微专题10 作图(一)-【全频累积】2024年中考数学考点全频累积高效训练典册（山东专用）

微专题025 微专题10 作图（一) 类型一根据要求作图 ∠EAD=∠BAC,且DE=BC(不写作法， (一)作线段 保留作图痕迹)： 1(2024·浙江)尺规作图问题： B 图2 图1 图2 (2)如图3，用直尺和圆规在直线AC上取 如图1，点E是□ABCD边AD上一点（不 一点D,在直线BC上取一点E,使得 包含A,D),连接CE.用尺规作AF∥CE, ∠CDE=∠BAC,且DE=AB(不写作法， F是边BC上一点. 保留作图痕迹》. 小明：如图2，以C为圆心，AE长为半径作 弧，交BC于点F,连接AF,则AF∥CE. 小丽：以点A为圆心，CE长为半径作弧， 图3 交BC于点F,连接AF,则AF∥CE. 小明：小丽，你的作法有问题，小丽：哦… 我明白了！ (1)证明AF∥CE: (2)指出小丽作法中存在的问题。 (二)作角 3(2024·北京)下面是“作一个角使其等于 ∠AOB”的尺规作图方法。 (1)如图，以点O为圆心，任意长为半径画 弧，分别交OA,OB于点C,D: (2)作射线OA',以点O为圆心，OC长为 半径画弧，交OA'于点C':以点C为圆心， CD长为半径画弧，两弧交于点D: (3)过点D'作射线O'B',则∠A'OB 2(2024·山东威海)感悟 =∠AOB. 如图1，在△ABE中，点C,D在边BE上， B AB=AE,BC=DE.求证：∠BAC =∠EAD. 上述方法通过判定△CO'D'≌△COD得 图1 到∠A'O'B'=∠AOB,其中判定△C'O'D 应用 ≌△COD的依据是 () (1)如图2，用直尺和圆规在直线BC上取 A.三边分别相等的两个三角形全等 点D,点E(点D在点E的左侧)，使得 B.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 026中考专题考点全频累积数学 回@⑦ C,两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 (2)过点F作FG⊥AB,垂足为G,连接 D.两角分别相等且其中一组等角的对边相 EG,求证：四边形CEGF为菱形 等的两个三角形全等 ④(2024·河南)如图，在Rt△ABC中，CD 是斜边AB上的中线，BE∥DC交AC的 延长线于点E (1)请用无刻度的直尺和圆规作∠ECM, 使∠ECM=∠A,且射线CM交BE于点F (保留作图痕迹，不写作法)： 6(2024·山东滨州无棣一模)如图，AE月 (2)证明(1)中得到的四边形CDBF是 BF,AC平分∠BAE,且交BF于点C. 菱形. (1)作∠ABF的平分线交AE于点D(尺规 作图，保留痕迹，不写作法)： (2)根据(1)中作图，连接CD,求证：四边形 ABCD是菱形. (四)作垂直平分线 口(2024·山东济宁充州校级二模)如图，已 知等腰△ABC顶角∠A=36° (1)在AC上作一点D,使AD=BD(要求： 尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证 明，最后用黑色墨水笔加黑)： (2)求证：△BCD是等腰三角形 (三)作角平分线 36 ⑤(2024·山东济宁邹城二摸)如图，△ABC 是等腰直角三角形，CA=CB,∠ACB 90°，CD是底边AB上的高. (1)尺规作图：作∠CAB的平分线交CD于 点E,交CB于点F(保留清晰的作图痕 迹)： ⊙@回 微专题027 8(2024·山东烟台龙口模拟)如图，在 1四(2024·四川达州)如图，线段AC、BD相 Rt△ABC中，∠C=90 交于点O,且AB∥CD,AE⊥BD于点E. (1)尺规作图：过点C作BD的垂线，垂足 为点F,连接AF、CE:(不写作法，保留作 图痕迹，并标明相应的字母) 求作：线段CD,使得点D在线段AB上， (2)若AB=CD,请判断四边形AECF的 且CD=2AB, 形状，并说明理由.