微专题3 与线段有关的最值问题-【全频累积】2024年中考数学考点全频累积高效训练典册（山东专用）

微专题009 微专题3与线段有关的最值问题 类型一与一条线段有关的最值（线段最短）】 AC=3,BD=2,则AD十BC的最小值 1(2024·山东德州庆云二模)如图，在平行 是 四边形ABCD中，AD=6,BD=8,AD⊥ DB,点M、N分别是边AB、BC上的动点 (不与A、B、C重合)，点E、F分别为DN、 MN的中点，连接EF,则EF的最小值为 () (二)一定直线，同侧两定点（和最小） 互(2024·山东济宁泗水一模)如图，正方形 ABCD的边长为4，点M在DC上，且DM= A.2.4B.3 C.4 D.4.8 1,N是AC上一动点，则DN+MN的最小 2(2024·江苏宿迁)如图，在平面直角坐标 值为 () 系中，点A在直线y=子：上，且点A的横 坐标为4，直角三角尺的直角顶点C落在 x轴上，一条直角边经过点A,另一条直角 边与直线OA交于点B,当点C在x轴上 A.4 B.42C.25 D.5 移动时，线段AB的最小值为 6(2024·四川成都)如图，在平面直角坐标 系xOy中，已知A(3,0),B(0,2),过点B 作y轴的垂线1，P为直线！上一动点，连 接PO,PA,则PO+PA的最小值 类型二与两条线段和有关的最值 为 (一）一定直线，异侧两定点（和最小）】 3(2024·吉林长春九台一模)如图，A,B两 点的坐标分别为A(4,3),B(0,一3)，在 x轴上找一点P,使线段PA十PB的值最 小，则点P的坐标是 (三)一定点，两定直线（和最小）】 7(2024·山东日照五莲期末)如图，已知 2 ∠AOB=120°，点D是∠AOB的平分线上 1 P 的一个定点，点E,F分别在射线OA和射 -3-2-10不234 线OB上，且∠EDF=60°.下列结论： -2/ -3B ①△DEF是等边三角形：②四边形DEOF 4(2024·山东淄博周村一模)如图，线段AC 的面积是一个定值：③当DE⊥OA时， 与BD相交于点E,保持∠BEC=60°，已知 △DEF的周长最小：④当DE∥OB时， 010中考专题考点全频累积数学 DF也平行于OA.其中正确的个数是 (3)已知F(一2,1)是该抛物线上的一点， 点G,H分别为x轴，y轴上的点，且使得 四边形DFGH的周长最小，求四边形 DFGH周长的最小值及点G,H的坐标. A.1 B.2 C.3 D.4 8(2024·黑龙江绥化)如图，已知∠AOB= 50°，点P为∠AOB内部一点，点M为射 线OA、点N为射线OB上的两个动点，当 △PMN的周长最小时，∠MPN (五)两定点，一定直线，一线段 国(2024·吉林二实验考前押题)如图，在矩 形ABCD中，AB=4,BC=7,E为CD的 中点，若P,Q为BC边上的两个动点，且 PQ=2,若想使得四边形APQE的周长最 (四)两定点，两定直线相交（和最小） 小，则BP的长度应为 9(2024·甘肃陇南武都三模)如图，AC是边 长为2的正方形ABCD的对角线，P为 BC边上一动点，E,F分别为AB,AC的中 B 点.当PE+PF的值最小时，CP的值 12(2024·山东济宁泗水一模)如图，在矩形 为 纸片ABCD中，AB=4,AD=12,将矩形 纸片折叠，使点C落在AD边上的点M 处，折痕为PE,此时PD=3. (1)求MP的值： 四(2024·甘肃武威模拟)如图，抛物线y= (2)在AB边上有一个动点F,且不与点 a.x2+bx十3与x轴交于点A,B(1,0),与 A,B重合.当AF等于多少时，△MEF的 y轴交于点C,D为抛物线的顶点，抛物线 周长最小？ 