广东省广州市天河区华美实验学校2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷

2024-2025学年广东省广州市天河区华美实验学校九年级（上）期中 数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（3分）一元二次方程x2+4x﹣1＝0中，一次项的系数是（　　） A．2 B．1 C．4 D．﹣1 2．（3分）下列几何图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．（3分）抛物线y＝﹣2（x+1）2﹣3的顶点坐标是（　　） A．（1，3） B．（﹣1，﹣3） C．（1，﹣3） D．（﹣1，3） 4．（3分）如图，点A、B、C是⊙O上的三点，∠BAC＝25°，则∠BOC的度数是（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 5．（3分）用配方法解方程x2﹣2x＝2时，配方后正确的是（　　） A．（x+1）2＝3 B．（x+1）2＝6 C．（x﹣1）2＝3 D．（x﹣1）2＝6 6．（3分）抛物线y＝x2先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到新的抛物线解析式是（　　） A．y＝（x+1）2+3 B．y＝（x+1）2﹣3 C．y＝（x﹣1）2﹣3 D．y＝（x﹣1）2+3 7．（3分）如图，⊙O的半径为5，弦AB＝6，点P是弦AB上的一个动点（不与A、B重合），下列符合条件的OP的值可能是（　　） A．3 B．4.2 C．5.3 D．6.2 8．（3分）有3人患了流行性感冒，经过两轮传染后共有363人患了流行性感冒，则每轮传染中平均一个人传染的人数是（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 9．（3分）设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣（x+1）2+m上的三点，则（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y2＞y1＞y3 10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，Q是直线y＝﹣x+2上的一个动点，将Q绕点P（1，0）顺时针旋转90°，得到点Q'，连接OQ'，则OQ'的最小值为（　　） A． B． C． D． 二、填空题（本题共有6小题，每小题3分，共18分） 11．（3分）在平面直角坐标系中，点（﹣1，2）关于原点对称的点的坐标是 　 　． 12．（3分）已知抛物线y＝（m﹣1）x2开口向下，则m的取值范围是 　 　． 13．（3分）若x1，x2是方程x2+2x﹣3＝0的两根，则x1+x2＝　 　． 14．（3分）若圆锥的底面圆半径为3，母线长为5，则该圆锥的侧面积是 　 　．（结果保留π） 15．（3分）一个正多边形的边长为2，中心角为45°，则这个正多边形的周长是 　 　． 16．（3分）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，下列结论：①abc＞0；②b2＞4ac；③a（m2﹣1）+b（m﹣1）＜0（m≠1）；④关于x的方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，且这四个根的和为5．其中正确的结论有 　 　（请写出所有正确结论的序号）． 三、解答题（共9小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（4分）解方程：x2﹣2x＝0． 18．（4分）已知二次函数y＝x2+bx﹣2的图象经过点A（2，0），求这个二次函数的解析式． 19．（6分）如图，AB为圆O直径，C为圆上一点，连接AC，BC． （1）尺规作图：作的中点D；（不写作法，保留作图痕迹） （2）若AC＝3，BC＝4，在（1）的条件下，求BD的长． 20．（6分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）． （1）画出△ABC关于原点O对称的图形△A1B1C1； （2）直接写出点C1的坐标． 21．（8分）已知关于x的方程x2﹣ax+a﹣1＝0的根为x1、x2． （1）当a＝4时，求x1+x2+x1•x2的值； （2）若方程的一个根x1＝6，求a的值与另一个根x2． 22．（10分）如图，AB为⊙O的直径，点D、E在⊙O上，C是AB的延长线上一点，且∠CEB＝∠D． （1）若∠EBA＝55°，则∠EAB＝ 　 　°； （2）判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论． 23．