精品解析：浙江省j12联盟2024-2025学年八年级上学期11月期中考试数学试题

J12共同体联盟校学业质量检测2024（初二上） 数学试题卷 温馨提示：欢迎你参加考试！请你认真审题、积极思考、仔细计算、规范解答！ 1．全卷共6页，共24题；全卷满分120分，考试时间120分钟． 2．所有答案必须写在答题纸相应的位置上，写在试题卷、草稿纸上均无效． 3．答题前，请认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题．祝你成功！ 卷I 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每个小题给出的四个选项中只有一项符合题意，请选出并在答题卡上将该项涂黑，不选、多选、错选，均不给分） 1. 下列图形中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则下列不等式正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 图1是数学实验课上小哲做的角平分仪，其工作原理如图2，其中，，将仪器上的点A与的顶点R重合，调整和，使它们分别落在角的两边上，则射线就是的平分线．此角平分仪作图所运用的数学知识是（ ） 图1 图2 A. B. C. D. 4. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 说明命题“若，则”是假命题，可用的反例是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 具备下列条件的中，不是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 7. 下列说法中不正确的是（ ） A. “三边对应相等的两个三角形全等”是基本事实，所以没有逆命题 B. “若，则”的逆命题是“若，则” C. “两个全等三角形的周长相等”的逆命题是“周长相等的两个三角形全等” D. “全等三角形的对应角相等”的逆命题是“三角对应相等的两个三角形全等” 8. 如图，，动点P满足，则的最小值为（ ）     A. 5 B. C. D. 9. 如图是的正方形网格，的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形．则在网格中，能画出与成轴对称的格点三角形个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 10. 如图，在中，，边上的中线．过点A作于点E，记长为x，长为y．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（ ） A. B. C. D. 卷II 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 不等式的解集为___________． 12. 将一副三角板如图叠放在一起，则图中的度数为________． 13. 如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中，，则的值是______． 14. 美美和小仪到超市购物，且超市正在举办摸彩活动，单次消费金额每满100元可以拿到1张摸彩券．已知美美一次购买5盒饼干拿到3张摸彩券；小仪一次购买5盒饼干与1个蛋糕拿到4张摸彩券．若每盒饼干的售价为x元，每个蛋糕的售价为150元，则x的范围为____． 15. 在边长为和的长方形中作等腰三角形，使得等腰三角形的两个顶点是长方形的顶点，第三个顶点落在长方形的边上，则所画三角形的面积为________． 16. 如图，中，，，，D是线段上一个动点，以为边在外作等边，若是的中点，连结，当取最小值时，的周长为________． 三、解答题（本大题共8小题，前5题每题8分，第22，23题每题10分，第24题12分，共72分） 17. （1）解不等式：，并将解集表示在下列数轴上； （2）解不等式组： 18. 如图，中，，，的垂直平分线交于点E，交于点D，连接． （1）求的度数； （2）若，求长． 19. 如图，在中，点E在边上，，点D在右侧，连接，，若，． 求证：． 20. 如图，在中，，，点D是边上动点，（不与点A、点B重合），连接，将线段绕点C顺时针旋转至位置，连接． （1）求的度数； （2）若，当点D在的中点时，求四边形的周长． 21. 某商店购进奥运会吉祥物和纪念币两种纪念品，若购进吉祥物10个、纪念币5个，需要100元；若购进吉祥物5个、纪念币3个，需要55元． （1）求购进吉祥物，纪念币两种纪念品每件各需多少元？ （2）若该商店计划购进这两种纪念品共50件，且预算不多于400元，则该商店最少购进吉祥物多少件？ 22. 