四川省成都市盐道街中学2024—2025学年九年级上学期期中数学试卷

2024-2025学年四川省成都市锦江区盐道街中学九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（每小题4分。共32分） 1．（4分）如图所示，该几何体的俯视图是（　　） A． B． C． D． 2．（4分）下列各组线段（单位：m）中，成比例线段的是（　　） A．3，4，5，6 B．1，3，5，7 C．2，3，4，6 D．0.2，0.3，0.4，0.5 3．（4分）下列函数中，变量y是x的反比例函数的是（　　） A． B． C． D． 4．（4分）如图，平行四边形ABCD对角线AC，BD交于点O，请添加一个条件：（　　），使得平行四边形ABCD是矩形． A．AB＝BC B．AC⊥BD C．AB＝DC D．AC＝BD 5．（4分）甲、乙、丙、丁4名同学参加读书日志愿服务活动，甲同学是男生，乙、丙、丁同学都是女生，从这4名同学中随机抽取2名同学，则抽到的2名同学都是女生的概率为（　　） A． B． C． D． 6．（4分）如图，在长为32米、宽为20米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为540平方米，设道路的宽x米，则可列方程为（　　） A．32×20﹣32x﹣20x＝540 B．（32﹣x）（20﹣x）+x2＝540 C．32x+20x＝540 D．（32﹣x）（20﹣x）＝540 7．（4分）已知（﹣5，y1）（﹣1，y2），（2，y3）都在双曲线y＝（k＞0）上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y1＜y2 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y2＜y1 8．（4分）如图，在△ABC中，AD是BC边上中线，F是线段AD上一点，且AF：FD＝2：3，连接CF并延长交AB于E，则AE：EB等于（　　） A．1：2 B．2：3 C．1：3 D．3：5 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．（4分）若2a＝3b，则＝ 　 　． 10．（4分）已知关于x的方程（m﹣2）x|m|﹣3x﹣4＝0是一元二次方程，则m＝　 　． 11．（4分）如图是初三某班学习小组设计用手电筒来测量逸夫楼高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到逸夫楼CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝0.8m，BP＝1.2m，PD＝27m，那么逸夫楼的高度为 　 　m． 12．（4分）如图，在△ADE中，BC∥DE，其中BC＝2，DE＝3，S△ABC＝8，则S四边形BDEC＝ 　 　． 13．（4分）如图，BD是▱ABCD的对角线，按以下步骤作图：①分别以点B和点D为圆心， 大于BD的长为半径作弧，两弧相交于E，F两点；②作直线EF，分别交AD，BC于点M，N，连接BM，DN．若BD＝8，MN＝6，则▱ABCD的边BC上的高为　 　． 三、解答题（共48分） 14．（12分）（1）计算：； （2）解方程：x2﹣4x+3＝x； （3）解方程：x2﹣4＝5（x﹣2）． 15．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0），A（2，1），B（1，﹣2）． （1）画出将△OAB向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的△O1A1B1； （2）以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出△OAB的一个位似△OA2B2，使它与△OAB的相似比为2：1； （3）判断△O1A1B1和△OA2B2是否是位似图形（直接写结果），若是，请在图中标出位似中心点M，并写出点M的坐标． 16．（8分）为了贯彻落实健康第一的指导思想，促进学生全面发展，我校积极倡导人文运动观念，提高同学们的身体素质，现对七、八年级部分学生每周的锻炼时间（单位：h）进行统计，按照每周锻炼时间分成四组：A：0≤x＜3；B：3≤x＜6；C：6≤x＜9；D：9≤x≤12，并绘制了如图两幅不完整的统计图，请你根据图中所提供的信息，完成下列问题： （1）该校此次调查共抽取了 　 　名学生，扇形统计图中“B”组对应的扇形圆心角的度数为 　 　°，并补全条形统计图； （2）若该校八年级共600名学生，请估计八年级每周锻炼时间达到6小时及以上的学生人数； （3）若“D”组中七年级和八年级各有2名同学报名市区的运动比赛，学校打算从这4名同学中挑选2名参赛，请用列表法或树状图法求恰好选中七年级和八年级各1名同学的概率． 