（10分）某超市销售一种商品，成本价为30元/千克，经市场调查，每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的关系（如图所示），假设每千克售价不能低于30元，且不高于80元． （1）求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围； （2）若每天的总利润为w元，求出w关于x的函数关系式，并求出当销售单价定为多少元时，该超市每天的利润最大？最大利润是多少元？ 24．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2mx+m2+1存在两点A（m﹣1，y1），B（m+2，y2）． （1）求抛物线的对称轴；（用含m的式子表示） （2）记抛物线在A，B之间的部分为图象F（包括A，B两点），y轴上一动点C（0，a），过点C作垂直于y轴的直线l与F有且仅有一个交点，求a的取值范围； （3）若点M（2，y3）也是抛物线上的点，记抛物线在A，M之间的部分为图象G（包括M，A两点），记图形G上任意一点的纵坐标的最大值与最小值的差为t，若t≥|y2﹣y1|，求m的取值范围． 25．（12分）将矩形ABCD绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜360°），得到矩形AEFG． （1）如图，当点E在BD上时． ①若∠BAE＝62°，则∠DAG＝　 　°； ②求证：FD＝CD； （2）探究：当α为何值时，GC＝GB？请你画出图形，并说明理由． 2024-2025学年广东省广州市天河区华美实验学校九年级（上）期中 数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（3分）一元二次方程x2+4x﹣1＝0中，一次项的系数是（　　） A．2 B．1 C．4 D．﹣1 【分析】根据一元二次方程的一般形式ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）中，ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【解答】解：∵方程x2+4x﹣1＝0的一次项为4x， ∴一次项系数为4． 故选：C． 【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 2．（3分）下列几何图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【解答】解：A．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意； C．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D．该图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查中心对称图形与轴对称图形的概念，注意掌握轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 3．（3分）抛物线y＝﹣2（x+1）2﹣3的顶点坐标是（　　） A．（1，3） B．（﹣1，﹣3） C．（1，﹣3） D．（﹣1，3） 【分析】由抛物线的顶点式y＝（x﹣h）2+k直接看出顶点坐标是（h，k），仿照模型解题． 【解答】解：因为抛物线y＝﹣2（x+1）2﹣3是顶点式， 根据顶点式的坐标特点可知该抛物线的顶点坐标是（﹣1，﹣3）．故选B． 【点评】掌握抛物线顶点式的运用． 4．（3分）如图，点A、B、C是⊙O上的三点，∠BAC＝25°，则∠BOC的度数是（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 【分析】根据圆周角定理得出∠COB＝2∠CAB，代入求出即可． 【解答】解：∵对的圆心角为∠COB，对的圆周角为∠CAB，∠BAC＝25°， ∴∠COB＝2∠CAB＝50°， 故选：C． 【点评】本题考查了圆周角定理，能根据圆周角定理得出∠COB＝2∠CAB是解此题的关键． 5．（3分）用配方法解方程x2﹣2x＝2时，配方后正确的是（　　） A．（x+1）2＝3 B．（x+1）2＝6 C．（x﹣1）2＝3 D．（x﹣1）2＝6 【分析】方程左右两边都加上1，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果． 【解答】解：x2﹣2x＝2， x2﹣2x+1＝2+1，即（x﹣1）2＝3． 故选：C． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键． 6．（3分）抛物线y＝x2先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到新的抛物线解析式是（　　） A．y＝（x+1）2+3 B．y＝（x+1）2﹣3 C．y＝（x﹣1）2﹣3 D．y＝（x﹣1）2+3 【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可． 