整合3 抛物线与几何综合-【全频累积】2024年中考数学考点全频累积高效训练典册（山东专用）

参考答案及解题思路 007 y=3r+3, 课题探究11反比例函数与圆 联立①②，得 6 团【整合特讲】 先根据A(1,2)得出=2，设B(n,m),则nm==2,结 解得下=一2， r1, y■-3y=6, 合完全平方公式的变形与应用得出m+品-3，㎡一3m .E(1.6),F(-2,-3). 十2=(m一1)(m-2)=0,结合A(1,2),期B(2,1)· 由图象可得不等式0<3r+3<上的解集为0<x<1. 即可作答 【解题详析】 (3)如图，过点B作BM垂直于x轴垂足为M. 解：如图，连接OA,OB. ,四边形ABCD是正方形， :反比例函数y=冬的图象与⊙0交于A,B两点，且 AD=AB,∠DAB=90°， A(1,2) ,BM⊥x轴，x轴⊥y轴。 .∠D)A=∠AMB ∴2=冬，解得k=2 ,∠ADO+∠DAO=00°，∠DAO+∠BAM=90°， 设B(#,m),则m=k=2. ·.∠ADO=∠BAM :0B=OA=2+下-5， 在△DAO和△ABM中， m+n=(5)=5, ∠ADO=∠BAM, ∠DOA=∠AMB. 则(m+#)'=m2++2mn=5十4=9. :点B在第一象限， AD=AB. ,m十H=3 '.△DAO2△ABM(AAS), :.OA=BM=1.OD-AM=3. 把m=k=2代人，得m+之=3 ∴，OM=AM-OA=2, 整理，得m一3m+2=(m-1)(m-2)=0, .B2,-1). ,.m1=1,m:=2. 设Q(a,0), 经检验，m1=1,m=2都是原方程的解. CB=/10,CQ=/(3-a)+2-, ,A(1,2) BQ=√(a-2)+(0+1). ∴B(2,1) ①当△CBQ为等腰三角形，CB=CQ时， 做答案为(2.1) .CB-CQ. 整合3抛物线与几何综合 (10)=(3-a)+2, 解得“=3士√6， 课题探究1线段问题 此时Q(3+√6,0).Q(3-6,0): ①【整合精讲】 ②当△CBQ为等腰三角形，BC=BQ时， (1)利用待定系数法求解即可. ∴.BC=BQ, (2)连接CV,根据题意，求得M(一1，a-2).N(1.a),进 (1o)'=(a-2)+1. 而求出CN=2,CM=a一(a一2)=2，利用勾骰定理求出 解得a1=一1，a2=5, MN=22,求出DN=22,从而得到∠NDM= 此时Q(一1.0).Q(5,0): ∠NMD,结合平行线的性质即可证明结论. ③当△CBQ为等腰三角形，QC=QB时， (3)设G(m,m一1)，则H(m,m2+bm-1),1≤m≤3，求 QC=QB 出当a=1时，4=1一b≥3，得到点G在点H的上方，设 ∴.(3-a)2+2=(a-2)+1. GH=1,故1=一m+0-》m,其对称轴为m=1号，分 解得d■4， 此时Q(4,0). 是<。≤3和号3两种情况讨论邶可。 综上，Q点的坐标为(3十6,0)或(3-6,0)或（一1， 【解题详析】 0)或(5,0).Q(4.0). (1)解：分别将A(-1.0).B(4.0)代入y=ax2+br一1. 008中考专题考点全频累积数学 得/-6-1=0. 116a+4b-1=0. 解得 =-3 4 图3 六地物线对成的函数表达式为=}-是一1 当m=号时取得袋大值1=4 (2)证明：如图1，连接CV 解得6=一3或=5（舍去）. ②当2>3时，得K-5, 由图4可知： 图 b=1. 图3 y=ar2+x-1. 当m一3时，1取得最大值一9十3一3动=4 当x=-1时，y=a-2,即点M(-1a-2): 当x=1时，y=a,即点N(1,a) 解待6=一号（合去） C(-1.a).N(1.a). 综上所述，b的值为一3 ,∴.CV=2,CMma-(a-2)=2,CM⊥CN, 课题探究2周长问题 在R△CMN中，MN=√CM+CW=22. 