微专题5 特殊四边形的折叠问题-【全频累积】2024年中考数学考点全频累积高效训练典册（山东专用）

微专题015 微专题5特殊四边形的折叠问题 类型一与平行四边形有关的折叠 ②设折叠后重叠部分的面积为S,当号≤ ①(2024·山东烟台)如图，在□ABCD中， ∠C=120°，AB=8,BC=10.E为边CD的 1时，求S的取值范围（直接写出结果 中点，F为边AD上的一动点，将△DEF 即可). 沿EF翻折得△DEF,连接AD,BD',则 △ABD'面积的最小值为 D 类型二与矩形有关的折叠 ④(2024·山东威海)将一张矩形纸片（四边 2(2024·上海)在平行四边形ABCD中， 形ABCD)按如图所示的方式对折，使点C ∠ABC是锐角，将CD沿直线I翻折至AB 落在AB上的点C'处，折痕为MN,点D 所在直线，对应点分别为C,D',若AC: 落在点D'处，CD'交AD于点E.若BM= AB:BC=1:3:7,则cos∠ABC 3,BC=4,AC'=3,则DN= 3(2024·天津)将一个平行四边形纸片 OABC放置在平面直角坐标系中，点 O(0,0),点A(3,0),点B,C在第一象限， 且OC=2,∠AOC=60 日(2024·山东济南)如图，才 c or 在矩形纸片ABCD中， AB=2,AD=2,E为边 AD的中点，点F在边CD 图① 图2② 上，连接EF,将△DEF沿EF翻折，点D (1)填空：如图①，点C的坐标为 的对应点为D',连接BD.若BD=2,则 点B的坐标为 DF= (2)若P为x轴的正半轴上一动点，过点 6(2024·山东辩坊)如图，在矩形ABCD P作直线1⊥x轴，沿直线1折叠该纸片， 中，AB>2AD,点E,F分别在边AB,CD 折叠后点O的对应点O'落在x轴的正半 上.将△ADF沿AF折叠，点D的对应点 轴上，点C的对应点为C'.设OP=t. G恰好落在对角线AC上：将△CBE沿CE ①如图②，若直线1与边CB相交于点Q, 折叠，点B的对应点H恰好也落在对角线 当折叠后四边形POC'Q与口OABC重叠 AC上.连接GE,FH. 部分为五边形时，OC'与AB相交于点E. 试用含有t的式子表示线段BE的长，并 直接写出t的取值范围： 016中考专题考点全频累积数学 求证： 国(2024·四川德阳)一次折纸实践活动中， (1)△AEH≌△CFG: 小王同学准备了一张边长为4（单位：dm) (2)四边形EGFH为平行四边形. 的正方形纸片ABCD,他在边AB和AD 上分别取点E和点M,使AE=BE,AM= 1,又在线段MD上任取一点N(点N可与 类型三与菱形有关的折叠 端点重合)，再将△EAN D 7(2024·黑龙江齐齐A 沿NE所在直线折叠得 哈尔模拟)如图，在菱 到△EA:N,随后连接M 形ABCD中，AB= DA1.小王同学通过多次 ---- 4,∠A=45°，点E为AB的中点，点F为 实践得到以下结论： AD上一动点，将△AEF沿EF翻折，点A ①当点N在线段MD上运动时，点A,在 的对应点为点A'.再折叠菱形，使点C的对 以E为圆心的圆弧上运动： 应点与点A'重合，折痕分别交BC,CD于 ②当DA1达到最大值时，点A1到直线 点G,H.当△A'GH是等腰三角形时，AF AD的距离达到最大； 的长为 ③DA的最小值为25一2： 8(2024·河南一模)如图，菱形ABCD的边 ④DA,达到最小值时，MN=5-√5. 长为2，∠BAD=120°，将菱形纸片翻折， 你认为小王同学得到的结论正确的个数 使点B落在对角线BD上的点B'处，折痕 是 为MN,连接AB,当△ABD为等腰三角 A.1 B.2 C.3 D.4 形时，BM的长为 2(2024·安微)如图，现有正方形纸片 ABCD,点E,F分别在边AB,BC上，沿 垂直于EF的直线折叠得到折痕MN,点 B,C分别落在正方形所在平面内的点B', 9(2024·四川成都三模) M C处，然后还原 如图，在菱形ABCD中， ∠B=45,将菱形折叠，D 使得点D落在边AB的中点M处，折痕为 EF,则B票的值为 B'M 类型四与正方形有关的折叠 (1)若点N在边CD上，且∠BEF=a,则 回(2024·河南)如图，在平 ∠CNM= (用含a的式子表示)： 面直角坐标系中，正方形 (2)再沿垂直于MN的直线折叠得到折痕 ABCD的边AB在x轴 GH,点G,H分别在边CD,AD上，点D 上，点A的坐标为 落在正方形所在平面内的点D'处，然后还 (一2,0)，点E在边CD上，将△BCE沿 原.