（冲刺中考）相似三角形的性质与判定专项训练-2025年中考数学一轮复习

（冲刺中考）相似三角形的性质与判定专项训练-2025年中考数学一轮复习 一．选择题（共8小题） 1．（2024秋•靖江市期中）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，DE∥BC．若，下列式子一定正确的是（　　） A．CE：BD＝3：4 B．AE：AD＝3：4 C．DE：BC＝3：4 D．BC：AB＝3：4 2．（2024秋•虹口区期中）如图，在▱ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，如果S△DEF＝3，那么▱ABCD的面积为（　　） A．6 B．12 C．24 D．36 3．（2024秋•姜堰区期中）如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，且∠AED＝∠B．若AD＝1，AB＝3，AC＝2，则AE的长是（　　） A． B．1 C． D．2 4．（2024秋•宜阳县期中）如图，正方形网格中每个小正方形的边长为1，△ABC和△EDF的顶点都在正方形网格的格点上，则∠BAC的度数为（　　） A．45° B．135° C．55° D．125° 5．（2024秋•晋江市期中）如图，点E是▱ABCD的边AD上的一点，且，连接BE并延长交CD的延长线于点F，若DE＝3，DF＝2，则▱ABCD的周长为（　　） A．21 B．28 C．36 D．42 6．（2024秋•和平区期中）如图，四边形ABCD和ACED都是平行四边形，点F在AB边上，且AB＝4AF，连接EF分别交AC，DC于点G，H，设△GCH与△CEH面积的比为k，则k的值为（　　） A． B． C． D． 7．（2024•榕城区一模）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．连接AC，若AH平分∠CAD，且正方形EFGH的面积为3，则正方形ABCD的面积为（　　） A． B． C． D．15 8．（2023秋•辽宁期末）如图，在△ABC中，点D、E在AC、BC边上，连接DE并延长交AB延长线于点G．过D作DF⊥AG于F．若2∠ADF＝∠G，CE：BE＝2：1，AD＝2，AF＝2，GE＝4，则BA的长度为（　　） A． B． C．9 D．12 二．填空题（共7小题） 9．（2024秋•龙华区校级期中）如图，AB、CD相交于点O，OC：OD＝3：4，AC∥BD，EF是△ODB的中位线，且EF＝2，则AC的长为 　 　． 10．（2024秋•浙江期中）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连结DE，EF，DE∥BC，EF∥AB，CF＝3BF，则＝ 　 　． 11．（2024秋•虹口区期中）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝3，BC＝6，点E、F分别在AB、DC上，EF∥BC，如果AE：EB＝1：2，则EF＝　 　． 12．（2024秋•石家庄期中）如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝6，D为BC边上的一点，且∠BAC＝∠ADC，则CD＝ 　 　，若△ADC的面积为a，则△ABC的面积为 　 　． 13．（2024秋•雁塔区校级期中）如图，四边形ABCD是边长为5的正方形，点P是BD上一动点，以AP为斜边在AP边的右侧作等腰Rt△APQ，∠AQP＝90°，连接DQ，CQ．则DQ最小值为 　 　． 14．（2024秋•沙坪坝区校级期中）如图，在正方形ABCD中，，M为对角线BD上任意一点（不与B、D重合），连接CM，过点M作MN⊥CM，交线段AB于点N．连接NC交BD于点G，则∠MCG＝ 　 　°，若BG：MG＝3：5，则NG：CG的值为 　 　． 15．