微专题8 辅助圆问题-【全频累积】2024年中考数学考点全频累积高效训练典册（山东专用）

微专题021 微专题8辅助圆问题 类型一隐圆 类型二点圆最值 ①(2024·广东龙湖龙华一模)如图，正方形 4(2024·安微淮北烈山三模)如图，线段AB ABCD的边长为4，点E是正方形ABCD =4,点M为AB的中点，动点P到点M 内的动点，点P是BC边上的动点，且 的距离是1，连接PB,将线段PB绕点P ∠EAB=∠EBC.连接AE,BE,PD,PE, 逆时针旋转90°得到线段PC,连接AC,则 则PD十PE的最小值为 线段AC长度的最大值是 () D A A.3 B.4 C.22 D.32 A.2/13-2 B.45-2 互(2024·四川凉州)如图，⊙M的圆心为 C.43-2 D.215-2 M(4,0),半径为2，P是直线y=x十4上的 Z(2024·山东临沂兰陵期末)如图，⊙M的 一个动点，过点P作⊙M的切线，切点为 半径为4，圆心M的坐标为(5,12)，点P Q,则PQ的最小值为 是⊙M上的任意一点，PA⊥PB,且PA、 PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点 B关于原点O对称，则AB的最小值 为 6(2024·四川宜宾)如图，抛物线y=x2十 bx+c与x轴交于点A(-1,0)和点B,与 y轴交于点C(0,一4)，其顶点为D A OB (1)求抛物线的表达式及顶点D的坐标： 3(2024·山东泰安新泰模拟)如图，正方形 (2)在y轴上是否存在一点M,使得 ABCD中，AB=25,O是BC边的中点， △BDM的周长最小？若存在，求出点M 点E是正方形内一动点，OE=2,连接DE, 的坐标：若不存在，请说明理由： 将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF, (3)若点E在以点P(3,0)为圆心，1为半 连接AE,CF 径的⊙P上，连接AE,以AE为边在AE 的下方作等边三角形AEF,连接BF.求 BF的取值范围. 备川图 (1)求证：AE=CF: (2)若A,E,O三点共线，连接OF,求线段 OF的长. (3)求线段OF长的最小值。 类型三线圆最值 ☑(2024·德州禹城联考)如图，已知直线y= x-3,与x轴y轴分别交于A,B两点， 3 P是以C(0,1)为圆心，1为半径的圆上一 动点，连接PA、PB,则△PAB面积的最大 022中考专题考点全频累积数学 值为 国(2024·山东临沂河东一 模)如图，△ABC是⊙O的 B 内接三角形，AB=AC, ∠BAC=120°，D是BC边 上一点，连接AD并延长交 ⊙O于点E.若AD=4,DE=6,则⊙O的 A.11.5B.11C.10.5D.10 半径为 8(2024·山东泰安新泰一模)如图，在平面 ☑(2024·四川广元)如图，在△ABC中， 直角坐标系中，直线y-子一3分别与 AB=5,an∠C=2,则AC+号BC的最 x轴、y轴相交于点A、B,点E、F分别是正 大值为 方形OACD的边OD、AC上的动点，且 DE=AF,过原点O作OH⊥EF,垂足为 H,连接HA、HB,则△HAB面积的最大 值为 () 类型五张角最值 国(2024·山东日照校级一 模)如图，正方形ABCD 中，AB=4,E,F分别是 边AB,AD上的动点， AE=DF,连接DE,CF 交于点P,过点P作PQ∥BC,且PQ=2, A.100+52 在下列结论中：①DE=CF:②AE=FP 2 B.12 ·FC:③在运动过程中，线段AP的最小 C.6+32 D.13+52 值为25一2：④当∠CBQ的度数最大时， 2 BQ的长为2/10，其中正确的结论有 ⑨(2024·山东寿光一模)如图，⊙M的半径 为4，圆心M的坐标为(6,8)，点P是⊙M A.1个B.2个C.3个D.4个 上的任意一点，PA⊥PB,且PA,PB与x 国(2024·江苏扬州)如图，已知两条平行线 轴分别交于A,B两点.