2【整合精讲】 (1)利用待定系数法求解即可. ,DN=a+22-a=2w2. ∴DN=MN, (2)分当∠CPM-90时，当∠PCM-90°，两种情况讨论 ·∠NDM=∠NMD. 求解即可， DN∥CM, (3)由勾股定理.得BC=2后，则in∠OCB=25 51 ∴∠NDM=∠CMD. ∴.∠NMD=∠CMD. Os∠OCB=5,证明∠PMN=∠OCB.解R1△PMN,得 .MD平分∠CMN. (3)解：设G(m,m一1)，则H(m,m+bm-1)1≤m≤3. 到PN=25PM,MN=5PM,则△PMN的周长 5 当a=1时，y=x+bx-1 令x2+hr-1=x-1. PM+PN+MN-(（+3)PM.故当PM最大时 解得x=0,:=1一 △PMN的周长最大，设P(e,-a+a+2)则 b≤-2. r=1-b3. Ma,-2a+2小则PM-(a-2)+1.则当a-2 ∴点G在点H的上方（如图2）， 时，PM有最大值，即此时△PMN的周长最大，此时点P 的坐标为(2,2)：如图所示，作点P关于x轴的对称点 H,连接CH,HQ,则H(2,一2)，则当C,Q,H三点共线 时.CQ十HQ最小，即此时△PCQ的周长最小，最小值为 -h CH+2,利用勾股定理即可求出△PCQ的周长最小值为 H 25+2.同理可得直线CH的解析式为y=一2x十2，可 图1 得Q(1.0) 设GH-t, 【解题详析】 故1=一m+(1一)n, 解：(1)在y=一 2x+2中，当x=0时y=2,当y=0时， 北对称轴为m=字且与>受 2 x=4. ①当号<2≤3时：即-5<长-2 C(0,2),B(4,0) 由图3可知： :抛物线y=一+h加+c经过B,C两点， 0@回 参考答案及解题思路 009 10=2, ,PM与CM不可能垂直. 子×华+6x4+。 .∠PMC≠90. 综上所述，点P的坐标为(2,2)或(-6，-10). /0=2, (3)在R△O,由勾股定理，得B=√C+O形=25， 5 六抛物线的解析式为=一子+十2 m<0-提-5 'PM∥y轴， (2):髓物线的解析式为y一一++2 .∠PMN=∠OCB PN⊥BC, 2 ,对称轴为直线x=一 -=1. ÷在R△PMN,in∠PMNn∠OCB--2.cos PM 当∠CPM=90时，则CP⊥PM. ∠PMN=co∠OCB=M=5, PM 5 PM⊥x轴，.CP∥x轴， 此时点C和点P关于抛物线对称轴对称 PN-25 PM.MN-PM. 5 C(0,2), △PMN的周长=PM+PN+MN=(+3PM 点P的坐标为(2,2) ,当PM最大时，△PMN的周长最大， 如图1所示，当∠PCM=90,设直线PC与x轴交于N, C(0,2),B(4.0), 设pP(a.-a+2a+2小则M(a-2a+2） .OC=2,OB=4. ∠PCM=90. ∴P-+a+2-(a+2-+a- ∴∠BCN=∠BOC=90, --2)+1 .∠N+∠XB=90°=∠OCB+∠OC, .∠OCN=∠OBC. “-<0… 在R△B0C申，an∠OBC需- :当a=2时，PM有最大值，即此时△PMN的周长 最大， :在R△coN中，m∠0N=un∠0C-8瓷-， .此时点P的坐标为(2,2). ON=1,.N(-1,0) 如图2所示，作点P关于x轴的对称点H,连接CH, 设直线PC的解析式为y=x十， HQ.则H(2,-2) +6=0. 由钠对称的性质可得PQ=HQ. 6=2. C(0,2).P(2,2)· /2, .PC=2, ”16=2 .△PCQ的周长=PC+PQ+CQ=2+PQ+CQ=CQ+ .直线PC的解析式为y=2r十2. HQ+2, y=2x十2， ,当C,Q.H三点共线时，CQ十HQ最小，即此时△PCQ 联立，得 1 解得 =-6, 或 的周长最小，最小值为CH十2. V- 2+2, (y=-10 CH=√(2-0)+(-2-2)=25， x=0 (舍去)， .