17．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝mx+n的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限内的A、B两点，与y轴交于点C，过点A作AM⊥x轴，垂足为M，AM＝3，OM＝1，点B的纵坐标为﹣1． （1）求反比例函数表达式和一次函数的解析式； （2）直接写出当y1＞y2时，自变量x的取值范围； （3）连接OA、OB，求△AOB的面积． 18．（10分）在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC且AB＝BC．将AB绕点A顺时针旋转一定角度得线段AE，点E在四边形ABCD内部，连接DE，∠AED＝90°，连接BE并延长交CD于点F． （1）如图1，若AE＝BE，过点A作CD延长线的垂线，垂足为G，求∠DAG的度数； （2）如图2，若E为BF的中点，求的值； （3）如图四：若，连接CE并延长交AD于点G，EG＝3，求AB的长． 一、填空题（每小题4分，共20分） 19．（4分）已知m、n是x2﹣x﹣3＝0的两个根，则的值为 　 　． 20．（4分）用小立方体搭一个几何体，使得它的俯视图和左视图如图，则这样的几何体最少要　 　个小立方块，最多要　 　个小立方块． 21．（4分）在平面直角坐标系中，关于x的一次函数y＝kx+m，其中常数k满足，常数m满足m＞0且m是1和9的比例中项，则该一次函数y＝kx+m的解析式为 　 　． 22．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AC边上的中点，将△ABD沿BD翻折至△EBD，连接CE，若CE：BD＝3：4，则＝ 　 　． 23．（4分）如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点E在边CD上运动，连接BE，AE，将AE绕点E顺时针旋转90°得到EF，连接AF，BF，则的最小值为 　 　． 二、解答题（共30分） 24．（8分）“我运动，我健康，我快乐!”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人． （1）求该市参加健身运动人数的年均增长率； （2）为支持市民的健身运动，市政府决定从A公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数． 25．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+m与直线y＝2x相交于点A（2，a），与x轴交于点B（b，0），点C在反比例函数y＝（k＜0）图象上． （1）求a，b，m的值； （2）若O，A，B，C为顶点的四边形为平行四边形，求点C的坐标和k的值； （3）过A，C两点的直线与x轴负半轴交于点D，点E与点D关于y轴对称．若有且只有一点C，使得△ABD与△ABE相似，求k的值． 26．（12分）如图，在菱形ABCD中，点E是BC边上一动点（且与点B、C不重合），连接AE交BD于点G． （1）若AE⊥BC，∠BAE＝18°，求∠BGE的度数； （2）若AG＝BG，求证BE2﹣GE2＝AG•GE； （3）过点G作GM//BC交AB于点M，记．S△AMG为S1，S四边形DGEC为S2，BC＝xBE， ①求证：； ②求y与x之间的函数关系式． 2024-2025学年四川省成都市锦江区盐道街中学九年级（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（每小题4分。共32分） 1．（4分）如图所示，该几何体的俯视图是（　　） A． B． C． D． 【分析】找到从上面看所得到的图形即可． 【解答】解：从上面可看到一个矩形，矩形的内部有一条纵向的实线． 故选：B． 2．（4分）下列各组线段（单位：m）中，成比例线段的是（　　） A．3，4，5，6 B．1，3，5，7 C．2，3，4，6 D．0.2，0.3，0.4，0.5 【分析】根据成比例线段的定义进行计算即可． 【解答】解：由题知， 因为3×6≠4×5， 所以A选项不符合题意． 因为1×7≠3×5， 所以B选项不符合题意． 因为2×6＝3×4， 所以C选项符合题意． 