若点A,点B关于 1、l,点A是11上的定点，AB⊥2于点 原点O对称，则当AB取最小值时，△APB B,点C,D分别是11l2上的动点，且满足 的面积为 AC=BD,连接CD交线段AB于点E, BH⊥CD于点H,则当∠BAH最大时， sin∠BAH的值为 C 类型四定弦定角 四(2024·山东滨州沾化模拟)如图，点A、 D B、C、D在⊙O上，AC⊥BC,AC=2, ⑤(2024·江苏泰州靖江校级 ∠ADC=30°，则BC的长为 () 月考)如图，在正方形ABCD 中，边长为4，M是CD的中 点，点P是BC上一个动点， B 当∠DPM的度数最大时，sin∠DPM A.2w3 B.4 C.22 D.2026中考专题考点全频累积数学 ∴∠A0B=90 .∠BMA十∠BAM=90°，∠BMA+∠EMF=90°， ∴0A=√AB-(0B=√/(210)-2=6， ·∠EMF=∠BAM. .AC-20A=12. 在△ABM和△MEF中， 六Saem=AC·BD=合×12X4=24. ∠B=∠E, :∠BAM=∠EMF. 类型四与正方形有关的面积求解 AM=MF. 回C解折：：四边形ABCD是正方形，且边长为4， ,△ABM≌△MEF(AAS), .OB=C,AC⊥BD, .BM=EF. ∴8=×4×4X号=2 ∴.AB+BF=Af,即a2+=2, 得到S任东eUWD+SE市s:-S, .OM⊥BC. 故④正确. .BM=CM=OM. ∴s-2×2-1… 同理可得： 8-×1- 故答案为：①③④. 8=×- 微专题8辅助圆问题 …… 类型一隐例 ①A解析：四边形ABCD是正方形， 8= .∠ABC=90°， S++s+…+=2+1+号++…+2 .∠ABE+∠EBC=90. :∠EAB=∠EBC, =2+1+(-)+(3-)+(付-8)+… .∠EAB+∠EBA=90. ∠AEB=90°， +(品) 点E在以AB为直径的半圆上运动. 如图，设AB的中点为O。 =4动 D -------a (侵) 故选C. 门4x解析：：四边形ABCD是正方形. .AO-CO,BO=DO.AD=CB.<DBE=45', G ∴.△AOD2△COB(SSS). ,正方形ABCD的边长为4， 作正方形ABCD关于直线BC对称的正方形GBCF, ∴.BD=√4+4=42， 则点D的对应点是F, ∴阴影部分的面积为扇形EBD的面积， 连接FO交BC于P,交半圆O于E. 即45x…42)=4 根据对称性，有PD=PF, 360 .PE+PD=PE+PF. 故答案为：4元 ,线段EF的长即为PE十PD的最小值. ☑①①解析：设阴影正方形的边长为c,其面积设为S, 由作图，知∠G=90°，FG=BG=AB=4.OA=OB=OE 且S=2,根据题意，得SE方ap=BC=a2,S在 =2, =CG=,∠BCG=90°， ,OG=6, 由勾股定理，得BC十CGF=BG,即a十b=c2,得到 .OF=√FG+O=2√1. S无东影，AD十S正有超m=S, 故①正确： ∴.EF=(OF-OE=213-2, 根据题意，得AB+BF=AE, 故PE+PD的最小值为2√13一2， 故a2+(b+a)>a+6, 故选A. 故②错误： 218解析：如图，述接OP, 据题意，得DC+CE=DE,即+=2， PA⊥PB, 得到S方#mn十S方em=S, .∠APB=90 故③正确： .AO=BO. 根据正方形的性质， .AB=2P0, '∠B=∠E=90°，∠AMF=90°.AM=MF. ,若要使AB取得最小值，则PO需取得最小值 参考答案及解题思路 027 如图，连接OM,交⊙M于点P',当点P位于P'位置时， AE=CF,∠DAE=∠DCF,∠DAP=∠DCB=90° OP取得最小值， ∠PAE=∠OCF, 过点M作MQ⊥r轴于点Q .△PAE≌△(OCF(SAS) ..PE-OF. :PE≥OP-OE,∴.当O,E,P三点共线时，PE的值最 小，即OF的值最小，此时OP=OB+PB= BQ 3 √(W5)+(35)-52, :PE=OF=OP-OE=5-2, 则OQ=5,MQ=12, .OF的最小值是5√2-2 OM=13. 又：MP=4 .0P=9, .AB=2OP=18, 故答案是：18 3解析：(1)证明：如图1.由旋转，得 ∠EDF=90°，ED=DF. 四边形ABCD是正方形 ∴∠ADC=90,AD=CD, ∴.∠ADC=∠EDF, 即∠ADE+∠EDC=∠EDC+∠CDF, .