△PCQ的周长最小值为25+2 (y=2 同理可得直线CH的解析式为y=一2x十2， 点P的坐标为（一6，一10） 在y=一2x十2中.当y=0时，x=1. .Q(1,0), 图1 图2 010中考专题考点全频累积数学 回@0 课题探究3面积问题 SAE= 是·PE·CF=专(-m㎡-3m)·(-m)= 3【整合精讲】 (1)先求得c=一3，则可得(0，一3)和（一b,c)关于对称轴 2m(m+3m). =一名对称，由此可得一会进而可求得。一 :AB=1-(-3)=4,0C=3. 2 DE=一（一m-3)=m十3， (2)①根据抛物线顶底坐标公式得y=二2一心 4 SLCBE -SAM-SOAME 一4.由此可求得b=2,进而可得抛物线的解析式为y 2 x+2x-3,进而可得A(一3.0)，B(1,0). ②分两种情况进行讨论：当点P在点A右则时，当点P =号×4X3-号×4X(m+3) 在点A左侧时，分别画出图形，求出点P的坐标即可. =-2m. 【解题详析】 1 解：(1)：y=a.x2十br十e的图象经过(0，一3)， :S=3 S(E -2m 3 =-3, 六(0，一3)和（一6c)关于对称轴x=一会对称， 解得m=二3+3 2 m=3- 2 六点P的做华标为学我二 b≠0， 当点P在点A左侧时，作CF⊥PD于F,如图2所示 4=1. .a=1,c=-3 (2)①a=1,c=-3, ∴y=r+ba-3 :ya本=二12-6=-4. 解得=士2. ab>0,且a>0, 图2 b>0, 设P(m,m2+2m-3)(n<-3),则E(m,一m-3), b=2, D(m,0》, 该二次函数的解析式为y=十2x一3， 则PE=(m°+2m-3)-(-m-3)=m2+3m 当y=0时，.x+2x一3=0， CF=0一m=一m, 解得x1=一3，x1=1, Same=专·PECF=7(m+3m)·(-m) A(-3.0),B(1,0) ②设直线AC的表达式为y=r十， m(n+3m ) 则厂3张，+6=0. AB=1-(-3)=4,0=3,DE=m-3. 4=-3, ·.SAaE=S△w+SauE 解得/=一1， 1b=-3. -ABXOC+×ABXDE 直线AC的表达式为y=一r一3， =合×4x3+日×4X(一m-3) 当点P在点A右倒时，作CF⊥PD于F,如图1所示. =一2m. 1 mm+3m 一2m 8· 解得m,=二3二，压m:=二3+压（会去， 2 图1 六点P的横坐标为3-V5 2 设P(m,m2十2m一3)（一3<m<0),则E(m,一m一3）， D(m.0), 综上所述，P点的横坐标为二3区成二3 2 则PE=(-m-3)-(m2+2m一3)=一m2-3m, CF=0一m=一 或3，西 ⊙@回 参考答案及解题思路 011 课题探究4角度问题 y1=-x2-2x十3， ④【整合精讲】 ∴y=-x2-2x+3=-(x+十1)2+4，顶点为(-1,4) (1)先求出点A,B,C坐标，再用待定系数法求出抛物线 :地物线y绕点O旋转180后得到新抛物线， 的的表达式，求出其顶点坐标，由旋转可知抛物线为的 地物线y:的a=1,顶点为(1，一4）， 二次项系数α为原来的相反数，顶点坐标与抛物线的 .y的表达式为=(x一1)2一4.即y=z2一2x一3. 顶点坐标关于原点对称，即可求解， (2)如图2，将点F向右平移2个单位至F,则FF=2, (2)将点F向右平移2个单位至FP,则FF=2, F(-4,0),过点D作直线1的对称点为D,连接FN, F(一4,0)，过点D作直线1：的对称点为D,连接FN, F'D'.ND'. F'D'.ND,则四边形FFNM为平行四边形，喇MF= NF,ND=ND,因此FM+MN+DN=NF+2+ND 2+FD,即可求解. (3)当点P在直线1：右侧抛物线上时，可得∠1=∠2，作 H关于直线2的对称点H,则点H在直线PE上，可求 直线PE的表达式为y=2x一6，联立，得 =21一6：解得r=3或r=1(会)，故P(3.0): y=x2-2x-3. 