因为0.2×0.5≠0.3×0.4， 所以D选项不符合题意． 故选：C． 3．（4分）下列函数中，变量y是x的反比例函数的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据反比例函数的定义逐个判断即可． 【解答】解：A、函数是反比例函数，故本选项符合题意； B、函数是正比例函数，不是反比例函数，故本选项不符合题意； C、函数不是反比例函数，故本选项不符合题意； D、函数不是反比例函数，故本选项不符合题意． 故选：A． 4．（4分）如图，平行四边形ABCD对角线AC，BD交于点O，请添加一个条件：（　　），使得平行四边形ABCD是矩形． A．AB＝BC B．AC⊥BD C．AB＝DC D．AC＝BD 【分析】根据有一个角是直角或对角线相等的平行四边形是矩形即可作出判断． 【解答】解：根据对角线相等的平行四边形是矩形，添加AC＝BD，使得▱ABCD是矩形；其它选项的条件都不能使得▱ABCD是矩形； 故选：D． 5．（4分）甲、乙、丙、丁4名同学参加读书日志愿服务活动，甲同学是男生，乙、丙、丁同学都是女生，从这4名同学中随机抽取2名同学，则抽到的2名同学都是女生的概率为（　　） A． B． C． D． 【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，其中抽到的2名同学都是女生的结果有6种，再由概率公式求解即可． 【解答】解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中抽到的2名同学都是女生的结果有6种， ∴抽到的2名同学都是女生的概率为＝， 故选：B． 6．（4分）如图，在长为32米、宽为20米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为540平方米，设道路的宽x米，则可列方程为（　　） A．32×20﹣32x﹣20x＝540 B．（32﹣x）（20﹣x）+x2＝540 C．32x+20x＝540 D．（32﹣x）（20﹣x）＝540 【分析】设道路的宽x米，则余下部分可合成长为（32﹣x）m，宽为（20﹣x）m的矩形，根据草坪的面积为540平方米，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：设道路的宽x米，则余下部分可合成长为（32﹣x）m，宽为（20﹣x）m的矩形， 依题意得：（32﹣x）（20﹣x）＝540． 故选：D． 7．（4分）已知（﹣5，y1）（﹣1，y2），（2，y3）都在双曲线y＝（k＞0）上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y1＜y2 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y2＜y1 【分析】先根据函数图象得出此函数在每一象限内的增减性，再由各点横坐标的值即可得出结论． 【解答】解：∵k＞0， ∴双曲线双曲线y＝（k＞0）在一三象限，在每一象限内y随x的增大而减小， ∵﹣5＜0，﹣1＜0，2＞0， ∴点（﹣5，y1），（﹣1，y2）在第三象限，（2，y3）在第一象限， ∴y1＜0，y2＜0，y3＞0． ∵﹣5＜﹣1， ∴y2＜y1＜y3． 故选：C． 8．（4分）如图，在△ABC中，AD是BC边上中线，F是线段AD上一点，且AF：FD＝2：3，连接CF并延长交AB于E，则AE：EB等于（　　） A．1：2 B．2：3 C．1：3 D．3：5 【分析】过点D作DH∥CE，交AB于H，先根据平行线分线段成比例定理得到BH＝HE，再根据平行线分线段成比例定理得到AE：EH＝AF：FD＝2：3，得到答案． 【解答】解：如图，过点D作DH∥CE，交AB于H， ∵AD是BC边上中线， ∴BD＝DC， ∴BH＝HE， ∵DH∥CE， ∴AE：EH＝AF：FD＝2：3， ∴AE：EB＝1：3， 故选：C． 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．（4分）若2a＝3b，则＝ 　　． 【分析】先将2a＝3b化成b＝a，再代入进行化简即可． 【解答】解：∵2a＝3b， ∴b＝a， ∴＝＝＝． 故答案为：． 10．（4分）已知关于x的方程（m﹣2）x|m|﹣3x﹣4＝0是一元二次方程，则m＝　﹣2　． 【分析】利用一元二次方程的定义（只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程）解答即可． 【解答】解：∵关于x的方程（m﹣2）x|m|﹣3x﹣4＝0是一元二次方程， ∴， 解得m＝﹣2， 故答案为：﹣2． 