某校八年级同学测量池塘两端A，B的距离，测量方案如下表： 课题 测量池塘两端A，B的距离 测量工具 皮尺，标杆 测量方案示意图 测量步骤及数据 （1）利用标杆确定A，M，F在同一直线上，量得，然后找到了点N，且，； （2）测得，再在的延长线方向确定点E，测得； （3）在的延长线方向确定点D，使得； （4）确定点C、点A和点E三点共线，测得；（5）测得． 任务一 请你根据上述测量方案及数据，求出的长； 任务二 请你证明． 23. 若三角形有一边上的中线等于这条边的长，则称这个三角形为“等中三角形”． （1）如图，在中，，，求证：是“等中三角形”： （2）在中，，，若是“等中三角形”，求的长． 24. 如图1，在中，，，点D在边上运动，沿着折叠得到，直线与直线相交于点． （1）如图2，若，，求的长度； （2）当为等腰直角三角形时，求的值； （3）若，为钝角三角形，直接写出长度的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ J12共同体联盟校学业质量检测2024（初二上） 数学试题卷 温馨提示：欢迎你参加考试！请你认真审题、积极思考、仔细计算、规范解答！ 1．全卷共6页，共24题；全卷满分120分，考试时间120分钟． 2．所有答案必须写在答题纸相应的位置上，写在试题卷、草稿纸上均无效． 3．答题前，请认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题．祝你成功！ 卷I 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每个小题给出的四个选项中只有一项符合题意，请选出并在答题卡上将该项涂黑，不选、多选、错选，均不给分） 1. 下列图形中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别．根据轴对称图形的定义，逐个进行判断即可．轴对称图形：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形． 【详解】解：A、D、C均不能找到一条直线，沿着该直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，故A、D、C不是轴对称图形，不符合题意； B能找到一条直线，使B沿着该直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，故B是轴对称图形，符合题意； 故选：B． 2. 若，则下列不等式正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式性质，两边同时加上或者减去相同数，或者两边同时乘以相同正数，不等号不变，不等式两边同时乘以相同负数，不等号要发生改变逐项进行判断即可． 【详解】解：， ， 故A不符合题意； ， ， 故B不符合题意； ， ， 故C不符合题意； ， ， 故D符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查了不等式基本性质，掌握不等式基本性质是解题关键． 3. 图1是数学实验课上小哲做的角平分仪，其工作原理如图2，其中，，将仪器上的点A与的顶点R重合，调整和，使它们分别落在角的两边上，则射线就是的平分线．此角平分仪作图所运用的数学知识是（ ） 图1 图2 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．由“”证明，可得，可证是的角平分线，即可求解． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴， ∴是角平分线， 故选：A． 4. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组以及在数轴上表示不等式的解集，掌握以上知识点是解答本题的关键． 求出每个不等式的解集，找出不等式组的解集，再在数轴上把不等式组的解集表示出来，即可得出选项． 【详解】解：， 解不等式得：， 解不等式得：， 不等式组的解集为：， 在数轴上表示不等式组的解集如图选项C所示， 故选：C． 5. 说明命题“若，则”是假命题，可用的反例是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了利用举例法证明一个命题错误，要说明数学命题的错误，只需举出一个反例即可，直接把已知数据代入各个选项进而判断得出答案． 【详解】解：A、∵当，时， ，， 故“若，则”是假命题的反例不可以为：，； B、∵当，时， ，， 故“若，则”是假命题的反例不可以为：，； C、∵当，时， ，， 故“若，则”是假命题的反例可以为：，； D、∵当，时， ，， 故“若，则”是假命题的反例不可以为：，． 故选：C． 6. 具备下列条件的中，不是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，掌握“三角形的内角和是”是解决本题的关键．利用三角形的内角和定理和已知条件，计算出最大的角再判断的形状． 【详解】解：A．，即，，为直角三角形，不符合题意； B．