当点P在直线：左侧抛物线上时，延长EP交y轴于点 N,作HN的垂直平分线交HE于点Q,交y轴于点M, 图2 过点E作EK⊥y轴于点K,则QM∥EK,可得QH ND=ND'. QN,可证明出NQ=NE,由QM∥EK,得△HMQn :为=(x-1)-4, △HKE,设HM=2m,MQ=m,则MN=HM=2n: .直线1为直线x=1, NK=2一4m,在Rt△QMN和Rt△ENK中，由勾股定 :MN∥x轴， 理，得m十(2m)=(2-m)+1,解得m=音或m .MN=1-(-1)=2. 对于抛物线5y:■x一2x一3，令x■0，则为=一3， 1(会.所以N0,一岩)可求直线PE表达式为：=一品 .D(0,-3). 42 :点D与点D'关于直线x=1对称， 9 点D(2,-3). ■x2-2x-3, ,MN∥x轴，FF=MN=2, 故P(品一器) ,四边形FF'NM为平行四边形， ∴MF=NF, 【解题详析】 :.FM+MN+DN=NF'+2+ND'>2+F'D', 解：(1)设对称轴与x轴交于点G,如图1所示。 当点F,N,D三点共线时，取得最小值， 而FD'=√(-4-2)+(-3-0)=35， .FM+MN+DN的最小值为2+35. (3)①当点P在直线4右侧抛物线上时，如图3所示 图 由题意，得AG=BG=2. 对称轴为直线x=一1， .B(1,0),4(-3,0) ,C=0A=3. C(0,3). 将A,B,C分别代人y1=a.x+hx+c, a十b+c=0, 图3 得{9a-36+c=0. 地物线=(x-1)一4： c=3, E(1,-4) 「a=-1, ∥y轴 解得b=一2， .∠DHE=∠1. c=3, '∠PEH=2∠DHE. 012中考专题考点全频累积数学 ∴∠PEH=2∠1=∠1+∠2， ∴∠1=∠2. NK=2-器-品 作H关于直线的对称点，则点H在直线PE上. oN=4-品-器 点H的坐标为(0，一2)，直线：r=1, H(2,-2). ∴N,-) 设直线PE的表达式为y=kx+b(k≠0)， 设直线PE的表达式为y=ax十b(a,≠0)， 代入H(2,-2).E(1,-4), 代人点N,E, 得：/26+6-2 a1+6=-4, 1k+b=一4， 得 解得：/=3， = 1b=-6, ∴直线PE的表达式为y一2x-6. 解得 联立，得2x一6 得x2-2x-3=2r-6 =器 y=x2-2x-3, 直线PE的表洁式为y=一品一器。 解得x=3或x=1(舍). 242 P(3.0). 联立，得 ②当点P在直线：左侧抛物线上时，延长EP交y轴于 (=x2-2r-3, 点N,作HN的垂直平分线交HE于点Q,交y轴于点 M,过点E作EK⊥y轴于点K,则QM∥EK,如图4 得品一将-产-2一3 所示. 整理，得11x2-20x十9=0， 解得x=吕或x=1(舍， P(品) 综上所述，P(30或P(品一贸)】 课题探究5特殊三角形问题 5【整合精讲】 D将点D的坐标代人抛物线表达式y=ar+等r一4， 图 求得a的值即可. :QM垂直平分HN,∴.QH=QN, (2)由题意，得Cy-号（一1）+号(x-1)-4+3 ∠QHN=∠QNH, ∴∠NQE=2∠NHE (一)-当x-1时y-号(-)厂-号 :∠PEH=2∠DHE 一1，即可判断点D是否在抛物线C:上 ∠NQE=∠PEH, (3)分∠BDP为直角、∠DBP为直角、∠BPD为直角三 ∴.NQ=NE 种情况，分别运用全等三角形的判定与性质，进而确定点 由点H(0,一2).E(1,-4), E的坐标，从而确定点P的坐标。 得EK=1,KH=2. 【解题详析】 ,QM∥EK, .△HMQ∽△HKE, 解：1)将点D的坐标代人抛物线表达式y=a+音r 股是 4,得-1=a十号-4：解得=号 型地 则抛物线的表达式为y一号十青一4 设HM=2m,MQ=m, (2)由题意.