11．（4分）如图是初三某班学习小组设计用手电筒来测量逸夫楼高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到逸夫楼CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝0.8m，BP＝1.2m，PD＝27m，那么逸夫楼的高度为 　18　m． 【分析】利用入射与反射得到∠APB＝∠CPD，则可判断Rt△ABP∽Rt△CDP，于是根据相似三角形的性质即可求出CD． 【解答】解：根据题意得∠APB＝∠CPD， ∵AB⊥BD，CD⊥BD， ∴∠ABP＝∠CDP＝90°， ∴△ABP∽△CDP， ∴＝，即＝， 解得：CD＝18． 答：逸夫楼的高度约为18m． 故答案为：18． 12．（4分）如图，在△ADE中，BC∥DE，其中BC＝2，DE＝3，S△ABC＝8，则S四边形BDEC＝ 　10　． 【分析】由于DE∥BC，则可判断△ADE∽△ABC，根据相似的性质得＝＝，则可计算出S△ADE＝18，然后利用S四边形BDEC＝S△ADE﹣S△ABC求解． 【解答】解：∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴＝＝＝， ∵S△ABC＝8， ∴S△ADE＝18， ∴S四边形BDEC＝S△ADE﹣S△ABC＝18﹣8＝10． 故答案为：10． 13．（4分）如图，BD是▱ABCD的对角线，按以下步骤作图：①分别以点B和点D为圆心， 大于BD的长为半径作弧，两弧相交于E，F两点；②作直线EF，分别交AD，BC于点M，N，连接BM，DN．若BD＝8，MN＝6，则▱ABCD的边BC上的高为　　． 【分析】由作法得MN垂直平分BD，则MB＝MD，NB＝ND，再证明△BMN为等腰三角形得到BM＝BN，则可判断四边形BMDN为菱形，利用菱形的性质和勾股定理计算出BN＝5，然后利用面积法计算▱ABCD的边BC上的高． 【解答】解：由作法得MN垂直平分BD， ∴MB＝MD，NB＝ND， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠MDB＝∠NBD， 而MB＝MD， ∴∠MBD＝∠MDB， ∴∠MBD＝∠NBD， 而BD⊥MN， ∴△BMN为等腰三角形， ∴BM＝BN， ∴BM＝BN＝ND＝MD， ∴四边形BMDN为菱形， ∴BN＝＝5， 设▱ABCD的边BC上的高为h， ∵MN•BD＝2BN•h， ∴h＝＝， 即▱ABCD的边BC上的高为． 故答案为． 三、解答题（共48分） 14．（12分）（1）计算：； （2）解方程：x2﹣4x+3＝x； （3）解方程：x2﹣4＝5（x﹣2）． 【分析】（1）利用算术平方根的定义，零指数幂，负整数指数幂，绝对值的意义计算后再算加减即可； （2）利用公式法求解即可； （3）利用因式分解法求解即可． 【解答】解：（1） ＝4﹣1+2﹣﹣4 ＝1﹣； （2）x2﹣4x+3＝x， x2﹣5x+3＝0， 这里a＝1，b＝﹣5，c＝3， ∴Δ＝（﹣5）2﹣4×1×3＝13＞0， ∴x＝， ∴x1＝，x2＝； （3）x2﹣4＝5（x﹣2）， （x+2）（x﹣2）﹣5（x﹣2）＝0， （x﹣2）（x+2﹣5）＝0， （x﹣2）（x﹣3）＝0， ∴x﹣2＝0或x﹣3＝0， ∴x1＝2，x2＝3． 15．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0），A（2，1），B（1，﹣2）． （1）画出将△OAB向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的△O1A1B1； （2）以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出△OAB的一个位似△OA2B2，使它与△OAB的相似比为2：1； （3）判断△O1A1B1和△OA2B2是否是位似图形（直接写结果），若是，请在图中标出位似中心点M，并写出点M的坐标． 【分析】（1）根据平移的性质作图即可； （2）根据相似比作图即可； （3）根据位似的概念即可求解． 【解答】解：（1）如图1，△O1A1B1即为所求． （2）如图2，△OA2B2即为所求． （3）△O1A1B1和△OA2B2是位似图形；理由如下： 如图3， 点M即为位似中心，M（﹣4，2）． 16．