（冲刺中考）锐角三角函数专项训练-2025年中考数学一轮复习

（冲刺中考）锐角三角函数专项训练-2025年中考数学一轮复习 一．选择题（共8小题） 1．（2024秋•新城区校级期中）4sin60°的值为（　　） A．3 B．1 C． D． 2．（2024秋•长春月考）如图，在Rt△ABC中，AB＝10，∠B＝36°，则AC的长度为（　　） A．10tan36° B．10cos36° C．10sin36° D． 3．（2024•茅箭区校级一模）现在手机导航极大方便了人们的出行，如图，嘉琪一家自驾到风景区C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西45°方向行驶4千米至B地，再沿北偏东60°方向行驶一段距离到达风景区C，嘉琪发现风景区C在A地的北偏东15°方向，那么B，C两地的距离为（　　） A．千米 B．千米 C．千米 D．5千米 4．（2024•裕华区校级开学）计算20210+|2﹣tan60°|的值为（　　） A． B． C． D． 5．（2023秋•赤坎区校级期末）如图，△ABC的三个顶点都在正方形网格的格点上，则tan∠BAC的值为（　　） A．1 B． C． D． 6．（2024•会东县二模）在△ABC中，若，则∠C的度数是（　　） A．45° B．60° C．75° D．105° 7．（2024•武威二模）为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某市大力开展植树造林活动．如图，在坡度的山坡AB上植树，要求相邻两树间的水平距离AC为，则斜坡上相邻两树间的坡面距离AB为（　　） A． B．2m C．4m D． 8．（2023秋•槐荫区期末）如图，矩形ABCD为一个正在倒水的水杯的截面图，AB＝18cm，杯中水面与CD的交点为E，当水杯底面BC与水平面的夹角为30°时，杯中水的最大深度为（　　） A．9 B．15 C．6 D．9 二．填空题（共7小题） 9．（2024秋•温江区校级期中）如图，在△ABC中，∠B＝45°，AB＝，BC＝+1，则边AC的长为 　 　． 10．（2024秋•栾城区期中）如图，从航拍无人机A看一栋楼顶部B的仰角α为30°，看这栋楼底部C的俯角β为60°，无人机与楼的水平距离为150m，则这栋楼的高度为　 　m． 11．（2024秋•香坊区校级期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，，点D为直线AC上一点，若∠BDC＝45°，BD＝6cm，则△ABD的面积为 　 　cm2． 12．（2024秋•长乐区期中）如图，一架梯子斜靠在墙上，梯子与墙面的夹角∠BAC＝30°，梯子的长为3m，则梯子底部与墙的距离BC为 　 　m． 13．（2024秋•温州期中）如图，将圆桶中的水倒入一个直径为4dm，高为5dm的圆口容器中，放置时圆桶顶部与水平线的夹角为60°，且容器中的水面不能与圆桶接触，则该容器中水的深度至多为　 　dm． 14．（2024春•郴州期末）如图是南通八佰伴商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中AB、CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC＝150°，BC的长是10m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是　 　． 15．（2024秋•沙坪坝区校级期中）如图，点D是△ABC外一点，DB＝DC，AB与CD相交于点E，∠BDC＝∠BAC，连接DA，若AC＝4，，，则DB＝ 　 　． 三．解答题（共7小题） 16．（2024秋•工业园区校级期中）计算：2cos30°﹣tan60°+sin45°． 17．（2024秋•肇源县期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且a＝8，∠B＝60°，解这个直角三角形． 18．（2024秋•雁塔区校级期中）在一次海上救援中，专业救助船B接收到基地C的指示，在专业救助船B的正南方向上有一艘遇险渔船A需要救援，现在已知专业救助船B在基地C的北偏西48.3°的方向上，且相距20海里，遇险渔船A在基地C的南偏西30°的方向上，若专业救助船B以40海里/小时的速度前去救援，问能否在1小时内赶到救援位置？