四川省成都市龙泉驿区东竞高级中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

试卷第 1页，共 4页 2024 年 11 月 东竞高中高 2023 级高二（上）半期考试 数学试卷 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、班级、座号、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写 在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域无效。 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接写在答题卡对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和 答题卡的非答题区域无效。 第 I 卷 (选择题 58 分） 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1．已知直线�经过� 1,1 , � 2,3 两点，则�的斜率为( ) A．2 B．2 3 C．4 3 D．1 2 2. 已知点�在平面���内，并且对空间任一点�，�� = ��� + 1 3 �� + 1 2 ��，则� =（ ） A．− 1 6 B．1 6 C．1 2 D．1 3 3．已知�1，�2，...，��的平均数为 10，标准差为 2，则 2�1 − 1，2�2 − 1，...，2�� − 1的 平均数和标准差分别为（ ） A．19和 2 B．19和 4 C．19和 8 D．19和 16 4．分别掷两枚质地均匀的硬币，“第一枚为正面”记为事件 A，“第二枚为正面”记为事件 B， “两枚结果相同”记为事件 C，那么事件 A与 B，A与 C间的关系是（ ） A．A与 B，A与 C均相互独立 B．A与 B相互独立，A与 C互斥 C．A与 B，A与 C均互斥 D．A与 B互斥，A与 C相互独立 5．已知两平行直线�1：3� − 4� + 4 = 0 和�2：6� − 8� − 2 = 0，则�1与�2的距离为（ ） A．1 B．3 5 C．6 5 D．2 6．在一个实验中，某种豚鼠被感染 A病毒的概率均为 40%，现采用随机模拟方法估计三只 豚鼠中被感染的概率：先由计算机产生出[0，9]之间整数值的随机数，指定 1，2，3，4表 示被感染，5，6，7，8，9，0表示没有被感染.经随机模拟产生了如下 20组随机数： 192 907 966 925 271 932 812 458 569 683 257 393 127 556 488 730 113 537 989 431 据此估计三只豚鼠中至少一只被感染的概率为（ ）. A．0.25 B．0.4 C．0.6 D．0.75 7．设点� −1, − 1 , � 3,1 ，直线�过点� 1,2 ，且与线段��相交，则直线�的斜率取值范围是 （ ） A． − 1 2 , 3 2 B． − 3 2 , 1 2 C． −∞, − 1 2 ∪ 3 2 , + ∞ D． −∞, − 1 2 ∪ 3 2 , + ∞ 8．如图，在直三棱柱��� − ��1�1中，�� = 3, �� = 4, ��1 = 3, ∠��� = 90∘，则��1与�1� 所成的角的余弦值为（ ） A． 3 2 10 B． 3 3 C． 2 4 D． 5 5 试卷第 2页，共 4页 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有多选、错选的得 0 分。 9．在某次数学练习中，高三班的男生数学平均分为 120，方差为 2，女生数学平均分为 112， 方差为 1，已知该班级男女生人数分别为 25、15，则下列说法正确的有（ ） A．该班级此次练习数学成绩的均分为 118 B．该班级此次练习数学成绩的方差为 16.625 C．利用分层抽样的方法从该班级抽取 8人，则应抽取 5名男生 D．从该班级随机选择 2人参加某项活动，则至少有 1名女生的概率为 24 39 10．在四面体����中，下列说法正确的有（ ） A．若�� = 1 3 �� + 2 3 ��，则�� = 3�� B．若 Q为△ ���的重心，则�� = 1 3 �� + 1 3 �� + 1 3 �� C．若�� ⋅ �� = 0，�� ⋅ �� = 0，则�� ⋅ �� = 0 D．若四面体����的各棱长都为 2，M，N分别为 PA，BC的中点，则 �� = 1． 11．