合 无属于关系和包 含关系. 14 【学会了吗|变式题】 1.(2024·安徽省蚌埠市期末)设集合，0，，， ，则下 列选项中正确的是( ) B A. B. C. D. 【解析】由题意，在，中，，0，， ， ，，，， ． 15 题型2 子集、真子集问题 例11 设,写出集合 的子集，并指出其中哪些是 真子集. 【解析】由，得 ，则方程的 根为或或 . 故集合,, . 由0个元素构成的子集为： . 16 由1个元素构成的子集为：,, . 由2个元素构成的子集为：,,,,, . 由3个元素构成的子集为：,, . 因此集合的子集为： ,,,,,,,,,,,, . 真子集为： ，，，，，，，,, . 17 例12 (2024·四川省内江六中月考)已知集合满足 ，则所有满 足条件的集合 的个数是( ) C A.5 B.6 C.7 D.8 【解析】 18 【学会了吗|变式题】 2.(2024·江苏省南京二十九中学情调研)定义：若一个 位正整数的所有数位上数字的 次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数．已知集合 ，23，81，153， 254，，是自恋数，则 的真子集个数为( ) A A.7 B.15 C.31 D.6 19 【解析】 ，所以8是自恋数； ，所以23不是自恋数； ，所以81不是自恋数； ，所以153是自恋数； ，所以254不是自恋数； ，所以370是自恋数． 所以集合，153， ． 所以真子集个数为 ． 20 例13 (2024·福建省厦门十中段考)已知集合，则集合 的所有非空子集的 元素之和为____. 36 【解析】集合的非空子集分别是：,,,,,, . 注意到集合中的每个元素在集合 的所有非空子集的元素之中出现4次.故所求和为 . 21 题型3 利用集合关系求参数 例14 (2024·陕西省榆林市期中)已知集合,,,,, ,若 ，则 的值为____. 【解析】,或 若，则，不满足集合中元素的互异性， . 当时，消去得 , ,，此时 ，不满足集合中元素的互异性， 舍去. 22 当时，消去得 , . 结合,解得 . 将代入得 . 从而可得,,,,, },满足题意. 故的值为 . 23 【学会了吗|变式题】 3.已知集合,,,,2,,且,求, 的值 【答案】由，可得或解得或或 经验证， 当,时，不满足集合中元素的互异性,舍去.所以或 24 例15 (2024·天津市滨海新区期中)已知集合 , . （1）若,求实数 的取值范围； 【解析】当 时，由 , 得.（【明易错】 是任何非空集合的真子集，若不考虑空集就会得到错误答 案： ） 25 当 时，如图1.1.2-5所示. 图1.1.2-5 解这两个不等式组，得 . 综上可得，的取值范围是 . 26 （2）若，求实数 的取值范围. 【解析】当时，如图1.1.2-6所示，此时 . 图1.1.2-6 即 不存在. 即不存在实数使 . 27 子题1 已知集合, . （1）若,求实数 的取值范围； 【解析】若，则集合 肯定不是空集， 则有或 无解, 不存在. 即不存在实数使 . 28 （2）若,求实数 的取值范围. 【解析】①若 ，则,即,此时满足 ； ②若 ，则解得 . 由①②可得，符合题意的实数的取值范围为 . 29 子题2 已知集合或, . （1）若,求实数 的取值范围; 【解析】当 时，如图1.1.2-7所示. 图1.1.2-7 由图可知，要使,则或解得 . 当 时，由得 . 综上可得,的取值范围是或 . 30 （2）若,求实数 的取值范围. 【解析】易知不存在实数使,的取值范围是 . 31 【学会了吗|变式题】 4.(2024·上海市奉贤区期中)已知，，若 ,则 实数 的取值范围是_______. 【解析】因为，所以中至少有一个元素不在 中，利用数轴（如图D 1.1.2-1） 可知 . 图D 1.1.2-1 32 题型4 集合间关系的探索问题 例16 已知集合 ，集合 ，集合能否成为的一个子集？若能，求出 的 取值范围，若不能，请说明理由. 【解析】（1）当 时，是的一个子集，此时方程 无实数根， 即，所以 . 33 （2）当 时,,, . ①当时，是方程的一个根，所以,此时 ， ，不是 的一个子集； ②当时，是方程的一个根，所以 ，此时 ，，不是 的一个子集； ③当时，1是方程的一个根，所以，此时 ，不 是 的一个子集. 综上可知，能成为的一个子集，的取值范围是 }. 34 核心素养聚焦 考向 由集合间关系确定参数 例17 (2023· 新课标Ⅱ卷)设集合,,,,，若，则 ( ) B A.2 B.1 C. D. 【解析】依题意，有或.当时，解得 ，此时 ,，，不满足；当时，解得，此时 , ，,0,，满足.所以 . 35 习题课 A 基础练 知识测评 建议时间：20分钟 1.