微专题4 半角模型-【全频累积】2024年中考数学考点全频累积高效训练典册（山东专用）

⊙@回 参考答案及解题思路011 又.AB=AC,∠AOB=∠CDA=90°. .△OAB≌△DCA(AAS), 解得 ∴.CD=OA=4,AD=OB=3,则OD=4十3=7， .C(7,4). c=一4 (3)解：①由(2)可知，PD=7一x, “抛物线的表达式为y=令十x一4 在R△POB中，PBOP十OB=x2+9. (2)解：过P点作x轴的垂线交AC于点Q.设直线AC 在R△CPD中，PC=PD+CD=(7-r)+16=x2 的解析式为y=kx+b,将点A(一4,0)，C(0,4)代 -14.x十65. 入，得 ②存在这样的点P延长CB交r轴于点P,此时|PC 1一4+6=0. PB引的值最大. b=-4 1b=-4. B x y=一r-4 p A D 设直线BC的解析式为y=kr+b,将BC两点的坐标代 设P(2r+-4小 人，得63， b=3, 则Q(1,一1一4)， 解得。上 17k十b=4, =方· ∴PQ=-1-4-2-1+4=- 2 2-2. 所以直线BC的解析式为y=号x+3. a5-×4x(-2）--4 令y=0,得x=21.点P的坐标为（一21.0）. -(1+2)2+4, (二)一定直线，异侧两定点（差最大） 当=一2时，S有最大值， 回解析：)解：把A(一13)代人为一兴(m0).解得 P(-2,-4). B(2,0),点B关于对称轴x=一1的对称点为 =一3， 4(-4,0)· 六反比例函数的解析式为为=一三 ∴易求得直线PA的解析式为y=一2r一8，直线PA与 对称轴的交点即为所求点M,此时|MP一MB|的值 把点B(@.-1)代人=-3，解得a=3. 最大， .B(3,-1). 令x=-1,得y=-6,.M-1.-6), 把A(-1,3),B(3,-1)代人y=x+b得 MP=5,MA=35. !3张+6=一1.解得/-1， (-k+b=3. MP-MB=MP-MA=25. 1b=2, 一次函数的解析式为y=一x十2. 微专题4半角模型 (2)解：如图，在x轴上找一点P,由三角形三边关系可 类型一正方形含45 知PA一PC≤AC,放当A.C,P三点共钱时，PA一PC的 ①-2+22解析：：正方形ABCD的边长为1， 值最大，为AC的长， .AD=AB=BC=CD=1,∠BAD=∠ABC=∠C=∠D ”一次函数的解析式为y=一x十2，令y=0,得x=2, :一次函数图象与x轴的交点为P(2,0).P即为所求 =90, 令x=0,得y=2, .C(0,2), 过点A作AD⊥y轴于D,如图所示 将△ADN顺时针旋转90得到△ABP, 则△ADN2△ABP. ∴.∠DAN=∠BAP,∠D=∠ABP=0,AN=AP, 在Rt△ADC中，由勾股定理可得AC=√(3一2)+1丽 DN=BP. =2, 点P,B,M,C共线. ,PA一PC的最大值为√2 .∠MAV=45°， 解析：(1)解：将点A(一4,0)点B(2,0),点 '.∠MAP=∠MAB+∠BAP=∠MAB+∠DAN=90 C(0,-4)代人y=a.r2+x+c, -∠MAN=45°=∠MAN. :AP=AN.∠MAP=∠MAN,AM=AM, 得16u-4h+c=0, .△MAP≌△MAN(SAS) 4a+2h+c=0, .MP=MN. 012中考专题考点全频累积数学 ..MN=MP=BM+BP=BM+DN. ∴.∠CAF+∠CAD=∠DAE+∠EAF=45°十45=90 设CN=a,CM=b.则DN=1-a.BM=1-b. :∠BAD+∠CAD=∠BAC=90, ..MN=BM+DN=2-a-b. .∠CAF=∠BAD ∠C=90°， AC=AB. ..CN+CM=MN a+=(2-a-6). 