，即，，为直角三角形，不符合题意； C．，即，同A选项，不符合题意； D．，即，三个角没有角，故不是直角三角形，符合题意． 故选：D． 7. 下列说法中不正确的是（ ） A. “三边对应相等的两个三角形全等”是基本事实，所以没有逆命题 B. “若，则”的逆命题是“若，则” C. “两个全等三角形的周长相等”的逆命题是“周长相等的两个三角形全等” D. “全等三角形的对应角相等”的逆命题是“三角对应相等的两个三角形全等” 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了命题与定理，关键是熟练掌握有关性质和定理，能对命题的真假进行判断．根据逆命题的定义进行判断即可． 【详解】“三边对应相等的两个三角形全等”有逆命题，两个三角形全等则三边对应相等，故选项A错误，符合题意； “若，则”的逆命题是“若，则”，选项B正确，不符合题意； “两个全等三角形的周长相等”的逆命题是“周长相等的两个三角形全等” ，选项C正确，不符合题意； “全等三角形的对应角相等”的逆命题是“三角对应相等的两个三角形全等” ，选项 D正确，不符合题意； 故选：A． 8. 如图，，动点P满足，则的最小值为（ ）     A. 5 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，轴对称最短路径问题．根据题意先求出的面积，再利用作对称分析线段相加最小值后用勾股定理即可求出本题答案． 【详解】解：设中边上的高是， ∴，即 ∵， ∴动点P在与平行且与的距离是2的直线上，如图，作关于直线的对称点，连接， 则， ∴当点E，P，B三点共线时，的值最小，即的长度， 在中，∵，， ∴． ∴的最小值为． 故选：D． 9. 如图是的正方形网格，的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形．则在网格中，能画出与成轴对称的格点三角形个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形，根据题意作出图形是解答本题的关键． 根据题意画出图形，找出对称轴及相应的三角形即可． 【详解】解：如图所示：与成轴对称的格点三角形一共4个， 故选：B． 10. 如图，在中，，边上的中线．过点A作于点E，记长为x，长为y．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，直角三角形斜边的中线，等腰三角形的性质等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 连接，过作于，根据中线得到，根据三线合一得到，然后在和中利用勾股定理列方程，化简整理即可． 【详解】解：连接，过作于， 则， ∵边上的中线， ∴是中点， ∵过点作于点， ∴， ∴， ∵的长为的长为， ， ， ， ∵中，， 中，， ， 整理得：， 故选：C． 卷II 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 不等式的解集为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式，熟知不等式的基本性质是解答此题的关键．移项合并、化系数为1即可求出不等式的解集． 【详解】解：， 移项合并得：， 化系数为1得：， 故答案为：． 12. 将一副三角板如图叠放在一起，则图中的度数为________． 【答案】##105度 【解析】 【分析】该题主要考查了三角板中的角度计算以及三角形外角的性质，解题的关键是掌握三角形外角的性质． 根据图象算出，再根据三角形外角的性质即可求出的度数． 【详解】解：如图，， ∴， 故答案为：． 13. 如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中，，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意和题目中的数据，可以计算大正方形的边长，然后即可计算出小正方形的面积，再根据图形可知的值等于小正方形的面积的2倍，本题得以解决. 【详解】解：， ， 小正方形的面积为：， 由图可得，的值等于小正方形的面积的2倍，即， ， 故答案为：. 【点睛】本题考查勾股定理的应用，解答本题的关键是明确的值等于小正方形的面积的2倍. 14. 美美和小仪到超市购物，且超市正在举办摸彩活动，单次消费金额每满100元可以拿到1张摸彩券．已知美美一次购买5盒饼干拿到3张摸彩券；小仪一次购买5盒饼干与1个蛋糕拿到4张摸彩券．若每盒饼干的售价为x元，每个蛋糕的售价为150元，则x的范围为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式组的应用，确定消费金额与彩券数量的不等关系是解题的关键． 首先根据题意可知，美美拿到3张摸彩券的意思即是消费金额大于等于300元小于400元，小仪拿到4张摸彩券的意思即是消费金额大于等于400元小于500元，根据题意列出不等式组，解不等式组即可． 