的对称轴为直线x=一1. (3)若点G,Q是AB边上的两个动点，且 (1)求抛物线y=a.x2十b.x+3的表达式： 不与点A,B重合，GQ=2.当四边形 (2)若E是抛物线对称轴上一动点，Q是 MEQG的周长最小时，求最小周长值.（计 平面内任意一点，当四边形AECQ是菱形 算结果保留根号)》 时，求点E的坐标： 0@回 微专题011们 (六)“费马点” 图中所示的是一个正方形的厂区， 图(2024·福建厦门校级模拟)根据以下思 其中顶点A,B,C,D分别为办公 考，探索完成任务。 区、生产区、物流区和生活区，正方 费马点的思考 形边长为2km,准备在厂区内修建 素 一研发区E,且从研发区E修建三 17世纪，有着“业余数学家之王”美 材 条直线型道路直通办公区A,生产 誉的法国律师皮耶·德·费马提出 区B和物流区C,修路的成本为 问 一个问题：求作三角形内的一个点， 200元/米. 题 使它到三角形三个顶点的距离之和 背 最小，后来这个点被称为“费马点” 景 请你根据素材1所给解 任 决思路，证明所求线段 感悟证明 务 转化的正确性.证明： 解决这种问题的经典方法就是利用 定理 PA+PB+PC=BP+ 旋转变换，将三条线段PA,PB,PC 进行转化： PP'+P'C'. 在素材2中，请问研发 如图，把△APC绕点A逆时针旋转 任 区E建在哪片区域比 60得到△AP'C',连接PP',这样就 初步探索 务 较合适？ ( ) 把确定PA+PB+PC的最小值问 位置 A.△ABC内的区域 题转化成确定BP十PP'+P'C'的 B.△ACD内的区域 素 最小值问题了.当B,P,P,C四点 为了节约建设成本，问 材 共线时，线段BC的长为所求的最 任 该研发区E应该修建 1 小值，容易证明∠APB=∠BPC= 拟定恰当 务 在厂区的什么地方，才 ∠CPA=120°，此时点P为△ABC 方案 三 能使得花费最少，最少 的“费马点” 费用为多少？ 类型三 两线段差最值 (一)一定直线，同侧两定点（差最大） 国(2024·宁夏中卫模拟)如图，每一个小正 方形的边长为m. 012中考专题考点全频累积数学 (1)画出格点△ABC关于直线DE对称的 (1)求该反比例函数和一次函数的解 △A'B'C: 析式： (2)在DE上画出点Q,使|QA一QB引的值 (2)在x轴上找一点P,使PA一PC最大， 最大 求PA一PC的最大值及点P的坐标， ⑤(2024·湖南岳阳君山一模)如图，已知直 线y=一子x十3与x轴y轴分别交于点 ⑦(2024·山东东营校级一模)如图①，抛物 A、B,以线段AB为直角边在第一象限内 线y=a.x2+bx十c(a≠0)经过点A(一4.0)， 作等腰Rt△ABC,∠BAC=90°. 点B(2,0)和点C(0,一4)，它的对称轴为直 (1)求△AOB的面积： 线I,顶点为D (2)求点C坐标： (3)若点P是x轴上的一个动点， 设P(x,0). ①请用x的代数式表示PB,PC: ②是否存在这样的点P,使得|PC一PB D D 图① 2 备用图 的值最大？如果不存在，请说明理由：如 (1)求该抛物线的表达式； 果存在，请求出点P的坐标. (2)如图②，点P是直线AC下方该抛物 线上的一个动点，连接AP、CP、AC,当 △APC的面积取得最大值时，在抛物线的 对称轴I上找一点M,使MP-MB的值 最大，求点M的坐标，并求出这个最大值 (二)一定直线，异侧两定点（差最大） ⑥(2024·河南三模)如图所示，在平面直角 坐标系中，一次函数y1=kx+b(k≠0)的 图象与反比例函数业=(m≠0)的图象 相交于第二、四象限内的A(一1,3)， B(a,一1)两点，与y轴交于点C.