直线�1的方程为� + 2� − 4 = 0，若�2在�轴上的截距为 3 2 ，且�1 ⊥ �2.则下列说法正确的是 （ ） A．直线�1与�2的交点坐标为 2,1 ，直线�2在�轴上的截距是−3 B．已知直线�3经过�1与�2的交点，且在�轴上的截距是在�轴上的截距的 2倍，�3的方程 为 2� + � − 5 = 0 C．已知动直线�4经过�1与�2的交点，当原点到�4距离最大时， 4,2 到�4距离为 5 D．直线�1: �� + 3� + 1 = 0，�2: 2� + � + 1 � + 1 = 0，若�1 ∥ �2，则� =− 3或 2 第 II 卷（非选择题 共 92分） 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。请将答案填写在答题卡相应位置上。 12．已知直线经过  : 1 2 0 Rl kx y k k     ，则该直线过定点 ．（写出该定点坐标） 13．数据 3.2，3.6，4.5，2.4，4.6，6.4，7.8，7.9，8.0，8.1，8.4，8.6的上四分位数是 ． 14．在棱长为 1的正方体�1�1�1�1 − ����中，�为底面����的中心，�是棱�1�1上一点， 且�1� = ��1�1，� ∈ 0,1 ，�为线段��的中点，给出下列命题： ①�,�, �, �四点共面；②三棱锥� − ���的体积与�的取值有关； ③当∠��� = 90°时，� = 0； ④当� = 1 2 时，过�, �,�三点的平面截正方体所得截面的面积为 5 + 3 2 2 . 其中正确的有 （填写序号）. 试卷第 3页，共 4页 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（13分）�, �, �三人参加知识闯关比赛，三人闯关成功与否相互独立.已知�闯关成功的 概率是 2 3 ，�, �, �三人闯关都成功的概率是1 6 ，�, �, �三人闯关都不成功的概率是 1 12 . (1)求�,�两人各自闯关成功的概率； (2)求�,�,�三人中恰有两人闯关成功的概率； (3)求�,�,�三人中至少一人闯关成功的概率. 16.（15分）在平面直角坐标系中，�是坐标原点，直线�的方程为 � + 1 � − � + 4� = 0，� ∈ � (1)若� = 1，求过点(1,0)且与直线�平行的直线方程； (2)已知原点�到直线�的距离为 4，求�的值； (3)已知直线�在两条坐标轴上截得的截距相等，求�的值. 17.（15分）已知 1 1 1 1ABCD ABC D 是边长为 2的正方体，点 E为 1 1AB 的中点，点 F为 1 1BC 的 中点． (1)求证：��1 ⊥ ��； (2)求平面���与平面���夹角的余弦值． (3)求点�1到直线��1的距离． 试卷第 4页，共 4页 18.（17分）《中国制造 2025》是中国实施制造强国战略第一个十年的行动纲领，制造业是 国民经济的主体，是立国之本、兴国之器、强国之基．发展制造业的基本方针为质量为先， 坚持把质量作为建设制造强国的生命线某电子产品制造企业为了提升生产效率，对现有的一 条电子产品生产线进行技术升级改造，为了分析改造的效果，该企业质检人员从该条生产线 所生产的电子产品中随机抽取了 1000件，检测产品的某项质量指标值，根据检测数据得到 下表(单位：件)． 质量指标值 [25,35) [35, 45) [45,55) [55,65) [65,75) [75,85) [85,95) 产品 60 100 160 300 200 100 80 (1)估计这组样本的质量指标值的平均数 x和方差 2s (同一组中的数据用该组区间中点值作代 表)； (2)设[ ]x 表示不大于 x的最大整数，{ }x 表示不小于 x的最小整数，s精确到个位， 5 5        n x nsa ， 5 5       n x nsb ， n N ，根据检验标准，技术升级改造后，若质量指标 值有65%落在  1 1,a b 内，则可以判断技术改造后的产品质量初级稳定；若有95%落在  2 2,a b 内，则可以判断技术改造后的产品质量稳定，可认为生产线技术改造成功．请问：根据样本 数据估计，是否可以判定生产线的技术改造是成功的？ 19.（17分） 如图，四棱台���� − �1�1�1�1中，上､下底面均是正方形，且侧面是全等的等腰梯形，�� = 2�1�1 = 4, �､�分别为��､��的中点，上下底面中心的连线�1�垂直于上下底面，且�1�与 侧棱所在直线所成的角为45∘. (1)求证：��1 ∥平面�1��； (2)求点�1到平面�1��的距离； (3)边��上是否存在点�，使得直线�1�与平面�1��所成的角的正弦值为 3 22 22 ，若存在，求 出线段��的长；若不存在，请说明理由. 