【详解】解：美美拿到3张彩券说明消费金额达到了300元，但是不足400元，小仪拿到了4张彩券说明消费金额达到了400元，但是不足500元，由此可得， 解得： 故答案为：． 15. 在边长为和的长方形中作等腰三角形，使得等腰三角形的两个顶点是长方形的顶点，第三个顶点落在长方形的边上，则所画三角形的面积为________． 【答案】或或6 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的尺规作图、等腰三角形的定义、勾股定理，熟练掌握等腰三角形的概念和尺规作图是解题关键． 分别作、、的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得等腰三角形，或以点为圆心，长为半径画弧交于点，也可得等腰三角形，最后根据三角形的面积公式可得答案． 【详解】解：如图1，作边的垂直平分线，交于点， ∴，即为等腰三角形， 此时等腰三角形的面积为； 如图2，作边的垂直平分线，交于点， ∴，即为等腰三角形， 此时等腰三角形的面积为； 如图3，以点为圆心，长为半径画弧交于点， ∴，即为等腰三角形， 此时等腰三角形的面积为． 如图4，作边的垂直平分线，交于点，连接， 则， 设，则， 故， 解得：， 故， 故． 故答案为：或或6． 16. 如图，中，，，，D是线段上一个动点，以为边在外作等边，若是的中点，连结，当取最小值时，的周长为________． 【答案】## 【解析】 【分析】连接， 过点分别作于，于，先确定点在的角平分线上，当时，最小，且点在上，利用直角三角形的性质和勾股定理求出，进而得出，即可得，，再由四边形是矩形可得，，得到，最后利用勾股定理求出即可求解． 【详解】解：连接， 过点分别作于，于，则， ∵是等边三角形，是的中点， ∴，平分，即点在的角平分线上， 当时，最小，且点在上， 在中，，，， ∴， 根据勾股定理得，， ∵平分，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴的周长， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，矩形的判定和性质，垂线段最短，确定时最小是解题的关键． 三、解答题（本大题共8小题，前5题每题8分，第22，23题每题10分，第24题12分，共72分） 17. （1）解不等式：，并将解集表示在下列数轴上； （2）解不等式组： 【答案】（1）， 数轴表示如下： （2） 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式和解一元一次不等式组， （1）不等式移项合并，把x系数化为1，即可求出解，然后在数轴表示即可； （2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可． 【详解】解：（1） 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得，； （2） 解不等式①得：， 解不等式②得：； ∴不等式组的解解集为． 18. 如图，中，，，的垂直平分线交于点E，交于点D，连接． （1）求的度数； （2）若，求长． 【答案】（1） （2）4 【解析】 【分析】（1）由线段垂直平分线的性质得到，再由等腰三角形的性质得出，结合等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出的度数，再用角的和差来计算求解； （2）由（1）得，结合等腰三角形性质得到的度数，再结合三角形外角性质得到，从而得出即可求解． 【小问1详解】 解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：由（1）得．． ∵是的外角， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质和判定，三角形内角和定理和外角的性质，掌握线段垂直平分线的性质是解答关键． 19. 如图，在中，点E在边上，，点D在右侧，连接，，若，． 求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质．利用证明，即可得到． 【详解】略 20. 如图，在中，，，点D是边上动点，（不与点A、点B重合），连接，将线段绕点C顺时针旋转至位置，连接． （1）求的度数； （2）若，当点D在的中点时，求四边形的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了旋转的性质，全等三角形的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点． （1）首先由旋转得到，，然后证明出，得到，进而求解即可； （2）连接，由（1）知，，然后由旋转的性质得到，然后结合D是的中点求解即可． 