若点D在线段B'C'上，且四边形 BE折叠，点C落在点F处.若点F的坐 EFGH是正方形，AE=4,EB=8,MN与 标为(0,6)，则点E的坐标为 GH的交点为P,则PH的长为⊙@回 参考答案及解题思路 015 .∠GAE=∠EAF 则∠ABC=180°-∠BCD=60° .AE=AE,∴.△AEG2△AEF(SAS), ,E为边CD的中点， EG=EF. :EG=BE-BG. DE-CE-CD=4. ∴EF=BE-FD :△DEF沿EF翻折得△DEF, 类型五150的等授三角形含75 ED'=DE=4. 8解析：(D解：猜想：AE+CF=EF, ∴，点D在以E为圆心，4为半径的圆上运动，如图，过点 证明：在BC的延长线上截取CA'一AE,连接A'D,如 E作EM⊥AB交AB的延长线于点M,交圆E于点D', 图1， 此时D广到边AB的距离最短，最小值为DM的长，即 △ABD的面积最小 图】 过点C作CN⊥AB于点N, ∠DAB=∠BCD=9o°. ,AB∥CD,.EM=CN ∴.∠DAB=∠DCA'=90 在R△BCN中，BC=10,∠CBN=60, 又'AD=CD,AE=A'C, .△DAE2△DCA'(SAS), ∴CN=BC·in60=10x5=55, 2 .ED=A'D,∠ADE=∠A'DC ∴.DM=ME-ED=5V3-4, ∠ADC=120, .∠EDA'=120 △ABD面积的最小值为号×8×(5原-4)-20,5 ∠EDF=60, -16, .∠EDF=∠A'DF=60 故答案为：203一16. 又DF=DF, ∴，△EDF≌△A'DF(SAS), ☑号或号解析：当点C在AB上时，如图1 则EF=A'F=FC+CA'=FC十AE (2)AE+CF=EF. 证明：如图2，在BC的延长线上截取CA'=AE,连接 A'D. 图1 根据AC:AB:BC=1:3:7,不妨设AC=1,AB=3, BC=7, 由翻折的性质知∠FCD=∠FCD'. 'CD沿直线1翻折至AB所在直线， 图2 .∠BC'F+∠FCD'=∠FCD+∠FBA=180° ,∠DAB与∠BCD互补，∠BCD十∠DCA'=180°， .∠BCF=∠FBA, .∠DAB=∠DCA' 7 义"'AD=CD,AE=CA', :CF-BF-CF- ∴.△DAE≌△DCA'(SAS). 过点F作AB的垂线交AB于点E, ED=A'D,∠ADE=∠A'DC ∠ADC=2a BE=号BC=1 ∴∠EDA'=2a. ∠AC---号 :∠EDF=a, ∴∠EDF=∠A'DF=a. 当点C在BA的延长线上时，如图2 又DF=DF, .△EDF≌△A'DF(SAS)· b. EF-A'F-FC+CA'-FC+AE. 微专题5特殊四边形的折叠问题 类型一与平行四边形有关的折叠 1203-16解析：：在□ABCD中，∠BCD=20, 图2 AB=8, 根据AC:AB:BC=1:3:7,不妨设AC=1,AB=3, .CD=AB=8,AB∥CD. BC=7, 016中考专题考点全频累积数学 同理知CF=BF=CF=子 AB与CO的交点为E与B重合，OP-号+1=号， 2 过点F作AB的垂线交AB于点E, 1的取值范围为受<1<受 BE-B-2. ②设直线1与平行四边形OABC的边交于点M,当子≤ im∠ABc--是-号 =7 <1时，如图3，过点C作CH⊥OA. 年 放答案为：号或 召解析：D解：如图，过点C作CH⊥OA y 图3 由(1)知C(1w3)∠(0A=60: um6m-部.g-g :四边形OABC是平行四边形，OC=2,∠AOC=60°， .MP5, A(3,0), ∴CB∥OA.OC=AB=2,CB=OA=3. S-OPXMP-TOPXMP-x CH⊥OA. ∴∠0CH=30, :受>0，开口向上.对称轴为直线1=0， :.08-0-1. 在号<1<1时S-复：随着1的增大面增大， .CH=VOC-OH=3. << C(15) CB∥OA,CB=OA=3. 当1≤<受时，如图4， B(4,) 故答案为：(1，w5)(43) C (2)解：①过点P作直线1Lx轴，沿直线！