答案第 1页，共 9页 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B B A A D C A BCD ABC 题号 11 答案 AC 1．A 【分析】直接代入两点的斜率公式� = �2−�1 �2−�1 ，计算即可得出答案． 【详解】� = 3−1 2−1 = 2 故选 A 【点睛】本题考查两点的斜率公式，属于基础题． 2．B 【分析】根据共面向量的推论得到� + 1 3 + 1 2 = 1，解方程即可. 【详解】因为点�在平面���内，所以点�，�，�，�四点共面，所以� + 1 3 + 1 2 = 1，解得� = 1 6 . 故选：B. 3．B 【分析】根据平均数和方差的性质求解. 【详解】已知�1，�2，...，��的平均数为 10，标准差为 2，方差为 4， 则 2�1 − 1，2�2 − 1，...，2�� − 1的平均数为 2 × 10 − 1 = 19，方差为22 × 4 = 16，标准 差为 4. 故选：B. 4.A 【分析】结合相互独立事件的概念直接判断即可 【详解】因为事件 A是否发生对事件 B、C是否发生不产生影响，所以 A与 B，A与 C均相 互独立. 故选：A 5．A 【分析】根据�1//�2，求得� =− 8，得到�2的方程，解两平行线间的距离公式，即可求解. 【详解】由题意，两直线�1: 3� − 4� + 4 = 0 和�2: 6� + �� − 2 = 0， 因为�1//�2，可得 6 3 = � −4 ≠ −2 4 ，即� =− 8，所以�2: 6� − 8� − 2 = 0， 把直线�1化为 6� − 8� + 8 = 0， 根据两平行线间的距离公式，可得 8−(−2) 62+(−8)2 = 1， 即两平行线间的距离为 1. 故选：A. 6．D 【分析】根据题意分析随机数中没有 1，2，3，4中的数的个数，再根据对立事件的概率求 解即可. 【详解】由题意，事件三只豚鼠中至少一只被感染的对立事件为三只豚鼠都没被感染， 答案第 2页，共 9页 随机数中满足三只豚鼠都没被感染的有 907，966，569，556，989共 5个， 故三只豚鼠都没被感染的概率为 5 20 = 0.25， 则三只豚鼠中至少一只被感染的概率为 1 − 0.25 = 0.75. 故选：D 7．C 【分析】利用直线斜率定义数形结合即可求得直线�的斜率取值范围. 【详解】��� = 2+1 1+1 = 3 2 , ��� = 2−1 1−3 =− 1 2 直线�过点� 1,2 ，且与线段��相交， 则直线�的斜率取值范围是 −∞, − 1 2 ∪ 3 2 , + ∞ . 故选：C 8．A 【分析】建立空间直角坐标系，写出��1 ，��1 的坐标，由夹角公式可得结果. 【详解】如图，以�为坐标原点，��，��，��1分别为�，�，�轴建立空间直角坐标系， 则� 0,0,0 ，�1 3,0,3 ，� 0,4,0 ，�1 0,0,3 ， 所以��1 = 3,0,3 ，��1 = 0, − 4,3 ， 所以 cos ��1 , ��1 = ��1 ⋅��1 ��1 ⋅ ��1 = 9 3 2×5 = 3 2 10 ， 所以直线��1与�1�所成角的余弦值为 3 2 10 ． 故选：A. 9．BCD 【分析】利用均值、方差、分层随机抽样、古典概型等知识逐项判断即可． 答案第 3页，共 9页 【详解】对于 A，该班级此次练习数学成绩的均分 120 25 112 15 117 25 15 x      ，故 A错误； 对于 B，该班级此次练习数学成绩的方差  2 2 21 25 2 (120 117) 15 1 (112 117) 16.62540s                ，故 B正确； 对于 C，利用分层抽样的方法从该班级抽取 8人，则应抽取的男生人数为 258 5 25 15    ，C 正确； 对于 D，从该班级随机选择 2人参加某项活动，则至少有 1名女生的概率 2 25 2 40 C 241 C 39 P    ， 故 D正确． 故选 BCD． 10．ABC 【分析】根据给定的几何体，利用空间向量运算逐项计算判断即得. 