微专题7 特殊四边形的面积求解问题-【全频累积】2024年中考数学考点全频累积高效训练典册（山东专用）

微专题 019 微专题7 特殊四边形的面积求解问题 类型一 与平行四边形有关的面积求解 2/ BAE,若BE三2,则矩形ABCD的面积 1(2024·山东济宁邻城一模)如图,四边形 为 ABCD中,对角线AC |BD,且AC-6,BD 一4,A、B、C、D.为各边中点,顺次连接 A、B、C、D.,得到四边形A. B.CD.,再 取四边形ABC.D 各边中点A、B、C 5(2024·四川德阳)如图,四边 D.,顺次连接得到四边形ABC。D,依此 形ABCD是矩形,△ADG是 类推,这样得到四边形AB.CD。,则四边 正三角形,点F是GD的中点, ) ( 形A.B.C.D.的面积为 点P是矩形ABCD内一点,且 △PBC是以BC为底的等腰 三角形,则△PCD的面积与 △FCD的面积的比值是 (2024·山东滩坊三模)为落实国家《关于全 面加强新时代大中小学劳动教育的意见》,某 校准备在校园里利用围墙(墙长12m)和 21m长的篱色墙,围成I、II两块矩形劳 2(2024·山东东营垦利三模)如图,平行四 动实践基地,某数学兴趣小组设计了两种 边形ABCD中,E为AD的中点,已知 方案(除围墙外,实线部分为篱芭墙,且不 八DEF的面积为1,则四边形ABFE的面 浪费篱色墙),请根据设计方案回答下列 积为 问题: 3(2024·山东临沂临述二c 图① 图② 模)如图,O的直径 AB=8cm,C为AB延 (1)方案一:如图①,全部利用围墙的长度 长线上一点,CP与O 但要在I区中留一个宽度AE一1m的水 池目需保证总种植面积为32m{},试分别确 相切于点P,过点B作弦BD/CP,连 定CG、DG的长; 接PD. (2)方案二:如图②,使围成的两块矩形总 (1)求证:点P为BD的中点; 种植面积最大,请问BC应设计为多长 (2)若C=D,求四边形BCPD的面积 此时最大面积为多少? 类型二 与矩形有关的面积求解 类型三 与菱形有关的面积求解 4(2024·山东聊城东昌府二模)如图,在矩形 7(2024·山东济宁北湖二模)如图1,点P ABCD中,AE BD,垂足为E,DAE 从菱形ABCD的边AD上一点开始运动 020 中考专题考点全频累积 数学 沿直线运动到萎形的中心,再沿直线运动 积为S,则S+S十S十..十$ 到点C停止,设点P的运动路程为x,点F -_ _ 到直线AB的距离为m,到直线CD的距离 为n,且y-(当点P与点C重合时,y= n 0),点P运动时v随x的变化关系如图2 ( 所示,则菱形ABCD的面积为 - A.4 B.4-() C.4-() D.4-) 图1 图2 (2024·山东河泽曹县二模)如图,正方形 A.6/7 B.5/7 C.10 D.6 ABCD的边长为4,对角线AC,BD相交 3(2024·广东)如图,菱形ABCD的面积为 于点O,以点B为圆心,对角线BD的长为 24.点E是AB的中点,点F是BC上的动 半径画张,交BC的延长线于点E,则图中 点,若△BEF的面积为4,则图中阴影部分 阴影部分的面积为 的面积为 2(2024·河北石家庄二模)如图,正方形 D(2024·山东泰安泰山一 ABCD和CEFG的边长分别是a和b(a> 模)如图,在/□ABCD中, ),点B,C,E在同一直线上,点C.G,D 对角线AC、BD相交于点 在同一直线上,如果在这个图形基础上再 O.过点C作CE AB交AB的延长线于 画一个正方形,使得新正方形(阴影部分) 的面积等于正方形ABCD和CEFG面积 点E,且 ABO=ACE,连接OE 之和,下列四个正方形(阴影部分)的面积 (1)求证:四边形ABCD是菱形; 符合要求的是 (填写序号即可). (2)若AB=210,BD=4,求菱形ABCD 的面积. 类型四 与正方形有关的面积求解 T(2024·山东济宁北湖二模)如图,正方形 ABCD的边长为4,它的两条对角线交于点 O.过点O作边BC的垂线,垂足为M △OBM的面积为S,过点M作OC的垂 线,垂足为M,△OMM。的面积为S,过点 M. 作BC的垂线,垂足为M。.MM。M 的面积为S.......,△M。M.M.