⊙@回 参考答案及解题思路 007 >号 设DC'=EC=m,则OC'=OD-DC'=4-m, (3)解：若AB与y轴相交于点C, a∠AoD-臣-部-是， 当x=0时=一号×0+1=1 .C(0,1),即OC=1. 解得m一号 ∴Sam=Saw+5e=2OC(n-)=号X1X 经检验m=是是方程的解。 (侵+)只 :∠ACD+∠DCB'=90°，∠DAC'+∠ACD=90'. ∠DCB'=∠DAC, '∠C'DB'=∠ADC-9o°. .△C'DB'n△ADC, 肥% .D-2 · 微专题3与线段有关的最值问题 3 类型一与一条线段有关的最值（线段最短》 解得BD= T. ①A解析：连接DM, 六AB=A=3+是-号 4 故答案为：卓 类型二与两条线段和有关的最值 :点E、F分别为DN,MN的中点， (一)一定直线，异侧两定点（和最小》 :EF-7 DM. 3(2,0)解析：连接AB, 设直线AB的解析式为y=,x十b, 当DM⊥AB时，DM最小，则EF最小， 把点A(4.3),点B(0,-3)代人y=kx+b, ,AD=6,BD=8,AD⊥DB, ∴.AB=AD+BD=10. 16=-3. 设△ABD中AB边上的高为h, (b=-3. 则5am=号AD:BD=之AB·A: ∴直线AB的解析式为y一号一3 7×6×8=×10 当y-0时，0-名-3 .h=4.8, 解得x=2,.P(2.0) .DM的最小值为4,8， 故答案为：(2,0). 则EF的最小值为号×4.8=2.4 ④T解析：过点B作BF∥AC,过点A作AF∥BC交BF 于点F,过点D作DH⊥BF于点H,连接DF,如图所示 故选A 日华解析：：点A在直线y一是：上，且点A的横坐标 为4， ∴点A的坐标为(4,3)： .0月=5. 当点C在x轴上移动时，作AB与AB'关于直线AC对 称，且AB交x轴于点D, BF∥AC,AF∥BC,AC=3, ∴.四边形ACBF为平行四边形， .AF=BC.BF=AC=3. 又'∠BEC=60°， ∴.∠DBH=∠BEC=60 0 在Rt△BDH中，∠BDH=90°-∠DBH=30°， 又BD=2,.BH=1, 由对称的性质可知，AB=AB, 当AB'⊥x轴于点D时，AB=AB=AD+BD最短，记 由勾股定理得DH=√BD一BH开=3， 此时点C所在位置为C, ∴HF=BF-BH=3-1=2. 由对称的性质可知，∠BAC=∠DAC, 在Rt△DHF中，由勾股定理得DF=√D+HF丽 作CE⊥AB于点E,有DC=EC, =7. 008中考专题考点全频累积数学 AF=BC, 点D是∠AOB的平分线上的一个定点 .AD+BC=AD十AF. .DMDN. 根据“两点之间线段最短”得AF十AD≥DF, .∠MDN=360°-∠DMO-∠MON-∠DNO=60 即AF+AD≥7， =∠EDF, ∴AF+AD的最小值为7， .∠MDN-∠EDN=∠EDF-∠EDN,即∠MDE =∠NDF, 即AD+BC的最小值是7， '∠MDE=∠NDF,DM=DN,∠DME=9O'=∠DNF, 故答案为7， .△MDE≌△NDF(ASA)· (二)一定直线，同侧两定点（和最小） :.DE-DF. 5D解析：连接BN,四边形ABCD是正方形， ,△DEF是等边三角形，①正确，故符合要求， 点B与D关于直线AC对称， :△MDE≌△NDF, ..DN=BN. .Sa边mF=S边卷I阳N十S△DNF=SwRN十S△E ,∴.DN+MN=BN+MN =S为达帮Mw, 连接BM交AC于点N' :点D是∠AOB的平分线上的一个定点， D .