（若前问未完成，可画 草图完成此问) 作法：①分别以点A,B为圆心，大于AB 长为半径作弧，两弧相交于M,N两点： ②作直线MN,交AB于点D: ③连接CD. ∴，线段CD即为所求的线段。 (1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保 留作图痕迹)： (2)完成下面的证明. 证明：连接AM,BM,AN,BN (六)作三角形 .AM=BM,AN=BN, 国(2024·山东青岛九校联考一模)已知：如 .MN是AB的垂直平分线，( 图△ABC(AB>AC).求作：△PAB,使得 (填推理的依据) PA=PB,且∠C=∠APB. .点D是AB的中点 ,∠C=90°， CD-AB. )(填推理的依 据) (五)作垂线 ⑨(2024·河北)观察图中尺规作图的痕迹， 12(2024·江苏南京校级一模)已知∠3和线 可得线段BD一定是△ABC的 () 段1，线段h.使用直尺和圆规作出满足下 列条件的三角形（写出作法，保留作图痕 迹). A.角平分线 B.高线 C.中位线 D.中线 (1)求作△ABC,使得∠B=∠B,周长等于 028中考专题考点全频累积数学 线段l的长： (八)作圆 (2)求作△ABC,使得∠B=∠B,∠B一边 1⑤(2024·山东青岛市南三模)用直尺、圆规 上的高等于线段h,周长等于线段1. 作图，不写作法，但要保留作图痕迹 如图，已知△ABC,求作⊙O,使它经过点 B和点C,并且圆心在∠C的平分线上. (七)作等腰三角形 1G(2024·山东青岛市属三校二模)请用圆 3(2024·陕西)如图，已知直线1和1外一 规和直尺作图，不写作法，但要保留作图 点A,请用尺规作图法，求作一个等腰直 痕迹.如图，△ABC是直角三角形， 角△ABC,使得顶点B和顶点C都在直线 ∠ACB=90°，以O为圆心，OC为半径作 !上.（作出符合题意的一个等腰直角三角 圆，其中，O是∠BAC的平分线与BC的 形即可，保留作图痕迹，不写作法) 交点 国(2024·山东青岛崂山三模)已知∠a,线段a, 求作：等腰△ABC,使得顶角∠A=∠a,底 (九)过圆外一点作已知圆的切线 边BC上的高为a, 面(2024·内蒙古赤峰松山二模)下面是某 学习小组设计的“过圆外一点作圆的切 线”的尺规作图过程. 已知：⊙O及圆外一点P 求作：过点P且与⊙O相切的直线， 作法：如图，①连接OP,分别以O,P为圆 心，大于OP长为半径画孤，两孤交于 M,N两点：②作直线MN,与(OP交于点 Q,以Q为圆心，以OQ长为半径作圆，交 ⊙O于A,B两点：③作直线PA,PB,则直 线PA,PB是所求作的⊙O的切线 根据该小组设计的尺规作图过程： 微专题029 (1)使用直尺和圆规，按照上述作法补全 图形：（保留作图痕迹） 1但(2024·甘肃临夏)根据背景素材，探索解 (2)完成下面的证明. 决问题 在平面直角坐标系中画一个边长为2的 O 正六边形ABCDEF 证明：连接OA,MP,MO,NP,NO, 六等分圆原理，也称为 .MP-MO.NP=NO, 圆周六等分问题，是一 ∴.MN是OP的垂直平分线，( 个古老而经典的几何问 背 (填推理的依据) 题，旨在解决如何使用 景 .Q为OP的中点，QP=QO, 直尺和圆规将一个圆分 素 .OP为⊙Q的直径， 成六等份的问题.这个 材 .