的面024中考专题考点全频累积数学 (2)解：由题意，得C:y= (r-1)+(-1)-4+ .5 同理可得△EHB≌△DGE(AAS), .EH+2-GD-y+1 BH-y-GE-1-x. 3-(-号)广- 解得x=0且y=1, 点E(0,1). 当=0时=(0-)广-是1 5 做点D在抛物线C:上 (3)解：存在，理由如下： 即点E不在抛物线C:上， 综上，点P的坐标为(2,2)或（一1,3） 在y=r+专-4中，令y=0,得 3r+3x-4 微专题7特殊四边形的面积求解问题 0,解得=-2=号∴-2,0A(停，0） 类型一与平行四边形有关的面积求解 ①当∠BDP为直角时，如图1，过点D作DE⊥BD且 IB解析：四边形ABCD中，AC=6,BD=4.且ACLBD. DE=BD,过点D作GH∥x轴，过点B作BG⊥GH于 点G,过点E作EH⊥GH于点H,连接BE,则△BDE 六SaEn=AC·BD= X6×4=12. 为等腰直角三角形. Saan=12X C Sm应A44h= 号5as4454=12×(侵 ∴四边形A.B.C,D.的面积是12× )广-是 故选B ☑5解析：：四边形ABCD是平行四边形， ,AD∥BC,AD=BC, 图1 图2 .△DEF∽△BCF. ∠BDG+∠EDH=90°，∠EDH+∠DEH=90°， 又：E是AD的中点， ·∠BDG=∠DEH. :∠DGB=∠EHD=90, 器既器 ∴.△DGB≌△EHD(AAS) .DH=BG=1,EH=GD=1+2=3 小器-期5w-4 ∴点E(2,2) △DCF和△DEF等高， 当=2时y=哥：（亿-号）广-是=2，即点E在抛物 侣畏-则m=25=2 线C,上， ∴S△im=SmD-S△c十Samr=4+2=6, ∴点P即为点E,坐标为(22)： 四边形ABFE的面积为S△e一Saw=6-1=5, ②当∠DBP为直角时，如图2， 故答案为：5. 同理可得△BGE2△DHB(AAS). 3解析：(1)证明：如图，连接OP,交BD于点E,CP与 .DH-3-BG.BH-1-GE. ⊙O相切于点P。 ∴点E(-1,3). ,PC⊥OP,∴.∠OPC=90 BD∥CP. 当x=-1时=号r(1-)广-号-3 .∠OEB=∠OPC=90°， ∴点E在抛物线C:上， .BD⊥OP ∴点P即为点E,坐标为(-1,3)： 点P为BD的中点， ③当∠BPD为直角时，如图3， (2)解：∠C=∠D,∠POB C 2∠D, .∠POB=2∠C ∠CP0=90 ∠C=30. :Po=号AB=4cm,Pc=45cm :∠ABD=∠C=30,.0E=20B=2m ∴.PE=2cm 图3 BD∥CP,∴∠C=∠DBA,∴.∠D=∠DBA, 设点E(ry) .BC∥PD, ,四边形BCPD是平行四边形， 参考答案及解题思路 025 ∴.四边形BCPD的面积=PC·PE=4W3×2=8√3(m). 即y=r·(21-3x)=-3r+21r=-3(e-) 类型二与矩形有关的面积求解 ④163解析：在矩形ABCD中，∠DAE=2∠BAE, +140 ∠BAD-90, 21-3x12..x≥3 ,90°=∠BAD=∠BAE+∠DAE=∠BAE十2∠BAE ,.∠BME=30°. ∴当0=子m时a大-平m. ,BE=2,AE⊥BD,即∠AEB=90°， 类型三与菱形有关的面积求解 ∠ABE=90°-∠BAE=90-30=60, ☑A解析：连接AC,BD交于点O,连接OP,如图所示 在△ABE中，AB=职BE 2 .2 D =4 2 在Rt△ABD中， AD=AB·tan∠ABE-4Xan60-45, 由题意，得当0≤r≤2时，y的值恒等于1， S5mw=AB·AD=4X45=165, .m=. 故客案为：163. .点P的运动路径是△ADC的中位线，且CD=2×2 ⑤2解析：如图，取C,AD的中点为M,N,连接MN, =4. GN,连接PD,FC,过F作FR⊥CD交CD的延长线于R :当x=5时，y=0, 点，延长RF,与GN交于Q点， ∴.0C=3. 由菱形的性质可得AC=2OC,BD=2OD,AC1BD, .AC=20C=6, .OD=CD-OC=√7， .BD=20D=27, ∴Stm-号BD·AC-2X27X6-67, 故选A. 日10解析：连接AF,BD,如图. 