（8分）为了贯彻落实健康第一的指导思想，促进学生全面发展，我校积极倡导人文运动观念，提高同学们的身体素质，现对七、八年级部分学生每周的锻炼时间（单位：h）进行统计，按照每周锻炼时间分成四组：A：0≤x＜3；B：3≤x＜6；C：6≤x＜9；D：9≤x≤12，并绘制了如图两幅不完整的统计图，请你根据图中所提供的信息，完成下列问题： （1）该校此次调查共抽取了 　80　名学生，扇形统计图中“B”组对应的扇形圆心角的度数为 　162　°，并补全条形统计图； （2）若该校八年级共600名学生，请估计八年级每周锻炼时间达到6小时及以上的学生人数； （3）若“D”组中七年级和八年级各有2名同学报名市区的运动比赛，学校打算从这4名同学中挑选2名参赛，请用列表法或树状图法求恰好选中七年级和八年级各1名同学的概率． 【分析】（1）用条形统计图中A的人数除以扇形统计图中A的百分比可得此次调查共抽取的学生人数；用360°乘以B组的学生人数所占的百分比即可得出答案；求出C组中八年级的学生人数，补全条形统计图即可． （2）根据用样本估计总体，用300乘以样本中八年级每周锻炼时间达到6小时及以上的学生人数所占的百分比，即可得出答案． （3）列表可得出所有等可能的结果数以及恰好选中七年级和八年级各1名同学的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：（1）该校此次调查共抽取了（10+6）÷20%＝80（名）学生． 扇形统计图中“B”组对应的扇形圆心角的度数为360°×＝162°． 故答案为：80；162； C组中八年级的学生人数为80﹣10﹣6﹣16﹣20﹣6﹣8﹣4＝10（人）． 补全条形统计图如图①所示． （2）600×＝210（人）． ∴估计八年级每周锻炼时间达到6小时及以上的学生人数约210人； （3）将七年级的2名同学分别记为a，b，将八年级的2名同学分别记为c，d， 列表如下： a b c d a （a，b） （a，c） （a，d） b （b，a） （b，c） （b，d） c （c，a） （c，b） （c，d） d （d，a） （d，b） （d，c） 共有12种等可能的结果，其中恰好选中七年级和八年级各1名同学的结果有：（a，c），（a，d），（b，c），（b，d），（c，a），（c，b），（d，a），（d，b），共8种， ∴恰好选中七年级和八年级各1名同学的概率为． 17．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝mx+n的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限内的A、B两点，与y轴交于点C，过点A作AM⊥x轴，垂足为M，AM＝3，OM＝1，点B的纵坐标为﹣1． （1）求反比例函数表达式和一次函数的解析式； （2）直接写出当y1＞y2时，自变量x的取值范围； （3）连接OA、OB，求△AOB的面积． 【分析】（1）利用待定系数法求出两个函数解析式即可； （2）根据两个函数图象及交点坐标，直接写出不等式解集即可； （3）先求出OC长，利用S△AOB＝S△AOC+S△BOC代入数据计算即可． 【解答】解：（1）根据题意可知，A（﹣1，3）， ∵点A在反比例函数图象上， ∴k＝﹣3， ∴反比例函数解析式为y＝﹣， 当y＝﹣1时，x＝3， ∴B（3，﹣1）， ∵点A（﹣1，3）、B（3，﹣1）在一次函数y1＝mx+n的图象上， ，解得， ∴一次函数解析式为：y＝﹣x+2． （2）根据函数图象及交点坐标，不等式y1＞y2自变量x的取值范围为：x＜﹣1或0＜x＜3． （3）由一次函数y＝﹣x+2可知，C（0，2）即OC＝2， S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝＝4． 18．（10分）在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC且AB＝BC．将AB绕点A顺时针旋转一定角度得线段AE，点E在四边形ABCD内部，连接DE，∠AED＝90°，连接BE并延长交CD于点F． （1）如图1，若AE＝BE，过点A作CD延长线的垂线，垂足为G，求∠DAG的度数； （2）如图2，若E为BF的中点，求的值； （3）如图四：若，连接CE并延长交AD于点G，EG＝3，求AB的长． 【分析】（1）根据旋转的性质，得到全等三角形的性质，从而得到∠BAE＝60°，然后利用全等三角形的判定与性质即可求解； （2）由点E向AB作垂线，垂足为M，向CD作垂线，垂足为N，由A点向CD的延长线交于G点，证明△AEN∽△DEN，得到，即可解答； （3）由点E向AB，CD作垂线，垂足为M，N；由A向CD作垂线，垂足为H；由G向下作垂线，垂足为I；连接GB，设CN＝x，CD＝2y，AB＝3y，证明△AME∽△DNE，相似比为，从而根据线段成比例，求解AB的长度． 