得Cy=号(x-1)+号(x-1)-4+3 ∴MN=HM=2n,NK=2-4m, 在R△QMN和R1△EVK中，由勾股定理，得Qf+ (-)广-0 MN=NK+KE ∴m2+(2m)=(2-4m)+12, 当=1时y--)广-谔- 故点D在抛物线C?上 解得m=吾或m=1(舍. 参考答案及解题思路 013 (3)存在. 课题探究6特殊四边形问题 D当∠BDP为直角时.如图1，过点D作DE⊥BD且 6【整合精讲】 DE=BD,则△BDE为等腰直角三角形. (1)将点A和点B的坐标代人y=ax2+x+,求出a和c 的值，即可得出这个二次函数的表达式」 (2)根据题意得出到一一名(m+1)十(m+)十1， 为=一立(m+2)+(m+2)十1，再用作差法得出一 为=m十之·进行分类诗论即可。 (3)求出直线AB的函数解析式为y=名然后进行分 类讨论：当PQ为正方形的边时，当PQ为正方形的对角 图1 图2 线时，结合正方形的性质和三角形全等的判定和性质，即 :∠BDG+∠EDH=90',∠EDH+∠DEH=90, 可解答。 .∠BDG=∠DEH. 【解邀详析】 '∠DGB=∠EHD=90, ∴△DGB≌△EHD(AAS)· 解：1把A(-1.-）B(2.1)代人y=ar+x+c:得 .DH=BG=1,EH=GD=1+2=3. e-1+=- 点E(2,2) 4a十2+c=1. 当=2时y=号(2-）广一吕-2，即点E在抛物线 C上， 解得 a=-2' ÷点P即为点E(2,2) e=1 ②当∠DBP为直角时，如图2， “这个二次函数的表达式为y=一名+女十1. 同理可得：△BGE≌△DHB(AAS), (2):C(m+1,y),D(m+2,”)都在该二次函数的图 .DH=3=BG.BH=1=GE. 象上， 点E(-1,3) 当=-1时y-号(-1-号)）广-是=3 “=-2(m+1)+(m+1)+1, ∴点E在抛物线C:上， =-2(m+2)'+(m+2)+1: 点P即为点E(-1.3) 之(m+1)+(m+1)+1 ③当∠BPD为直角时，如图3， 【m+2)+(m+2)+]-m+安 C 当0十号>0时，椰m>一时>： 当m十=0时，即m=一时=为： 当m十号<0时，甲m<一之时助< (3)设直线AB的雨数解析式为y=kx十e 图3 把A(-1,-)8(2.1)代人，海厂2-+e 设点E(xy) 1=2k+e 同理可得：△EHB2△DGE(AAS) 设E(r,y), e=0. .EH=x十2=GD=y十1且BH=y=GE=1一x.解得 r=0且y=1, ·直线AB的函数解析式为y=之x 点E(0,1): 当PQ为正方形的边时， 当=0时=号（0-)广-号 ①B(2,1)· 即点E不在抛物线C:上 :tan∠BOC-7, 综上，点P的坐标为(2.2)或（一1.3） 如图1，过点M作y轴的垂线，垂足为点G,过点P作MG 014中考专题考点全频累积数学 的垂线，垂足为点H 和①同理可得：△GMN≌△HPM,tan∠GMN=2, PQ∥MN,MG∥r轴. 设GN=HM=21.则GM-HP=t, ,'.∠BOC=∠NMG, ∴.M(-2t,-2-21+1),N(0.-22-t+1), tan∠BOC=an∠NMG=.则MG=2NG. P(-1,-272-41+1) 设NG=1,则MG=2, 把P(-.-2-+1)代人y=号x,得-2#-+1= .M(-24.-23-21+1）, ∴点N的纵坐标为-212-21+1+1=一2r-+1, 即N(0,-2r-+1). 解得-子4=一2合去… 以P,Q,M,N为顶点的四边形是正方形， .∠PMN=9o,PM=MN, Nog）月 .∠PMH十∠NMG=90. :∠PMH+∠MPH=90°， ∴.∠NMG=∠MPH. :∠NMG=∠MPH,∠H=∠MGN,PM=MN, ,.△PHM≌△MGN, ..PH=MG=2t.HM=NG=t. 图3 .P(-31,-2r+1). ④如图4：构造Rt△GMN,Rt△HNP, 把P(-3,-2+1)代人y=号，料-20+1= 和①同理可得：△GMN≌△HNP,an∠GMN=专 设GM=HN=24,则GN=HP=1, 号×(- ∴.M(24.