∠PAO=90°，( )(填推理的依 问题由欧几里得在其名 据) 著《几何原本》中详细 ,A点在⊙O上， 阐述 .PA是⊙O的切线.( )(填推理 已知点C与坐标原点O重合，点D在x 的依据)》 条件轴的正半轴上且坐标为(2,0) ①分别以点C,D为圆 心，CD长为半径作弧， 两弧交于点P: ②以点P为圆心，PC 操 长为半径作圆： 作 ③以CD的长为半径， 步 (十)作正多边形 在⊙P上顺次截取DE 骤 ⑧(2024·山东青岛市属三校一模)请用圆 =EF-FA-AB: 规和直尺作图，不写作法，但要保留作图 ④顺次连接DE,EF, 痕迹。 FA,AB,BC,得到正六 已知：⊙O,点A在圆上 边形ABCDEF 求作：以A为一顶点作圆内接正方形ABCD 问题解决 任 根据以上信息，请你用不带刻度的 务 直尺和圆规，在图中完成这道作图 题（保留作图痕迹，不写作法） 030中考专题考点全频累积数学 回@0 (2)在(1)的基础上，在射线AD上画点E, 任 将正六边形ABCDEF绕点D顺时 使∠ECB=∠ACB: 务 针旋转60°，直接写出此时点E所 (3)在图(2)中，先画点F,使点A绕点F 二 在位置的坐标： 顺时针旋转90°到点C,再画射线AF交 (十一)格点作图 BC于点G: ④(2024·山东潍坊二模)如图，在单位长度 (4)在(3)的基础上，将线段AB绕点G旋 为1的网格中，点O,A,B均在格点上， 转180°，画对应线段MN(点A与点M对 OA=3,AB=2,以O为圆心，OA为半径 应，点B与点N对应). 画圆，请按下列步骤完成作图，并回答 问题： ①过点A作切线AC,且AC=4(点C在 点A的上方)： ②连接OC,交⊙O于点D: ③连接BD,与AC交于点E. (1)求证：BD为⊙O的切线： (2)求AE的长度 2国(2024·湖北武汉)下图是由小正方形组 成的3×4网格，每个小正方形的顶点叫 做格点.△ABC三个顶点都是格点.仅用 无刻度的直尺在给定网格中完成四个画 图任务，每个任务的画线不得超过三条， (1) (2】 (1)在图(1)中，画射线AD交BC于点D, 使AD平分△ABC的面积；034中考专题考点全频累积数学 ∠CDE=90, ∴，△CDE为等腰直角三角形， .DE=CD=1. ∴.AE=AD+DE=2V2+1 即AE的最大值为2反+1： 当AE与⊙C相切于点D,且点D在△ABC外部时， ∠BAE最大，AE的值最小，连接CD.CE,如图2所示， △ACD.△BCM为等边三角形，CD=CA.CM=CB. ∠DCA=∠MCB=60°， ,.∠DCA-∠ACM=∠MCB-∠ACM. 即∠DCM=∠ACB. 在△DCM和△ACB中， DCAC. ∠DCM=∠ACB. MC=BC. 图2 ,,△DCM2△ACB(SAS). 期CD⊥AE. ..DM=AB-2. .∠CDE=90°. ,点D的运动轨迹是以点M为圆心，2为半径的圆， .AD-VAC-CDV3-F-22. :要使△BCD的面积最大，BC为定值，，需要点D到线 段BC的距离最大，∴当点D在D'位置时，△BCD的面 ,四边形ABCE为圆O内接四边形， .∠CEA=180°-∠ABC=135°， 积最大，如图， .∠CED=180-∠CEA=45, △BCM是边长为4的等边三角形 ∠CDE=90, .点M到BC的距离为23 ·△CDE为等腰直角三角形， .点D到BC的最大距离为2√+2 .DE-CD=1. ÷△BCD的面积的最大值是号×4×(2，后+2)=4， ∴AE-AD-DE-22-1, +4 即AE的最小值为22-1： 故选A 故容案为：2区+1：2W2-1. 