在△ACF和△ABD中，∠CAF=∠BAD, 整理得(2-a)(2-b)-2. (AF=AD, ∴.MN=2-a-b .△ACF≌△ABD(SAS), =-2+(2-a)+(2-b) ∴.CF=BD=3.∠ACF=∠ABD=45,SLMs=S△· =-2+(√2-a)°+(2-b) ,∠ECF=∠ACB+∠ACF=90°，即△CEF是直角三 =-2+(√2-a)'-22-a·2-b+(√2-b)+ 角形， 22-a·√2-6 5am-cECF-×1x3=6 =-2+(V2-a-√2-6)+2√(2-a)(2-b) .San十SAw=SAy十SAr=Sr十Sam=I5+ ≥-2+2√/(2-a)(2-b) 6=21, =-2+22, 即△ABD与△AEC的面积之和为21. 当且仅当√2-a=√2-b.即2-a=2-b=2,也即a= 故选B 6=2-2时，MN取最小值一2+22 ④解析：(1)解：由题意可得a=2,b=2, .0A=2.0B=2. 故答案为：一2+2√2. ☑2T0解析：延长BA到点G,使AG=CF,连接 Sm=010B=号X2X2=2. DG.EF. (2)解：CD=BD+AC 证明：过点O作OE⊥OD交BC的延长线于点E,如图1 'AD=CD,∠DAG=∠DCF, 图1 ,△ADG≌△CDF(SAS), :∠BOD+∠DOA=90°，∠AOE+∠DOA=90, .∠CDF=∠ADG,DG=DF. .∠BOD=∠AOE. ∠EDF=45°， .∠EDG=∠ADE+∠ADG=∠ADE+∠CDF=45 '∠OBA=∠OAB=45, =∠EDF. .∠OAE=∠OBD=135. 在△OBD和△OAE中， DE=DE.DG=DF. ∠BOD=∠AOE. ∴.△GDE2△FDE(SAS), OB=OA. .GE=EF. ∠OBD=∠OAE. :F是BC的中点， .△OBD2△OAE(ASA), .AG=CF=BF=3. ∴.OD=OE,BD=AE, 设AE=r,则BE=6一x,EF=x十3， .BD十AC=AC+AE=CE 在Rt△EBF中，由勾股定理得，(6一x)2十3=(r十3)2， 在△DC和△EOC中. 解得x=2, OD-OE. AE=2, ∠DOC=∠EOC=45", .DE=√AD+AE=√6+2=2√I0, OC=OC. 故容案为：2√10. .△D≌△EOC(SAS) 类型二直角三角形含45 .CD=CE=BD十AC 3B解析：如图，将△MDE关于AE对称得到△AFE,连 (3)解：：∠OAB=45,∠EFK=∠OAB. 接CF, .∠EFK=45. ①当点E在点A右侧时，点K不在y轴正半轴上，不合 题意： ②当点E在点A上时，K与O重合，不合题意： B D ③当点E在点A,O之间时，过点F作FMLFE交y轴 则AF=AD,∠EAF=45°，SFE=SAe=15, 于点M,连接FB,FA,如图2. 参考答案及解题思路013】 y 图2 四边形ABCD内接于⊙O, ∴.∠ABC+∠ADC=180°， F(2,2),4(2,0),B(0,2), ,∠ABH+∠ABC=180°， .OA=OB,AF⊥x轴，BF⊥y轴 :∠FBO=∠FAO=90, .∠ABH=∠ADF. 又，∠AOB=90, 在△ABH和△ADF中， AB-AD. ,四边形AOBF是矩形 OA=OB. :∠ABH=∠ADF, BH-DF. .矩形AOBF是正方形， ,.AF=BF,∠AFB=90°. ,.△ABH≌△ADF(SAS). .∠EFA=90-∠BFE, ∴.AH=AF,∠BAH=∠DAF FM⊥FE, :∠BAD+∠BCD=180°，∠BCD=120, .∠EFM=90, .∠BAD=180°-∠BCD=60. .∠MFB=90°-∠BFE :∠EAF=30°， .∠MFB=∠EFA. .∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=30°， 在△MFB与△EFA中， ,∴.∠EAH=∠BAE+∠BAH=30 ∠MFB=∠EFA. 在△AHE和△AFE中， BF=AF, AH-AF, ∠MBF-∠EAF, :∠EAH=∠EAF ∴，△MFB2△EFA(ASA). AE-=AE. ∴，MB=EA,MF=EF ∴.△AHE≌△AFE(SAS) :∠KFE=45, ..HE-EF-3. ,.∠KFM=90-45=45° .BE=HE-BH=3-1=2, 在△KFM和△KFE中， 故选B MF=EF, 日①②④解析：如图1，过点A作A1LBC,垂足为1， ∠KFM=∠KFE :△ABC是边长为1的等边三角形， KFKF. ∴.△KFM≌△KFE(SAS), ∠BAC=∠ABC=∠C=60,CI=2BC=z ..KE=KM-=BK+MB-BK+EA. 即KE=BK+EA: A=acCT-P-(合)-， ④当点E在点O上时，BK=0,KE=EA=2, 也满足KE=BK十EA: BCA1=×1×号-，放①正确： D当点E在点O左侧时，如图3，同理可证△BFM≌ △AFE(ASA). 图1 如图2，当点D与点C重合时， ,∠DBE=30°，△ABC是等边三角形， 图3 .∠DBE=∠ABE=30°， ..EA=MB. 同理可证△KFM≌△KFE(SAS), .DE-AE-TAD- ..KE-MK-BM-BK, ,GE∥BD, ..EA=BK+KE. 综上所述：KE=BK十EA或EA=BK十KE %器 类型三等边三角形含30° B解析，延长CB到点H,使BH=DF=1,连接AH,如 .G-AB- 多 'GF∥BD,BG∥DF. .四边形BDFG为平行四边形， HF=BG=之，故四正确： 014中考专题考点全频累积数学 =60°， .∠DAG+∠DAF=∠EAF=60 ∴.∠GAF=∠EAF=60 又AF=AF, .△AGF≌△AEF(SAS), (HD(C) .FG=EF. 图2 ③如图3，将△CBD绕点B逆时针旋转60，得到 FG-DF+DG. △ABN,连接NE,过点N作NP⊥AC,交CA的延长线 .EF=BE+FD. 于P, 故答案为：EF=BE十FD. (2)解：(1)中的结论EF■BE十FD仍然成立. 证明：如图2，延长CB至M,使BM=DF,连接AM, 4 图3 M B 上 ∴BD=BN,CD=AN,∠BAN=∠C=6o, 图2 ∠CBD=∠ABN, ∠ABC+∠D=180°，∠1+∠ABC=180°， :∠DBE-30', ∠1=∠D. .∠CBD+∠ABE=30°=∠ABE+∠ABN=∠EBN, 在△ABM与△ADF中， ∴∠EBN=∠DBE=30 AB=AD. 又，BD=BN,BE=BE ∠1=∠D. .△DBE≌△NBE(SAS), BM=DF. .DE=NE. .△ABM≌△ADF(SAS) :∠NAP=180°-∠BAC-∠NAB=60, ∴.AM=AF,∠2=∠3， AP-TAN.NP-BAP-AN-CD. “∠EAF=号∠BAD. NP+PE=NE, “∠2+∠A-∠BAD-∠EAME ·CD+(AE+2CD)=DE. .∠3+∠4=∠EAF.即∠MAE=∠EAF ∴AE+CD+AE·CD=DE,故③错误， 在△AME与△AFE中， 如图1，当AE=CD时 AM=AF. GE∥BC. ∠MAE=∠EAF. .∠AGE=∠ABC=60,∠GEA=∠C=60°， AE-AE. .∠AGE=∠AEG=0°， .△AME≌△AFE(SAS), AG=AE ∴，EF=ME,即EF=BE+BM 同理CH=CD .EF=BE+DF. .AG-CH. (3)解：结论：EF=BE一FD 又：AB=BC,.AB-AG=BC-CH,.BC=BH 证明：如图3，在BE上截取BG,使BG=DF,连接AG, BG∥FH,GF∥BH, ,.