∠ADE=∠CDF. 图3 在△ADE和△CDF中， 类型二点圆最值 AD-CD. ④D解析：如图，以AB为斜边向上作等根直角△AJB, :∠ADE=∠CDF. 连接CJ,BC. DE-DF, .AM=BM. ∴.△ADE≌△CID(SAS). .JM⊥AB.JM=AM=MB, .AE=CF. ·△JMB是等腰直角三角形， (2)解：如图2，过F作OC的垂线，交BC的延长线于P ,JB=√2BM,由旋转，得 O是BC的中点，四边形ABCD是正方形， △PBC是等腰角三角形， ∴.∠B=∠BAD=∠IDCB=90°，AB=BC=25, .∠MBJ=∠PBC=45. ∴(C=(OB=√5.：A,E,()三点共线， BC=2PB. .由勾股定理，得AO=5. OE=2, ∠MBP-∠Jc,品-S, .AE=5-2=3 ∴.△JBC'△MBP, 由(1)，知△ADE≌△CDF, 品品- ∠DAE=∠DCF,CF=AE=3. :∠BAD=∠DCP, PM=1. ∴∠OAB=∠PCF. JC=2, :∠AB0=∠P=90, 点C的运动轨迹是以J为圆心巨为半径的圆. .△AB∽△CPF, 滑得装 W-号B=2E. .AC≤AJ+JC=32, ∴CP=2PF, 故线段AC长度的最大值为3√2」 .设PF=x,则CP=2x, 故选D. .由勾股定理，得3=x2+(2x), 互27解析：如图，记直线y=x十4与x,y轴分别交于点 -35或-85（会 A,K,连接QM,PM,KM 5 y ÷Fp-35,0p-6+65_l5 P+4 5 5 由勾股定理，得OF= )+=s (3)解：如图3，由于OE=2,所以E点可以看作是在以O 为圆心，2为半径的半圆上运动， 延长BA到P点，使得AP=(OC,连接PE. 在y=x十4中，当x=0时y=4:当y=0时，即x十4 0.解得：x=一1 028中考专题考点全频累积数学 .K(0,4),A(-4,0) 50 M(4.0). 令x=0,则y=一 .OA=OK=()M=4. ·点M的坐标为(0，一) “△OAK,△OKM均是等腰直角三角形， (3)解：如图2，以AP为边在AP的下方作等边三角形 .∠AKO=∠MKO=45°， APQ,过Q作QH⊥r轴于点H,连接BQ,PE,QF, .∠AKM=90 :QP与⊙M相切， .∠PQM=90°. ∴.PQ-√PM-QF. QM=2, ,当PM的值最小时，PQ的值最小 :当PM⊥AK时，PM取得最小值， 点P与点K重合，即PM=KM时，PQ取最小值 在Rt△OKM中，由勾胶定理， 得KM=Of+OK=42, D PQ=32-4=2w7, 图2 △AEF,△APQ为等边三角形， .PQ的最小值为27 .AE=AF,∠PAE=60°-∠PAF=∠QAF,AP=AQ ⑥解析：(1)解：出于抛物线y=x2+r十c经过点A =4, (-1.0)和点C(0,-4), .△PAE2△QAF(SAS),.QF=PE=1. b=-3 ”△APQ为等边三角形， c=-4, 1c=-4 ÷抛物线的表达式为y=-3一4一（一是）广一华。 ∴AH-专AP-2.QH-VAQ-AF-2, OH-AH-AO-1, “顶点D的坐标为（侵一）月 .Q(1.-25) (23解：点A(一1.0)对称轴为直线=昌 ·点F在以Q(1,-23)为圆心1为半径的⊙Q上： 点B(4.0) BQ=√(4-1)+(23)=2I. 当点F在线段BQ上时，BF有最小值为√2T-1: 当点F在射线BQ上时，BF有最大值为√21+1， ,BD的长为定值， ,BF的取值范围为√2T-1BF≤√2I+1: ,.要使△BDM的周长最小，只需DM+BM的值最小： 类型三线倒最值 如图1，作点B关于原点的对称点B': 则B(一4,0)，连接B'D交y轴于点M,连接BM, ☑C解析：如图，过点C作CMLAB于点M,连接AC.在 3 y=1一3中， 令r=0.则y=子×0-3=-3 3 令y=0,则0=手1一3，得1=4 .点B(0,-3),点A(4,0), .0A=4,OB=3,.BC=1十3=4， 图1 AB=V√0M+0B=√4+3=5. 