四2V2+122-1解析：∠ACB=90,CA=CB=3, 微专题10作图（一）】 ∴∠BAC-∠ABC-2×90=45 类型一 根据要求作图 :线段CD绕点C在平面内旋转，CD=1, (一)作线段 ∴点D在以点C为圆心，1为半径的圆上 ①解析：(1)：四边形ABCD为平行四边形， BE LAE. .AD∥BC. .∠AEB=90°， 又根据作图可知：AE=CF, 点E在以AB为直径的圆上 ,四边形AECF是平行四边形， ,在Rt△ABE中，AE=AB·cOs∠BAE,AB为定值， .AF∥CE. .当cos∠BAE最大时，AE的值最大，cos∠BAE最小 (2)原因：以点A为圆心，CE长为半径作弧，与BC可能 时，AE的值最小， 有两个交点（如图），故无法确定F的位置， .当AE与⊙C相切于点D,且点D在△ABC内部时， ∠BAE量小，AE的值最大，连接CD,CE,如图1所示， 故小丽的作法存在问题。 ☑解析：感悟： AB=AE, ∠Bm∠E AB=AE. 在△ABC和△AED中 ∠B=∠E, 图1 BC=DE, 则CD⊥AE, ∴.△ABC≌△AED(SAS): .∠ADC=∠CDE=90 .∠BAC=∠EAD .AD=√AC-CD=3-1平=22. 应用： AC=AC. (1)以点A为圆心，以AB的长度为半径作弧，交直线BC ∴.∠CED=∠ABC=45, 于一点，该点即为点E,以点A为圆心，以AC的长度为 半径作弧，交直线BC于一点，该点即为点D,连接AD, 参考答案及解题思路 035 AE,图形如图所示。 ,CD是底边AB上的高，FG⊥AB, .CD∥FG..∠ECO=∠FGO :∠COE=∠FOG ∴.△COE≌△GOF(ASA). B C .CE=FG..CE=EG=FG=CF. (2)以点C为圆心，以AC长为半径作弧，交AC的延长线于 ,四边形CEGF为菱形. 一点，该点即为点D,以点C为圆心，以BC长为半径作弧，交 ⑥解析，(1)解：如图，射线BD为所求. 直线BC于一点，该点即为点E,连接DE,图形如图所示 根据作图可得：CD=AC,CE=BC 又∠ACB=∠DCE, ,.△ACB2△DCE(SAS), B .∠CDE=∠BAC,DE=AB. (2)证明：，AE∥BF,∴.∠DAC=∠ACB. AC平分∠BAE, ∴.∠DAC=∠BAC. .∠ACB=∠BAC. B C ∴AB=BC, 同理可证AB=AD,.AD=BC D 又AD∥BC (二)作角 ,四边形ABCD是平行四边形. 3A解析：根据题中基本作图.可得OC=OC‘.OD 又，AB=BC, OD'.CD=CD'. ,四边形ABCD是菱形. 故可得判定三角形全等的依据是边边边， (四)作垂直平分线 故选A. ☑解析：(1)解：如图，点D为所作。 ④解析：)解：如图。 (2)证明：AB=AC, (2)证明：∠ECM=∠A, ∠AC=∠C-号×180-36)=7. .CM∥AB DA=DB,∴.∠ABD=∠A=36, :BE∥DC .∠BDC=∠A+∠ABD=36°+36°=72， ,四边形CDBF是平行四边形. .∠BDC=∠C.∴.BD=BC. :在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线， ,△BCD是等稷三角形. CD=BD=号AB, 【点睛】本题考查了尺规作图和等腰三角形的判定与性 质，熟记相关结论是解题关健. :平行四边形CDBF是菱形 8解析：(D补全图形如下图所示。 (三)作角平分线 5解析：(1)解：如图，AF即为所求。 A (2)证明：连接AM,BM,AN,BN,(图路) (2)如图，连接CG,交AF于O. AM=BM.AN=BN. ∴，MN是AB的垂直平分线，（线段的垂直平分线的性质） .点D是AB的中点 ∠C=90°， .AF平分∠CAB,∠ACB=∠AGF=90°， “CD-之AB.(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一 ..FC=FG. 半) AC=AF-CF.AG=AF-FG. 故容案是：线段的垂直平分线的性质，直角三角形斜边上 AC=AG. 的中线等于斜边的一半。 ,AF是CG的垂直平分线， (五)作垂线 .EC=EG.OC=OG. 回B解析：由作图可得BDLAC, 036中考专题考点全频累积数学 .线段BD一定是△ABC的高线 故选B. 1四解析：(1)解：如图所示，即为所求。 .D (2)解：四边形AECF是平行四边形，理由如下： ￥AB∥CD ∴.∠B=∠D,∠OAB=∠OCD. 又AB=CD, ∴.△ABO≌△CDO(ASA),.OA=OC △ABC即为所求 ,AE⊥BD,CF⊥BD, 理由：由作图可知，TW∥BN, ∴.AE∥CF,∠AEO=∠CFO=90, A到BN的距离等于BT=h: 又∠AOE=∠COF. 同(I)可知△ABC的周长等于线段1，∠B=∠， ,△AOE≌△COF(AAS)..AE=CF. ·△ABC满足条件 “,四边形AECF是平行四边形. (七)作等腰三角形 (六)作三角形 图解析：解：等腰直角△ABC如图所示， 国解析：解：如图.△PAB和△PAB为所作. 解析：解：如图，△ABC为所求作。 ☑解析：(1)解：作∠MBN=∠3，在射线BM上取点A, 在线段1(DF)上截取DE=BA,在射线BN上截取BG =EF,连接AG, 作AG的垂直平分线HP交线段以G于C,连接AC,如图， (八)作圆 但解析：解：如图，⊙0为所作。 H G N △ABC母为所求. 理由：由作图可知，DE=BA,BG=EF, ,HP是AG的垂直平分线， 16 解析：解：如图，⊙O为所作。 AC=CG. ∴.BC+AC=BC+CG=BG, ∴，BC+AC+BA=BG+BA=EF+DE=DF, ,△ABC的周长等于线段！的长 :∠B=∠g. ∴.△ABC满足条件 (2)解：作∠MBN=∠A,过B作RS⊥BN.在BR上载取 (九)过圆外一点作已知圆的切线 BT=h,过T作TW⊥RS交射线BM于A,在线段 回解析：(1)解：如图，PA,PB是所求作的⊙O的切线。 I(DF)上截取DE=BA,在射线BN上截取BG=EF,连 接AG,作AG的垂直平分线HP交线段BG于C,连接 AC,如图， 参考答案及解题思路037 ,0 (2)i证明：连接OA,MP,MO,NP,NO L1 MP=MO.NP=NO. (1)证明：，"AC是⊙O的切线， ,∴，MN是OP的垂直平分线，（与线段两端点距离相等的 .OA⊥AC 点在线段的垂直平分线上) OA=3,AC=4, ∴.Q为OP的中点，QP=QO, .OP为⊙Q的直径， .OC=OA+AC=5. ∴.∠PAO=90°，（直径所对的圆周角为直角） OA=3.AB=2. .A点在⊙O上， .OB-OA+AB-5...0B-OC. ∴PA是⊙)的切线.（经过半径外端并且垂直于这条半 又，OD=OA=3,∠AOC=∠DOB. 径的直线是圆的切线) .△AOC2△DOB(SAS), 故客案为：与线段两端点臣离相等的点在线段的垂直平 .∠OAC=∠ODB=90°，∴.OD BD. 分线上：直径所对的圆周角为直角：经过半径外端并且 点D在⊙O上， 垂直于这条半径的直线是圆的切线， .BD为⊙O的切线 (十)作正多边形 (2)解：，△AOC≌△DOB. 1国解析：解：如图，四边形ABCD即为所求作. .BD=AC=4. :∠ABE=∠DBO.∠BAE=∠BDO, .△BAE△BDO. 品品 3 郁得AE-是 ) 国解析：(1)解：如图1，作线段H1,使四边形HB1C是矩 国解析：解：任务一：如图1，正六边形ABCDEF即为 形，HI交BC于点D.作射线AD,AD即为所求作 所作。 O(C 图1 (2)解：如图2，作OP∥BC,作AR⊥OP于点Q,连接CQ 图1 交AD于点E,点E即为作求作， 任务二：如图2， F(B A O(C 图2 图2 (3)解：如图3，在AC下方取点F,使AF=CF=√5，连 由旋转，可知DE=DE=OD=2. 接CF,连接并延长AF,AF交BC于点G,点F,G即为 ∴.OE=DE+OD=4, 所求作， .E(4,0) 枚答案为：(4,0) (十一)格点作图 ①解析：解：如图所示。 图3 038中考专题考点全频累积数学 (4)解：如图4，作OP∥BC,交射线AG于点M,作ST川 =80, AG,交BC于点N,连接MN,线段MN即为所求作. 故C选项不符合题意： ,AE平分∠DAC, ∴∠EAC-2∠DAC-40 ,∠C■40°， ∴.∠EAC=∠C, AE=EC,故D选项不符合题意： 图d ∠ADC=60,∠C-40,∠DAC=80°. 微专题11作图（二) AD≠DC.,BD=DM, .DC≠BD,故B选项符合题意 类型二作图结果的判断 故选B 口D解析：第一个图为尺规作角平分线的方法，(OP为 ④C解析：甲正确，理由如下：”四边形ABCD是平行回 ∠AOB的平分线： 边形， 第二个图，由作图可知：(OC=OD,OA=OB ∴.AD∥BC ..AC=BD. 根据作图过程可知：AM=AB,BN=AB, :∠AOD=∠BC. .AM-BN, ,.△AOD2△BOC(SAS) .四边形AMNB是平行四边形 .∠OAD=∠OBC AM=AB. BD=AC,∠BPD=∠APC, .四边形AMNB是菱形， .△BPD2△APC(AAS), 故甲的说法正确： AP=BP. OA=OB.OP=OP, ,△AOP≌△BOP(SSS). .∠AOP=∠BOP, ∴.OP为∠AOB的平分线： 图 第三个图，由作图可知∠ACP=∠AOB,(OC=CP, 乙正确，理由如下： CP∥BO,∠COP=∠CPO, 如图2，连接BE交AK于点O. .∠CPO=∠BOP. 根据作图过程可知：GH是BE的垂直平分线， ∴.∠COP=∠B)P, .AK⊥BE,OB=OE OP为∠AOB的平分线 :四边形ABCD是平行阿边形， 第四个图，由作图可知：(OP⊥CD,(OC=OD, .AD∥BC, .OP为∠AOB的平分线 .∠AEO=∠KBO 故选D. 在△AOE和△KOB中， 2C解析：解：作法：(1)作射线EG: ∠AEO=∠KBO. (2)以O为圆心，任意长为半径画弧，交OA于点P,交 OEOB. OB于点Q: ∠AOE=∠KOB, (3)以点E为圆心，以OP为半径画弧交EG于点D: .△AOE2△KOB(ASA) (4)以点D为圆心，以PQ为半径画弧交前面的孤于 ..OA=OK. 点F, OB=OE. (5)过点下作射线EF,∠DEF即为所求作的角. .四边形AEKB是平行四边形， ,,内容错误的是“③” AK⊥BE, 故选C, .四边形AEKB是菱形， 3B解析：由尺规作图痕迹可知DF为AB的垂直平分 故乙的说法正确， 线，AE平分∠DAC, 故选C. 故A选项不符合题意： 类型三根据作图步骤进行判断或计算 ∠B=30,∠C=40, 巨D解析：由作图可知MN垂直平分线段AC, .∠BAC-180°-30-40°-110 .EA-EC.AF-FC. :DF为AB的垂直平分线， ·∠EAC=∠C. ..DB=DA. 由作图可知AE平分∠BAC, .∠B=∠BAD=30 .∠BAE=∠CAE .∠ADE=∠B+∠B4D=60°，∠IDAC=110°-30 ,∠ABC=90°，