【详解】对于 A，由�� = 1 3 �� + 2 3 ��，得 3�� = 3(�� − �� ) = 3( 1 3 �� + 2 3 �� − �� ) = �� − �� = ��，A正确； 对于 B，由 Q为△ ���的重心，得�� + �� + �� = 0 ， 则(�� + �� ) + (�� + �� ) + (�� + �� ) = 3�� + (�� + �� + �� ) = 0 ， 于是 3�� = �� + �� + �� ，即�� = 1 3 �� + 1 3 �� + 1 3 �� ，B正确； 对于 C，若�� ⋅ �� = 0，�� ⋅ �� = 0，则�� ⋅ �� = (�� + �� ) ⋅ (�� − �� ) = �� ⋅ (�� − �� ) + �� ⋅ �� − �� ⋅ �� = �� ⋅ (�� − �� ) = �� ⋅ �� = 0，C正确； 对于 D，由四面体����的各棱长都为 2，得�� ⋅ �� = �� ⋅ �� = �� ⋅ �� = 2 × 2cos60∘ = 2， �� = �� − �� = 1 2 (�� + �� ) − 1 2 �� = 1 2 (�� + �� − �� )， 则|�� | = 1 2 (�� + �� − �� )2 = 1 2 �� 2 + �� 2 + �� 2 − 2�� ⋅ �� − 2�� ⋅ �� + 2�� ⋅ �� = 2，D错误． 故选：ABC 11．AC 【分析】求出直线�2方程，解出两直线交点判断 A，根据截距的关系求出直线方程判断 B， 根据条件求出直线�3的方程，利用点到直线距离公式求解判断 C，根据直线平行求出�再检 验即可判断 D. 【详解】由�1 =− 1 2 , �1 ⊥ �2，可知�2 = 2，由�2在�轴上的截距为 3 2 知�2过点 3 2 , 0 ， 所以直线�2的方程为� = 2 � − 3 2 ，即 2� − � − 3 = 0， 对 A，联立 � + 2� − 4 = 0 2� − � − 3 = 0，解得 � = 2 � = 1，即直线�1与�2的交点坐标为 2,1 ， 由 2� − � − 3 = 0可得� = 2� − 3，即直线�2在�轴上的截距是−3，故 A正确； 对 B，当直线�3经过�1与�2的交点且过原点时，方程为� = 1 2 �，即� − 2� = 0，满足题意， 答案第 4页，共 9页 当直线不过原点时，设直线方程为 � � + � 2� = 1 � ≠ 0 ，代入点 2,1 可得� = 5 2 ， 所以直线方程为 2� + � − 5 = 0，综上满足条件的直线为� − 2� = 0 或 2� + � − 5 = 0，故 B错误； 对 C，由题意过 2,1 点的动直线中，到原点距离最大的直线与原点和 2,1 连线所在直线垂 直， 故所求直线的斜率为� =− 11 2 =− 2，所以直线�3为� − 1 =− 2(� − 2)，即 2� + � − 5 = 0， 所以 4,2 到�3距离为 2×4+2−5 22+12 = 5，故 C正确； 对 D，因为�1 ∥ �2，所以� � + 1 − 6 = 0，解得� =− 3或 2， 当� =− 3时，直线�1: − 3� + 3� + 1 = 0与�2: 2� − 2� + 1 = 0平行， 当� = 2时，直线�1: 2� + 3� + 1 = 0与�2: 2� + 3� + 1 = 0重合，故 D错误. 故选：AC 12． ( 2,1) 【分析】将直线化为 : ( 2) 1 0l k x y    ，即可确定定点坐标. 【详解】由 : 1 2 0l kx y k    可化为 : ( 2) 1 0l k x y    ，即直线恒过点 ( 2,1) . 故答案为： ( 2,1) 【点睛】本题考查了直线过定点的坐标求法,属于基础题. 13．8.05 【分析】根据百分位数的定义即可求解. 【详解】由题意可得 12 × 3 4 = 9，将 12位同学的身高从小到大排列为： 2.4,3.2,3.6,4.5,4.6,6.4,7.8,7.9,8.0,8.1,8.4,8.6， 故这组数据的上四分位数为第 9和第 10个数据的平均数，即8.0+8.1 2 = 8.05. 故答案为：8.05. 14．①③ 【分析】对于①，根据相交直线确定唯一平面即可判断；对于②，转化顶点即可判断；对于 ③，建立空间直角坐标系，当∠��� = 90°时，�� ·�� =− 1 2 � + 1 4 − 1 4 = 0即可判断；对于 ④，当� = 1 2 时，�为�1�1的中点，过�作��//�1�1且�� ∩ �1�1 = �，则易证��//��，易 得过�, �,�三点的平面截正方体所得截面为等腰梯形����，再计算等腰梯形����的面积即 可判断. 