则BM=BM, .DM+BM=DM+BM=DB',此时△BDM的周长 :SA=AB·CM=0A·BC, 最小 设直线DB的解析式为y-kr十n(k≠0)， ×5CM=号×4×4 把D(受-)B(-40代人 .CM- P在⊙C上运动，C(0,1),圆C的半径r=1, 一4k+n=0 ∴P到直线AB的最大距离是CM+,即9+1=号 ∴△PAB面积的最大值为号AB,(CM+r)=合×5× 解得 g-10. ∴直线DB的解析式为y=一 故选C. 日D解析：如图，连接AD,交EF于V,连接OC,取ON 参考答案及解题思路 029 的中点M.连接MH,过点M作MQ⊥AB于Q,交AO于 .AB=2PO. 点K.作MP⊥OA于点P ∴，要使AB取最小值，则OP雪取得最小值 “直线y=圣一3分别与：轴。 连接OM,交⊙M于点p', 当点P位于点P'时，OP取得最小值，连接AP,BP, y轴相交于点A,B, 过点M作MQ⊥x轴于点Q,过点P作P'H⊥AB于点 点A(4,0),点B(0,3) H,如图所示 .0B=3,OA=4 .AB=√OB+OA =/9+16=5. ,四边形ACD)是正方形， B .OD∥AC,AO=AC=OD=4,∠(COA=45, ∴O=A2,∠EDN=∠NAF,∠DEN=∠AFN. 又DE=AF, 则OQ=6,MQ=8, .△DEN≌△AFN(ASA) OM=√6+8=10. .DN-AN.EN-NF. MP=4, 点N是AD的中点，即点N是(OC的中点， ∴.OP=6, ON=NC=2√2. ∴，AB=2OP'=12. ,OH⊥EF, .MQ⊥x轴.PH⊥AB,∴.PH∥MQ, ∴∠OHN=90, .点H在以ON为直径的圆上运动， ∴当点H在QM的延长钱上时，点H到AB的距离 PH-4 最大， :点M是ON的中点， Sw=号×ABXPH=-号×12x=进 ∴OM=MN=2. 故答案为： MP⊥OP.∠OA=45. 类型四定弦定角 .OP-MP-1. .AP=3. @A解析：如图，连接AB,则∠ABC=∠ADC=30 ,∠(0AB+∠0BA=90°=∠OAB+∠AKQ. .∠AKQ=∠ABO=∠MKP. 又∠AOB=∠MPK=90°， .△MPK∽△AOB. 絮路搭 D AC⊥BC,∠ACB=90, -紧 ,AB=2AC=4, MK=是，PK=是 ∴BC=√AB-AC=25. 故选A AK=是 国2√10解析：如图.连接OA.0C,CE :∠AKQ-∠ABO.∠OAB-∠KAQ. ∴△AKQ△ABO, 9 六M=k+MK-是+器-号 ,AB=AC,∠BAC=120° 云点H到AB的最大距离为3+2 ∴.∠B=∠ACB=30, ∴.∠AOC=60. 2△B断积的最大值=号×5×（是+反）18+码 OA=OC. 2 .△A(OC是等边三角形. 故选D .AC=0A. 日考解折：如图，连接O印。 '∠AEC=∠ABC=∠ACB=3O°.∠CAD=∠EAC, ∴.△ACD△AEC. PA⊥PB. ∠APB=90. 6能 :点A,点B关于原点O对称， .AC=AD·AE .A0=B0. ,AD=4,DE=6, 030中考专题考点全频累积数学 ∴.AC=√AD·AE=√4X(4+6)=2/10, =52,即AC+巨BC的最大值为52. ∴.OA=AC=210 即⊙0的半径为2√10， 故答案为：5 类型五张角最值 故答案为：2√10. 25√2解析：过点B作BD⊥AC.垂足为D,如图1 3C解析：'ABCD为四边形， .∠EAD=∠FDC=90°，AD=DC 所示。 又AE=DF, ∴.△AED≌△DFC(SAS). .DE=CF,即①正确， '△AED≌△DFC, .∠ADE=∠DCF, 图1 :∠ADC=∠ADE+∠PDC=0, 在R△CD中，m∠C-肥=2 .∠DCP+∠PDC=g0. 即∠CPD=90°， ,设DC=r,则BD=2x,.由勾股定理可得BC=5r, .∠DPF=∠FDC=90 .∠DFP=∠CFD. 5 ∴△FDP∽△FCD. AC+BC-AC+DC. 腮需 延长DC到E,使EC=CD=x,连接BE,如图2所示， ∴，FD=FP·FC AE=DF. ,AE=FP·FC,即②正确 :四边形ABCD是正方形， .ABAD-DC-BC-4. 如图，取CD的中点G,连接AG,PG,期GD=2. 