【解答】解：由“左加右减”的原则可知，抛物线y＝x2向右平移1个单位所得抛物线的解析式为：y＝（x﹣1）2； 由“上加下减”的原则可知，抛物线y＝（x﹣1）2向上平移3个单位所得抛物线的解析式为：y＝（x﹣1）2+3． 故选：D． 【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键． 7．（3分）如图，⊙O的半径为5，弦AB＝6，点P是弦AB上的一个动点（不与A、B重合），下列符合条件的OP的值可能是（　　） A．3 B．4.2 C．5.3 D．6.2 【分析】过O点作OH⊥AB于H，连接OA，如图，根据垂径定理得到AH＝BH＝3，再利用勾股定理计算出OH＝4，从而得到OP的范围为4≤OP＜5，然后对各选项进行判断． 【解答】解：过O点作OH⊥AB于H，连接OA，如图，则AH＝BH＝AB＝3， 在Rt△OAH中，OH＝＝＝4， 所以OP的范围为4≤OP＜5． 故选：B． 【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理，熟知垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键． 8．（3分）有3人患了流行性感冒，经过两轮传染后共有363人患了流行性感冒，则每轮传染中平均一个人传染的人数是（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【分析】根据“经过两轮传染后共有363人患了流行性感冒”列方程求解． 【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染x人， 则：3+3x+（3+3x）x＝363， 解得：x1＝10，x2＝﹣12（不合题意，舍去）， 故选：D． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找到相等关系是解题的关键． 9．（3分）设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣（x+1）2+m上的三点，则（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y2＞y1＞y3 【分析】分别计算自变量为﹣2，1，2时的函数值，然后比较函数值的大小即可． 【解答】解：∵当x＝﹣2时，y＝﹣（x+1）2+m＝﹣1+m；当x＝﹣1时，y＝﹣（x+1）2+m＝﹣4+m；当x＝2时，y＝﹣（x+1）2+m＝﹣9+m； ∴y1＞y2＞y3． 故选：A． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质． 10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，Q是直线y＝﹣x+2上的一个动点，将Q绕点P（1，0）顺时针旋转90°，得到点Q'，连接OQ'，则OQ'的最小值为（　　） A． B． C． D． 【分析】利用等腰直角三角形构造全等三角形，求出旋转后Q′的坐标，然后根据勾股定理并利用二次函数的性质即可解决问题． 【解答】解：作QM⊥x轴于点M，Q′N⊥x轴于N， ∵∠PMQ＝∠PNQ′＝∠QPQ′＝90°， ∴∠QPM+∠NPQ′＝∠PQ′N+∠NPQ′， ∴∠QPM＝∠PQ′N 在△PQM和△Q′PN中， ∴△PQM≌△Q′PN（AAS）， ∴PN＝QM，Q′N＝PM， 设Q（m，﹣）， ∴PM＝|m﹣1|，QM＝|﹣m+2|， ∴ON＝|3﹣m|， ∴Q′（3﹣m，1﹣m）， ∴OQ′2＝（3﹣m）2+（1﹣m）2＝m2﹣5m+10＝（m﹣2）2+5， 当m＝2时，OQ′2有最小值为5， ∴OQ′的最小值为， 故选：B． 【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，三角形全等，坐标与图形的变换﹣旋转，二次函数的性质，勾股定理，表示出点的坐标是解题的关键． 二、填空题（本题共有6小题，每小题3分，共18分） 11．（3分）在平面直角坐标系中，点（﹣1，2）关于原点对称的点的坐标是 　（1，﹣2）　． 【分析】根据关于原点对称的点的坐标的特点解答即可． 【解答】解：点P（﹣1，2）关于原点对称的点的坐标是（1，﹣2）， 故答案为：（1，﹣2）． 【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标的特点，掌握横纵坐标都互为相反数是关键． 12．（3分）已知抛物线y＝（m﹣1）x2开口向下，则m的取值范围是 　m＜1　． 【分析】根据二次函数的性质可知，当抛物线开口向下时，二次项系数m﹣1＜0． 【解答】解：因为抛物线y＝（m﹣1）x2的图象开口向下， 所以m﹣1＜0，即m＜1． 故答案为：m＜1． 【点评】本题主要考查了二次函数的性质．