微专题1 规律探索-【全频累积】2024年中考数学考点全频累积高效训练典册（山东专用）

② 微专题 001 微专题 微专题1 规律探索 类型一 数字规律 类型二 数式规律 ④(2024·江西省)观察a,a^②},a③,a,...,根据 这些式子的变化规律,可得第100个式子 8.7.113...是按照一定规律有序排列 5 71113 为 _ ) 的,则“”里应填的数是 5(2024·四川眉山)已知a-x十1(x 0且 A. D#4### -1),a2=1-a B.3 C.3 1 ,a- 1-a2 2(2024·四川德阳)将一组数②,2,, 一,则ao2的值为 1-a.-1 22,10,2③,..,2n,.,按以下方式 (2024·山东聊城二模)代数推理 进行排列: $5$15-225-2$100+2 第一行 2 第二行 26 $$ 5 $25-625-6$t100+25$ 第三行 2v2 10 23 . 35$35-1225-12t100+2$ _ 则第八行左起第1个数是 ~ ...... A.72 B.8/2 试探究两位数a5(即个位数字是5,十位数 C.58 D.47 字是a的两位数)的平方的一般规律, 3(2024·山东滩坊)将连续的正整数排成如 a5?-(10a+5)?- 图所示的数表.记a。为数表中第i行第 7(2024·山东青岛一模)观察以下等式 列位置的数字,如a(1.2)=4,a(3.2)=8, 第1个等式.(+1)#(41)-# a(5.4)=22.若a(m.)-2 024,则m= 第2个等式:(1}+)×(9-1)-8, 第3个等式.(2+1)(16-1)2 第4个等式.(2+)×(25-1)-18.. 10→11→12→13 按照以上规律,解决下列问题: 26→27→28→29→ (1)写出第5个等式: (2)写出你猜想的第”个等式(用含n的等 002 中考专题考点全频累积 数学 式表示),并证明 (2024·山东泰安)下图是用图形“O”和 “”按一定规律摆成的“小屋子” #。 QC C #Q# #88□⊙ ooo QC ooo 。。。三 oooo ooo .... 。oe 。。 。。。。 。。 。 。 。 。oe 。o 。o 。 (3) (4) (5) 按照此规律继续摆下去,第 个 “小屋子”中图形“O”个数是图形“”个 类型三 图形累加 数的3倍. ③(2024·山东济宁)如图,用大小相等的小 类型四 图形成倍递变 正方形按照一定规律拼正方形,第一幅图 (2024·山东临沂模拟)如图,正方形 有1个正方形,第二幅图有5个正方形,第 ABCD的边长为1,以AC为边作第2个正 三幅图有14个正方形......按照此规律,第 方形ACEF,再以CF为边作第3个正方 ,_ 六幅图中正方形的个数为 ~ 形FCGH,......,按照这样的规律作下去; 第2024个正方形的边长为 .. ) □ 第一幅图 第二幅图 第三幅图 第四辐图 A.90 B.91 C.92 D.93 A.(2/2)2024 (2024·黑龙江牡丹江)下图是由一些同样 B.(2/2)2025 大小的三角形按照一定规律所组成的图 C.(V/2)2024 D.(v2)2025 形,第1个图有4个三角形,第2个图有7 个三角形,第3个图有10个三角形......按 3 照此规律排列下去,第674个图中三角形 _ 的个数是 。 三角形OA.B,点B 在第一象限内,过点 .._. B. 作x轴的平行线与直线/交于点A。,与 △△△ 第1个 第2个 第3个 y轴交于点C,以CA。为边作等边三角 A.2022 B.2023 形CA。B(点B。在点B 的上方),以同 C.2024 D.2025 样的方式依次作等边三角形CA。B。,等 微专题 003 边三角形CA.B......,则点A的横坐 1 标为 类型五 周期变化 T(2024·山东枣庄三模)已知a;为实数, 规定运算:a-1-1. 1,a=1-1 d2 -,a-1- 7 (2024·山东滩坊诸城二模)正方形 -,...,a.-1-。 ,-1-- 一.