微专题6 特殊四边形的动点问题-【全频累积】2024年中考数学考点全频累积高效训练典册（山东专用）

020 中考专题考点全频累积 数学 2乙AEN. .HK-HG. '.乙A.EP有最小值. '.在R△AEP中.EP=A.E·cos A. EP有最大值 .HK-KG. 即A.G-AP-AE+EP有最大值, 由题意得MN1HG,而NG-NK. '.点A.到直线AD的距离最大.故②正确 .PK-PG. 综上所述,正确的结论共有3个. .PH-3HG-3V5. T2(190一。(2)3/5解析:(1)连接CC,如图1. 故答案为:3/5. 由题意得乙CNM-乙4.MN1CC. 微专题6 D__ 特殊四边形的动点问题 类型一 动点函数 A 解析:过点E作EHIAC于点H,如图. MB 图1 · ABC-90”,AB-4,BC-2; ..MN I FF.'CC//FE .AC-AB+BC-2V5. .1-2. .BD是边AC上的高. C四边形ABCD是正方形: .AB·BC-AC·BD. 'B- BCD-90. $ 3+ 4- 3+2-90”1+ BEF-90$ .B ' 2- 4,乙1-90-. .乙4-90-a. :BAC- CAB.ABC- ADB-90, .乙CNM-90”-。. .△ABC△ADB. 故答案为:90”-2. (2)记HG与NC交于点K:如图2 C D 解得AD-8、5 H $.DC-AC-AD-2、5-852V5 : AHE- ADB-90 A- A. .△AEHCo△ABD. 图2 ·BDF+ BDE- BDE+乙EDA-90'CBD+ 2四边形ABCD是正方形,四边形EFGH是正方形; DBA-乙DBA+ A-90”. '. A- B- C= D=90,HE-FE HEF$$$$ '. DBC= A. BDF= EDA. -90*) .△AFDo△BFD. $ 5+ 6- 7+ 6-90{。 { (85){ .乙5-乙7. (A) =4. '.△AEH2△BFE(AAS). 同理可证:△AEH△BFE△DHG△CGF. .$m-4Sm. '.AF-CG-DH-4.DG-BE-8. 在R△HDG中. 'y-Sn-S△a-(S-S) 由勾股定理得HG-DH+DG-45. -AB·BC-HE·AD-DC·DB+SAo 由题意得 NCB'= NCB=90 8= 9. D=$ ##$×1×8#24# GDH-90”,NC-NC'$GD-GD-8. 'NC'/GD. ## . NKG- 0. .8- NKG. -<0,0<4. .NG-NK. '.NC-NG-NC'-NK. 1.y关于x的函数图象为下降的线段(不含端点),观察 即KC'-GC-4. 各选项图象可知,A符合题意. .'NC/GD. 故选A. .△HCKo△HDG. 2D 解析:由题意知,当动点P沿BC匀速运动到点C K# 时,DP-7. 作DEBC于点E,如图1. ② 参考答案及解题思路 021 :.CD/PQ. '△APQ△ADC. A8-8m- .-y. (P)C .CD-2. 图1 :△APQ△ADC. .△ABC是等边三角形,点D在边AB上.BD-2 A-- '. B-60,AB-BC-AC. '$DE-BD·sin 60-3,BE=BD·c0s 660- 整理得CD-2. '.FP-DP-DE-2. *AB-BC-BE+EP-3. 设DE-1. 故①正确. :AP-2ED. 当1-5时,动点P运动至如图2所示位置,PC一5-3 *.AP-2. 2.AP-1-AD. .CM/AB. .△CDE△BAE. CO 2 图2 $AD=AF+DF-3t-1(3r+2y) .乙A-60”. 2 2y 1.△ADP是等边三角形. ) :△APQ△ADC. '.DP-AP-AD-1. '.y-DP-1. 故②正确. 2y 整理得y-8-2' 当4 16时,0 AP<2,如图3所示,当DP1AC时. 3? DP*取最小值, 故答案为:2.y-8-2r 3 类型二 线段最值 4C 解析:如图,过E作EMLBC于点M,作MH上AB 于点H,作AI1GM交MG的延长线于点1. C 图3 .AD-1.A-60. $.DP-AD·sin 60*-5 ### .DP的最小值为3,即y能取到. . EMF+ EGF-180*, 故③错误. '.点E、M、F.G四点共圆. 动点P沿BC一CA匀速运动时, '. EMG- EFG-30*。 .乙B-60. “,+.