四边形DEOF的面积是一个定值，②正确，故符合 要求 .△DEF的周长为3DE, 当DE⊥OA时，DE最短，即等边△DEF的周长最小 B ③正确，故符合要求： ,.当B、N,M共线时，BN+MN有最小值，则BM的长 如图2，当DE∥OB时 即为DV+MN的最小值， 又CD=4,DM=1, ∴CM=CD-DM=4-1=3 在R△BCM中，BM=√CM+C=√3+F=5, 故DN+MN的最小值是5. 故选D. 65解析：取点A关于直线I的对称点A',连接A'O交直 线1于点C,连接AC, 则可知AP=A'P,A'A⊥I, ∠EDO=∠BOD=号∠AOB=60'=∠AOD. ∴.PO+PA=P)+PA'≥A'O. ,△EDO是等边三角形 即当O,P,A'三点共线时，PO十PA的最小值为A'O :△DEF是等边三角形， 的长， F与O重合，DF与OA交于点O,④错误，故不符合 :直线1垂直于y轴， 要求： ,A'A⊥x轴， 故选C A(3,0)B(0,2) ⑧80解析：作点P关于射线OA,OB的对称点P1,P.连 .A0=3.AA'=4, 接()P,OP.则当M,N是P:P与(DA,(OB的交点时， ∴.在R△A'AO中， △PMN的周长最短，连接PP,PP,OP, A'O=√0A+AAI=√3+4=5. ,PP关于射线OA对称， 故答案为：5 .∠POP=2∠MOP.OP=OP,PM=PM,∠OP,M =∠(OPM. 0 (三)一定点，两定直线（和最小） ☑C解析：如图1，连接OD,作DM⊥OA于点M.DN⊥ 同现，∠PODP=2∠NOP,OP=DP,∠OP:N=∠OPN, OB于点N, .∠POP:=∠P,OP+∠POP■2（∠MOP+∠NOP) =2∠AOB=100°，OP,=OP=OP, .△POP是等腰三角形. .∠OP2N=∠OPM=40°. .∠MPN=∠MPO+∠NPO=∠OPM+∠OPN NF B =80°. 图1 故容案为：80， 参考答案及解题思路09 (四)两定点，两定直线相交（和最小） 日号解析：如图，作点E关于直线BC的对称点Q,连接 FQ,交BC于点P,此时PE+PF最小 3· D 直线DF'的表达式为y=号+ 令y-0.则子+营-0： 解得一一多 Q c(号吵 :E,F分别为AB,AC的中点，BC=2 ∴EF∥BC,EF=2BC-=. 令=0，则y=号 :B为EQ的中点，BP∥EF. Ho,号) ,BP为△EFQ的中位线， (五)两定点，一定直线，一线段 BD-EF= 国智解析，：因边形APOE的周长中AE和PQ是 Cp-C-BD-2-号-多 定值， ∴.要使四边形APQE的周长最小，只要AP十QE最小即 故答案为号 可 在AD上截取AF■PQ=2,作点F关于BC的对称点 四解析：(1)解：由避意得 G,连接GE与BC交于点Q,过点A作AP∥FQ,过G作 r=-1=一2a',解得/0=-1， GH∥BC交DC的延长线于点H, D a十b+十3=0， 16=-2, 地物线的表达式为y=一x2一2x+3. E (2)解：令一x2-2x+3=0,解得x1=一3或x:=1, .A(-3,0). 在y=-x2-2x+3中，令x=0,得y=3..C(0.3). G H 设点E(一1，m), .GQ=FQ=AP,此时AP+QE=GQ+QE=GE最小， 当四边形AECQ是菱形时，则AE=CE: 易证得△EQ△EGH, 即（一1+3）2+2=1+(m-3)2, AB=4,BC=7,PQ=2,E为CD的中点. 