（结果保留整数，参考数据：sin48.3°≈0.75，cos48.3°≈0.67，sin78.3°≈0.98，≈1.73） 19．（2024秋•青羊区校级期中）近年来，我国近视发生率居高不下，近视已成为影响我国国民尤其是儿童青少年眼健康的重大公共卫生问题．某数学兴趣小组开展了“笔记本电脑的顶部边缘离桌面的高度与用眼舒适度关系”的实践探究活动．已知笔记本的宽度AC为25cm，当顶部边缘A处离桌面的高度AD为15cm时，此时用眼舒适度不太理想．小组成员调整顶部边缘离桌面的高度，最后发现当顶部边缘离桌面的高度A′E＝24cm时，用眼舒适度较为理想．求调整前后顶部边缘移动的水平距离DE的长． 20．（2024秋•渝北区期中）如图1是城市广场地下停车场的入口，图2是安装雨棚左侧支架的示意图，已知，支架的立柱BC与地面垂直，即∠BCA＝90°，且AC＝2.5m，点F、A、C在同一条水平线上，斜杆AB与水平线AC的夹角∠BAC＝30°，支撑杆DE⊥AB于点D，该支架的边BE与AB的夹角∠EBD＝60°，又测得若AD＝1.0m． （1）求出该支架的边BE的长（结果保留根号）． （2）若停车场入口水平地面到顶部雨棚的高度EF合格标准是不超过3.5米，问安装雨棚的高度是否合格？（结果精确至0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73） 21．（2024秋•杨浦区期中）如图，在锐角△ABC中，AD是高，tan∠ABC＝3，点E是AB的中点． （1）求∠BED的正切值； （2）点F在线段ED的延长线上，且CF⊥ED，联结BF，如果BF＝CF，求的值． 22．（2024•济南模拟）随着城镇化建设的加快，高层建筑逐渐增多了，为防患于未然，更快更有效预防火灾，开辟新的救援通道，某城市消防中队新增添一台高空消防救援车．图1是高空救援消防车实物图，图2是其侧面示意图，点O，A，C在同一直线上，CO可绕着点O旋转，AB为云梯的液压杆，点O，B，D在同一水平线上，其中AC可伸缩，已知套管OA＝4米，且套管OA的长度不变，现对高空救援消防车进行调试，测得∠ABD＝53°，∠COD＝37°． （1）求此时液压杆AB的长度； （2）若消防人员在云梯末端工作台点C处高空救援时，将AC伸长到最大长度，云梯CO绕着点O逆时针旋转27°，即∠COC′＝27°，过点C′作∠C′G⊥OD，垂足为G，过点C作CE⊥OD，垂足为E，CH⊥C′G，垂足为H．如图3，测得铅直高度升高了3米（即C′H＝3米），求AC伸长到的最大长度．（参考数据：，，，，sin64°≈0.90，cos64°≈0.44） （冲刺中考）锐角三角函数专项训练-2025年中考数学一轮复习 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 1．（2024秋•新城区校级期中）4sin60°的值为（　　） A．3 B．1 C． D． 【解答】解：原式＝4×＝3． 故选：D． 2．（2024秋•长春月考）如图，在Rt△ABC中，AB＝10，∠B＝36°，则AC的长度为（　　） A．10tan36° B．10cos36° C．10sin36° D． 【解答】解：在Rt△ABC中，AB＝10，∠B＝36°， ∴， ∴AC＝10•sin36°． 故选：C． 3．（2024•茅箭区校级一模）现在手机导航极大方便了人们的出行，如图，嘉琪一家自驾到风景区C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西45°方向行驶4千米至B地，再沿北偏东60°方向行驶一段距离到达风景区C，嘉琪发现风景区C在A地的北偏东15°方向，那么B，C两地的距离为（　　） A．千米 B．千米 C．千米 D．5千米 【解答】解：如图所示，过点B作BD⊥AC于D， 由题意得，∠BAC＝60°，∠ABC＝75°， ∴∠C＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝45°， ∵BD⊥AC， ∴∠BDC＝∠BDA＝90°， ∴∠ABD＝30°，∠DBC＝45°＝∠C， ∴（千米），CD＝BD， ∴（千米）， ∴（千米）， 故选：A． 4．（2024•裕华区校级开学）计算20210+|2﹣tan60°|的值为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：20210+|2﹣tan60°| ＝ ＝ ＝， 故选：B． 5．