-2+2+1),V(0,-2+t+1), 解得4=3+西h=3二①（含去. P(,-2r2-1+1). 8 8 1 把P(,-2-1+1)代人y=2r N0,-15+5） 16 得-20-+1=名 解得1=3+=二3。①〈舍去 8 8 N0,5+5厘 16 图1 ②如图2：构造R△MQG.R△NMH. 和D同理可科：△NMQG2△NMH,ian∠MNH-名 设NH=GM=21.则QG=MH=t. 图4 .M(21+-2+21+1),V(0,-22+1+1), 当PQ为正方形的对角线时， Q(t,-2r2+41+1). ⑤如图5：构造矩形HGJI,过点P作PK⊥」于点K, 把Q.一2学++1)代人y一号，得-2公++1= 易得∠QPK=∠BC, an∠QPK=iam∠B0C-交 部得1=26=一（舍去）， 设QK=x,则PK=2x. .N(0.-5). 和①同理可得：△PNH≌△MPG≌△QMJ≌△NQI, .HN=PG-MI=IQ.PH-GM-QJ=NI. .四边形HGJ1为正方形， PK=1J=2x… ∴IQ-PG-JK-2(J-QK)-号则PH=GM- Q1=NM-是r 图2 ③如图3：构造Rt△GMN.Rt△HPM. an∠PG-- ⊙@回 参考答案及解题思路015 设PG=HN=1,则PH=GM=3 两种情况讨论，利用相似三角形的性质、等腰三角形的判 ∴M(2,-2r+21+1),N(0,-2+6t+1), 定与性质等求解即可. P(-1,-2+31+1), 【解题详析】 1 把P(-1,-2r+3+1)代人y=立 解：(1)把(0,0)，A(4,0),B(1,3)代人y=ar2+bx+十 c(a≠0)， 得-2+3+1=-之 c=0, 得{16a+4b+r=0, 解得私-2-一（合去… a+b+c■3， N(0,5) fa=-1, 解得=4， H c=0. :二次函数的解析式为y=一十4x 设直线AB的解析式为y=mr十n, 则m十n=0. (m十n=3, 解得/m一1. 图5 n■4， ⑤如图6：构造Rt△PMH,Rt△NPG ,直线AB的解析式为y=一x十4， 同理可得：△PMH≌△NPG.tan∠PVG=号 当x=0时，y=4, .C(0,4). 设PG=HM=t,则PH=GV=3, (2)①设P(m,-m+4m)(1<m<4)、则 .M(-21.-2r-21+1).N(0,-2r-61+1). D(m,一m十4)， P(-31,-2r-5/+1). .PD=一m2+4m-(一m十4) 把P(-3,-2r-5+1)代入y=7 =-m2+5m-4 得-2-+1=-多 =-(m-)广+ 解得=}=一2（合去） ∴当m=受时PD有最大值号 ②A(4,0)C(0,4) N(o.-8)月 .A0=(C0=4. 又∠AOC=90°， .∠ACO=∠OAC=45, 又PD⊥x轴， PD∥y轴. .∠PDB=∠ACO=45, 当△PBD∽△OAC时.如图， 图6 综上，点N的坐标为(05+)(二 16 (0.-)或05)成(0，)或0，-音) 课题探究7相似三角形问题 乙【整合精讲】 .∠BPD=∠AOC=90°， (1)把(0.0)，A(4,0),B(1.3)代人y=a.x十bz十c ∴BP∥x轴， (:≠0)求解即可，利用待定系数法求出直线AB的解析 P的纵坐标为3. 式，然后令x=0,求出y,即可求出C的坐标. 把y=3代人y=一x2十4.x,得3=一x十4x, (2)①根据P.D的坐标求出PD,然后根据二次函数的性 解得1-1，-3， 质求解即可. .m=3, ②先利用等边对等角，平行线的判定与性质等求出∠PDB .一m2十4m=3, =∠AC)=45,然后分△PBDn△OAC.△PBDX△AOC P的坐标为(3,3) 016中考专题考点全频累积数学 当△PBD∽△AOC时，如图，过B作BF⊥PD于F, 这与PB=2相矛盾， .