（2024秋•镇海区校级期中）如图1，正方形ABCD被分割成五部分，其中①②③④为四个全等的四边形，⑤为正方形，且①②③④恰好可以拼成图2的正方形EFGH．若在正方形EFGH中，恰有MG＝2HM，则＝ 　 　． 三．解答题（共6小题） 16．（2024秋•法库县期中）如图，△APB中，点C，D在线段AB上，PC＝PD，且△ACP∽△APB． （1）求证：△ACP∽△PDB； （2）若AC＝4，CD＝5，BD＝9，求△PCD的周长． 17．（2024秋•浙江期中）如图，正方形ABCD的边长为1，点E，F在正方形外，∠EAD＝∠DCF＝∠EBF＝45°． （1）求证：△BAE∽△FCB． （2）若∠AED＝90°，求CF的长． 18．（2024秋•揭西县期中）如图，已知G、H分别是四边形ABCD对边AD、BC上的点，AD∥BC，直线GH分别交BA和DC的延长线于点E、F． （1）当时，求的值； （2）连接BD交EF于点M，且MG•ME＝MF•MH，求证：四边形ABCD是平行四边形． 19．（2024秋•虹口区期中）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点E是边AD的中点，连接BE并延长交CD的延长线于点F，交AC于点G． （1）若FD＝2，，求线段DC的长； （2）求证：EF•GB＝BF•GE． 20．（2024秋•郑州期中）矩形ABCD中． （1）①如图1，尺规作图：作BD的垂直平分线MN，垂足为点O，交AD于点M，交BC于点N，连接BM，DN（保留作图痕迹，不写画法）； ②求证：四边形DMBN是菱形； （2）在（1）的条件和结论下，如图2，过点C作CQ⊥BM，垂足为点Q，若AB＝4，AM＝3，求CQ的长． 21．（2023秋•揭阳期末）某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究． 【问题发现】 （1）如图①，在等边△ABC中，点P是边BC上一点，且，连接AP，以AP为边作等边△APQ，连接CQ．则CQ的长为 　 　； 【问题提出】 （2）如图②，在等腰△ABC中，AB＝BC，点P是边BC上任意一点，以AP为腰作等腰△APQ，使AP＝PQ，∠APQ＝∠ABC，连接CQ．试说明∠ABC与∠ACQ相等； 【问题解决】 （3）如图③，在正方形ADBC中，点P是边BC上一点，以AP为边作正方形APEF，点Q是正方形APEF的对称中心，连接CQ．若正方形APEF的边长为12，，求正方形ADBC的边长． （冲刺中考）相似三角形的性质与判定专项训练-2025年中考数学一轮复习 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 1．（2024秋•靖江市期中）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，DE∥BC．若，下列式子一定正确的是（　　） A．CE：BD＝3：4 B．AE：AD＝3：4 C．DE：BC＝3：4 D．BC：AB＝3：4 【解答】解：∵＝3，AD+BD＝AB， ∴＝， ∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴＝＝， 故C正确，符合题意； 根据题意，无法求解CE：BD，AE：AD，BC：AB， 故A、B、D错误，不符合题意； 故选：C． 2．（2024秋•虹口区期中）如图，在▱ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，如果S△DEF＝3，那么▱ABCD的面积为（　　） A．6 B．12 C．24 D．36 【解答】解：∵ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC． ∴△EFD∽△CFB． 又∵E是AD的中点， ∴DE＝CB． ∴S△BCF＝4S△EDF＝12． 设S△DFC＝x，则3+x＝（12+x）， 解得：x＝6． ∴S△BCD＝12+6＝18． ∴S▱ABCD＝2S△BCD＝36． 故选：D． 3．