已知集合， ，则下列说法正确的是( ) C A. B. C. D. 【解析】在数轴上表示出集合A，B，如图D 1.1.2-2所示，由图可知 ．故选C. 图D 1.1.2-2 36 2.(2024·北京市清华附中月考)已知集合，，，则 可以为( ) D A. B.，3， C. D.，2， 【解析】由题意知，A是B的子集，则集合B中必定包含元素1，2，结合选项可知选D． 37 3.(2024·安徽省合肥市期末)已知集合， ， ，，则满足条件的集合 的个数为( ) B A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】集合，， , 集合，，2，3， ， 由，可知集合C一定包含1，2这两个元素，一定有3或4中的一个， 集合 C的个数为2． 38 4.(2024·北京市海淀区月考)已知集合，，，9，，若 ，则实 数 组成的集合为( ) D A.，，0， B.， C.，0， D.，0， 【解析】若，则有或,且,,解得或 或 ， 实数组成的集合为，0， ． 39 5.［多选题］已知集合 ，则有( ) ACD A. B. C.， D. 【解析】，，，，，， ．故选 ． 40 6.［多选题］(2024·陕西省西安市期中)已知集合 ， ，若使成立的实数的取值集合为，则 的一个 真子集可以是( ) BC A. B. C. D. 【解析】当 时，，解得 ， 当 时，，解得 . 综上，实数的取值范围为，即 ， 结合选项可知选 . 41 7.(2024·山东省济南市月考)已知集合，，， ， ．若，则的值为______；若，则 的取值范围为 __________． 1或 【解析】若，则，，所以;若，则，， ， 所以.综上， 的值为1或3. 因为，所以所以 . 42 8.已知集合, . （1）当时，求集合 的非空真子集的个数; 【答案】由题意知，当时可得集合,0,1,2,3,,共有6个元素,所以集合 的非空真子集的个数为 . （2）若,求实数 的取值范围. 【答案】集合,若,则集合 可为空集或非空集合. 当 时，有,解得 ; 当 时，要使，则解得 . 综上,的取值范围是 . 43 B 综合练 高考模拟 建议时间：20分钟 9.(2024·安徽省铜陵一中月考)若集合 有且仅有2个子集，则满 足条件的实数 组成的集合是( ) B A. B.， C.或 D. 【解析】由题设集合有2个子集，则集合中仅含一个元素，所以 有 且仅有一个解， 当时，由得 ，满足题意； 当时，由得 ，满足题意. 综上，满足条件的实数组成的集合是， ． 44 10.(2024·河北省石家庄市月考)同时满足,且 的非 空集合 的个数为( ) C A.16 B.15 C.7 D.6 【解析】当时，;当时，;当时， ;当 时，;当时，, 满足条件的非空集合可能是： , ,,,,, ,共7个. 45 11.(2024·山西省大同市期中)对于非空数集,,, , ，其所有元 素的算术平均数记为，即．若非空数集 满足下列两个条 件：（1）；（2）．则称为 的一个“保均值子集”．据此推理， 集合，4，5，6， 的“保均值子集”有( ) C A.5个 B.6个 C.7个 D.8个 【解析】集合C中元素的算术平均数 ， 所以集合C的“保均值子集”有，，，，，，5，，，5，， ，4， 6，，，4，5，6， ，共7个． 46 12.［多选题］设集合,,, ｝,则( ) BD A. B. C., D., 【解析】,，当时，,;当时， , ,所以.令,解得,符合题意，所以,同理可得 ;令 ,解得，符合题意,所以，同理可得.故选 . 47 13.(2024·浙江省杭州市检测)若集合， ， 且，则实数 的可能取值组成的集合是_________. ,, 【解析】，， . 当时， ，符合题意； 当时，集合 ， 若，则，若，则 . 故实数的可能取值组成的集合是，， }． 48 14.已知,，,且 不是空集. （1）求集合 的所有可能情况; 【答案】, . 且 ， 或或, . 49 （2）求, 的值. 【答案】若，则,即 , . 若，则,, . 若,，则,即, . 综上所述，或 或 50 C 培优练 能力提升 15.(2024·上海市进才中学月考)已知集合有整数解 ， 非空集合 满足条件： （1） ， （2）若，则 ， 则所有这样的集合 的个数为____. 31 51 【解析】设,, , , , 当方程的解为，36时， ； 当方程的解为，18时， ； 当方程的解为，12时， ； 当方程的解为，9时， ； 当方程的解为，6时， ； 52 当方程的解为1，时， ； 当方程的解为2，时， ； 当方程的解为3，时， ； 当方程的解为4，时， ； 故集合，，，，0，5，9，16， 由非空集合满足条件：（1），（2）若，则 ， 可得这样的集合共有 （个）. 53 感谢观看 $$