四边形ABPM不能是一个菱形. 0 则BF=m-1,∠PBD=∠AOC=90, D 又∠BDP=45', 图1 ,∠BPD=5=∠BDP. (3).y=x-6x十8=(xr-3)1-1. ..BP-BD. 对称轴为x一3. .PF-DF. ÷BF=PD: 设P(m,m-6m+8). PMLI m-1=言（一m+5m-4) .M(3,m2-6m+8). 如图2，连接MT,则MT⊥PT, 解得m,=2.m:-1(舍去)， .PT=PMF-MT=(m-3)-r, .一2十4m=4, 即以切线长PT为边长的正方形的面积为(m一3)一2， ∴P的坐标为(2,4) 过点P作PH⊥x轴，垂足为H, 继上，当P的坐标为(2,4)或(3,3)时，△BPD与△A(C 相似. 则Sarw-号AB:PH=m-6m+8 课题探究8图问题 .(m-3)2一2=m-6m十8. 8【鉴合精讲】 r>0, (1)令y=0,代人二次函数y=x一6x十8中即可求解. .r=1. (2)假设四边形ABPM是菱形，则AB=PM=PB=2,进 假设⊙M经过点N(3,2),则有两种情况： 而得出即P(5,3),过点P作PD⊥x轴，垂足为D,连接 ①如图2，当点M在点N的上方， MA,则PD=3,BD=1,由勾股定里求得PB=√10，这与 PB=2相矛盾，即可得出结论. (3)利用配方法求出二次函数的对称轴，设出P点坐标 (m,m-6m+8),求出M点坐标，连接MT,则MT⊥ PT,求出PT=Pf-MT=(m一3)2一P,即以切线长 PT为边长的正方形的面积为(m一3)一r,过点P作 PH⊥x轴，垂足为H,求出△PAB的面积，进而得出半 图2 径，假设⊙M经过点N(3,2),分两种情况：①当点M在 ∴.M(3,3), 点N的上方，②当点M在点N的下方，即可求解. ,m2一6m十8=3，解得m=5或1， 【解题详析】 m>4, 解：(1)令y=0,则x2-6r十8=0. .m=5. 解得x=2.x:=4 ②如图3，当点M在点N的下方， .A(2,0),B(4,0) ∴点A的坐标为(2,0)，点B的坐标为(4.0) (2)设P(m,m2-6m+8). 不能. 理由如下：由(1)，知抛物线的对称轴为x=3. 假设四边形ABPM是菱形，则AB=PM=PB=2. 由AB=PM.得m=5. .m2一6m十8=3， 图3 即P(5.3). ∴.M3.1), 如图1，过点P作PD⊥x轴，垂足为D,连接MA.则PD m2-6m十8=1， =3,BD=1. 解得m=3士2. 由勾股定理，得PB=/PD)十B序=10. m>4,006中考专题考点全频累积数学 整合3抛物线与几何综合 课题探究1线段问题 ①(2024·江苏连云港)在平面直角坐标系 xOy中，已知抛物线y=a.x2+bx一1(a,b 为常数，a>0) (1)求抛物线的解析式. (2)当△PCM是直角三角形时，求P点 坐标. (3)若点P是直线BC上方抛物线上一动 点（不与B,C重合），过点P作y轴的平行 (1)若抛物线与x轴交于A(一1,0)，B(4, 线交直线BC于点M,作PN⊥BC于点 0)两点，求抛物线对应的函数表达式， N,当△PMN的周长最大时，请在x轴上 (2)如图，当b=1时，过点C(-1,a),D(1, 找到一点Q,使△PQC的周长最小，并求 a十2√2)分别作y轴的平行线，交抛物线 出最小值. 于点M、N,连接MN,MD.求证：MD平 分∠CMN (3)当a=1,b≤-2时.过直线y=x-1 (1≤x≤3)上一点G作y轴的平行线，交 抛物线于点H.若GH的最大值为4，求b 的值。 课题探究3面积问题 3(2024·山东济宁)已知二次函数y=a.x2十 hx十c的图象经过(0，-3)，（一b,c)两点，其 中a,b,c为常数，且ab>0. 课题探究2周长问题 2(2024·山东泰安新泰三模)如图，在平面 直角坐标系中，直线y=一2x十2与x轴交 备用图 于点B,与y轴交点C,抛物线y=一42+ (1)求a,c的值. bx十c经过B,C两点，与x轴交于另一点 (2)若该二次函数的最小值是一4，且它的 A.