【详解】 答案第 5页，共 9页 对于①，易知� ∈ ��， 因为�� ∩ �� = �， 所以�,�,�, �四点共面，故①正确； 对于②，因为三棱锥� − ���的体积等于三棱锥�− ���的体积， 又易知�到底面的距离等于定值1 2 ，而△ ���的面积一定， 所以三棱锥� − ���的体积为定值，故②错误； 对于③，建立如图所示空间直角坐标系， 所以由题知，�(0,1,0), �( 1 2 , 1 2 , 0), �1(1,0,1), �1(0,0,1), 所以�� = ( − 1 2 , 1 2 , 0), �1�1 = (1,0,0), 因为�1� = ��1�1 = (�, 0,0)， 所以�(�, 0,1), 所以�� = (� − 1 2 , − 1 2 , 1)， 当∠��� = 90°时，�� ·�� =− 1 2 � + 1 4 − 1 4 = 0，解得� = 0 所以�与�1重合， 所以� = 0，故③正确； 对于④，当� = 1 2 时，�为�1�1的中点， 过�作��//�1�1且�� ∩ �1�1 = �，则易证��//��， 所以易得过�, �,�三点的平面截正方体所得截面为等腰梯形����， 又易知�� = 2 2 , �� = 2， 从而可得等腰梯形����的高为 3 2 2 ， 所以截面等腰梯形����的面积为1 2 × ( 2 2 + 2) × 3 2 2 = 9 8 ，故④错误、 故答案为：①③ 15、(1) B，C两人各自闯关成功的概率都是 1 2 . (2) 5 12 答案第 6页，共 9页 （3）11 12 【分析】（1）记 , ,A B C三人各自闯关成功分别为事件 , ,D E F，三人各自独立闯关，由题意 结合独立事件的概率公式可列出方程组，从而解得 B，C两人各自闯关成功的概率； （2）三人中恰有两人闯关成功为事件DEF DEF DEF  ，利用独立事件和互斥事件的概率 公式计算即可． 【详解】（1）记 , ,A B C三人各自闯关成功分别为事件 , ,D E F， 三人闯关成功与否得相互独立，且满足               2 3 1 6 11 1 1 12 P D P D P E P F P D P E P F                     ， 解得   1 2 P E  ，   1 2 P F  ， 所以 B，C两人各自闯关成功的概率都是 1 2 . （2）设A， B，C三人中恰有两人闯关成功为事件 H ， 则     1 1 1 2 1 1 2 1 1 5 3 2 2 3 2 2 3 2 2 12 P H P DEF DEF DEF             ， 所以三人中恰有两人闯关成功的概率为 5 12 . 16、(1)2 2 0x y   (2) 1a   (3) 2a   或 0a  . 【分析】（1）代入 1a  计算出斜率，利用点斜式写出直线方程；（2）列出点到直线的距离 公式，建立等式求解可求出 a的值；（3）求在两条坐标轴上截得的截距，建立等式求解即可. 【详解】（1）当 1a  时，直线 l的方程为 2 4 0x y   ，斜率为 2k  ，则过点  1,0 且与直 线 l平行的直线方程为  2 1y x  ，即 2 2 0x y   . （2）原点O到直线 l的距离为   2 4 4 1 1 a d a     ，解得： 1a   . （3） 1a   时，不满足条件； 当 1a   时，令 0y  ， 4 1 ax a    ，令 0x  ， 4y a ，则有 4 4 1 a a a    ，解得： 2a   或 0a  . 17、(1)证明过程见解析 答案第 7页，共 9页 (2) 2 3 (3) 2 6 3 【分析】（1）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，得到 1 0BD EF    ，求出垂直关系； （2）求出两平面的法向量，利用面面角的余弦夹角公式得到答案； （3）利用点到直线距离向量公式求出答案. 【详解】（1）以D为坐标原点， 1, ,DA DC DD 所在直线分别为 , ,x y z轴，建立空间直角坐标 系， 设正方体棱长为 2，则          12,2,0 , 0,0,2 , 2,1,2 , 1,2,2 , 0,2,0B D E F C ， 故    1 2, 2,2 1,1,0 2 2 0BD EF           ，故 1 BD EF uuur uuur ， 所以 1 BD EF ； （2）由图可知，平面 BFC的法向量为  0,1,0m   ， 设平面EFC的法向量为  , ,n x y z  ， 则         , , 1,1,0 0 , , 1,0,2 2 0 n EF x