折叠该纸片， 折叠后点O的对应点)落在x轴的正半轴上，点C的对 应点为C, P O'A ∠0C'=∠AOC=60,0P=Op=, 图4 .0X7=20P=2. S-(CP+MC)XMP-(OP+CM)XMP- A(3,0)· ∴0A=3, 名+-)x-号(-)=-g .A0=0)-0A=21-3. 3>0,S随着1的增大而增大， 四边形OABC为平行四边形， .AB=OCm2,AB∥OC,.∠AB=∠A0C=60°， 当=1时S=月X1-9 ,.△OA是等边三角形， .AE=A0=2-3. “当1=是时8=后×是复-39=5， 22 .BE=AB-AE=2-(21-3)=5-21, .BE=-2t+5, 当16K号时，号≤5< 如图1，当O与点A重合时， :当号<<号时.过点E作ENLO0于点N,如图5 CI C c.o C B (E) 图I 可ANO 图5 AB与C0'的交点为E与A重合，0P=20M=受： :由①得出△EA是等边三角形，A0=21-3, 如图2，当C与点B重合时， AN=A0-号(2-3)=1-∠EA0=60 C (E)B(C") m∠Ea0-5-袋 EN=(-是} 图2 S=号X(C'Q+0P)XQP-号×AOXEN ⊙@回 参考答案及解题思路 017 ×4-1+0x6-[2-3)x5-)刀 DE=CD'-CE=7-5=2, 设D'N=DN=a,则EN=4一a, =-3r+4813 在R△DEN中，NE=DE+DN, 4 即(4-a)2=a2+2, -5<0 开口向下，在= 4√3 部得山-号 2×(-5) =2时，5有最大值，最 故答案为2 大值为-×2+43×2-1山3-53 目V3-2解析：如图：连接BE,延长FE交BA的延长线 :当2<1≤号时2-引-2- 于点H, “当1=是（或）时，5有最小值，最小值为一后× (侵)+4×是--5 4 六当2<1<号时w3≤5<55 当<1<号时，如图6 :矩形ABCD中，AB=√2，AD=2,E为边AD的中点， AE=DE=1,∠BAE=∠D=90', BE=√AB+AE=2+I=3, :将△DEF沿EF折，点D的对应点为D', .ED=ED=I,∠EDF=∠D=9O,∠DEF=∠DEF, ∴.Rt△HAE≌Rt△FDE(ASA). .DF=AH 图6 BD=2, S=2×(CQ+OP)xQP-是×(A0+Bc)XQP 1+(3)'=2,即DE2+BE=BD2, .△BED为直角三角形， 名×-1+0X5-言×(2-3+24-5)×5=-5 设∠DEF=a,则∠AEH=∠DEF=a,∠DED'=2a: +2 .∠AEB=90°-2a,∠AHE=90°-a, 2 ,∠HEB=∠AHE=90°-a, 一√3<0，∴S随着：的增大而减小， ·△BHE为等腰三角形， :.BH=BE=V3. 六当2<兴时，把=多=分别代人S=- :.AH-BH-AB-3-. +79. .DF=AH=5-2 故答案为B一2. 得5=一6×号+79-55=-5×号+29 ⑤解析：(1)证明：：四边形ABCD是矩形， .AD=BC.∠B=∠D=90.AB∥CD =3 4 ∴.∠EAH=∠FCG 由折叠可得，AG=AD,CH=CB,∠CHE=∠B=90, ∠AGF=∠D=90°， .CH=AG,∠AHE=∠CGF=90, 综上.2<5<59 4 .AH=CG. 类型二与知形有关的折叠 在△AEH和△CFG中， 日号解析：在R△CBM中，CM=VCB+BF ,∠EAH=∠FCG, AH-CG, /+3=5, ∠AHE=∠CGF=90°， 由折叠可得CM=CM=5,∠D'C'M=∠D=∠D=∠C ,.△AEH2△CFG(ASA). =90°， (2)证明：由(1)知∠AHE=∠CGF=90° 又，四边形ABCD是矩形 △AEH≌△CFG, ∴∠A=∠B=90. .EH∥FG,EH=FG, ∴.∠BCM+∠AC'E=∠AEC+∠ACE=90°， ∴.四边形EGFH为平行四边形 .∠BCM=∠AEC, 类型三与菱形有关的折叠 又：AC=BM=3, ⑦2或2,2解析：由折叠的性质得A'G-(CG.A'H=CH, ,.△BCM≌△AEC ∠GA'H=∠BCD=45,A'F=AF,AE=AE,∠EA'F= BC=AE-4.MC=CE=5. ∠BAD=45, ..AB=CD=C'D'=7.BC=AD=BM+CM=3+5=8. 