如图1，点P为抛物线上任意一点，过点 图象与x轴交于点A,B(点A在点B的左 P作PM⊥x轴交BC于M 侧)，与y轴交于点C. ⊙@回 中考综合滚动练007 ①求该二次函数的解析式，并直接写出点 所有符合条件的点P的坐标：若不存在，请 A,B的坐标. 说明理由. ②如图，在y轴左侧该二次函数的图象上 有一动点P,过点P作x轴的垂线，垂足为 D,与直线AC交于点E,连接PC,CB, BE,是否存在点P.使一骨？者在在· 求此时点P的横坐标：若不存在，请说明 理由， 课题探究5特殊三角形问题 ⑤(2024·山东泰安)如图，抛物线C:y= a.x2+4 x一4的图象经过点D(1,-1),与 x轴交于点A、点B. 课题探究4角度问题 ④(2024·山东烟台)如图，抛物线=a.x2十 bx十c与x轴交于A,B两点，与y轴交于点 C,OC=OA,AB=4,对称轴为直线l1:x= 备用图 一1，将抛物线y1绕点O旋转180°后得到 (1)求抛物线C的表达式. 新抛物线y2,抛物线2与y轴交于点D, (2)将抛物线C,向右平移1个单位，再向 顶点为E,对称轴为直线12： 上平移3个单位得到抛物线C2,求抛物线 C2的表达式，并判断点D是否在抛物线 C2上 (3)在x轴上方的抛物线C2上，是否存在 点P,使△PBD是等腰直角三角形？若存 在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明 图1 图2 理由. (1)分别求抛物线y1和y2的表达式. (2)如图1，点F的坐标为（一6,0），动点M 在直线I1上，过点M作MN∥x轴与直线 l2交于点N,连接FM,DN,求FM+ MN+DN的最小值. (3)如图2，点H的坐标为(0，一2)，动点P 在抛物线y:上，试探究：是否存在点P,使 ∠PEH=2∠DHE?若存在，请直接写出 008中考专题考点全频累积数学 回@0 课题探究6特殊四边形问题 ①求m为何值时线段PD的长度最大，并 6(2024·江苏无锡)已知二次函数y=a.x2+ 求出最大值. x+c的图象经过点A(-1,-)和点 ②是否存在点P,使得△BPD与△AOC相 似？若存在，请求出点P的坐标：若不存 B(2,1). 在，请说明理由. (1)求这个二次函数的表达式. (2)若点C(m十1，y),D(m十2，y)都在该 二次函数的图象上，试比较y:和y2的大 小，并说明理由. (3)点P,Q在直线AB上，点M在该二次 函数图象上.问：在y轴上是否存在点N, 使得以P,Q,M,N为顶点的四边形是正方 形？若存在，请直接写出所有满足条件的 点N的坐标：若不存在，请说明理由。 课题探究8圆问题 8(2024·山东淄博桓台二模)如图，二次函 数y=x2一6.x十8的图象与x轴分别交于 点A,B(点A在点B的左侧)，直线I是对 称轴.点P在函数图象上，其横坐标大于 4,连接PA,PB,过点P作PM⊥l,垂足为 M,以点M为圆心，作半径为r的圆，PT 与⊙M相切，切点为T. 课题探究7相似三角形问题 ⑦(2024·内蒙古兴安盟、呼伦贝尔)如图， 在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+ b.x十c(a≠0)的图象经过原点和点A (4,0).经过点A的直线与该二次函数图 (1)求点A,B的坐标. 象交于点B(1,3),与y轴交于点C (2)四边形ABPM能是一个菱形吗？若 能，求出点P的坐标：若不能，说明理由. (3)若以PT为边长的正方形的面积与 △PAB的面积相等，且⊙M不经过点 N(3,2),求PM的取值范围. (1)求二次函数的解析式及点C的坐标。 (2)点P是二次函数图象上的一个动点，当 点P在直线AB上方时，过点P作PE⊥x 轴于点E,与直线AB交于点D,设点P的 横坐标为m.