（2023秋•赤坎区校级期末）如图，△ABC的三个顶点都在正方形网格的格点上，则tan∠BAC的值为（　　） A．1 B． C． D． 【解答】解：由图得：BC＝4，AC＝3，∠ACB＝90°， ∴， 故选：C． 6．（2024•会东县二模）在△ABC中，若，则∠C的度数是（　　） A．45° B．60° C．75° D．105° 【解答】解：∵|cosA﹣|+2（1﹣tanB）2＝0， ∴cosA﹣＝0，2（1﹣tanB）2＝0， ∴cosA＝，tanB＝1， ∴∠A＝60°，∠B＝45°， ∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝75°， 故选：C． 7．（2024•武威二模）为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某市大力开展植树造林活动．如图，在坡度的山坡AB上植树，要求相邻两树间的水平距离AC为，则斜坡上相邻两树间的坡面距离AB为（　　） A． B．2m C．4m D． 【解答】解：由题意得：， 即， 由勾股定理得：， 故选：C． 8．（2023秋•槐荫区期末）如图，矩形ABCD为一个正在倒水的水杯的截面图，AB＝18cm，杯中水面与CD的交点为E，当水杯底面BC与水平面的夹角为30°时，杯中水的最大深度为（　　） A．9 B．15 C．6 D．9 【解答】解：过点A作AG⊥BH，垂足为G．如图． ∵四边形ABCD为矩形， ∴∠ABC＝90°． ∵∠CBH＝30°， ∴∠ABG＝180°﹣∠ABC﹣∠CBH＝60°． 在Rt△AGB中， ∵sin∠ABG＝， ∴AG＝AB•sin∠ABG ＝18•sin60° ＝18× ＝9（cm）． 故选：D． 二．填空题（共7小题） 9．（2024秋•温江区校级期中）如图，在△ABC中，∠B＝45°，AB＝，BC＝+1，则边AC的长为 　2　． 【解答】解：过点A作BC的垂线，垂足为M， 在Rt△ABM中， sinB＝，cosB＝， ∴AM＝，BM＝． 又∵BC＝， ∴CM＝． 在Rt△ACM中， AC＝． 故答案为：2． 10．（2024秋•栾城区期中）如图，从航拍无人机A看一栋楼顶部B的仰角α为30°，看这栋楼底部C的俯角β为60°，无人机与楼的水平距离为150m，则这栋楼的高度为　　m． 【解答】解：作AD⊥BC于点D， 由题知，AD＝150m， ∴BD＝AD•tanα＝150•tan30°＝150×＝50（m），CD＝AD•tan60°＝150（m）， ∴BC＝BD+CD＝50+150＝200（m）， 故答案为：． 11．（2024秋•香坊区校级期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，，点D为直线AC上一点，若∠BDC＝45°，BD＝6cm，则△ABD的面积为 　3或21　cm2． 【解答】解：∵∠C＝90°，， ∴设BC＝3x，AB＝5x， 则由勾股定理求得AC＝4x； 当点D在线段AC上时，如图1； ∵∠BDC＝45°，∠C＝90°， ∴∠DBC＝∠BDC＝45°， ∴CD＝BC＝3x； ∴由勾股定理得BD＝3x； ∵BD＝6cm， ∴， 即， ∴，， ∴， ∴S△ABD＝＝3（cm2）； 当点D在线段AC的延长线上时，如下图2； 同理得：， ∴，， ∴， ∴S△ABD＝＝21（cm2）； 综上，△ABD的面积为3或21； 故答案为：3或21． 12．（2024秋•长乐区期中）如图，一架梯子斜靠在墙上，梯子与墙面的夹角∠BAC＝30°，梯子的长为3m，则梯子底部与墙的距离BC为 　1.5　m． 【解答】解：由已知可得， ∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，AB＝3m， ∴BC＝AB＝1.5m， 故答案为：1.5． 13．（2024秋•温州期中）如图，将圆桶中的水倒入一个直径为4dm，高为5dm的圆口容器中，放置时圆桶顶部与水平线的夹角为60°，且容器中的水面不能与圆桶接触，则该容器中水的深度至多为　（5﹣）　dm． 【解答】解：如图，∵圆桶放置的角度与水平线的夹角为60°，∠BCA＝90°， ∴依题意得△ABC是一个斜边为4dm的直角三角形， ∴∠ABC＝60°，AB＝4dm， ∴BC＝AB＝2dm，AC＝＝2（dm）， ∴此三角形中斜边上的高应该为＝＝（dm）， ∵圆口容器的高为5dm， ∴该容器中水的深度至多为（5﹣）dm， 故答案为：（5﹣）． 