y z x y n CF x y z x z                   ， 令 1z  得 2, 2x y    ，故  2, 2,1n     ， 平面EFC与平面 BFC夹角的余弦值为    0,1,0 2, 2,1 2 34 4 1 m n m n             ； （3）  1 0,2,2C ，  1 2, 2,2BD     ，      1 2,2,0 0,2,2 2,0, 2C B      ， 点 1 C 到直线 1 BD 的距离为 答案第 8页，共 9页     2 2 2 1 1 1 1 2,0, 2 2, 2,2 2 64 0 4 34 4 4 C B BDd C B BD                         . 18、(1)61，241； (2)可以判断技术改造后的产品质量初级稳定，但不能判定生产线技术改造成功. 【分析】(1)利用表格中的数据，根据平均数和方差的计算公式计算即可； (2)根据题中公式，计算出区间 1 1,a b 并判段数据落在该区间的概率，计算出区间  2 2,a b 并判 段数据落在该区间的概率，与题中条件比较即可得出结论. 【详解】（1）由题，可知 30 0.06 40 0.1 50 0.16 60 0.3 70 0.2 80 0.1 90 0.08 61x                ． 2 2 2 2 2 2(30 61) 0.06 (40 61) 0.1 (50 61) 0.16 (60 61) 0.3 (70 61) 0.2s                2 2+(80 61) 0.1+(90 61) 0.08 241     ． （2）由 2 241s  知， 16s  ， 则 1 61 165 45 5 a        ， 1 61 165 75 5 b       ， 该抽样数据落在 [45 75]， 内的频率约为 0.16 0.3 0.2 66%>65%   ； 又 2 61 2 165 30 5 a         ， 2 61 2 165 90 5 b        ， 该抽样数据落在 [30 90]， 内的频率约为1 0.03 0.04 0.93 93%<95%    ， ∴可以判断技术改造后的产品质量初级稳定，但不能判定生产线技术改造成功． 19、(1)详见解析；(2) 2 2 ；(3)存在点M ，此时 1BM  . 【分析】（1）建立空间直角坐标系后，用直线的方向向量和平面的法向量垂直,即可证明线 面平行； （2）建立空间直角坐标系后，用点到平面的距离公式即可求解； （3）假设存在，列出方程求解即可. 【详解】（1）证明：因为 1OO 平面 ABCD，以点O为坐标原点， 1, ,DA OF OO    的方向分别 为 x轴， y轴， z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. 因为侧棱所在的直线与上下底面中心的连线 1 OO 所成的角为 45，则 答案第 9页，共 9页 (2, 2,0)B ， 1( 1, 1, 2)D   ， 1( 1,1, 2)C  ， (0, 2, 0)F ， ( 2,0,0)E  ， 1(1, 1, 2)A  ， 所以 1 ( 3, 3, 2)BD     ， 1 ( 1, 1, 2)CE     ， (2,2,0)EF   ， 设平面 1C EF的一个法向量为 ( , , )n x y z  ， 则 1 0 2 0 n EF x y n C E x y z              ， 令 1x  ，则 (1, 1,0)n    ， 因为 1 ( 3, 3, 2)BD     ， 所以 1 0n BD    ，所以 1 n BD   ， 又因为 1 BD 平面 1C EF， 所以 1 BD ∥平面 1C EF； （2）解：由（1）知， 1 ( 3,1, 2)AE     ， 所以点 1 A 到平面 1C EF的距离为 1| | | 4 | 2 2 | | 2 A E nd n         ； （3）解：假设边 BC上存在点 ( ,2,0)M x 满足条件， [ 2, 2]x  ， 则 1 ( 1,3, 2)AM x    ， 设直线 1 AM 与平面 1C EF所成角为 ， 由题意可得 1 1 2 1 | | | 4 | 3 22sin | cos , | 22| | | | 2 2 12 AM n xAM n AM n x x                   ， 化简得 2 35 34 0x x   ，则 1x  或 34x  （舍去）， 即存在点M 符合题意，此时 1BM  .