当A'G=A'H时，连接AA、A'C,如图1， .DE=AD-AE=8-4=4, 期A'G=CG=A'H=CH, 018中考专题考点全频累积数学 B 图1 图1 ·四边形A'GCH是菱形， .CA'是∠BCD的平分线 BB'-BD-B'D-BD-AD-23-2, .A'C经过点A, ∴BG-号BB-原-1 四边形A'EAF也是菱形， ∠ABD=30. AF=AE=号AB=2: 当A'G=GH时，△A'GH是等腰直角三角形，则点A'与 aw--8-4, 3 点B重合，如图2， 当AB=BD时，如图2， D -----C B(A) G 图2 ,△A'FE和△AFB都是等腰直角三角形， 图2 ∴.AF=AB·in45=22: 则∠ADB=∠DAB=30', 当A'H=GH时，即A'H=GH=CH时，如图3， :∠DAH=∠BAH=支∠BAD=60 A:- .∠B'AH=∠DAH-∠DAB=30°， BH-AH·tan30- 3· B 六BE=BH+BH=43. 3 图3 △A'GH和△CGH都是等腰直角三角形，且∠A'HG= G=号BB=2 3· ∠CHG=90°， 故点A'在直线CD上，此情况不存在， 23 BG 3 踪上，AF的长为2或2V2, .BM c0s30 33 故答案为：2或2区. 日音支8子5解析，连接AC,交BD于点H,设MN与 综上，BM的长为或5-， 3 BB'的交点为G, :点B落在对角线BD上， 故答案为：号或8-23 3 .BB⊥MN,即∠BGM=∠BGN=90°. 日2492 解析：连接FE并延长，交BA的延长线于点 :四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=120°， ∠ABC=180°-∠BAD=60. H,连接DH,过点D作BA的垂线，交BA的延长线 于G, ÷∠ABD-∠CBD-号∠ABC-30 G IT A M B BG=BG. .△BGM≌△BGN(ASA) ..BMBN. D 由折叠的性质得BM=BM,BN=BN, 设AB=2a, ..BM=B'M=B'N=BN. :∠B=45°，四边形ABCD是菱形， ,四边形BMBN是菱形. ∴.AD=AB=2a,DG=GA=2a,AB∥DC :∠ABD=30°， .∠MHF=∠DFH. AH=号AB=1 由折叠的性质可知，∠DFH=∠MFH,MF=DF, ÷.∠MHF=∠MFH, .BH=√AB-AH=√5 .MH=MF. 当AB=AD时，此时点B,B,M重合，BM=0,不符合 ..HM=DF. 题意： 又HM//DF 当AD=BD时，如图1： ,四边形HDFM是平行四边形， 又MF=DF, .平行四边形HDFM是菱形， 参考答案及解题思路019 ..DH=DF. ,当点N在线段MD上运动时，点A,在以E为圆心的 :M是AB的中点， 圆上运动.故①正确. .AM=a. 连接DE,如图1. .GH=GA+AM-MH=V2a+a-DF, 在R△GDH中，DH=DG+GP, 即DF=(2a)+(2a+a-DF)', 整理得a-2士22DF. 5+22 :HM∥DF, 图1 ∴∠HAE-∠EDF,∠AHE=∠EFD, :在正方形ABCD中，∠A=90°，AD=4,AE-2, △AEH∽△DEF, .在R△ADE中， 能-即ADDEDE HADFA DE=/AD+AE=√4+2=25. DE DF ,DA1+A1E≥DE, 即2DE-e DE DA≥DE-AE=25-2, 即2a·DF=2DE·DF-a·DE. ∴D41的最小值为25一2.放③正确。 将a=2+22 5+2② ·DF,代人可得+42 ·DF=2DE· 如图2， 5+2√② DF-2+2@ ·DF·DE 5+2√2 4+4 ·DF=-8+22 ·DE, 5+2W2 5+2√2 -+ 图2 4+② 71 DA达到最小值时，点A在线段DE上， 放答案为，2+32 由折叠可得∠NAE=∠A=90, ∴.∠DA1N=90°. 类型四与正方形有关的折叠 .∠DAN=∠A, 回(3,10)解析：设正方形ABCD的边长为a,CD与y :∠ADN=∠ADE. 轴相交于点G. '.△ADNC△ADE 品器 :25-2-DN 425 .DN=5-5 则四边形AOD是矩形， .MN=AD-DN-AM=4-(5-5)-1=5-2.