解得m=1, ∴.EC=2,CH=4,GH=5, 即点E(-1,1) .EH=6, (3)解：由(1)得抛物线解析式为y=一2一2r+3. 当x=-2时，y=3,F(-2,3). 鼎需 作点D关于y轴的对称点D'(1,4),作点F(一2,3)关于 x轴的对称点F'(一2，一3)，连接DF‘交x轴于点G,交 “号-品解得(Q号 y轴于点H,则此时四边形DFGH的周长最小， BP=1-g音-号 y 故答案为：号 但解析：(1)解：四边形ABCD为矩形。 .CD=AB=4,∠D=90°， :将矩形ABCD折叠，使点C落在AD边上的点M处， 折痕为PE, .PD=PH=3,CD=MH=4,∠H=∠D=90°， ∴.MP=√3+1F=5. 最小值为DF+DH+G+GH=DF+DH+FG+ (2)解：如图1，作点M关于AB的对称点M',连接ME GH=DF+D'F'. 交AB于点F,则点F即为所求，过点E作EV⊥AD,垂 :DF+DF=√-2+1)+(3-4)京+ 足为N, √/1+2+(4+3)=√58+2， AM=AD-MP-PD=12-5-3=4, ∴.四边形DFGH的周长的最小值为√58十√2。 .AM=AM'=4. 设直线DF'的表达式为y=r十m ∠CEP=∠MEP,而∠CEP=∠MPE, 把D1,0,F(-2.-3)代人，得+m4, ∴.∠MEP=∠MPE, 解 -2k十m=-3, .ME=MP=5,在Rt△ENM中，MN=/ME-EN四 010中考专题考点全频累积数学 =√/5-4=3. 为A'C的长， ∴.NM=3+4+4=11. 此时，点E在△ABC内部，且满足∠AEB=∠BEC AF∥NE, ∠CEA-120°， ∴，△AFM∽△NEM, 过点A作A'H⊥CB,交CB的延长线于点H 在R:△A'BH中，∠A'BH=30°， 解得AP=品 AH=号A=1,BH=5A7H=5. ∴CH=2+5. 即AF=5时，△MEF的周长最小 在R:△A'CH中，A'C=√AH+CF √/+(2+3)=√8+4=√(6+2)=6 +2, ∴，AE+BE+CE的最小值为√十√2，此时费用最少，为 图1 2 200(6+2)元. (3)解：如图2，由(2)知点M是点M关于AB的对称点， 在EN上戴取ER=2,连接MR交AB于点G,再过点 E作EQ∥RG,交AB于点Q, 'ER=GQ,ER∥GQ, ,四边形ERGQ是平行四边形 QE-GR. 类型三两线段差最值 GM=GM' (一)一定直线，同侧两定点（差最大） .MG+QE=GM+GR=MR,此时MG+EQ最小，即 国解析：(1)解：如图所示，△AB'C'即为所求 四边形MEQG的周长最小.为ME+GQ十MR. 0 在Rt△MRN中，NR=4-2=2,MR=11+2 55, .ME=5,GQ=2, .四边形MEQG的最小周长值是7+5√5。 (大)“费马点” 国解析：任务一：如图，由旋转得∠PAP=60,PA= P'A. E ,△APP'是等边三角形 .PP'=PA. (2)解：如图所示，延长AB交DE于点Q,点Q即为所求 PC=P'C'. 点. .PA+PB+PC=BP+PP'+P'C'. C 任务二：在素材2中，由题意得，要找一点E到A,B,C 三点距离之和最小， 5 解析：(1)解：由直线y= 3 研发区E建在△ABC内的区域比较合适， 1+3, 故选A. 令y=0,得OA=x=4, 任务三：如图，把△ABE绕点B逆时针旋转60°得到 令x=0,得0B=y=3, △A'BE,连接EE,A'C, ∴Sam=号X4X3=6. 