按上述 a at a-1 A. B.CO.ABCC.AB.CC..按如图 方法计算:当a-3时,av的值等于 _ 所示的方式放置.点A,A,A,...和点C A- .# C,C,...分别在直线y一kx十b和x轴上 C.-# D 已知点A(0,1),B(3,2),则△ABA 的 面积为 ,△A:BaA:的面积 T(2024·山东临沂模拟)如图,在平面直角 为 . 坐标系中,将边长为1的正六边形OABCDE 绕0点顺时针旋转;个30{,得到正六边形 OABCDE.当i-2024时,顶点C的坐标 1B 是 . AB ~ A4B: #0CC ④(2024·山东东营)如图,在平面直角坐标 系中,已知直线/的表达式为y三x,点A 的坐标为(/2,0),以O为圆心,OA为半 A.(-1,-③) B.(-3,-1) 径画孤,交直线/于点B,过点B.作直线 C.(0,-2) D.(2,-1) 1的垂线交x轴于点A;以O为圆心 T(2024·山东滨州惠民一模)通过计算可 OA。为半径画孤,交直线 于点B。,过点 知:21-2,2-4,2-8,2-16,2-32 B作直线/的垂线交x轴于点A。;以O 2-64,2-128,28-256,..,则22024的个 为圆心,OA。为半径画孤,交直线/于点 位数字是 B.,过点B。作直线/的垂线交x轴于点 面(2024·黑龙江齐齐哈尔)如图,数学活动 A.;......按照这样的规律进行下去,点 小组在用几何画板绘制几何图形时,发现 A的横坐标是 了如“花朵”形的美丽图案,他们将等腰三 004 中考专题考点全频累积 数学 角形OBC置于平面直角坐标系中,点O 为 的坐标为(0,0),点B的坐标为(1,0),点 C在第一象限,OBC=120{*.将△OBC AoA 67891.11121344151617× 沿:轴正方向做无滑动滚动,使它的三边 依次与x轴重合,第一次滚动后,点O的 D(2024·山东)任取一个正整数,若是奇 对应点为O,点C的对应点为C',OC与 数,就将该数乘3再加上1;若是偶数,就 O'C'的交点为A,称点A 为第一个“花 将该数除以2.反复进行上述两种运算,经 朵”的花心,点A。为第二个“花朵”的花 过有限次运算后,必进入循环圈1→4→ 心;......;按此规律,△OBC滚动2024次 2→1,这就是“冰霍猜想”.在平面直角坐 后停止滚动,则最后一个“花朵”的花心的 标系xOy中,将点(x,y)中的x,y分别按 坐标为 照“冰霍猜想”同步进行运算得到新的点 ### 的横、纵坐标,其中x,y均为正整数,例 如,点(6,3)经过第1次运算得到点 E(2024·黑龙江缓化)如图,已知A(1,一 (3,10),经过第2次运算得到点(10,5) 3),A(3,-③),A(4,0),A.(6,0),A 以此类推,则点(1,4)经过2024次运算后 (7,3),A(9,3),A(10,0),A(11,-3), 得到点___ ..依此规律,则点Ao2 的坐标参考答案及解题思路001 参考答案及解题思路 微专题 d:=4:=- 微专题1规律探索 故答案为：一 类型一数字规律 6a(a+1)×100+25解析：由题意可得，15×15=225= 2×100+25=1×(1+1)×100+25: 目A解析：原数据为了-是0，音·号品吕… 25×25=625=6×100+25=2×(2+1)×100+25: ,原数据的分子部分都是质数，故所求的分子为3，分母 35×35=1225=12×100+25=3×(3+1)×100+25: 都是合数，分别为4,8,9,10,12，故所求的分母为6， 444 0为君-号 则两位数5（即个位数字是5十位数字是a的两位数）的 平方的一般规律，a5=(10a十5)2=a(a十1)×100+25， 故选A. 故答案为：a(a十1)×100+25. ☑C解析：由题图可知，第一行共有1个数，第二行共有2 7 个数，第三行共有3个数， 解桥：D(侵+号)×(36-1)-号 归纳类推，得第七行共有7个数 2猜想：（侵+）×[(a+1)-1=2型 .