-6t. ..<3131-6-. '. BEM-30”- EMG. 由题意,可知01.<3,3<6. '.MG/AB. '. HMI-180*-MHA-90". 当0t<3时,y=1-l)+(v③)--2+4; 由图3可知,当DP1AC时,AP-AD·cos 60”-.CP HAI-180”-乙A1M-90*, '.四边形MHA1是矩形. .pp-3..BC+P-11. .MH-A1. .BF-8. -(-1)+-(-)+3 '.EM-BE·cos30*-43. --十1. $MH-EM-23-AI. .--3-0. .y>. '.AGAI-2/③. 故④正确. '.AG的最小值是2③ 综上所述,正确的有①②④. 故选C. 故选D. E2 解析:如图,过CD的中点G作EF的垂线与AB交 32 y8-2x 3x{} 解析:.CM//AB.PO/AB. 干点M,连接GF,当直线过O点时.EF的值最大 022 中考专题考点全频累积 数学 即 ECN-60”。 .CE-2r cm. $.EN-CF·sin 60*-2r -3x cm. CN-CF·cos 60*-2r·-r cm. '.BN-BC-CN-(10-x)cm. 4七十8分别交工轴o轴于点A、B. .直线y- .BF-2(10-x)cm. .-BF·EN-2(10-)$3 ..A(6.0),B(0.8). '$AB-OA+OB-10. --3+103. n on0 ,0<210. 2.05. '.=-③+103×(0<5) .CD-6. (3)解:.BE-DE,BE-EF, :G-CD-3. .DE一EF. .乙DEF-60. .△DEF为等边三角形. '.DE-DF-EF. ..BE-DF. . EF-2FM-24. '.线段DF的长度最短,即线段BE的长度最短. &当BE1AC时,BE最短,如图3. 故答案为2 6 解析:(1)证明:如图1.设CD与EF相交于点M. ·四边形ABCD是菱形. #。 .AB-BC. .ABC-60. 图1 .△ABC为等边三角形. ·四边形ABCD为菱形, .BC-AB-AC-10cm. $.BC=DC, BCE- DCE.AB//CD .BEIAC. “:乙ABC-60. .CE-AC-5cm,即2r-5. .DCF-60 在△BCE和△DCE中. #-. BC-DC. BCE- DCE. .当x-时,线段DF的长度最短。 (CE-CE. 类型三 路径最短 *△BCE△DCE(SAS). 7D 解析:在BC上截取BE=BQ,连接PE,如图1. ..CBE- CDE,BE-DE .DMF= DEF+ CDE- DCF+CFF 乙DEF= DCF=60*. ..CDE- CFE. '.CBE-CFE. .BE-FF. 图1 (2)解:如图2.过点E作FN1BC于N,则 ENC-90” ·BD平分乙ABC.乙ABC-68{。 . ABD-CBD-ABC=34". “:BP-BP. '.△PBQ△PBE(SAS). 图2 .PE-PQ. ·BE-FF..'.BF-2BN .AP+PQ-AP+PE. ·四边形ABCD为菱形,乙ABC-60*, 2.当A、P、E三点在同一直线上,且AE BC时,AP十 $BC-AB-10 cm. ACB-乙BCD-60”。 PE最小,即AP十PQ最小,过点A作AE BC于点E. 交BD于点P,如图2 ② 参考答案及解题思路 023 把B(-1,a)代人y-2-得a-2③, r *.B(-1.2v3). 'AM-BM-2③-1.'. BAM-45 “' BAC-75” 图2 '. DAC-75*-45*-30. '乙AEB-90.CBD=34$. .CD-AD· tanDAC-23x-2. '.APB-AFB+CBD-124" 故选D. 3 (3)解;存在,理由如下: B4 解析:如图,连接A'D. :0C-CD-0D-2-1-1. .0E-30C-3×1-3. ①当AP :轴时,如图2.则AP/CD ·正△ABC的边长为2.△ABC与△ABC关于直线/对称 '.ABC- A'BC'-60,A'B-AB-BC-2 -D 'CBC-60..CBC-A'BC. ) ·BD-BD...△CBD△A'BD(SAS '.CD=A'D.'AD+CD-AD+A'D. ·当A.D.A三点共线时.AD+CD最小,此时AD+CD 图2 -A'B+AB-4. .. /PAE= ACD 故答案为:4. .