故 ∴.(O;=AD=a.DG=AO.∠EGF=90°， ④①错误. 由折叠的性质得， 在△A:DE中.DE=25.A:E=AE=2, BF=BC-4.CE=FE, '.A,D随着∠DEA:的增大面增大， :点A的坐标为(-2,0)·点F的坐标为(0,6) '∠DEA,=∠NEA,-∠NED=∠NEA-∠NED= ,∴.AO=2,F0=6. ∠NEA-(∠AED-∠NEA)=2∠NEA-∠AED. ∴.BO=AB-AO=a-2, .当∠NEA最大时，∠DEA:有最大值.AG有最大值， 在Rt△BOF中，BO了十FO=BF, 此时，点N与点D重合 .(a-2)2+6=a2. 过点A,作AG⊥AD于点G,作AP⊥AB于点P,如 解得a=10, 图3. FG=OG-OF=4.GE=CD-DG-CE=8-CE 在Rt△EGF中，GE十FG=EF, .(8-CE)2+4=CE, G 解得CE-5, .GE=3, .点E的坐标为(3,10) 故容案为：(3,10). 图3 国C解析：：正方形纸片ABCD的边长为4cdm, ∠A=90. AE=BE, .四边形AGA,P是矩形， ∴.A,G=AP=AE+EP, ∴AE=BE=2AB=2dm, 当A:D取得最大值时，∠AEN=∠A,EN也是最大值， 由折叠的性质可知，AE=AE=2dm, :∠A:EP=180-∠AEN-∠AEN=180°- 020中考专题考点全频累积数学 2∠AEN. .∠AEP有最小值. HK=专HG .在R△A1EP中，EP=A:E·co%∠AEP有最大值 .HK-KG. 即A,G=AP=AE+EP有最大值， 由题意得MN⊥HG.面NG=NK, ·点A,到直线AD的距离最大.故②正确 .PK-PG. 综上所述，正确的结论共有3个， aPH-是HG=35 但(1)90-(235解析：(1)连接C(C,如图1 故答案为：35， 由题意得∠CNM=∠4，MN⊥CC, 0 微专题6特殊四边形的动点问题 94 类型一动点函数 ①A解析：过点E作EH⊥AC于点H,如图。 MB 图1 ,∠ABC=90°，AB=4,BC=2, MN⊥EF,.CC∥FE, ∴.AC-AB+BC-2. .∠1=∠2. :BD是边AC上的高. :四边形ABCD是正方形， ∴.∠B=∠BCD=90. ∴AB·BC=AC·BD, ,∠3十∠4=∠3+∠2=90°，∠1十∠BEF=90°， .∠2=∠4，∠1=90°-a, BD=45 51 ∴.∠4=90°-a. :∠BAC=∠CAB,∠ABC=∠ADB=90°， .∠C'NM=90°-a, .△ABC△ADB, 故答案为：90°一a, (2)记HG与VNC交于点K,如图2. 温福 G 解得AD8⑤ 6 ÷DC-AC-AD-25-85_25 5 :∠AHE-∠ADB=90,∠A=∠A, .△AEH∽△ABD, 6 B'M 指带E=停 图2 '∠BDF+∠BDE=∠BDE+∠EDA=9O',∠CBD+ :四边形ABCD是正方形，四边形EFGH是正方形， ∠DBA=∠DBA+∠A=90', .∠A=∠B=∠C=∠D=90',HE=FE,∠HEF .∠DBC=∠A.∠BDF=∠EDA =90°， .△AEDX△BFD, ∴.∠5+∠6=∠7+∠6=90°. 8V5 ∴∠5=∠7. ∴.△AEH≌△BFE(AAS), D 同理可证：△AEH≌△BFE≌△DHG≌△CGF, ∴，AE=CG=DH=4,DG=BE=8. “S2Am=4S2mB, 在Rt△HDG中， y=Sam-S△w-(S△m-Samw) 由勾股定理得HG=√D开+DG=4√5， =2AB·BC-HE·AD-DC·DB+SA 由题意得∠NCB'=∠NCB=90,∠8=∠9，∠D ∠GDH-90°，NC=NC,GD=GD'=8. 52 5 5 ,NC∥GD, ∠NKG=∠9. .∠8=∠NKG, -g<00<<4 ,∴，NG=NK, .NC-NG=NC-NK. y关于x的函数图象为下降的线段（不含端点），观察 即KC=GC=4 各选项图象可知，A符合题意。 ,NC∥GD, 故选A. ∴.△HCK∽△HDG, 已D解析：由题意知，当动点P沿BC匀速运动到点C 器 时，DP2=7, 作DE⊥BC于点E,如图1，