（2024秋•姜堰区期中）如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，且∠AED＝∠B．若AD＝1，AB＝3，AC＝2，则AE的长是（　　） A． B．1 C． D．2 【解答】解：∵∠AED＝∠B，∠A＝∠A， ∴△AED∽△ABC， ∴， ∵AD＝1，AB＝3，AC＝2， ∴BD＝2， ∴＝， ∴AE＝， 故选：C． 4．（2024秋•宜阳县期中）如图，正方形网格中每个小正方形的边长为1，△ABC和△EDF的顶点都在正方形网格的格点上，则∠BAC的度数为（　　） A．45° B．135° C．55° D．125° 【解答】解：由题意得：DE＝＝， DF＝＝， EF＝2， AB＝＝， AC＝＝， BC＝5， ∴＝＝，＝，＝＝， ∴＝＝， ∴△ABC∽△EDF， ∴∠BAC＝∠DEF， ∵∠DEF＝90°+45°＝135°， ∴∠BAC＝∠DEF＝135°， 故选：B． 5．（2024秋•晋江市期中）如图，点E是▱ABCD的边AD上的一点，且，连接BE并延长交CD的延长线于点F，若DE＝3，DF＝2，则▱ABCD的周长为（　　） A．21 B．28 C．36 D．42 【解答】解：∵＝，DE＝3， ∴AE＝3DE＝3×3＝9， ∴AD＝AE+DE＝9+3＝12， ∵四边形ABCD是平行四边形，点F在CD的延长线上，DF＝2， ∴BC＝AD＝12，DF∥AB， ∴△DFE∽△ABE， ∴＝＝， ∴CD＝AB＝3DF＝3×2＝6， ∴AB+BC+CD+AD＝6+12+6+12＝36， ∴▱ABCD的周长为36， 故选：C． 6．（2024秋•和平区期中）如图，四边形ABCD和ACED都是平行四边形，点F在AB边上，且AB＝4AF，连接EF分别交AC，DC于点G，H，设△GCH与△CEH面积的比为k，则k的值为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，且AD＝BC，AB∥CD， ∵四边形ACED是平行四边形， ∴AD∥CE，且AD＝CE， ∴BC＝CE， ∵AB∥CD，BC＝CE， ∴CH是△BEF的中位线， ∴CH＝BF，HF＝HE， 设AF＝a， ∵AB＝4AF， ∴AB＝4a，BF＝3a，CH＝BF＝a， ∴＝＝， ∵AB∥CD， ∴△AFG∽△CHG， ∴＝＝， ∵FG：GH＝2：3，HF＝FG+GH， ∴GH：HF＝3：5， ∵HF＝HE， ∴GH：HE＝3：5，而△CHG和△CEH同高， ∴S△GHC：S△CEH＝GH：HE＝3：5， ∴k＝． 故选：B． 7．（2024•榕城区一模）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．连接AC，若AH平分∠CAD，且正方形EFGH的面积为3，则正方形ABCD的面积为（　　） A． B． C． D．15 【解答】解：设直角三角形的长直角边是a，短直角边是b， ∴正方形EFGH的边长是a﹣b， ∵正方形EFGH的面积为3， ∴（a﹣b）2＝3， ∴a2+b2﹣2ab＝3， ∵AH平分∠DAN， ∴∠DAH＝∠NAH， ∵∠AHD＝∠AHN＝90°，AH＝AH， ∴△AHD≌△AHN（ASA）， ∴DH＝NH＝b， ∵AH∥CF， ∴∠HAM＝∠FCM， ∵FC＝AH，∠CFM＝∠AHN＝90°， ∴△AHN≌△CFM（ASA）， ∴FM＝NH＝b， ∴EM＝a﹣b﹣b＝a﹣2b， ∵ME∥HN， ∴△AME∽△ANH， ∴ME：NH＝AE：AH， ∴（a﹣2b）：b＝b：a， ∴a2﹣b2＝2ab， ∴b2＝， ∴b＝， ∵（a﹣b）2＝3， ∴a＝， ∴AD2＝a2+b2＝6+3， ∴正方形ABCD的面积是6+3． 故选：A． 8．（2023秋•辽宁期末）如图，在△ABC中，点D、E在AC、BC边上，连接DE并延长交AB延长线于点G．过D作DF⊥AG于F．若2∠ADF＝∠G，CE：BE＝2：1，AD＝2，AF＝2，GE＝4，则BA的长度为（　　） A． B． C．9 D．