四边形BHFG是平行四边形， .BG=BH. .四边形BHFG为菱形，故④正确. 故答案为：①②①. 类型四120的等楼三角形含60 ☑解析：(I)解：EF=BE+FD. 延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,如图1. 图3 G ,∠B+∠ADC=180°，∠ADF+∠ADC=180°， .∠B=∠ADF 在△ABG与△ADF中， AB-AD. ∠ABG=∠ADF, BG=DF. 图1 △ABG≌△ADF(SAS). :∠ABE=∠ADG=∠ADC=90,AB=AD, .∠BAG=∠DAF,AG=AF, ·△ABE≌△ADG(SAS). .∠BAG十∠EAD=∠DAF+∠EAD=∠EAF= .AE=AG,∠BAE=∠DAG, ∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=120°-60 ∠BAD. ⊙@回 参考答案及解题思路 015 .∠GAE=∠EAF 则∠ABC=180°-∠BCD=60° .AE=AE,∴.△AEG2△AEF(SAS), ,E为边CD的中点， EG=EF. :EG=BE-BG. DE-CE-CD=4. ∴EF=BE-FD :△DEF沿EF翻折得△DEF, 类型五150的等授三角形含75 ED'=DE=4. 8解析：(D解：猜想：AE+CF=EF, ∴，点D在以E为圆心，4为半径的圆上运动，如图，过点 证明：在BC的延长线上截取CA'一AE,连接A'D,如 E作EM⊥AB交AB的延长线于点M,交圆E于点D', 图1， 此时D广到边AB的距离最短，最小值为DM的长，即 △ABD的面积最小 图】 过点C作CN⊥AB于点N, ∠DAB=∠BCD=9o°. ,AB∥CD,.EM=CN ∴.∠DAB=∠DCA'=90 在R△BCN中，BC=10,∠CBN=60, 又'AD=CD,AE=A'C, .△DAE2△DCA'(SAS), ∴CN=BC·in60=10x5=55, 2 .ED=A'D,∠ADE=∠A'DC ∴.DM=ME-ED=5V3-4, ∠ADC=120, .∠EDA'=120 △ABD面积的最小值为号×8×(5原-4)-20,5 ∠EDF=60, -16, .∠EDF=∠A'DF=60 故答案为：203一16. 又DF=DF, ∴，△EDF≌△A'DF(SAS), ☑号或号解析：当点C在AB上时，如图1 则EF=A'F=FC+CA'=FC十AE (2)AE+CF=EF. 证明：如图2，在BC的延长线上截取CA'=AE,连接 A'D. 图1 根据AC:AB:BC=1:3:7,不妨设AC=1,AB=3, BC=7, 由翻折的性质知∠FCD=∠FCD'. 'CD沿直线1翻折至AB所在直线， 图2 .∠BC'F+∠FCD'=∠FCD+∠FBA=180° ,∠DAB与∠BCD互补，∠BCD十∠DCA'=180°， .∠BCF=∠FBA, .∠DAB=∠DCA' 7 义"'AD=CD,AE=CA', :CF-BF-CF- ∴.△DAE≌△DCA'(SAS). 过点F作AB的垂线交AB于点E, ED=A'D,∠ADE=∠A'DC ∠ADC=2a BE=号BC=1 ∴∠EDA'=2a. ∠AC---号 :∠EDF=a, ∴∠EDF=∠A'DF=a. 当点C在BA的延长线上时，如图2 又DF=DF, .△EDF≌△A'DF(SAS)· b. EF-A'F-FC+CA'-FC+AE. 