【解答】解：（1）∵AB绕点A顺时针旋转一定角度得线段AE， ∴AE＝AB， ∵AB＝BC， ∴AB＝BE＝AE， ∴△ABE为等边三角形，∠BAE＝60°， ∵AE＝BC， ∵∠AED＝∠AGD＝90°， ∴AE＝AG， ∵AD＝AD， ∴Rt△AED≌Rt△AGD（HL）， ∴； （2）由点E向AB作垂线，垂足为M，向CD作垂线，垂足为N，由A点作CD的垂线，交CD的延长线交于G点，如图， 设AB＝AE＝y，BM＝CN＝FN＝x， ∵∠MEA+∠DEN＝90°，∠MEA+∠MAE＝90°， ∴∠DEM＝∠EAM， 同理∠EDN＝∠MEA， 故△AEM∽△DEN， ∴， ∴， ∴， ∴DE＝2DN， ∴AE＝2ME， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）如图，由点E向AB，CD作垂线，垂足为M，N，由A向CD作垂线，垂足为H，由G向下作垂线，垂足为I，连接GB， 设CN＝x，CD＝2y，AB＝3y， 由题意可知∠AED＝∠AHD＝90°，，AE＝AB＝3y， 则， ∵AB＝AE＝BC＝AH， ∴A，D，E，H四点共圆， ∴Rt△AED≌Rt△AHD（HL）， ∴△AME∽△DNE，相似比为， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴10x＝12y， ∴， ∴，， ∴， ∵GI＝3DI，CI＝2GI， ∴， ∴， ∴y＝5， ∴AB＝15． 一、填空题（每小题4分，共20分） 19．（4分）已知m、n是x2﹣x﹣3＝0的两个根，则的值为 　﹣　． 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出m+n＝﹣3，mn＝﹣1，代入整理后的代数式，即可求解． 【解答】解：∵m、n是方程x2﹣x﹣3＝0的两个根， ∴m+n＝1，mn＝﹣3， ∴＝＝＝﹣， 故答案为：﹣． 20．（4分）用小立方体搭一个几何体，使得它的俯视图和左视图如图，则这样的几何体最少要　9　个小立方块，最多要　14　个小立方块． 【分析】通过几何体的三视图确定每层可加的小立方体的个数，即可求解． 【解答】解：根据图形可知，几何体最底层有6个小立方块，第二层最少有2个小立方块，第三层最少有1个小立方块， ∴最少有6+2+1＝9个小立方块； 根据图形可知，几何体最底层有6个小立方块，第二层最多有5个小立方块，第三层最多有3个小立方块， ∴最多有6+5+3＝14个小立方块． 故答案为：9；14． 21．（4分）在平面直角坐标系中，关于x的一次函数y＝kx+m，其中常数k满足，常数m满足m＞0且m是1和9的比例中项，则该一次函数y＝kx+m的解析式为 　y＝x+3或y＝﹣x+3　． 【分析】根据常数m满足m＞0且m是1和9的比例中项，可以求得m的值，再根据，即可求得k的值，从而可以写出该一次函数的解析式． 【解答】解：∵常数m满足m＞0且m是1和9的比例中项， ∴m＝3， ∵， ∴c＝k（a+b），a＝k（b+c），b＝k（a+c）， ∴a+b+c＝2k（a+b+c）， ∴a+b+c＝0或k＝， 当a+b+c＝0时，a+c＝﹣b，则k＝＝﹣1， ∴该一次函数的解析式为y＝x+3或y＝﹣x+3， 故答案为：y＝x+3或y＝﹣x+3． 22．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AC边上的中点，将△ABD沿BD翻折至△EBD，连接CE，若CE：BD＝3：4，则＝ 　　． 【分析】连接AE，延长BD，交AE于F，依据∠AFD＝∠AEC，即可判定BD∥CE，进而得到∠DBC＝∠ECG；过E作EG⊥BC，交BC的延长线于G，则∠G＝∠BCD＝90°，即可得到 △BCD∽△CGE，设CG＝3a，EG＝3b，即可得出BC＝4a，CD＝4b＝AD；再根据勾股定理，即可得到a：b，进而求解． 【解答】解：如图所示，连接AE，延长BD，交AE于F， 由折叠可得，AD＝ED，AB＝EB， ∴BD垂直平分AE，即∠AFD＝90°， ∵D为AC边上的中点， ∴AD＝CD＝ED， ∴∠AFD＝∠AEC， ∴∠AEC＝180°×＝90°， ∴BD∥CE， ∴∠DBC＝∠ECG， 过E作EG⊥BC，交BC的延长线于G， 则∠G＝∠BCD＝90°， ∴△BCD∽△CGE， ∴CE：BD＝CG：BC＝EG：DC＝3：4， 设CG＝3a，EG＝3b，则BC＝4a，CD＝4b＝AD， Rt△ABC中，AB2＝BC2+AC2＝（4a）2+（8b）2， Rt△BCE中，EB2＝BG2+EG2＝（7a）2+（3b）2， ∴（4a）2+（8b）2＝（7a）2+（3b）2， 整理得a：b＝：， ∴Rt△ABC中，tanA＝＝＝． 