乙APE-乙ADC-90”. (1左 9 (2)15' 解析:(1)如图,作点B关于直线MN对 .△APEo△CDA. 称的点D,连接AD,交直线MN于点P,此时AP+BP "APE- PPOD- ADC=90”, 有最小值,此时点P的位置在点C的左侧 *.四边形APOD是矩形. :0P-AD-2③. - .P(-2③,0). ②当AP1AE时,如图3. (2)当AP+BP的值最小时, ·点B和点D关于直线MN对称. '. BCN= DCN=60*$,BC=DC. CBP= D .乙BCD-乙BCN+DCN-120。 -D .乙ACB-9o”. . ACD-360*-乙ACB-乙BCD-150*。 .AC-BC,BC-DC...AC-DC. * CAD- D-15.. CBP- D-15。 图3 故答案为:左,15*。 .'AD/OE. 类型四 存在性间题 . AEP= CAD-30{。 :PAE- ADC-90. T0 .△APEo△DCA. A(-23.1). 作AF1OP于点F,'AP-1, APF=90-30=6 60 . .Pr-AF+un APr-1-3-. .---2/3×1--2③. .反比例函数的解析式为y-2、3 -0P-0F+PF-2+373 (2)解:过点B作BM AD于M,如图1. .#{7。). 综上所述,满足条件的点P的坐标为 (-2.o).(-7.o). 7 1 解析:(1)解:将点D的坐标代人抛物线表达式v=ar - +4-4甲,得-1-a+4-4.解得a-. 则抛物线C。的表达式为y-+-4. 图1 024 审考专题考点全频累积 数学 (2)解:由题意,得Cy-(r-1)+(r-1)-4+ 同理可得△EHB2△DGE(AAS). $EH-$+-GD-y+1且BH-y-GE-1- 3-#(-))#-10# 解得--0且y-1. 当,-1时,y--(1-)-10--1. .点E(0.1). 当x-0时y-(0-)-10 1. 故点D在抛物线C:上. (3)解:存在,理由如下: 即点E不在抛物线C:上. 在-七十寸x-4中,令y-0.得号&+x-4- 综上,点P的坐标为(2,2)或(一1,3). 微专题7 特殊四边形的面积求解问题 0.解得x=-2.axa-.1.B(-2.0).A(0). 类型一 与平行四边形有关的面积求解 ①当乙BDP为直角时,如图1.过点D作DE1BD且 1B 解析:'四边形ABCD中,AC=6.BD-4.且AC1BD. DE-BD,过点 D作GH/t轴,过点 B作BG IGH于 .$S-A·BD-y6×4=12. 点G,过点E作EH1GH干点H,连接BE,则△BDE 为等腰直角三角形 .SmA-1$m-12×. ### $-Sa=12×() S-Ssmo-12×(), ..... -7 .四边形A.B.C.D.的面积是12×()-12. 故选B. 25 解析:'四边形ABCD是平行四边形, #2 .AD/BC.AD-BC. .△DEFo△BCF. :BDG+ EDH-90*$EDH+ DEH-90*$ 又·E是AD的中点, '. BDG- DEH. #.# : DGB-乙EHD-90{, EF ..△DGB△EHD(AAS). $DH-BG=1,EH=GD-1+2 -3$ :点E(2,2). ·.△DCF和△DEF等高. 当x-2时y-(2-)-10-2:即点E在抛物 线C上, *S-Sa-S+Sr-4+2-6. .点P即为点E,坐标为(2.2): '.四边形ABFE的面积为S-Sm¥=6-1-5 ②当之DBP为直角时,如图2。 故答案为:5. 3 同理可得△BGE2△DHB(AAS) 解析:(1)证明:如图,连接OP,交BD于点E,CP与 ..DH-3-BG,BH-1-GE. O相切于点P. :点E(-1.3). *PCOP..OPC=90 当--1时--(-1-)-10-3. .BD/CP. . OEB= OPC-90 ..点E在抛物线C:上, .BD1OP. '.点P即为点E,坐标为(-1,3); '点P为BD的中点 ③当之BPD为直角时,如图3. (2)解:C-D.乙POB C 2乙D. .POB-2C. “.乙CPO-90*. .C-30". 'PO-AB=4 cm..PC-4V3 cm. ' ABD-C-30”OF-oB-2cm. .PE-2cm. 图3 .BD/CP.C= DBA.'D= DBA. 设点E(r,y). .BC/pD. '.