微专题5特殊四边形的折叠问题 类型一与平行四边形有关的折叠 1203-16解析：：在□ABCD中，∠BCD=20, 图2 AB=8, 根据AC:AB:BC=1:3:7,不妨设AC=1,AB=3, .CD=AB=8,AB∥CD. BC=7,微专题 013 微专题4 半角模型 类型一 正方形含45* 正半轴上取一点K,连接EK,FK,FE,使 1(2024·四川宜宾)如图,正方形ABCD的 EFK= OAB,试探究线段BK,KE. 边长为1,M、N是边BC、CD上的动点,若 EA之间的数量关系,并给出证明 MAN=45*,则 MN 的 最小值 为 图1 图2 2(2024·广西南宁校级开学考)如图,正方 形ABCD的边长为6,点E,F分别在边 AB,BC上,若F是BC的中点,且 EDF 45*,则DE的长为 类型二 直角三角形含45* 3如图,在Rt△ABC中,AB=AC,ABC= ACB-45^{*},D、E是斜边BC上两点,且 DAE-45^{*},若BD-3,CE=4,S△A= 15,则△ABD与△AEC的面积之和为 _ 类型三 等边三角形含30。 5(2024·湖南湘潭岳塘联考)如图,四边形 ABCD内接于O,AB=AD. BCD 120{*},E、F分别为BC、CD上一点,EAF= A.36 C.30 B.21 D.22 30{},EF=3,DF-1.则BE的长为( ) 4(2024·福建福州16中期中)如图,点 A(a,0),B(0,b),若点F(a,b)关于y轴的 对称点的坐标为(一2,2). (1)求△AOB的面积. C.3 (2)如图1,点C在线段AB上(不与A、B A.1 B.2 D.4 重合)移动,AB BD,目 COD三45^{*,试 (2024·山东河泽牡丹期末)如图,△ABC 探究线段AC、BD、CD之间的数量关系. 是边长为1的等边三角形,D,E为线段 并给出证明. AC上两动点,且 DBE=30{*,过点D,E (3)如图2,点E是x轴上一动点,在y轴 分别作AB,BC的平行线相交于点F,分别 014 审考专题点全频累积 数学 ②② 交BC,AB于点H,G. 现有以下结论 怎样的数量关系,并证明 CD时,四边形BHFG为菱形.则其中正确 的结论的序号是 类型五 150{的等腰三角形含75* 8如图1,四边形ABCD为正方形,点E,F 分别在AB与BC上,且EDF=45^*,易 类型四 120{的等腰三角形含60* 证,AE+CF=EF(不用证明). 7(2024·陕西西安三中期末)问题背景:“半 (1)如图2,在四边形ABCD中,ADC 角模型”问题,如图1,在四边形ABCD中, $$$ 0{* ,DA=$DC$ $DAB-$ B$CD-90*$,点$$ $A $B$=AD. $$BAD=$ 0^{$,$B$=$ $AD$C= E,F分别在AB与BC上,具EDF 90{},点E,F分别是BC,CD上的点,且 60{*}.猜想AE,CF与EF之间的数量关系, EAF=60{*,连接EF,探究线段BE,EF, 并证明你的猜想 DF之间的数量关系。 (2)如图3,在四边形ABCD中,ADC 2q.DA=DC,DAB与 BCD互补,点 E,F分别在AB与BC上,且 EDF=a, 请直接写出AE,CF与EF之间的数量关 n 系,不用证明. 图1 图2 图3 (1)探究发现:小明同学的方法是延长FD ##70#4# 到点G,使DG=BE. 连接AG,先证明 △ABE△ADG,再证明△AEF D 图1 图2 △AGF,从而得出结论: 图3 (2)拓展延伸:如图2,在四边形ABCD中, AB=AD, B十 D=180{*,E,F分别是 请问(1)中的结论是否仍然成立?若成立; 请写出证明过程,若不成立,请说明理由 (3)尝试应用,如图3,在四边形ABCD中 AB-AD, B+ ADC=180*,E,F分别 是边BC,CD延长线上的点,且EAF BAD,请探究线段BE,EF,DF具有