整合2 反比例函数与几何综合-【全频累积】2024年中考数学考点全频累积高效训练典册（山东专用）

中考综合滚动练 003 整合2反比例函数与几何综合 课题探究1反比例函数与全等三角形 课题探究3反比例函数与三角形面积 ①(2024·山东聊城临清三模)如图，在平面 3(2024·四川遂宁)如图，一次函数”=kx+ 直角坐标系中，直线y=一2x十2交x轴于 k0)的图象与反比例函数为=四 A点，交y轴于B点，以AB为边在第一象 限作正方形ABCD,其中顶点D恰好落在 (m≠0)的图象相交于A(1,3),B(n,一1) 两点 双曲线y=上.现将正方形ABCD向下 平移a个单位长度，可以使得顶点C落在 双曲线上，则a的值为 ( (1)求一次函数和反比例函数的表达式 (2)根据图象直接写出y1>y2时，x的取值 范围 A.2 B. C. D.1 (3)过点B作直线OB,交反比例函数图象 于点C,连接AC,求△ABC的面积. 课题探究2反比例函数与最短路径 2(2024·四川雅安)如图，在平面直角坐标 系中，一次函数的图象1与反比例函数y= 的图象交于M24小N(,1)两点。 课题探究4反比例函数与等腰三角形 (1)求反比例函数及一次函数的表达式. ④(2024·山东济宁太白湖新区一模)如图. (2)求△OMN的面积. 在平面直角坐标系xOy中，点A,B都在反 (3)若点P是y轴上一动点，连接PM, PN.当PM+PN的值最小时，求点P的 比例函数y=(x<0)的图象上，且 坐标. △OAB是等边三角形.若AB=6,则k的 值为 0 004中考专题考点全频累积数学 课题探究5反比例函数与直角三角形 课题探究7反比例函数与平行四边形 ⑤(2024·江西)如图，△AOB是等腰直角三 ☑(2024·黑龙江绥化)如图，已知点 角形，∠AB0=90,双曲线y= A(-7,0),B(x,10),C(-17,y),在平行 四边形ABCO中，它的对角线OB与反比 (k>0,x>0)经过点B,过点A(4,0)作x 轴的垂线交双曲线于点C,连接BC 例函数y=(≠0)的图象相交于点D, 且OD:OB=1：4,则k= (1)点B的坐标为 (2)求BC所在直线的解析式. 课题探究8反比例函数与矩形 8(2024·广东广州)如图，平面直角坐标系 xOy中，矩形OABC的顶点B在函数y (x>0)的图象上，A(1,0),C(0,2).将线 段AB沿x轴正方向平移得线段A'B'(点 A平移后的对应点为A),A'B'交函数y 课题探究6反比例函数与相似三角形 (x>O)的图象于点D,过点D作DE⊥y ⑥(2024·四川南充)如图，直线y=k.x十b经 轴于点E,则下列结论： 过A(0,-2),B(一1,0)两点，与双曲线y= ”(x<0)交于点C(a,2). ①k=2: ②△OBD的面积等于四边形ABDA'的 (1)求直线和双曲线的解析式. 面积： (2)过点C作CD⊥x轴于点D,点P在x ③A'E的最小值是√2： 轴上，若以O,A,P为顶点的三角形与 ④∠B'BD=∠BB'O. △BCD相似，直接写出点P的坐标. 其中正确的结论有 ,(填写所有正 确结论的序号) ⊙@回 中考综合滚动练 005 课题探究9反比例函数与菱形 (D求反比例函数y=兰的解析式. ⑨(2024·山东济宁微山二模)如图，在平面 直角坐标系中，点A,B在第一象限，点C (2)根据图象，求出不等式组0<3.x十3< 在x轴正半轴上，且AC与OB互相垂直平 上的解集。 分，D为垂足，连接OA,AB,BC.反比例函 (3)在x轴上是否存在一点Q使△CBQ 数y=>0)的图象经过点D,与OA相 为等腰三角形？若存在，求出Q点坐标： 交于E.若点B的坐标为(8,4)，则点E的 若不存在，请说明理由. 坐标是 A（2,g2 B(5,3 c(5,5 D.（6,6 课题探究10反比例函数与正方形 课题探究11反比例函数与圆 回(2024·山东泰安高新三模)如图，直线 团(2024·福建)如图，在平面直角坐标系 AD:y=3x十3与坐标轴交于A,D两点， xOy中，反比例函数y=的图象与⊙0 以AD为边在AD右侧作正方形ABCD, 过C作CG⊥y轴于G点，过点C的双曲 交于A,B两点，且点A,B都在第一象限. 若A(1,2),则点B的坐标为 线y=(k≠O)与直线AD交于E,F 两点.002 中考专题考点全频累积 数学 ②② 故点D(6,2). 将D(6-2)代人y-△,得-12. .CD-v5.解得CD-2.即点C的横坐标为2. 55 将,-2代人y-8,得y-4. (2)设点P(),~(n-1). .C点的坐标为(2,4). ·以D.C.P.Q为顶点的四边形是以DC为一边的平行 'CD-2.OD-4. 四边形. *BD=BC-CD=1. 4+m-6+n. &4+n-6+n. 122+或 或{12+2--1. *.OB-0D-BD-4-1-3. .B(0,3). I In 故选B. 解得/ 1=2、6 1-2 整合2 反比例函数与几何综合 课题探究1 反比例函数与全等三角形 m-27+2m--27+2. 1【整合精讲】 '.Q(2-2.v-2)或 如图,作CE y轴于点E,作DF x轴于点F,作CHI r轴于点H,交双曲线于点G.通过△OAB△FDA Q(-2-2.--2)或 。