前七行共有1+2十3十4十5十6+7=28个数， 则第八行左起第1个数是√2X29=√58， 证明：等式左边=（宏是）×(+2+1- 故选C, 345:2解析：由题图中排布可知，当正整数为时， =(）×a(+2)1 若k为奇数，则在第行，第1列，下一个数在下一行： =”(n十2) 2n 上一个数（除1外）在第2列： 若为偶数，则在第1行，第k列，下一个数在下一列， -(+2)=右边等式. 上一个数在第2行： 故猜想成立， 'ac,=2024=2025-1=45-1. 类型三图形累加 而2025=45在第45行，第1列， 8B解析：第1个图形有1个正方形 2024在第45行，第2列， 第2个图形有5=12+2个正方形. .m=45,n=2, 第3个图形有14=1十22十32个正方形， 故答案为：45：2 44… 类型二数式规律 第6个图形有1+2+3+42+5+6=1+4+9+16+ ④a解析：a,u2,a2,a,… 25十36=91个正方形， ∴第n个单项式的系数是1. 故选B :第1个，第2个，第3个、第4个单项式的次数分别是 回B解折：第1个图有4个三角形，即4=3×1+1. 12.3. 第2个图有7个三角形，即7=3×2+1， 第n个式子是“. 第3个图有10个三角形.即10=3×3+1· .第100个式子是am 4， 故答案为：am. 按此规律排列下去，第n个图有(3m+1)个三角形， 日一又解析：=+1 则第674个图案中三角形的个数为3×674+1=2023. 故选B 1 D12解析：由所给图形可知， 第1个“小屋子”中图形“○”的个数为1=1，“●”的个数 1 .=I-ae 为4=1×2+2： 第2个“小层子”中图形“○”的个数为3一1十2，“●”的 1 1 a1市 =x1 个数为6=2×2+2： 第3个“小屋子”中图形“○”的个数为6=1十2十3，“●” a=-1 的个数为8=3×2+2： 第4个“小屋子”中图形“O”的个数为10=1+2十3十4， “鲁"的个数为10=4×2+2： 44… 所以第程个“小屋子”中图形“○”的个数为1+2+3+ 由上可得，每三个为一个循环 ,2024÷3=674X3……2, +n=(m12,“●的个数为2m十2. 2 002中考专题考点全频累积数学 由题知(n十1山=3(2m十2)，解得m=-1,m=12. 2 心点A的横坐标为（侵）。 又为正整数，则n=12,即第12个“小屋子”中图形 “○”个数是图形“●”个数的3倍， 故答案为：（侵） 故答案为：12， 图2：20e解折：点A1(0,1),B(3,2), 类型四图形成倍递变 .OA1=1,0C=3,C2B=2. 国C解析：由题知，第1个正方形ABCD的边长为1： .正方形的边长A1B1=(OC=OA=1,AB=AC 第？个正方形ACEF的边长AC为√+下=√2： CC=(C-(C=2. .AB=2-1=1,.AyB=AB1, 第3个正方形FCGH的边长CF为2AD=2=(区)： .∠A:AB,=45,.∠AA:B=45°， 第4个正方形FGMN的边长FG为V2CF=(2)', .AB=A:B=2, “第个正方形的边长为(2)”一， ∴△A品A的面积为2A且·AB=2×2×2=2 ·当n=2024时，第2024个正方形的边长为(2)2 .AC:=2+2=4=2, A2B:=AC2=22, 故选C 四（停》解折：直线：y一停：一9与销安于 ∴CC=AC2=4 .AB-AB-4. 点A1+ .CA,=4十4=8=22， .点A1的坐标为(1,0)，.OA1=1. .AB,=CA=2, 过点B:作B,MLx轴交x轴于点M,过点B:作B:N⊥ 以此类推，Az地B出=2时， r轴交AB于点D,交x轴于点N, ∴△AmB:阳A的面积为×2×2-2心. B3… 故容案为：2：20口 国2脱解析：作BHLx轴于点H,如图。 V Ba B B房 B,B,B,B,均在直线y=x上， ,△A,BO为等边三角形 .OH=BH,.