集合及其表示方法课件-2025届高三数学一轮复习

第一章 集合与常用逻辑用语 1.1.1 集合及其表示方法 2025年高考数学一轮基础知识复习 1 必备知识解读 知识点1 集合与元素的相关概念 例1-1 (1)设集合是小于的所有实数的集合,则_,_ . 【解析】因为,所以;因为 ,所以 . (2)由小于2 024的正偶数组成的集合是_;某定圆的内接三角形组成的集 合是_.(填“有限集”或“无限集”) 有限集 无限集 【解析】小于2 024的正偶数是可以一一列举出来的,所以是有限集;圆的内接三角 形由圆上不同三点确定,而圆上不同三点个数无限,所以所求集合为无限集. 2 例1-2 [多选题]下列各组对象中,能构成集合的是( ) AD A.不小于3的自然数 B.中国著名的数学家 C.与 是不同的集合 D.已知一个集合中的三个元素,,是 的三边长,则此三角形一定不是等腰三 角形 【解析】 A 由集合中元素的确定性知,A正确. B “著名”判断标准不明确,B错误. C 由集合中元素的无序性知两集合相等,C错误. D 由集合中元素的互异性知,,, 不相等,则此三角形不是等腰三角形,D正确. 3 例1-3 设,为实数,已知,,,,若,则_, _. 1 0 【解析】①当时,此时集合中 ,不满足集合中元素的互异性,故舍去; ②当时,,解得或,由①知应舍去,经检验, 符合 题意. 综上可知,, . 4 知识点2 几种常见的数集及其记法 例2-4 用符号“ ”或“ ”填空: _; _;_ ; _;0_;_ . 【解析】是实数;是无理数;不是自然数;不是整数;0不是正整数; 是有 理数. 5 知识点3 集合的表示方法 例3-5 下列集合是否可以用列举法和描述法分别表示?若可以,写出表示形式;若不能, 说明理由. (1)不大于10的非负偶数组成的集合. 【解析】用列举法表示为,2,4,6,8,,用描述法表示为 ,且 , . (2)方程 的所有实数解组成的集合. 【解析】方程的解是或,所以方程 的所有实数解组成的集合 用列举法表示为,用描述法表示为 . 6 (3)不等式 的解集. 【解析】可以用描述法表示,表示为 ,但是不能用列举法表示,因为元素 个数无限,且不间断,无规律可循. (4)方程组 的解组成的集合. 【解析】解方程组得 故用列举法表示方程组的解组成的集合为 ,用描述法表示为 . 7 例3-6 指出下面集合的含义: ; ; ; ; . 8 【解析】 集合 集合的含义 表示函数的所有自变量的值组成的集合,即 .(数集,代表元 素为 ) 表示函数的所有函数值(因变量值)组成的集合,即 . (数集,代表元素为 ) 表示函数 的图象上所有的点组成的集合.(点集,代表元素为 ) 表示以函数为元素的集合.(此处切勿认为该集合是代表元素为 (或 )的数集) 方程无实数解,即 .(空集,集合中不含任何元素) 9 知识点4 区间及其表示 例4-7 将下列集合用区间及数轴表示出来: (1) ; (2) ; (3) ; (4) ; (5) . 10 【解析】 序号 区间表示 数轴表示 (1) _ (2) _ (3) _ (4) _ (5) _ 11 关键能力构建 题型1 集合元素互异性的应用 例8 [多选题]以实数,,,, 为元素的集合中,元素可以有( ) AB A.1个 B.2个 C.3个 D.5个 【解析】易知, . 当 时,这几个实数均为0; 当时,它们分别是,,,, ; 当时,它们分别是,,,, . 故这些实数可以表示1个或2个不同的数,因此它们组成的集合可以有1个或2个元素. 警示POINT 注意对 的符号进行分类讨论. 12 【学会了吗|变式题】 1.已知集合可表示为,,,则实数 应满足的条件为 _ _ _. 且 且 ,,,显然,由集合中元素的互异性可得解得 且 且.故实数应满足的条件为且且 . 13 题型2 元素与集合关系的判断与应用 例9 [多选题]若集合 ,则下列关系正确的是( ) AD A. B. C. D. 【解析】由,解得或 , 所以,,因此,,, 14 例10 已知集合,, . (1)试分别判断,,与集合 的关系; 【解析】 , 因为0,,所以 ; , 因为,但,所以 ; , 因为9,,所以 . 15 (2)设,,证明 . 【解析】因为,,所以可设,,且,,, , 所以 . 因为,,所以 . 16 例11 若,则实数 的取值范围是( ) B A. B. C. D. 【解析】 17 例12 设集合,3,,,,.