12 【解答】解：如图，设∠FDA＝α，则∠G＝2α， ∵DF⊥AG， ∴∠AFD＝90°， ∴∠A＝90°﹣α， ∴∠ADG＝180°﹣2α﹣（90°﹣α）＝90°﹣α， ∴∠ADG＝∠A， ∴GA＝GD， ∵AD＝2，AF＝2， ∴DF＝＝＝6， 设GD＝x， ∴GF＝AG﹣AF＝DG﹣AF＝x﹣2， 在Rt△GFD中，根据勾股定理得：GD2＝GF2+DF2， ∴x2＝（x﹣2）2+62， ∴x＝10， ∴GD＝10， ∵GE＝4， ∴DE＝GD﹣GE＝6， 过点B作BQ∥GD交AC于点Q， ∴△BQC∽△EDC， ∴＝， ∵CE：BE＝2：1， ∴＝， ∴BQ＝9， ∵GA＝GD， ∴∠A＝∠GDA， ∵BQ∥GD， ∴∠BQA＝∠GDA， ∴∠A＝∠BQA， ∴AB＝BQ＝9， 故选：C． 二．填空题（共7小题） 9．（2024秋•龙华区校级期中）如图，AB、CD相交于点O，OC：OD＝3：4，AC∥BD，EF是△ODB的中位线，且EF＝2，则AC的长为 　3　． 【解答】解：∵EF是△ODB的中位线， ∴DB＝2EF＝2×2＝4， ∵AC∥BD， ∴△AOC∽△BOD， ∴＝， 即＝， 解得AC＝3． 故答案为：3． 10．（2024秋•浙江期中）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连结DE，EF，DE∥BC，EF∥AB，CF＝3BF，则＝ 　　． 【解答】解：∵EF∥AB， ∴＝＝， ∵DE∥BC， ∴＝＝， ∴＝． 故答案为：． 11．（2024秋•虹口区期中）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝3，BC＝6，点E、F分别在AB、DC上，EF∥BC，如果AE：EB＝1：2，则EF＝　4　． 【解答】解：作DH∥AB，交BC于H，交EF于G，如图所示： 则四边形ABHD、四边形AEGD都是平行四边形， ∴EG＝AD＝BH＝3，∴CH＝BC﹣BH＝3， ∵AD∥BC，EF∥BC， ∴AD∥EF∥BC， ∴＝＝， ∴＝， ∵EF∥BC， ∴△DFG∽△DCH， ∴＝＝， ∴FG＝CH＝1， ∴EF＝EG+FG＝3+1＝4； 故答案为：4． 12．（2024秋•石家庄期中）如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝6，D为BC边上的一点，且∠BAC＝∠ADC，则CD＝ 　　，若△ADC的面积为a，则△ABC的面积为 　4a　． 【解答】解：∵∠ACD＝∠BCA，∠BAC＝∠ADC． ∴△CAD∽△CBA， ∴AC：BC＝CD：CA， ∵AC＝3，BC＝6， ∴CD＝＝， ∵△ADC的面积为a， ∴S△ABC：S△ADC＝（）2＝（）2＝4， ∴S△ABC＝4a． 故答案为：；4a． 13．（2024秋•雁塔区校级期中）如图，四边形ABCD是边长为5的正方形，点P是BD上一动点，以AP为斜边在AP边的右侧作等腰Rt△APQ，∠AQP＝90°，连接DQ，CQ．则DQ最小值为 　　． 【解答】解：作AE⊥BD于点E，交PQ于点F，连接并延长EQ交AD于点H，则∠AED＝∠AEB＝90°， ∵四边形ABCD是边长为5的正方形， ∴AD＝AB＝5，∠BAD＝90°， ∴AE＝DE＝BE＝BD， ∵等腰Rt△APQ中，∠AQP＝90°， ∴AQ＝PQ， ∴∠APQ＝∠PAQ＝45°， ∵∠FEB＝∠FQA＝90°，∠PFE＝∠AFQ， ∴△PFE∽△AFQ， ∴＝， ∴＝， ∵∠QFE＝∠AFP， ∴△QFE∽△AFP， ∴∠AEH＝∠APQ＝45°， ∴∠DEH＝∠AEH＝45°， ∴EH⊥AD，DH＝AH＝AD＝， ∵DQ≥DH， ∴DQ≥， ∴DQ的最小值为， 故答案为：． 14．（2024秋•沙坪坝区校级期中）如图，在正方形ABCD中，，M为对角线BD上任意一点（不与B、D重合），连接CM，过点M作MN⊥CM，交线段AB于点N．连接NC交BD于点G，则∠MCG＝ 　45　°，若BG：MG＝3：5，则NG：CG的值为 　　． 