用到的知识点：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）来说，当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）开口向上；当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）开口向下． 13．（3分）若x1，x2是方程x2+2x﹣3＝0的两根，则x1+x2＝　﹣2　． 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系x1+x2＝﹣直接代入计算即可． 【解答】解：∵x1，x2是方程x2+2x﹣3＝0的两根， ∴x1+x2＝﹣2； 故答案为：﹣2． 【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，如果x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的两个实数根，则x1+x2＝﹣，x1x2＝． 14．（3分）若圆锥的底面圆半径为3，母线长为5，则该圆锥的侧面积是 　15π　．（结果保留π） 【分析】根据圆锥的侧面积就等于圆锥母线长乘底面周长的一半，依此公式即可计算． 【解答】解：根据圆锥的侧面积公式：πrl＝π×3×5＝15π， 故答案为：15π． 【点评】本题主要考查了圆锥侧面面积的计算，熟练掌握圆锥的侧面积计算公式πrl是解题的关键． 15．（3分）一个正多边形的边长为2，中心角为45°，则这个正多边形的周长是 　16　． 【分析】根据任何多边形的外角和都是360度，利用360除以中心角为45°就可以求出多边形的边数，即可得到结论． 【解答】解：∵多边形的边数为：360÷45＝8， 则这个多边形是八边形， ∴这个多边形的周长＝2×8＝16， 故答案为：16． 【点评】本题考查了正多边形，掌握正多边形的定义和性质是解题的关键． 16．（3分）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，下列结论：①abc＞0；②b2＞4ac；③a（m2﹣1）+b（m﹣1）＜0（m≠1）；④关于x的方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，且这四个根的和为5．其中正确的结论有 　②③　（请写出所有正确结论的序号）． 【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点位置可判断①，由抛物线与x轴有两个交点可判断②，由当x＝1时函数取最大值可判断③，由函数最大值大于1且抛物线开口向下可判断④． 【解答】解：∵抛物线开口向下， ∴a＜0， ∵抛物线对称轴为直线x＝1， ∴， ∴b＝﹣2a＞0， ∵抛物线与y轴交点在x轴上方， ∴c＞0， ∴abc＜0，①错误； ∵抛物线与x轴有2个交点， ∴b2﹣4ac＞0， ∴b2＞4ac，②正确； ∵x＝1时函数取最大值， ∴am2+bm+c＜a+b+c（m≠1）， ∴am2﹣a+bm﹣b＜0，即a（m2﹣1）+b（m﹣1）＜0（m≠1），③正确． ∴由图象可得函数最大值大于2， ∴ax2+bx+c＝1有两个不相等的实数根x1，x2， ax2+bx+c＝﹣1有两个不相等的实数根x3，x4， ∵图象对称轴为直线x＝1， ∴x1+x2＝2，x3+x4＝2． ∴x1+x2+x3+x4＝4， ∴④错误． 故答案为：②③． 【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系． 三、解答题（共9小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（4分）解方程：x2﹣2x＝0． 【分析】原方程有公因式x，先提取公因式，然后再分解因式求解． 【解答】解：x（x﹣2）＝0（3分） ∴x＝0或x﹣2＝0（5分） ∴x1＝0，x2＝2．（7分） 【点评】只有当方程的一边能够分解成两个一次因式，而另一边是0的时候，才能应用因式分解法解一元二次方程．分解因式时，要根据情况灵活运用学过的因式分解的几种方法． 18．（4分）已知二次函数y＝x2+bx﹣2的图象经过点A（2，0），求这个二次函数的解析式． 【分析】将点A（2，0）坐标代入解析式求出b值即可换元解析式． 【解答】解：∵二次函数y＝x2+bx﹣2的图象经过点A（2，0）， ∴4+2b﹣2＝0， 解得：b＝﹣1， ∴这个二次函数的解析式为：y＝x2﹣x﹣2． 【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数解析式的方法，熟练掌握该知识点是关键． 19．（6分）如图，AB为圆O直径，C为圆上一点，连接AC，BC． （1）尺规作图：作的中点D；（不写作法，保留作图痕迹） （2）若AC＝3，BC＝4，在（1）的条件下，求BD的长． 【分析】（1）过点O作OD⊥BC于E，交⊙O于点D，即可解决问题． （2）利用勾股定理解决问题即可． 