故答案为：． 23．（4分）如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点E在边CD上运动，连接BE，AE，将AE绕点E顺时针旋转90°得到EF，连接AF，BF，则的最小值为 　　． 【分析】将BE绕点E旋转90°得到EG，连接AG、BG，得到，证明△BEF≌△GEA（SAS），得到，将BC绕点C旋转90°，得到CH，连接BH、GH，证明△BHG∽△BCE，得到点G在直线HG上运动，作点B关于HG的对称点M，连接AM、GM，得到，过点M作MN⊥AB，交AB的延长线于点N，利用勾股定理求出AM的长即可，解题的关键是构造旋转全等和相似三角形，确定点G的运动轨迹． 【解答】解：∵在正方形ABCD中，AB＝3，点E在边CD上运动，连接BE，AE，将AE绕点E顺时针旋转90°得到EF，连接AF，BF， ∴AB＝BC＝3，∠ABC＝∠BCE＝90°， 将BE绕点E旋转90°得到EG，连接AG、BG，则∠BEG＝90°，BE＝EG， ∴，∠EBG＝45°， ∴∠AEF＝90°＝∠BEG，AE＝EF， ∴∠BEG+∠BEA＝∠AEF+∠BEA， 即∠AEG＝∠BEF， ∵BE＝EG，AE＝EF， ∴△BEF≌△GEA（SAS）， ∴BF＝AG， ∴， 将BC绕点C旋转90°，得到CH，连接BH、GH， 则BC＝CH，，∠CBH＝45°＝∠EBG， ∴∠EAC＝∠GBH＝45°﹣∠CBG， ∵，， ∴， ∴△BHG∽△BCE， ∴∠BHG＝∠BCE＝90°， ∴点G在直线HG上运动， 作点B关于HG的对称点M，连接AM、GM，则，， 过点M作MN⊥AB，交AB的延长线于点N，则∠ANM＝90°，∠CBN＝90°， ∵∠CBH＝45°， ∴∠MBN＝45°， ∴△MBN为等腰直角三角形， ∴， ∴AN＝AB+BN＝6+3＝9， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 二、解答题（共30分） 24．（8分）“我运动，我健康，我快乐!”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人． （1）求该市参加健身运动人数的年均增长率； （2）为支持市民的健身运动，市政府决定从A公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数． 【分析】（1）设该市参加健身运动人数的年均增长率为x，根据从2021年的32万人增加到2023年的50万人，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设购买的这种健身器材的套数为m套，根据市政府向该公司支付货款24万元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【解答】解：（1）设该市参加健身运动人数的年均增长率为x， 由题意得：32（1+x）2＝50， 解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不符合题意，舍去）， 答：该市参加健身运动人数的年均增长率为25%； （2）设购买的这种健身器材的套数为m套， 由题意得：m（1600﹣×40）＝240000， 整理得：m2﹣500m+60000＝0， 解得：m1＝200，m2＝300（不符合题意，舍去）， 答：购买的这种健身器材的套数为200套． 25．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+m与直线y＝2x相交于点A（2，a），与x轴交于点B（b，0），点C在反比例函数y＝（k＜0）图象上． （1）求a，b，m的值； （2）若O，A，B，C为顶点的四边形为平行四边形，求点C的坐标和k的值； （3）过A，C两点的直线与x轴负半轴交于点D，点E与点D关于y轴对称．若有且只有一点C，使得△ABD与△ABE相似，求k的值． 【分析】（1）把A（2，a）代入y＝2x得a＝2×2＝4，把A（2，4）代入y＝﹣x+m得m＝6；把B（b，0）代入y＝﹣x+6得b＝6； （2）设C（t，），由（1）知A（2，4），B（6，0），而O（0，0），①当AC，BO为对角线时，AC，BO的中点重合，，②当CB，AO为对角线时，CB，AO的中点重合，，③当CO，AB为对角线时，CO，AB的中点重合，，分别解方程组可得答案； （3）设直线AC解析式为y＝px+q，可知y＝px+4﹣2p，求出D（，0），E（，0），可得BE＝，BD＝，由△ABD与△ABE相似，可得＝，即BE•BD＝AB2，从而×＝32，解得p＝1，直线AC的解析式为y＝x+2，又有且只有一点C，使得△ABD与△ABE相似，得x+2＝只有一个解，即x2+2x﹣k＝0有两个相等实数根，可得Δ＝0，k＝﹣1． 