【小问1详解】 解：由旋转知，，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，连接， 由（1）知，， ∴， 由旋转知， ∵D是的中点， ∴． 21. 某商店购进奥运会吉祥物和纪念币两种纪念品，若购进吉祥物10个、纪念币5个，需要100元；若购进吉祥物5个、纪念币3个，需要55元． （1）求购进吉祥物，纪念币两种纪念品每件各需多少元？ （2）若该商店计划购进这两种纪念品共50件，且预算不多于400元，则该商店最少购进吉祥物多少件？ 【答案】（1）每个吉祥物5元，每个纪念币10元 （2）购进吉祥物至少20件 【解析】 【分析】此题主要考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系和不等关系，列出方程组和不等式． （1）设每个吉祥物x元，每个纪念币y元，根据“若购进吉祥物10个、纪念币5个，需要100元；若购进吉祥物5个、纪念币3个，需要55元”，列方程组求解即可． （2）设该商店购进吉祥物a件，根据“预算不多于400元”，列不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设每个吉祥物x元，每个纪念币y元， 则 ， 解得：，， 答：每个吉祥物5元，每个纪念币10元． 【小问2详解】 解：设该商店购进吉祥物a件， 则：， 解得：， 答：购进吉祥物至少20件． 22. 某校八年级同学测量池塘两端A，B的距离，测量方案如下表： 课题 测量池塘两端A，B的距离 测量工具 皮尺，标杆 测量方案示意图 测量步骤及数据 （1）利用标杆确定A，M，F在同一直线上，量得，然后找到了点N，且，； （2）测得，再在的延长线方向确定点E，测得； （3）在的延长线方向确定点D，使得； （4）确定点C、点A和点E三点共线，测得；（5）测得． 任务一 请你根据上述测量方案及数据，求出的长； 任务二 请你证明． 【答案】任务一：； 任务二：证明：在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】该题主要考查了勾股定理逆定理和勾股定理，全等三角形的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点． 任务一：勾股定理逆定理求出，再利用勾股定理即可求出的长． 任务二：证明，即可解答． 【详解】解：任务一：∵，，，且， 即， ∴， ∵，， ∴； 任务二：略 23. 若三角形有一边上的中线等于这条边的长，则称这个三角形为“等中三角形”． （1）如图，在中，，，求证：是“等中三角形”： （2）在中，，，若是“等中三角形”，求的长． 【答案】（1） 证明：过点A作于D， ∵，， ∴， 由勾股定理得，， ∴， 即是“等中三角形”； （2）3或4 【解析】 【分析】本题考查了三角形中线的性质，勾股定理，理解新定义是解题的关键． （1）作的中线，根据三线合一得出，勾股定理求得，根据等中三角形的定义即可得出结论； （2）分三种情况，根据等中三角形的定义求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图2：当边上的中线等于时，则， ∴， 当边上的中线等于时，则， ∵，即， ∴． 当边上的中线等于时，不符合题意， 综上所述，的长是3或4． 24. 如图1，在中，，，点D在边上运动，沿着折叠得到，直线与直线相交于点． （1）如图2，若，，求的长度； （2）当为等腰直角三角形时，求的值； （3）若，为钝角三角形，直接写出长度的取值范围． 【答案】（1） （2）或 （3）长度的取值范围为或或或 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理求出，再根据等面积法即可求解． （2）当为等腰直角三角形时，分为当点在的右侧时和当点在的左侧时分别画出图形，根据解直角三角形和等腰直角三角形的性质即可求解． （3）如图，当时，当时，是直角三角形，当时，当时，当点D运动到点A时，的长为5时，分别画图求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：根据翻折可得， 当为等腰直角三角形时， 如图，当点在的右侧时， 则或， ∴或； 当点在的左侧时， 则或， ∴或； 综上所述，或． 【小问3详解】 解：如图，当时，过点C作，则， ∴， ∴， ∴， ∴当时，为钝角三角形． 如图，当时，是直角三角形， 则，，， 设，则， ∴， 解得：，即； 如图，当时，点重合，翻折后不能构成三角形，即不存在， 如图，当时，， ∴， ∴，不存在点E，交点E不存在， 在此之间，为钝角三角形，即或． 如图，当点D运动到点A时，的长为5，为钝角三角形． ∴为钝角三角形时，长度的取值范围为或或或． 【点睛】本题主要考查折叠的性质、勾股定理、平行线判定和性质、等腰三角形的判定和性质以及动点问题，熟练掌握动点带来的图形变化和角边之间的代换是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $