微专题9胡不归、阿氏圆、主从联动(瓜豆原理)-【全频累积】2024年中考数学考点全频累积高效训练典册（山东专用）

② 参考答案及解题思路 031 .AC-BD. DAB=90°。 '.△ACE△BDE(ASA). “点M是DF的中点. $BF-AE-AB. -OM-DF. “:BHICD. 如图所示,在AB的延长线上截取BH一BG,连接FH . BHE-90*. D .点H在以BE为直径的圆上运动 如图,取线段BE的中点Q:以点0为则心,OB为半径 画圆. # ' /FBG-$ $FBH-90$$FB-$FB,BG-BH$$ .△FBG△FBH(SAS). .FH-FG. $.OM+FG=DF+HF-(DF+HF). 点H在O上运动, '当AH与O相切时,乙BAH最大, '.当H、D、F三点共线时,DF十HF有最小值,即此时 此时OH1AH. OM+-FG有最小值,最小值即为DH的长的一半。 "AE-BE-2OE. “.AG-2GB,AB-6. '.AO-AF+OF-3OE .BH-BG-2. :OH-OE. .AH-8. .sin BAH-0HO1 A030E-3: 在Rt△ADH中,由勾股定理,得DH-AD十AH 故答案为:. -10. .OM+-FG的最小值为5. 1 解析:如图,作△PMD的外接圆,则心O在DM 故选B. 的中垂线上运动.设DM的中点为N 2C 解析:如图,延长DA到G,使AG-AB-3.连接 :DOM-2DPM. ·当乙DOM最大时. GC.GE. 乙DPM最大. .当O与BC相切时. 乙DPM最大 .M是CD的中点:CD-4. .CM-DM-2.'.DN-MN- DM-1. 7 ·在矩形ABCD中.乙D-DAB- ABC-90* 连接OP.则OP1BC. . GAE-乙ABC-90” .C-90”,ON1CD. # 又:BF-2AE ..四边形OPCN是矩形, *.OP-NC-2+1-3-OM .OD-OM.ON1DM. .△AGEo△BAF. . MON-乙DON- MOD-乙DPM. .sin DPM-sin MON-1 .GE+EC GC. ) .-AF+CF-GE+ECSGC. 故答案为:. '.当G、E、C三点共线时,m取最小值为GC的长. 微专题9胡不归、阿氏圆、主从联动 GC-DG+DC-(3+3)+-6② .m的最小值为6v②. (瓜豆原理) 故选C. 类型一 胡不归 3 解析:(1)证明:如图1,连接AN 1B 解析:,四边形ABCD是正方形, $AD-AB. DAB- ABC-90{ 7.AE-BF. .△ADE△BAF(SAS) .ADE-/BAF. ' DOF= ADO+ DAO= BAF + DAO=$$$ 图1 032 中考专题考点全频累积 数学 ②② *四边形ABCD是萎形, .-、7或=一、7(舍去): $ABD= CBD-ABC-30” BA=BC.$ 同理当BC-AB-4时,可得c-15; ..BN-BN. 综上所述,当以点A、B.C为项点的三角形是等腰三角形 .△ABN△CBN(SAS). 时,c-/7或c-15,故③错误. .AN-CN. 当c-3时,C(0.3),则OC-3. .MN是AE的垂直平分线, 如图所示,取点H(-4o):连接PH,则OH-3, .AN-NE. .EN-CN. (2)解:如图2.过点N作NF|BC于点F,连接NA.AF 图2 “.DBC-30*. 00 .NF-1BN. 又" HOP-POA. 'AN-EN. :△HOPo△POA. $.2EN+BN-2 EN+BN)-2(AN+NF)>2AF. .0 &.当点A.N.F三点共线时,2EN+BN取得最小值为 .PH-pA 2AF的长,如图3. .CP+2AP=CP+PH. MiN '.当点P在线段CH上时,CP+PH的值最小,即此时 CP+2AP的值最小,最小值为线段CH的长. B()F 图3 在Rt△OCH中,由勾股定理,得CH-OH+OC ()+3-7 .NF I BC..'AF IBC .故④正确, $在Rt△ABF中,AF-AB·sin乙ABC-2-3. .正确的有3个, 故选C. .2FN+BN的最小值为2③ 55 解析:如图,连接AC、AQ 类型二 阿氏圆 4C 解析:·抛物线y=ar+bx+c(a<o)经过点 ## B(1.0). 2当r-1时,y-a+b十c-0.故①正确 ·抛物线y-ar+br十c(a<0)交x轴于点A(-3,0). B(1,0). .抛物线的对称轴为直线--3+1--1. .四边形ABCD是正方形,PC绕点P逆时针旋转90得 ×. 到线段PQ. .-6--1. '. OPC= ABC-90$AB-BC.PO-PC 2 .ACB- PCQ-45. '.b-. .乙BCP-乙ACQ.cosACB- .a+2a+c-0,即.--3. 'a+3+2e-a+6a-6a-a. #### .0. 'a十3+20,故②正确. # .对称轴为直线x=-1,点C在y轴上. .ACBC .△BCPo△ACQ. 在y=ax+br十c(a<0)中,当x-0时,y-c ##A# .C(o.c)...OC=c. .△ABC为等腰三角形 ·BP-2..AQ-2. 2.当AC-AB-4时,由勾股定理,得AC-OA+OC. .Q在以A为罔心,AQ为半径的圆上. 4-3十. 在AD上取AE-1.如图 ② 参考答案及解题思路 033 QAF-△DAQ. $PN= M=- #12$QN=PM-n-1. .△QAE△DAQ. .N-1+PN-3-. 级on. .(3-,1-). .DQ+CQ-EQ+CQ=CE..当C.Q.E三点共线 .0Q-(3-”)第+(1-)--5m+10 时,DQ+CQ有最小值为CE的长度 -(-2) +5. 如图,连接CE .CE=DE+CD=5. 0.'.当n=2时,0Q有最小值为5. .DQ+CQ的最小值为5. '00的最小值为5: 故答案为:5. 故选B. # 6 解析:解:如图,在CB上取点D,使CD-1.连接AD. 解析:以C为原点,建立如图所示的平面直角坐标 CP.PD. 系,设AP-a,则CP-2-a. .CD-C PCD= BCP.:.△CPD△CBP, .P(0.2-a). '乙B-30”. -_C_D1u. .乙A-60”。 ..PDLAB. $AP+BP-AP+PD>AD. .PDA-90. . APD-30*. '.当点A.P.D在同一条直线上时,AP十AD最小 #A-A-# 即AP+-BP的值最小,AP+BP的最小值为AD的 如图,过点D作DG1AC,则乙AGD-90{。 长度, 在Rt△ACD中..CD-1.AC-6. $AG-AD-..1G-3AG-3. *.AD-AC+CD-③7. :DF1BC.DG 1AC. ACB-90*. AAP+-BP的最小值为v37. .四边形DGCF为矩形. .DG-CF. 类型三 主从联动(瓜豆原理) #{).# (一)直线轨迹 7B 解析:如图,作QM上:轴于点M,QNL:轴于 .E为PF的中点. 点N. #{1)# 设Q (m-+),则 M-m-1QM--m+2. 当点P与A重合时,a-0.此时E(0.1). : $MQ= PNQ= QP$Q=90$$ 当点P与C重合时,a-2,此时E(.o). ._QPM+NPQ- PON+ NPQ. .QPM-乙PQN. 由旋转,得PQ-PQ,乙QPQ-90 在△PQM和△QPN中. 故答案为:10 PMQ- PNQ-90. QPM- PQN. (二)圆轨迹 PQ-QP: DA 解析:如图,以BC为边向上作等边三角形BCM,连 .△PQM△QPN(AAS). 接DM. 034 中考专题考点全频累积 数学 .CDE-90*. 2.△CDE为等腰直角三角形. '.DF=CD=1. '.AF-AD+DE-2v2+1 即AE的最大值为22+1 当AE与C相切于点D:且点D在△ABC外部时 乙BAE最大,AE的值最小,连接CD.CE,如图2所示, ·△ACD.△BCM为等边三角形...CD一CA.CM-CB DCA-乙MCB-60*. '. DCA- ACM= MCB- ACM 即 DCM-乙ACB. 在△DCM和△ACB中. C 二& DC-AC. DCM-乙ACB. MC-BC. 图2 ..△DCM△ACB(SAS). 判CDIAE. .DM-AB-2 .乙CDE-90。 '.点D的运动轨迹是以点M为圆心,2为半径的罔, ·要使△BCD的面积最大,BC为定值,.需要点D到线 .AD-AC-CD--1-22. 段BC的距离最大,..当点D在D位置时,△BCD的面 ·四边形ABCE为圆O内接四边形, .CEA-180*-乙ABC-135*. 积最大,如图. .△BCM是边长为4的等边三角形, .CED=180'-/CEA-45". .CDE-90*. .点M到BC的距离为2③. 2.△CDE为等直角三角形. &点D到BC的最大距离为2/③+2. .DE-CD-1. .△BCD的面积的最大值是x4X(23+2)-43 *AE-AD-DE-22-1. +4. 即AE的最小值为22-1; 故选A. 故答案为:2/2+1:2/2-1. T2/2+1 2/2-1解析::乙ACB-90 :CA-CB-3. 微专题10作图(一) .乙BAC-乙ABC-×90*-45 。 类型一 根据要求作图 .线段CD绕点C在平面内旋转,CD-1. (一)作线段 .点D在以点C为圆心,1为半径的圆上. 1 解析:(1),四边形ABCD为平行四边形, .BELAE. .AD/BC. '. AEB-90*. 又根据作图可知:AE-CF, .点E在以AB为直径的圆上. ..四边形AECF是平行四边形. .在Rt△ABE中,AE=AB·cos 乙BAE.AB为定值. .AF/CE. '.当cos BAE最大时,AE的值最大,cos BAE最小 (2)原因;以点A为罔心,CE长为半径作孤,与BC可能 时.AE的值最小. 有两个交点(如图),故无法确定F的位置 '当AE与C相切于点D,且点D在△ABC内部时, 乙BAE最小.AE的值最大,连接CD.CE,如图1所示. B 故小丽的作法存在问题. 2 解析:感悟: “'AB-AF. .B E. AB-AE. 在△ABC和△AFD中 B-/E 图1 BC-DE. 则CDIAE. '.△ABC△AED(SAS). '.ADC-CDF-90 .BAC- EAD *AD-AC-CD--1-22 应用: “.AC-AC. (1)以点A为则心:以AB的长度为半径作死,交直线BC ./CFD-/ABC-45' 于一点,该点即为点E,以点A为圆心,以AC的长度为 半径作强,交直线BC于一点,该点即为点D.连接AD微专题023 微专题9胡不归、阿氏圆、主从联动（瓜豆原理） 类型一胡不归 (2)求2EN十BN的最小值， ①(2024·四川泸州)如图，在边长为6的正 方形ABCD中，点E,F分别是边AB,BC 上的动点，且满足AE=BF,AF与DE交 于点O,点M是DF的中点，G是边AB上 的点，AG=2GB,则OM+2FG的最小值 是 类型二阿氏圆 A.4 B.5 C.8 D.10 ④(2024·四川宜宾)如图，抛物线y=a.x2+ 2(2024·山东泰安东平二模)如图，矩形 bx+c(a<0)交x轴于点A(一3,0)、B ABCD中，AB=6,BC=3,点E是边AB (1,0),交y轴于点C.以下结论：①a+b+ 上的动点，点F是射线BC上的动点，且 c=0:②a+3b+2c<0:③当以点A、B、C BF=2AE,连接AF,CE.若2AF+CE 为顶点的三角形是等腰三角形时，c=√7： ④当c=3时，在△AOC内有一动点P,若 m,则m的最小值为 OP=2,则CP+号AP的最小值为7.其 中正确结论有 () A.3√2 B.35 C.6√2 D.65 3(2024·四川凉山州)如图，在菱形ABCD 中，∠ABC=60°，AB=2,E是BC边上一 个动点，连接AE,AE的垂直平分线MN 交AE于点M,交BD于点N.连接 A.1个 B.2个C.3个 D.4个 EN.CN. 固(2024·黑龙江大庆校级二模)如图，在边 (1)求证：EN=CN; 长为4的正方形ABCD内有一动点P,且 BP=√2，连接CP,将线段PC绕点P逆时 针旋转90°得到线段PQ,连接CQ、DQ,则 DQ+CQ的最小值为 024中考专题考点全频累积数学 回@0 6(2024·云南昆明模拟)如图，在Rt△ABC 8(2024·江苏连云港)如图，在△ABC中， 中，∠ACB=90°，CB=4,CA=6,⊙C的半 ∠C-90°，∠B=30°，AC=2.点P在边AC 径为2，P为圆上一动点，连接AP、BP,求 上，过点P作PD⊥AB,垂足为D,过点D AP+BP的最小值. 作DF⊥BC,垂足为F,连接PF,取PF的 中点E.在点P从点A到点C的运动过程 中，点E所经过的路径长为 (二)圆轨迹 回如图，A是⊙B上任意一点，点C在⊙B 外，已知AB=2,BC=4,△ACD是等边三 角形，则△BCD的面积的最大值为() A.43+4 B.4 C.43+8 D.6 1回(2024·河南)如图，在Rt△ABC中， ∠ACB=90°，CA=CB=3,线段CD绕点 类型三主从联动（瓜豆原理） C在平面内旋转，过点B作AD的垂线， (一)直线轨迹 交射线AD于点E.若CD=1,则AE的 7(2024·山东泰安岱岳三模)如图，在平面 最大值为 ,最小值为 直角坐标系中，Q是直线y=-号+2上 的一个动点，将Q绕点P(1,0)顺时针旋转 90°，得到点Q',连接OQ',则OQ的最小值 为 () A.46 B.5 5