已知 且 ,则实数 的取值集合为( ) D A., B., C., D. 18 【解析】①当且时,解得或 , 若,则,不满足集合中元素的互异性,故 . (【易错点】在求出参数 的值后要进行检验,注意集合中的各元素是否互不相等, 即是否满足元素的互异性) 若,则集合,3,4,,集合, ,符合题意. ②当且时,解得,由①可得 不符合题意. 综上,实数的取值集合为 . 19 题型3 集合表示方法的应用 例13 选择适当的方法表示下列集合,并指出哪些是有限集,哪些是无限集. (1)不等式 的所有解组成的集合; 【解析】可以写成,也可以用区间表示,写成 ,无限集. (2)不超过100且能被3除余1的所有正整数组成的集合; 【解析】可以写成,且或 是不超过100且能被3除 余1的正整数 ,有限集. (3)到平面直角坐标系的两坐标轴距离相等的点组成的集合. 【解析】可以写成或 ,无限集. 20 例14 用列举法表示下列集合: (1) ; 【解析】, , 的值分别为1,2,3,6. 相应的值为5,4,3,0,,3,4, . (2) ; 【解析】由(1)知,2,3, . 21 (3)由,且, 确定的所有实数组成的集合. 【解析】当且时, ; 当且时, ; 当且时, ; 当且时, . 故该集合用列举法表示为,0, . ( 【抓重点】分类讨论的结果中“0”出现了两次,但在集合表示中,由元素的互异 性,元素“0”只出现一次) 22 【学会了吗|变式题】 2.用列举法表示下列集合: (1) ; 【答案】分别取为0,,,, ,可得的值分别为0,1,,, ,故集合 ,用列举法可表示为,1,,, . (2) . 【答案】分别取为 ,,,0,1,2, ,则对应的的值分别为…,, , ,,,,,,,, ,故集合,用列举法可表示为{…,-,,, , , ,…}. 23 题型4 集合与方程的综合问题 例15 若集合中只有一个元素,则 ( ) D A. B. C.0 D.0或 【解析】由题意知关于的方程 只有一个实数解,或有两个相同的 实数解. 当时, ,此时方程只有一个实数解,满足题意;(【易错点】当二次项系 数不定时,切勿遗漏其为0的情况) 当时,,解得 ,此时方程有两个相同的实数解,满足题意. 故或 . 24 子题 满足,,0,1,,且关于的方程 有实数解的有序数对 的个数为( ) B A.14 B.13 C.12 D.10 【解析】,,0,1, ,可分下列两种情形. ①当时,方程为,一定有解,此时可以取 ,0,1,2, 故满足条件的有序数对为,,, ,共4个. ②当时,方程为一元二次方程,由题意知,, . 故满足条件的有序数对为,,,,, , ,, ,共9个. 综上,满足题意的有序数对 的个数为13. 25 【学会了吗|变式题】 3.已知集合关于的方程有唯一解,则 _(用列举法 表示). ,, 【解析】,即 当有两个相等的实数解时,,解得 , 此时 ,符合题意. 26 当有两个不相等的实数解时,,解得 . 当为的一个增根时,将代入得 ,符合 题意; 当为的一个增根时,将代入得 ,符合 题意. 综上所述,,, . 27 例16 (2024 安徽省桐城中学月考)设是非空整数集,对于,如果 , 且,那么是的一个“孤立元”,给定,2,3,4,5,6,7,,由 的3个元素构成的所有集合中,不含“孤立元”的集合个数共有( ) D A.0 B.2 C.4 D.6 【解析】不含“孤立元”的集合就是指集合中的3个元素必须是3个相邻的正整数, 据此分析满足条件的集合为,2,,,3,,,4,,,5,, , 6,,,7, ,共有6个. 28 例17 (2024 江苏省南通市模拟)定义集合运算, , ,集合,,,,则集合 所有元素之和为_. 18 【解析】,,,集合,, , , ,, , , ,6, , 集合 所有元素之和为18. 29 习题课 A 基础练 知识测评 建议时间:20分钟 1.下列说法正确的是 ( ) B A.={自然数集} B.,0, C. D. 【解析】A不正确,应改为是自然数 ; B正确,1显然是集合,0, 中的元素; C不正确, 不是整数; D不正确,是无理数,而 为有理数集.故选B. 30 2.方程组 的解集是( ) D A. B.,且 C., D.且 【解析】解方程组可得故所求方程组的解集为 且 ,也可直接写为 .故选D. 31 3.(2023 上海)已知,,若且,则 ( ) A A. B. C. D.,2, 【解析】由题意得 . 32 4.(2024 山东省青岛二中期初)已知,2,,则 的取值为( ) C A.1 B.1或2 C.0或2 D.0或1或2 【解析】若,则 ,不满足互异性; 若,则,此时集合为,2, ,满足题意; 若,则或(已验证,不符合),当时,此时集合为,2, , 满足题意. 