则BE=BE,∠EBE=B0°， (2)解：过C点作CD⊥r轴，垂足为D, ,∴，△EBE为等边三角形， ..EE'=BE. '△ABE绕点B逆时针旋转60得到△A'BE', A'E'=AE.BA'=BA=2.ZABA'=60. A'E'+EE+EC≥A'C, AE+BE+CE≥A'C, :∠BAO+∠CAD=90',∠ACD+∠CAD=90°， 当且仅当E,E在A'C上时，AE+BE+CE的值最小。 ∴.∠BAO=∠ACD. ⊙@回 参考答案及解题思路011 又.AB=AC,∠AOB=∠CDA=90°. .△OAB≌△DCA(AAS), 解得 ∴.CD=OA=4,AD=OB=3,则OD=4十3=7， .C(7,4). c=一4 (3)解：①由(2)可知，PD=7一x, “抛物线的表达式为y=令十x一4 在R△POB中，PBOP十OB=x2+9. (2)解：过P点作x轴的垂线交AC于点Q.设直线AC 在R△CPD中，PC=PD+CD=(7-r)+16=x2 的解析式为y=kx+b,将点A(一4,0)，C(0,4)代 -14.x十65. 入，得 ②存在这样的点P延长CB交r轴于点P,此时|PC 1一4+6=0. PB引的值最大. b=-4 1b=-4. B x y=一r-4 p A D 设直线BC的解析式为y=kr+b,将BC两点的坐标代 设P(2r+-4小 人，得63， b=3, 则Q(1,一1一4)， 解得。上 17k十b=4, =方· ∴PQ=-1-4-2-1+4=- 2 2-2. 所以直线BC的解析式为y=号x+3. a5-×4x(-2）--4 令y=0,得x=21.点P的坐标为（一21.0）. -(1+2)2+4, (二)一定直线，异侧两定点（差最大） 当=一2时，S有最大值， 回解析：)解：把A(一13)代人为一兴(m0).解得 P(-2,-4). B(2,0),点B关于对称轴x=一1的对称点为 =一3， 4(-4,0)· 六反比例函数的解析式为为=一三 ∴易求得直线PA的解析式为y=一2r一8，直线PA与 对称轴的交点即为所求点M,此时|MP一MB|的值 把点B(@.-1)代人=-3，解得a=3. 最大， .B(3,-1). 令x=-1,得y=-6,.M-1.-6), 把A(-1,3),B(3,-1)代人y=x+b得 MP=5,MA=35. !3张+6=一1.解得/-1， (-k+b=3. MP-MB=MP-MA=25. 1b=2, 一次函数的解析式为y=一x十2. 微专题4半角模型 (2)解：如图，在x轴上找一点P,由三角形三边关系可 类型一正方形含45 知PA一PC≤AC,放当A.C,P三点共钱时，PA一PC的 ①-2+22解析：：正方形ABCD的边长为1， 值最大，为AC的长， .AD=AB=BC=CD=1,∠BAD=∠ABC=∠C=∠D ”一次函数的解析式为y=一x十2，令y=0,得x=2, :一次函数图象与x轴的交点为P(2,0).P即为所求 =90, 令x=0,得y=2, .C(0,2), 过点A作AD⊥y轴于D,如图所示 将△ADN顺时针旋转90得到△ABP, 则△ADN2△ABP. ∴.∠DAN=∠BAP,∠D=∠ABP=0,AN=AP, 在Rt△ADC中，由勾股定理可得AC=√(3一2)+1丽 DN=BP. =2, 点P,B,M,C共线. ,PA一PC的最大值为√2 .∠MAV=45°， 解析：(1)解：将点A(一4,0)点B(2,0),点 '.∠MAP=∠MAB+∠BAP=∠MAB+∠DAN=90 C(0,-4)代人y=a.r2+x+c, -∠MAN=45°=∠MAN. :AP=AN.∠MAP=∠MAN,AM=AM, 得16u-4h+c=0, .△MAP≌△MAN(SAS) 4a+2h+c=0, .MP=MN.