14．（2024春•郴州期末）如图是南通八佰伴商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中AB、CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC＝150°，BC的长是10m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是　5m　． 【解答】解：过C作CM⊥AB于M， ∵∠ABC＝150°， ∴∠CBM＝180°﹣150°＝30°， 在Rt△CBM中， ∵BC＝10m，∠CBM＝30°， ∴＝sin∠CBM＝sin30°＝， ∴CM＝BC＝5m， 即从点B到点C上升的高度h是5m． 故答案为：5m． 15．（2024秋•沙坪坝区校级期中）如图，点D是△ABC外一点，DB＝DC，AB与CD相交于点E，∠BDC＝∠BAC，连接DA，若AC＝4，，，则DB＝ 　3　． 【解答】解：如图，过点D作DM⊥AB于点M，DN⊥CA交CA的延长线于点N． ∵∠BDC＝∠CAB，∠DEB＝∠AEC， ∴∠DBM＝∠DCN， ∴tan∠DBA＝tan∠DCN＝＝， 设DN＝x，则CN＝2x， 在Rt△ADN中，AD2＝DN2+AN2， ∴13＝x2+（2x﹣4）2， 解得x＝3或（舍去）， ∴DN＝3，CN＝6， ∴DB＝DC＝＝＝3． 故答案为：3． 三．解答题（共7小题） 16．（2024秋•工业园区校级期中）计算：2cos30°﹣tan60°+sin45°． 【解答】解：2cos30°﹣tan60°+sin45° ＝2×﹣+ ＝﹣+ ＝． 17．（2024秋•肇源县期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且a＝8，∠B＝60°，解这个直角三角形． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°， ∴∠A＝90°﹣∠B＝30°， ∵a＝8， ∴c＝2a＝16， ∴b＝＝＝8， 即∠A＝30°，c＝16，b＝8． 18．（2024秋•雁塔区校级期中）在一次海上救援中，专业救助船B接收到基地C的指示，在专业救助船B的正南方向上有一艘遇险渔船A需要救援，现在已知专业救助船B在基地C的北偏西48.3°的方向上，且相距20海里，遇险渔船A在基地C的南偏西30°的方向上，若专业救助船B以40海里/小时的速度前去救援，问能否在1小时内赶到救援位置？（结果保留整数，参考数据：sin48.3°≈0.75，cos48.3°≈0.67，sin78.3°≈0.98，≈1.73） 【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D， 根据题意，得∠B＝48.3°，∠A＝30°，BC＝20海里， 在Rt△BCD中， BD＝BC•cos48.3°≈20×0.67＝13.4（海里）， CD＝BC•sin48.3°≈20×0.75＝15（海里）， 在Rt△ACD中， AD＝≈×15≈25.95（海里）， ∴AB＝AD+BD≈25.95+13.4＝39.35（海里）， ∴专业救助船从B处前去救援需要时间为39.35÷40＜1（小时）， 答：能否在1小时内赶到救援位置． 19．（2024秋•青羊区校级期中）近年来，我国近视发生率居高不下，近视已成为影响我国国民尤其是儿童青少年眼健康的重大公共卫生问题．某数学兴趣小组开展了“笔记本电脑的顶部边缘离桌面的高度与用眼舒适度关系”的实践探究活动．已知笔记本的宽度AC为25cm，当顶部边缘A处离桌面的高度AD为15cm时，此时用眼舒适度不太理想．小组成员调整顶部边缘离桌面的高度，最后发现当顶部边缘离桌面的高度A′E＝24cm时，用眼舒适度较为理想．求调整前后顶部边缘移动的水平距离DE的长． 【解答】解：在Rt△A′EC中，CE＝＝＝7， 在Rt△ADC中，CD＝＝＝20， 则DE＝CD﹣CD＝20﹣7＝13（cm）， 即DE的长为13cm． 20．（2024秋•渝北区期中）如图1是城市广场地下停车场的入口，图2是安装雨棚左侧支架的示意图，已知，支架的立柱BC与地面垂直，即∠BCA＝90°，且AC＝2.5m，点F、A、C在同一条水平线上，斜杆AB与水平线AC的夹角∠BAC＝30°，支撑杆DE⊥AB于点D，该支架的边BE与AB的夹角∠EBD＝60°，又测得若AD＝1.0m． （1）求出该支架的边BE的长（结果保留根号）． （2）若停车场入口水平地面到顶部雨棚的高度EF合格标准是不超过3.5米，问安装雨棚的高度是否合格？