综上, 的取值为0或2. 33 5.(2024 四川省成都市期中)下列四个集合中,是空集的是( ) D A., B.,, C., D., 【解析】对于选项A,, ; 对于选项B,是集合中的元素,所以,, ; 对于选项C,, ; 对于选项D,方程 无实数解.故选D. 34 6.[多选题](2024 吉林省白山市模拟)若对任意,,则称 为“影子关系” 集合,下列集合为“影子关系”集合的是( ) ABD A., B.{, C. D. 【解析】对于A,集合,,当时,,,当 时, , ,显然符合题意; 35 对于B,集合{,,当时,,,当时,, ,显然符 合题意; 对于C,或,当时, ,不符合 题意; 对于D,,任取,则,,显然符合题意.故选 . 36 7.用符号“ ”或“ ”填空: (1),则1_,_ ; 【解析】易知,故, . (2)_ . 【解析】将,代入,等式成立,故填 . 37 8.用适当的方法表示下列集合,并且说明它们是有限集还是无限集. (1)方程 的解组成的集合; 【答案】用列举法表示为,,用描述法表示为 ,集合中有2个元素, 是有限集. (2)大于0且小于10的奇数组成的集合; 【答案】用列举法表示为,3,5,7,,用描述法表示为, 且 ,集合中有5个元素,是有限集. 38 (3)不等式 的解组成的集合; 【答案】用描述法表示为 ,集合中有无限个元素,是无限集. (4)二次函数 图象上的点组成的集合; 【答案】用描述法表示为,二次函数 图象上的点有无数个,因此 该集合是无限集. (5)方程 的解组成的集合. 【答案】方程无实数解,故该方程的解组成的集合为 ,是有限集. 39 B 综合练 高考模拟 建议时间:20分钟 9.(2024 长沙德成学校入学考试)已知空集,则实数 的取值范围是 ( ) D A. B. C. D. 【解析】由题意,一元二次方程无解,故 ,解得 .故选D. 40 10.(2024 山东省青岛市期中)若,1,,,,, , ,则 中元素的个数为( ) C A.3 B.4 C.5 D.6 【解析】由,1,,,,,,,得 , 3,4,6,,所以 中元素的个数为5.故选C. 41 11.[多选题]已知,,为非零实数,代数式 的值所组成的集 合是 ,则下列判断正确的是( ) BCD A. B. C. D. 【解析】,,同为正数时,代数式的值为4,所以 ; 当,,中只有一个负数或有两个负数时,代数式的值为0,所以 ; 当,,同为负数时,代数式的值为,所以.故选 . 42 12.[多选题](2024 广东省佛山市质检)给定非空数集,若对于任意, ,有 ,且,则称集合 为闭集合,下列说法正确的是 ( ) BCD A.自然数集是闭集合 B.集合,, 为闭集合 C.若为闭集合,则 D.若为闭集合,且,则 43 【解析】假设,,有,但是 ,故自 然数集不是闭集合,故选项A错误. 集合,,,对于任意的, ,有 , ,因为, , ,,所以,,,,则 , ,所以集合,, 为闭集合,故选项B正确. 取,对于任意,,有,且 ,故选项C正确. 若为闭集合,且,则,, ,所以 ,故选项D正确. 44 13.设集合,3,6,9,12,.集合满足:①有两个元素;②若 ,则 且.则 _ _ _ . ,或,或由条件②得 则.再结合条件①可得,满足条件的集合为,或, 或 . 45 14.已知集合,,且_.求实数 的值组成的集合. 在如下三个条件中任意选择一个,填入上面横线处,并根据题意解决问题. ①集合中仅有一个元素;②集合中有两个元素;③集合 中没有元素. 【答案】选①.当时, ,符合题意; 当时,,解得 . 综上,实数的值组成的集合为, . 46 选②.集合中有两个元素,即关于的方程 有两个不相等的实数解, 所以,且,解得且 , 所以实数的值组成的集合为且 . 选③.当时, ,不符合题意; 当时,,即 . 所以实数的值组成的集合为 . 47 C 培优练 能力提升 15.已知集合满足:若,则 . 请解答下列问题. (1)若,则 中必有另外两个元素,求出这两个元素. 【答案】,, , . 故集合中另外的两个元素为和 . 48 (2)求证:若,则 . 【答案】由,得 , 即 . 故若,则 . 49 (3)集合 中能否只有一个元素?若能,把它求出来;若不能,请说明理由. 【答案】集合 中的元素不可能只有一个.理由如下. 令,则,, 方程 无实数解, . 因此集合 中不可能只有一个元素. 50 感谢观看 $$