图2 :∠CPD=90°， AC+5BC-AC+DC-AC+CE-AE. PG-CD-2. 5 在R△ADG中，AG=AD+DG■25. BD⊥DE,DE=2r=BD, “.△BDE是等腰直角三角形，则∠E=45 在△APG中，AP>AG-PG,∴当A.PG三点共线 在△ABE中，AB=5,∠E=45,由轴助圆一一定弦定角 时，AP有最小值，最小值AP=AG一PG=25一2，即③ 模型，作△ABE的外接圆，如图3所示， 正确. 如图，作GH⊥CD且GH=2,连接QH, 则PQ∥HG,PQ=HG. ,四边形PGHQ是平行四边形 GHPG. .四边形PGHQ是菱形，，HQ=GH=2, ,点Q在以H为圆心，2为半径的圆孤上运动 图3 ∴，当BQ与⊙H相切时，∠CBQ的度数最大 ∴，由圆周角定理可知，点E在⊙O上运动，AE是⊙O的 如图，作HM⊥BC交BC的延长线于M,则BM是⊙H 弦，求AC+5BC的最大值就是求弦AE的最大值，根 的切线，四边形CMHG是矩形，∴，CM=GH=2, 据圆的性质可知，当弦AE过圆心O,即AE是直径时， .BQ=BM=BC+CM=4+2=6,故④错误. ∴.正确的有3个 弦的值最大，如图4所示： E 0. A.B 故选C 图4 ,AE是⊙O的直径， 国号解析：两条平行线4、，点A是（上的定点，AB .∠ABE=90°. ⊥2于点B, :∠E=45”,.△ABE是等腰直角三角形， 点B为定点，AB的长度为定值 AB=5, 1∥l, ,BE=AB=5,,由勾股定理可得AE=/AB形+B网 ∴∠ACE=∠BDE,∠CAE=∠DBE 参考答案及解题思路 031 AC=BD. ∠DAB=90 ·△ACE≌△BDE(ASA)· 点M是DF的中点， ∴BE=AE=号AB ∴OM=DR. ,BH⊥CD, 如图所示，在AB的延长线上截取BH=BG.连接FH. .∠BHE=90°， ,点H在以BE为直径的圆上运动」 如图，取线段BE的中点O,以点()为圆心，OB为半径 画圆. 0 E G BH '∠FBG=∠FBH=9O,FB=FB,BG=BH, ∴.△FBG≌△FBH(SAS), ..FH-FG. ∴OM+2PG=DF+号HF=(DF+HF), :点H在⊙O上运动， 当AH与⊙O相切时，∠BAH最大， ,当H,D,F三点共线时，DF十HF有最小值，即此时 此时OH⊥AH. OM+号FG有最小值，最小值即为DH的长的一半。 AE=BE=20E. AG=2GB.AB=6. ∴.A0=AE+OE=3OE, ..BH=BG=2. .OH=OE. .AH=8. m∠BAH-9沿先- 在Rt△ADH中，由勾股定理，得DH=√AD+AH =10, 故答案为： :OM+之FG的最小值为5， 因号解析：如图，作△PMD的外接圆，则因心0在DM 故选B 的中垂线上运动.设DM的中点为N。 ☑C解析：如图，延长DA到G,使AG-号AB-3,连接 '∠DOM=2∠DPM, .当∠D)M最大时， GC.GE. D ∠DPM最大， ,当⊙O与BC相切时， ∠DPM最大. ,M是CD的中点，CD=4, ∴，CM=DM=2,∴.DN=MN= 2DM=1. :在矩形ABCD中，∠D=∠DAB=∠ABC=90, 连接OP,则OP⊥BC .∴.∠GAE=∠ABC=g0°： ∠C=o°，ON⊥CD. 又BF=2AE, ∴.四边形OPCN是矩形 .OP=NC=2+1=3=OM 船詣 ,'OD=OM,ON⊥DM. .△AGE∽△BAF ∴∠MON-∠DON-号∠MoD-∠DPM. 张-即GE-A证 ∴in∠DPM=sin∠MON= GE十ECGC, 3 m=AF+CE=GE+EC≤GC, 放答案为： .当G、E,C三点共线时，m取最小值为GC的长。 微专题9胡不归、阿氏圆、主从联动 GC=D+DC=√3+3)+6=62， m的最小值为6√2 (瓜豆原理) 敌选C. 类型一胡不归 图解析：(1)证明：如图1，连接AN. ①B解析：：四边形ABCD是正方形， ,.AD=AB.∠DAB=∠ABC=90°， 又：AE=BF, ∴.△ADE≌△BAF(SAS): ∴∠ADE=∠BAF, .∠DOF=∠ADO+∠DAO=∠BAF+∠DA(O= 图1