【解答】解：如图，把△DMC绕点C逆时针旋转90°得到△BHC，连接GH， ∴△DMC≌△BHC， ∴MC＝HC，DM＝BH，∠CDM＝∠CBH＝45°，∠DCM＝∠BCH， ∴∠MBH＝90°，∠MCH＝90°， 过M作ME⊥BC，MF⊥AB， 在△CME和△NMF中， ， ∴△CME≌△NMF（ASA）， ∴MC＝MN， ∵MC＝MN，MC⊥MN， ∴△MNC是等腰直角三角形， ∴∠MNC＝∠MCG＝45°， ∴∠NCH＝45°， ∴△MCG≌△HCG（SAS）， ∴MG＝HG， ∵BG：MG＝3：5， 设BG＝3a，则MG＝GH＝5a， 在Rt△BGH中，BH＝4a，则MD＝4a， ∵正方形ABCD的边长为3， ∴BD＝， ∴DM+MG+BG＝12a＝6， ∴a＝， ∴BG＝，MG＝， ∵BD＝AB＝6， ∴DM＝BD﹣GM﹣BG＝6﹣﹣＝2， ∴DG＝DM+GM＝2+＝， ∵BN∥CD， ∴△BNG∽△DCG， ∴NG：CG＝BG：DG＝：＝1：3． 故答案为：45；． 15．（2024秋•镇海区校级期中）如图1，正方形ABCD被分割成五部分，其中①②③④为四个全等的四边形，⑤为正方形，且①②③④恰好可以拼成图2的正方形EFGH．若在正方形EFGH中，恰有MG＝2HM，则＝ 　　． 【解答】解：设HM＝m，则MG＝2HM＝2m， 如图1，GH＝MG﹣HM＝2m﹣m＝m， ∴S正方形PQGH＝m2， 如图2，∵GH＝HM+MG＝m+2m＝3m， ∴S正方形EFGH＝（3m）2＝9m2， ∴S正方形ABCD＝9m2+m2＝10m2， ∴＝＝， 故答案为：． 三．解答题（共6小题） 16．（2024秋•法库县期中）如图，△APB中，点C，D在线段AB上，PC＝PD，且△ACP∽△APB． （1）求证：△ACP∽△PDB； （2）若AC＝4，CD＝5，BD＝9，求△PCD的周长． 【解答】（1）证明：∵△ACP∽△APB， ∴∠APC＝∠B， ∵PC＝PD， ∴∠PCD＝∠PDC， ∴∠ACP＝∠PDB， ∴△ACP∽△PDB； （2）解：∵△ACP∽△PDB， ∴， ∵PC＝PD， ∴PC2＝AC•BD＝4×9＝36， ∴PC＝PD＝6， ∴PC+PD+CD＝17， ∴△PCD的周长为17． 17．（2024秋•浙江期中）如图，正方形ABCD的边长为1，点E，F在正方形外，∠EAD＝∠DCF＝∠EBF＝45°． （1）求证：△BAE∽△FCB． （2）若∠AED＝90°，求CF的长． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝90°，BA＝BC， ∵∠EAD＝∠DCF＝45°， ∴∠BAE＝∠BCF＝90°+45°＝135°， ∴∠CBF+∠CFB＝45°， 又∵∠ABE+∠EBF+∠CBF＝90°，∠EBF＝45°， ∴∠CBF+∠ABE＝45°， ∴∠ABE＝∠CFB， ∴△BAE∽△FCB； （2）解：∵△BAE∽△FCB， ∴， ∵AB＝BC， ∴AE•CF＝AB2， ∵∠EAD＝45°，∠AED＝90°， ∴∠EDA＝∠EAD＝45°， ∴EA＝ED， ∵AD＝1， 由勾股定理得：AE2+DE2＝AD2， ∴， ∴， ∴． 18．（2024秋•揭西县期中）如图，已知G、H分别是四边形ABCD对边AD、BC上的点，AD∥BC，直线GH分别交BA和DC的延长线于点E、F． （1）当时，求的值； （2）连接BD交EF于点M，且MG•ME＝MF•MH，求证：四边形ABCD是平行四边形． 【解答】（1）解：已知G、H分别是四边形ABCD对边AD、BC上的点，AD∥BC， ∴∠FCH＝∠FDG，∠FHC＝∠FGD， ∴△FCH∽△FDG， ∴， ∵， ∴ ∴； 故答案为：； （2）证明：连接BD交EF于点M，如图， 已知G、H分别是四边形ABCD对边AD、BC上的点，AD∥BC， ∴∠HBM＝∠GDM， ∵∠BMH＝∠DMG， ∴△BMH∽△DMG， ∴； ∵MG•ME＝MF•MH， ∴， ∴； ∵∠BME＝∠DMF， ∴△BME∽△DMF， ∴∠F＝∠E， ∴DF∥BE，即CD∥AB； ∵AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形． 