∠BOH=45 0B-0A-1.M0-2A0- A(2,0)OA=OB,0B=OA=2. M=vB0-oF=P-(信)=， B1A:⊥1，(OB1=BA=2 ∴.OA=√2OB,=√2OA1=2, B(2)月 A(2,0). 同理，0A=0B=B2A=2, 当y时-侣一解得= 0A=20A,=22=(2), AG-吾A(售） 同理，01=(2)'，0A=(2)… ∴0A,1=(2)2=2. CD=AG=吾 即点A:似的横坐标是2， 故答案为：2 BD-√(）-()-9 类型五周期变化 ∴BN=5548_7 因D解析：当a,=3时，计算出0：=号=一立， 4241 当y,7- 3,,会发现运算结果是以3，号，一号所环出现的 规律， 解得一空 2021=3×673……2, a(2) a号， 故远D. 要-（侵）八 国A解析：如图.以O为圆心OC为半径作⊙0. 同星，可得A的横坐标为爱=（侵）： 将边长为1的正六边形OABCDE绕点O顺时针旋转： 个30°，C旋转后对应的点依次为C1,C,… ⊙@回 参考答案及解题思路 003 1周=360°， OC绕点O顺时针旋转12次同到原位置， A(5+2. *2024÷12=168…8: C与C重合. 如图： A(+(-)(2+5).号） △OBC滚动1次得到A,·△OBC滚动四次得到A:· △OBC滚动7次得到A, ·当△OBC滚动2024次后停止滚动时，n= Ca (2024+2)÷3=675…1时，得到Am·此时 A-(349+6745,9】 C 放答案为：(1340+674.号） 多边形是正六边形， 但(2891，-3)解析：A(1,-)A(3,-3) .每个内角为120， A(4,0).A(6,0)·A(73)A(9,N5) 即∠DCB=120°. A:(10,0),A(11,-3), :正六边形是轴对称图形 ,.可知每隔7个点，点A。的横坐标增加10，且纵坐标按 ∴∠0B=∠0CD=号∠DCB=60 一√3，一3.0.0,3，w3,0循环出现，故A.的坐标为 B=1.∠OBC=90°， (10m,0)A+1(10n+1,-√3) ∴，OB=BCtan∠OCB=1 X tan 60°=√3， 2024÷7=289…1. C点的坐标为(-13)， .Aa的坐标为(2891，一3) 由对称性得点C,(1w3),C(一1，一√3)， 故答案为：(2891，一5) 即点Cm的坐标为（一1，-5）， 2④(2,1)解析：点(1,4)经过1次运算后得到点 故选A (1×3+1.4÷2),即(4.2)， 回6解析：2=2，个位数字是2， 经过第2次运算后得到点(4÷2,2÷1)，即(21)， 2=4,个位数字是4， 经过第3次运算后得到点(2÷2,1×3十1)，即(14)， 4440 2=8,个位数字是8. 2=16,个位数字是6. 发现规律：点(1,4)经过3次运算后还是(1,4) 2=32.个位数字是2， 2024+3=674…2, .点(1,4)经过2024次运算后得到点(2,1)， 2=64,个位数字是4， 故答案为：(2,1). 27=128,个位数字是8， 28=256,个位数字是6， 微专题2反比例函数中的面积问题 ,可以得到这一列数的个位数学是以2,4,8、6为周期 类型一一点一垂线 循环出现的， :2024÷4=506 目B解折：CDLr轴y=子 2如的个位数字与2的个位数字相同，即6， 故答案为：6. 国(1349+674,3，号 解析：连接AB,如图。 :反比例函数y=兰的图象经过AC的中点D,CD x轴， 5e=2Sam=2x号-3 8 C 故选B. 由题意得∠BOC=∠BCO=30°.∠BOC'=∠BC'O' 30°.OB=BC=B=BC'=1, 日10解折：由题意，得Sam-含Sam-号6，>0， A1B⊥O, >0, AB=0B·m30=复，BD=号0B=含，OD :△0AB的面积=Sr-S2w=号一号=5 .k.-k2=10 VOB-BD-3 2 故答案为：10. 0C=CE=3 目一10解析：由题意可设A点坐标为(x,一）B点坐 a(.) 标为() A+5,9) 由图可得AB=-16-,BC=一x