四边形BCPD是平行四边形,微专题 017 微专题6特殊四边形的动点问题 类型一动点函数 t2=6,则y>y2.其中正确结论的序号是 ①(2024·安徽)如图，在Rt△ABC中， ∠ABC=90°，AB=4,BC=2,BD是边AC A.①②③ B.①② 上的高.点E,F分别在边AB,BC上（不与 C.③① D.①②① 端点重合)，且DE⊥DF.设AE=x,四边 3(2024·江苏无锡)如图， 形DEBF的面积为y,则y关于x的函数 在△ABC中，AC=2, 图象为 AB=3,直线CM∥AB,E 是BC上的动点（端点除 A 外)，射线AE交CM于点D.在射线AE 上取一点P,使得AP=2ED,作PQ∥AB. 交射线AC于点Q.设AQ=x,PQ=y.当 16 x=y时，CD= :在点E运动的过 程中，y关于x的函数表达式为 类型二线段最值 B. ④(2024·山东泰安)如图，菱形ABCD中， ∠B=60°，点E是AB边上的点，AE=4, 16 BE=8,点F是BC上的一点，△EGF是以 点G为直角顶点，∠EFG为30°角的直角 三角形，连接AG.当点F在直线BC上运 C. 4 D. 0 动时，线段AG的最小值是 2(2024·山东济南)如图1，△ABC是等边 三角形，点D在边AB上，BD=2,动点P 以每秒1个单位长度的速度从点B出发， 沿折线BC一CA匀速运动，到达点A后停 止，连接DP.设点P的运动时间为t(s) A.2 B.43-2 DP为y.当动点P沿BC匀速运动到点C C.23 D.4 时，y与t的函数图象如图2所示.有以下 互(2024·山东济宁模拟)如 图所示，平面直角坐标系 四个结论： 中，直线y= 3x+8分别 交x轴、y轴于点A、B,点 0 DA C、点D是y轴正半轴、x 轴正半轴上的两个动点，CD=6,以CD为 图 图2 ①AB=3: 直径在第一象限内作半圆，与线段AB交 ②当t=5时，y=1: 于E、F两点，则EF的最大值为 6(2024·山东威海)如图，在菱形ABCD ③当4≤1≤6时，1≤y≤3： 中，AB=10cm,∠ABC=60°，E为对角线 ④动点P沿BC一CA匀速运动时，两个时 AC上一动点，以DE为一边作∠DEF 刻，t红(t<t2)分别对应y和，若t1十 60°，EF交射线BC于点F,连接BE,DF. 018中考专题考点全频累积数学 点E从点C出发，沿CA方向以每秒2cm 类型四存在性问题 的速度运动至点A处停止.设△BEF的面 1回(2024·山东济南天桥模 积为ycm,点E的运动时间为x秒 拟)如图，反比例函数y= 的图象经过点A(一23， 1),射线AB与反比例函数 备用图 的图象的另一个交点为 (1)求证：BE=EF: B(一1，a),射线AC与x轴交于点E,与 (2)求y与x的函数表达式，并写出自变量 y轴交于点C,∠BAC=75°，AD⊥y轴， x的取值范围； 垂足为D. (3)求x为何值时，线段DF的长度最短. (1)求反比例函数的解析式； (2)求DC的长： (3)在x轴上是否存在点P,使得△APE 类型三路径最短 与△ACD相似？若存在，请求出满足条 口(2024·山东聊城冠县期末)如图所示，在 件的点P的坐标：若不存在，说明理由. △ABC中，∠ABC=68°，BD平分∠ABC, P为线段BD上一动点，Q为边AB上 动点，当AP+PQ的值最小时，∠APB的 国(2024·山东泰安)如图，抛物线C:y 度数是 a.x2+4 x一4的图象经过点D(1,-1),与 x轴交于点A,点B. A.118°B.125°C.136°D.124° 8(2024·江苏南通如东期中)如图，正 △ABC的边长为2，过点B的直线【⊥ AB,且△ABC与△A'BC'关于直线1对 称，D为线段BC上一动点，则AD十CD 备用图 的最小值是 (1)求抛物线C,的表达式： (2)将抛物线C,向右平移1个单位，再向 上平移3个单位得到抛物线C2,求抛物线 C:的表达式，并判断点D是否在抛物线 日(2024·天津西青期末) C:上 如图，在Rt△ABC中， (3)在x轴上方的抛物线C:上，是否存在 ∠ACB=90°，AC=BC,M 点P,使△PBD是等腰直角三角形？若存 点C在直线MV上，∠BCN=60°，点P为 在，请求出点P的坐标：若不存在，请说明 MN上一动点，连接AP,BP. 理由 (1)使AP+BP取最小值的动点P的位置 在点C的 侧.（填“左”或“右”） (2)当AP十BP的值最小时，请直接写出 ∠CBP的度数