（结果精确至0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73） 【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，AC＝2.5m， ∴AB＝＝＝（m）， ∵AD＝1m， ∴BD＝AB﹣AD＝（﹣1）m， ∵DE⊥AB， ∴∠EDB＝90°， 在Rt△EDB中，∠EBD＝60°， ∴BE＝＝＝2BD＝（﹣2）m， ∴该支架的边BE的长为（﹣2）m； （2）过点B作BO⊥EF，垂足为O， 则OF＝BC，OB∥CF， 在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，AC＝2.5m， BC＝AC•tan30°＝2.5×＝（m）， ∴OF＝BC＝m， ∵OB∥CF， ∴∠OBA＝∠BAC＝30°， ∵∠EBD＝60°， ∴∠EBO＝∠EBD﹣∠OBA＝30°， 在Rt△EOB中，EO＝EB•sin30°＝（﹣2）×＝（﹣1）m， ∴EF＝EO+OF＝﹣1+＝﹣1≈3.3（m）， ∵3.3m＜3.5m， ∴安装雨棚的高度是合格的． 21．（2024秋•杨浦区期中）如图，在锐角△ABC中，AD是高，tan∠ABC＝3，点E是AB的中点． （1）求∠BED的正切值； （2）点F在线段ED的延长线上，且CF⊥ED，联结BF，如果BF＝CF，求的值． 【解答】解：（1）过点D作DH⊥AB于H，如图1所示： ∵tan∠ABC＝3， ∴在Rt△BDH中，tan∠ABC＝＝3， 设BH＝a，DH＝3a， 由勾股定理得：BD＝＝， 在Rt△ABD中，tan∠ABC＝＝3， ∴AD＝3BD＝， 由勾股定理得：AB＝＝10a， ∵点E是AB的中点， ∴AE＝BE＝DE＝AB＝5a， ∴EH＝BE﹣BH＝4a， 在Rt△EDH中，由勾股定理得：DH＝＝3a， ∴tan∠BED＝＝＝； （2）如图2所示： ∵CF⊥ED，BF＝CF， ∠2+∠3＝90°，∠1＝∠2， ∵BE＝DE＝5a， ∴∠ABC＝∠BDE＝∠3， ∴∠1+∠ABC＝90°， 即∠EDF＝90°， 在Rt△EBF中，tan∠BED＝＝， ∴BF＝BE＝＝， ∴CF＝BF＝， ∵∠ABC＝∠3， ∴tan∠ABC＝tan∠3＝3， 在Rt△CDF中，tan∠3＝＝3， ∴DF＝＝， 由勾股定理得：CD＝＝＝， ∴BC＝BD+CD＝＝， 在Rt△ACD中，AD＝，CD＝， 由勾股定理得：AC＝＝＝， ∴BC：AC＝：＝9：13， ∴＝． 22．（2024•济南模拟）随着城镇化建设的加快，高层建筑逐渐增多了，为防患于未然，更快更有效预防火灾，开辟新的救援通道，某城市消防中队新增添一台高空消防救援车．图1是高空救援消防车实物图，图2是其侧面示意图，点O，A，C在同一直线上，CO可绕着点O旋转，AB为云梯的液压杆，点O，B，D在同一水平线上，其中AC可伸缩，已知套管OA＝4米，且套管OA的长度不变，现对高空救援消防车进行调试，测得∠ABD＝53°，∠COD＝37°． （1）求此时液压杆AB的长度； （2）若消防人员在云梯末端工作台点C处高空救援时，将AC伸长到最大长度，云梯CO绕着点O逆时针旋转27°，即∠COC′＝27°，过点C′作∠C′G⊥OD，垂足为G，过点C作CE⊥OD，垂足为E，CH⊥C′G，垂足为H．如图3，测得铅直高度升高了3米（即C′H＝3米），求AC伸长到的最大长度．（参考数据：，，，，sin64°≈0.90，cos64°≈0.44） 【解答】解：（1）过点A作AE⊥BD， 在Rt△AEO中，OA＝4米，∠COD＝37°， ∴（米）， 在Rt△AEB中，∠ABD＝53°， ∴（米）； （2）由题意，得：GH＝CE， 在Rt△COE中，∠COD＝37°， ∴米， ∴GH＝CE＝0.6OC米， ∵OC′＝OC，∠COC′＝27°， ∴∠C′OG＝37°+27°＝64°， 在Rt△C′OG中，∠C′OG＝64°， ∴C′G＝OC′•sin64°≈0.9OC′米， ∵C′H＝C′G﹣GH＝0.9OC′﹣0.6OC＝0.3OC＝3米， ∴OC＝10米， ∴AC＝OC﹣OA＝6米， 故：AC伸长到的最大长度为6米． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$