19．（2024秋•虹口区期中）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点E是边AD的中点，连接BE并延长交CD的延长线于点F，交AC于点G． （1）若FD＝2，，求线段DC的长； （2）求证：EF•GB＝BF•GE． 【解答】解：（1）∵AD∥BC， ∴△DEF∽△CBF， ∴＝＝， ∴FC＝3FD＝6， ∴DC＝FC﹣FD＝4； （2）证明：∵AD∥BC， ∴△DEF∽△CBF，△AEG∽△CBG， ∴＝，＝， ∵点E是边AD的中点， ∴AE＝DE， ∴＝， ∴EF•GB＝BF•GE． 20．（2024秋•郑州期中）矩形ABCD中． （1）①如图1，尺规作图：作BD的垂直平分线MN，垂足为点O，交AD于点M，交BC于点N，连接BM，DN（保留作图痕迹，不写画法）； ②求证：四边形DMBN是菱形； （2）在（1）的条件和结论下，如图2，过点C作CQ⊥BM，垂足为点Q，若AB＝4，AM＝3，求CQ的长． 【解答】（1）①解：如图1，MN即为所求； ②证明：∵四边形ABCD为矩形， ∴BC∥AD， ∴∠ADB＝∠CBD， ∵MN垂直平分线段BD， ∴BO＝DO， 在△DMO和△BNO中， ， ∴△DMO≌△BNO（ASA）， ∴MO＝NO， ∴四边形DMBN是平行四边形， 又∵MN⊥BD， ∴四边形DMBN是菱形； （2）解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝90°，BC＝AD， ∵CQ⊥BM，垂足为点Q，AB＝4，AM＝3， 在Rt△BAM中，AB＝4，AM＝3， 根据勾股定理得：， ∵四边形DMBN是菱形， ∴MD＝BM＝5， ∴BC＝AD＝AM+MD＝3+5＝8， ∵BC∥AD， ∴∠MBC＝∠BMA， ∵CQ⊥BM， ∴∠CQB＝∠A＝90°， ∴△BCQ∽△MBA， ∴， 即， ∴． 21．（2023秋•揭阳期末）某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究． 【问题发现】 （1）如图①，在等边△ABC中，点P是边BC上一点，且，连接AP，以AP为边作等边△APQ，连接CQ．则CQ的长为 　　； 【问题提出】 （2）如图②，在等腰△ABC中，AB＝BC，点P是边BC上任意一点，以AP为腰作等腰△APQ，使AP＝PQ，∠APQ＝∠ABC，连接CQ．试说明∠ABC与∠ACQ相等； 【问题解决】 （3）如图③，在正方形ADBC中，点P是边BC上一点，以AP为边作正方形APEF，点Q是正方形APEF的对称中心，连接CQ．若正方形APEF的边长为12，，求正方形ADBC的边长． 【解答】解：（1）∵△ABC与△APQ都是等边三角形， ∴AB＝AC，AP＝AQ，∠BAC＝∠PAQ＝60°， ∴∠BAP+∠PAC＝∠PAC+∠CAQ， ∴∠BAP＝∠CAQ， 在△BAP和△CAQ中， ， ∴△BAP≌△CAQ（SAS）， ∴； 故答案为：． （2）在等腰△ABC中，AB＝BC， ∴． 在等腰△APQ中，AP＝PQ， ∴． ∵∠APQ＝∠ABC， ∴∠BAC＝∠PAQ． ∴△BAC∽△PAQ． ∴． ∵∠BAP+∠PAC＝∠PAC+∠CAQ， ∴∠BAP＝∠CAQ． ∴△BAP∽△CAQ． ∴∠ABC＝∠ACQ． （3）如图③，连接AB， ∵四边形ADBC是正方形， ∴． ∵点Q是正方形APEF的对称中心， ∴． ∴∠BAP+∠PAC＝∠PAC+∠CAQ． ∴∠BAP＝∠CAQ． ∵， ∴△ABP∽△ACQ． ∴． ∵， ∴． 设PC＝x，则BC＝AC＝8+x， 在Rt△APC中，AP2＝AC2+PC2，即122＝（8+x）2+x2， 解得． ∵x＞0， ∴． ∴正方形ADBC的边长为． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$