【解答】解：（1）如图，点D即为所求作． （2）设OD交BC于E． ∵AB是直径， ∴∠ACB＝90°， ∴AC＝3，BC＝4， ∴AB＝＝＝5， ∵OD⊥BC， ∴BE＝EC＝2， ∵BO＝OA， ∴OE＝AC＝， ∴DE＝OD﹣OE＝﹣＝1， ∴BD＝＝＝． 【点评】本题考查作图﹣复杂作图，解直角三角形，垂径定理，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 20．（6分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）． （1）画出△ABC关于原点O对称的图形△A1B1C1； （2）直接写出点C1的坐标． 【分析】（1）依据轴对称的性质，即可得到△ABC关于x轴成轴对称的图形△A1B1C1即可； （2）根据图示得出C1的坐标． 【解答】解：（1）如图所示： （2）C1的坐标为（3，﹣4）． 【点评】此题主要考查了轴对称变换，正确得出对应点位置是解题关键． 21．（8分）已知关于x的方程x2﹣ax+a﹣1＝0的根为x1、x2． （1）当a＝4时，求x1+x2+x1•x2的值； （2）若方程的一个根x1＝6，求a的值与另一个根x2． 【分析】（1）利用根与系数关系求解； （2）把x＝6代入方程，求出a，再利用因式分解法解方程即可． 【解答】解：（1）a＝4时，方程为x2﹣4x+3＝0， ∴x1+x2＝4，x1x2＝3， ∴x1+x2+x1•x2＝7； （2）∵方程的一个根x1＝6， ∴36﹣6a+a﹣1＝0， ∴a＝7， ∴方程为x2﹣7a+6＝0， 解得x1＝6，x2＝1． ∴a＝7，另一个根为1． 【点评】本题考查根与系数关系，一元二次方程的解，解题的关键是掌握：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝． 22．（10分）如图，AB为⊙O的直径，点D、E在⊙O上，C是AB的延长线上一点，且∠CEB＝∠D． （1）若∠EBA＝55°，则∠EAB＝ 　35　°； （2）判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论． 【分析】（1）由圆周角定理证得∠EAB+∠EBA＝90°，即可求得答案； （2）连接OE，由圆周角定理证得∠EAB+∠EBA＝90°，由已知和等腰三角形的性质证得∠EAB＝∠CEB，∠OEB＝∠OBE，进而证得∠OEC＝90°，根据切线的判定定理即可证得CE与⊙O相切． 【解答】解：（1）AB为⊙O的直径， ∴∠AEB＝90°， ∴∠EAB+∠EBA＝90°， ∵∠EBA＝55°， ∴∠EAB＝90°﹣55°＝35°， 故答案为：35； （2）CE与⊙O相切， 证明：连接OE， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠AEB＝90°， ∴∠EAB+∠EBA＝90°， ∵∠EAB＝∠D，∠CEB＝∠D， ∴∠EAB＝∠CEB， ∵OE＝OB， ∴∠OEB＝∠OBE， ∴∠OEC＝∠OEB+∠CEB＝∠EAB+∠EBA＝90°， ∵OE是⊙O的半径， ∴CE与⊙O相切． 【点评】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理，等腰三角形的性质，根据圆周角定理∠CEB＝∠EAB是解决问题的关键． 23．（10分）某超市销售一种商品，成本价为30元/千克，经市场调查，每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的关系（如图所示），假设每千克售价不能低于30元，且不高于80元． （1）求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围； （2）若每天的总利润为w元，求出w关于x的函数关系式，并求出当销售单价定为多少元时，该超市每天的利润最大？最大利润是多少元？ 【分析】（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），将点（30，150），（80，100）代入一次函数表达式，求解即可； （2）由题意得w＝（﹣x+180）（x﹣30）＝﹣（x﹣105）2+5625，根据二次函数的性质即可求解． 【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），将点（30，150），（80，100）代入得： ， 解得， ∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣x+180； （2）根据题意，得： w＝y（x﹣30） ＝（﹣x+180）（x﹣30） ＝﹣（x﹣105）2+5625， ∵a＝﹣1＜0， ∴该函数图象开口向下，且其对称轴为x＝105， 又∵30≤x≤80， ∴在此范围内，w随x的增大而增大， ∴当x＝80时，w取最大值，此时w＝5000， 即销售单价定为80元时，该超市每天的利润最大，最大利润5000元． 