【解答】解：（1）把A（2，a）代入y＝2x得：a＝2×2＝4， ∴A（2，4）， 把A（2，4）代入y＝﹣x+m得：4＝﹣2+m， ∴m＝6； ∴直线y＝﹣x+m为y＝﹣x+6， 把B（b，0）代入y＝﹣x+6得：0＝﹣b+6， ∴b＝6， ∴a的值为4，m的值为6，b的值为6； （2）设C（t，）， 由（1）知A（2，4），B（6，0），而O（0，0）， ①当AC，BO为对角线时，AC，BO的中点重合， ∴， 解得， 经检验，t＝4，k＝﹣16符合题意， 此时点C的坐标为（4，﹣4）； ②当CB，AO为对角线时，CB，AO的中点重合， ∴， 解得， 经检验，t＝﹣4，k＝﹣16符合题意， 此时点C的坐标为（﹣4，4）； ③当CO，AB为对角线时，CO，AB的中点重合， ∴， 解得， ∵k＝32＞0， ∴这种情况不符合题意； 综上所述，C的坐标为（4，﹣4）或（﹣4，4），k的值为﹣16； （3）如图： 设直线AC解析式为y＝px+q，把A（2，4）代入得：4＝2p+q， ∴q＝4﹣2p， ∴直线AC解析式为y＝px+4﹣2p， 在y＝px+4﹣2p中，令y＝0得x＝， ∴D（，0）， ∵E与点D关于y轴对称， ∴E（，0）， ∵B（6，0）， ∴BE＝6﹣＝，BD＝6﹣＝， ∵△ABD与△ABE相似， ∴E只能在B左侧， ∴∠ABE＝∠DBA， 故△ABD与△ABE相似，只需＝即可，即BE•BD＝AB2， ∵A（2，4），B（6，0）， ∴AB2＝32， ∴×＝32， 解得p＝1， 经检验，p＝1满足题意， ∴直线AC的解析式为y＝x+2， ∵有且只有一点C，使得△ABD与△ABE相似， ∴直线AC与反比例函数y＝（k＜0）图象只有一个交点， ∴x+2＝只有一个解， 即x2+2x﹣k＝0有两个相等实数根， ∴Δ＝0，即22+4k＝0， 解得k＝﹣1， ∴k的值为﹣1． 26．（12分）如图，在菱形ABCD中，点E是BC边上一动点（且与点B、C不重合），连接AE交BD于点G． （1）若AE⊥BC，∠BAE＝18°，求∠BGE的度数； （2）若AG＝BG，求证BE2﹣GE2＝AG•GE； （3）过点G作GM//BC交AB于点M，记．S△AMG为S1，S四边形DGEC为S2，BC＝xBE， ①求证：； ②求y与x之间的函数关系式． 【分析】（1）根据题意可得∠ABE＝90°﹣18°＝72°，因为菱形的对角线平分一组对角，得，再根据外角的性质可得出． （2）根据题意易证△AEB∽△BEG，得出，因为AG+GE＝AE，化简可得BE2﹣GE2＝AG•GE． （3）①根据题意可得GM∥BC，MG∥AD，即△BMG∽△BAD，△AMG∽△ABE，故 ，两式相加得，化简可得； ②根据BC＝xBE，AD∥BC，得，即S△AGD＝xS△ABG，S△ABD＝S△ABG+xS△ABG＝（x+1）S△ABG，S△BDC＝（x+1）S△ABG，根据△AMG∽△ABE，∠MBG＝∠GBE＝∠MGB，得出MG＝MB，即，，S1＝，，，代入化简即可． 【解答】（1）解：根据题意可得∠AEB＝90°，∠BAE＝18°， ∴∠ABE＝90°﹣18°＝72°， ∵四边形ABCD是菱形， ∴， ∴∠BGE＝∠ABG+∠BAG＝18°+36°＝54°． （2）证明：∵AG＝BG， ∴∠ABG＝∠BAG， ∵∠GBE＝∠ABG， ∴∠GBE＝∠BAG， 又∵∠AEB＝∠GEB， ∴△AEB∽△BEG， ∴， ∴BE2＝AE•GE， ∴BE2＝（AG+GE）GE， ∴BE2﹣GE2＝AG•GE． （3）①证明：∵GM∥BC，BC∥AD， ∴MG∥AD， ∴△BMG∽△BAD，△AMG∽△ABE， ∴，， 两式相加得， 即， ∴． ②解：∵BC＝xBE，AD∥BC， ∴，△ADG∽△EBG， ∴， ∴S△AGD＝xS△ABG， ∴S△ABD＝S△ABG+xS△ABG＝（x+1）S△ABG， ∵四边形ABCD是菱形， ∴△ABD≌△BCD（SSS）， ∴S△BDC＝（x+1）S△ABG， ∵MG∥BE，∠MBG＝∠GBE， ∴△AMG∽△ABE，∠MBG＝∠GBE＝∠MGB， ∴MG＝MB， ∴， ∴， ∴， ∴S1＝，， ∵S△BDC＝（x+1）S△ABG， ∴， ∴， ∴． 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