设BC=a,CD=b, :△PBC是以BC为底的等腰三角形， :菱形ABCD的面积为24，点E是 AB的中点，△BEF的面积为4， P在MN上， P到CD的距离即为a 5aw=名5w=司 am-×6X- 古5au 在△GQF和△DRF中， -6,SAMr -2Am-8. 设菱形ABCD中BC边上的高为h, ∠GFQ=∠DFR, ∠FQG=∠FR1D=90°， BF GF=DF. ∴.△GQF≌△DRF(AAS), 腮-…器-2 .S6m=2 CDFR-号×bX F=2. Sac=4. -=2, ∴S影=S卷D一S△uE一SaE-Saw=10, 故答案为：10 故答案为：2 ⑨解析：(1)证明：CE⊥AB 6解析：(1)解：篱笆墙的长为12m,筲笆墙的宽为AD= ∴，∠CE4=90, GH=BC=(21-12)÷3=3(m). .∠CAE+∠ACE=9O 设C℃为am.则DG为(12-a)m,那么 '∠ABO=∠ACE, ADXDC-AE×AH=32, .∠CAE+∠AB0=90, 即3×12-1×(12-a)=32. .∠AOB=90°， 解得a=8, .AC⊥BD, ..CG=8 m.DG=4 m. .口ABCD是菱形. (2)解：设两块矩形总种植面积为ym,BC长为xm,那 (2)解：：四边形ABCD是菱形，BD=4, 么AD=HG=BC=xm.DC=(21一3.x)m,由题意得， 两块矩形总种植面积=BCX DC, :.AC-20A.BD LAC.OB-BD-2. 026中考专题考点全频累积数学 ∴∠A0B=90 .∠BMA十∠BAM=90°，∠BMA+∠EMF=90°， ∴0A=√AB-(0B=√/(210)-2=6， ·∠EMF=∠BAM. .AC-20A=12. 在△ABM和△MEF中， 六Saem=AC·BD=合×12X4=24. ∠B=∠E, :∠BAM=∠EMF. 类型四与正方形有关的面积求解 AM=MF. 回C解折：：四边形ABCD是正方形，且边长为4， ,△ABM≌△MEF(AAS), .OB=C,AC⊥BD, .BM=EF. ∴8=×4×4X号=2 ∴.AB+BF=Af,即a2+=2, 得到S任东eUWD+SE市s:-S, .OM⊥BC. 故④正确. .BM=CM=OM. ∴s-2×2-1… 同理可得： 8-×1- 故答案为：①③④. 8=×- 微专题8辅助圆问题 …… 类型一隐例 ①A解析：四边形ABCD是正方形， 8= .∠ABC=90°， S++s+…+=2+1+号++…+2 .∠ABE+∠EBC=90. :∠EAB=∠EBC, =2+1+(-)+(3-)+(付-8)+… .∠EAB+∠EBA=90. ∠AEB=90°， +(品) 点E在以AB为直径的半圆上运动. 如图，设AB的中点为O。 =4动 D -------a (侵) 故选C. 门4x解析：：四边形ABCD是正方形. .AO-CO,BO=DO.AD=CB.<DBE=45', G ∴.△AOD2△COB(SSS). ,正方形ABCD的边长为4， 作正方形ABCD关于直线BC对称的正方形GBCF, ∴.BD=√4+4=42， 则点D的对应点是F, ∴阴影部分的面积为扇形EBD的面积， 连接FO交BC于P,交半圆O于E. 即45x…42)=4 根据对称性，有PD=PF, 360 .PE+PD=PE+PF. 故答案为：4元 ,线段EF的长即为PE十PD的最小值. ☑①①解析：设阴影正方形的边长为c,其面积设为S, 由作图，知∠G=90°，FG=BG=AB=4.OA=OB=OE 且S=2,根据题意，得SE方ap=BC=a2,S在 =2, =CG=,∠BCG=90°， ,OG=6, 由勾股定理，得BC十CGF=BG,即a十b=c2,得到 .OF=√FG+O=2√1. S无东影，AD十S正有超m=S, 故①正确： ∴.EF=(OF-OE=213-2, 根据题意，得AB+BF=AE, 故PE+PD的最小值为2√13一2， 故a2+(b+a)>a+6, 故选A. 故②错误： 218解析：如图，述接OP, 据题意，得DC+CE=DE,即+=2， PA⊥PB, 得到S方#mn十S方em=S, .∠APB=90 故③正确： .AO=BO. 根据正方形的性质， .AB=2P0, '∠B=∠E=90°，∠AMF=90°.AM=MF. ,若要使AB取得最小值，则PO需取得最小值