【点评】本题考查了二次函数的应用，理解题意，建立函数模型，注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值）是解题的关键． 24．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2mx+m2+1存在两点A（m﹣1，y1），B（m+2，y2）． （1）求抛物线的对称轴；（用含m的式子表示） （2）记抛物线在A，B之间的部分为图象F（包括A，B两点），y轴上一动点C（0，a），过点C作垂直于y轴的直线l与F有且仅有一个交点，求a的取值范围； （3）若点M（2，y3）也是抛物线上的点，记抛物线在A，M之间的部分为图象G（包括M，A两点），记图形G上任意一点的纵坐标的最大值与最小值的差为t，若t≥|y2﹣y1|，求m的取值范围． 【分析】（1）将一般式转化为顶点式即可得解； （2）将A（m﹣1，y1），B（m+2，y2）代入解析式，求出y1，y2，画出函数图象，利用数形结合的方法求解即可； （3）分点M在点A的左侧；点A的右侧，对称轴的左侧；以及对称轴的右侧，结合图象进行分类讨论求解即可． 【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2mx+m2+1＝（x﹣m）2+1， ∴抛物线的对称轴为：x＝m； （2）由y＝x2﹣2mx+m2+1＝（x﹣m）2+1可知： 抛物线的顶点坐标为：（m，1）， 当x＝m﹣1时：， 当x＝m+2时：， ∴A（m﹣1，2），B（m+2，5）， ∵C（0，a）， ∴过点C垂直于y轴的直线l：y＝a，如图： 由图象可知：当a＝1或2＜a≤5时，直线l与F有且仅有一个交点， ∴a的取值范围为：a＝1或2＜a≤5； （3）∵A（m﹣1，2），B（m+2，5）， ∴t≥|y2﹣y1|＝5﹣2＝3， 当x＝2时，， ∴M（2，m2﹣4m+5）， ①当M在点A的左侧，即：m﹣1＞2，m＞3时，y随x的增大而减小， ∴M点的纵坐标最大，A点的纵坐标最小， ∴t＝m2﹣4m+5﹣2＝m2﹣4m+3≥3， 解得：m≥4或m≤0（舍掉）； ②当M在点A与顶点坐标之间时，此时t＜2﹣1，即t＜1，不符合题意； ③当M在坐标轴右侧，即m＜2时， y3≤2时，A点的纵坐标最大，抛物线的顶点处的纵坐标最小：t＝2﹣1＝1，此时t＜3不符合题意； 当y3＞2时，此时M点的纵坐标最大，抛物线的顶点处的纵坐标最小， ∴t＝m2﹣4m+5﹣1＝m2﹣4m+4≥3， 解得：（舍），或； ∴； 综上：或m≥4． 【点评】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象和性质，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键． 25．（12分）将矩形ABCD绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜360°），得到矩形AEFG． （1）如图，当点E在BD上时． ①若∠BAE＝62°，则∠DAG＝　62　°； ②求证：FD＝CD； （2）探究：当α为何值时，GC＝GB？请你画出图形，并说明理由． 【分析】（1）①根据旋转性质可得∠EAG＝∠DAB＝90°，然后利用同角的余角相等即可解决问题； ②先运用SAS判定△AED≌△FDE，可得DF＝AE，再根据AE＝AB＝CD，即可得出CD＝DF； （2）当GB＝GC时，点G在BC的垂直平分线上，分两种情况讨论，依据∠DAG＝60°，即可得到旋转角α的度数． 【解答】（1）①解：由旋转可得，∠EAG＝∠DAB＝90°， ∵∠BAE＝62°， ∴∠DAG＝90°﹣∠DAE＝∠BAE＝62°， 故答案为：62； ②证明：由旋转可得，AE＝AB，∠AEF＝∠ABC＝∠DAB＝90°，EF＝BC＝AD， ∴∠AEB＝∠ABE， 又∵∠ABE+∠EDA＝90°＝∠AEB+∠DEF， ∴∠EDA＝∠DEF， 又∵DE＝ED， ∴△AED≌△FDE（SAS）， ∴DF＝AE， 又∵AE＝AB＝CD， ∴CD＝DF； （2）解：当α为60°或300°时，GC＝GB，理由如下： 如图，当GB＝GC时，点G在BC的垂直平分线上， 分两种情况讨论： ①当点G在AD右侧时，取BC的中点H，连接GH交AD于M， ∵GC＝GB， ∴GH⊥BC， ∴四边形ABHM是矩形， ∴AM＝BH＝AD＝AG， ∴GM垂直平分AD， ∴GD＝GA＝DA， ∴△ADG是等边三角形， ∴∠DAG＝60°， ∴旋转角α＝60°； ②当点G在AD左侧时，同理可得△ADG是等边三角形， ∴∠DAG＝60°， ∴旋转角α＝360°﹣60°＝300°． 综上所述：当α为60°或300°时，GC＝GB． 【点评】本题主要考查了四边形的综合问题，解题的关键是掌握旋转的性质，全等三角形的判定与性质的运用，解题时注意：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$