(27+47+1)或 △EBC,求得A,B的坐标,根据全等三角形的性质可以 Q(-2v7+4.-7+1). 求得C.D的坐标,从而利用待定系数法求得反比例函数 课题探究4 图形变换 的解析式,进而求得G的坐标,求出CG,即可求出a 4【整合精讲】 【解题详解】 如图,过点A作:轴的垂线交c轴于点E.过点C作y轴 解;如图,作CE v轴于点E,作DF r轴于点F,作CH 的垂线交y轴于点D.先根据点A坐标计算出sin OAE. 1:轴于点1,交双曲线于点G 正值,再根据平移、平行线的性质证明 DBC一OAE,进 而根据sinZDBC-CD-sinZOAE求出CD.最后代入 BC 反比例函数解析式取得点C的坐标,进而确定CD-2. OD-4.再运用勾股定理求得BD,进而求得OB即可 解答。 【解题详析】 解:如图,过点A作:轴的垂线交x轴于点E,过点C作 在-2x+2中,令c-0,解得-2. y轴的垂线交y轴于点D,则AE/y轴 即点B的坐标是(0,2) 令y一0,解得x-1,即点A的坐标是(1,0). .OB-2.0A-1. “:乙BAD-90”. .BAO+DAF-90*。 又Rt△ABO中.BAO/OBA-90. .DAF-OBA. .A(4.2). 在△OAB和△FDA中. '.OF-4.0A-2+-2、5 [DAF-/OBA. -. BOA-乙AFD. AB-AD. .A(4,2)在反比例函数的图象上 .△OAB△FDA(AAS) .-4×2-8. 同理,△OAB△△FDA△EBC. '将直线OA向上平移若干个单位长度后得到直线BC. '$AF=OB-EC-2,DF-OA-BE-1. ..OA/BC. 故点D的坐标是(3,1),点C的坐标是(2.3). . OAF-BOA. :AE/y轴. 是 * DBC-乙BOA. . DBC- OAE. .·FC-2. ② 参考答案及解题思路 003 又直线/为y=-2r+5. .A(。),B(0.5). .点G的坐标是(2.). $-B-5 #.G---.# ##-. $.SNN-Sxa-S-Sar-×AOXBO- 故选B. #$Xw-\$x--$x--x$ 课题探究2 反比例函数与最短路径 $1-\×#×-1-# 2【整合精讲】 (1)依据题意,由M(.4)在反比例函数y-的图象 (3)如图,作点M关于y轴的对称点M',连接MN交y 轴于点P,则PM+PN-PM+PN的最小值等于M'N 上,可得人的值,进而求出反比例函数,再求出N的坐标, 的长。 最后利用待定系数法求出一次函数的解析式 (2)依据题意,设直线/交:轴于点A,交y轴于点B,由 直线(为y--2-十5,可得A(.o),B(0.5),故OA- 5.B-5.再由 Saav-S-S-S△a-- $AOXBO-×AOXyx-×BOXru,进而计算可以 得解。 (3)依据题意,作点M关于y轴的对称点M,连接MN “M(4)与M关于y轴对称, 交y轴于点P,则PM+PN的最小值等于M'N的长,结 合M(.4)与M关于y轴对称,故M为(一,4).又 .M的坐标为(一4). -1,可令-0,则 N(2,1),可得直线MN为y=- 又N(2.1),设M'N的解析式为y=cx+d. -17,进而可以得解. -ea-4.得{ 则 #{1.# 【解题详析】 12ca-1. 解:(1)”:M(,4)在反比例函数y-的图象上, .直线MN的解析式为y=- #1.# -)4-2. 令-0,则y-17 5 .反比例函数的表达式为y-2. ) .P(o.). 又N(n.1)在反比例函数y-2的图象上, 课题探究3 反比例函数与三角形面积 -2. 3【整合精讲】 .N(2,1). (1)利用待定系数法即可求解. 设一次函数的表达式为y一ar+b. (2)根据函数图象即可求解。 .{□△一 (3)如图,设直线y三z十2与y轴相交于点D,过点A作 2a+6-1. AMI:轴于点M,过点C作CN1-轴于点N,求出点D .--2.-5. 坐标,再根据关于原点对称的点的坐标特征求出点C坐 标,根据Su-Sno+SA+Sra-S计 .一次函数的表达式为-一2r+5. 算即可求解: (2)如图,设直线/交:轴于点A,交y轴于点B 【解题详析】 解:(1)把A(1.3)代人y:--,得3-”, .-3. 把B(n.-1)代人.-3,得-1-3. n-3. 004 中考专题考点全频累积 数学 :B(-3.-1). 一句尺是_。 6{ 把A(1,3)、B(-3.-1)代人y=x+b,得 (a#)(1一-)一0. (3-赴十6. 1-1--3+b. 解得/=1. 1-2. 'AB-(6-)+(-))-36. .一次函数的表达式为y一r+2 6+#- -△()}()- 3 (2)由图象可得,当y>y:时,x的取值范围为一3<x<0 或1. +)}() 2一#3 (3)如图,设直线v三r十2与v轴相交于点D,过点A作 --36.则2+2 AMIx轴于点M,过点C作CN1r轴于点N,则 .-22 --36. D(o.2). 解得-一. .oD-2. 故答案为一9. 课题探究5 反比例函数与直角三角形 5【整合精讲】 (1)过点B作BD工:轴,根据等腰直角三角形的性质得 出BD=OD-2.即可确定点B的坐标. (2)根据点B(2.2)确定反比例函数解析式,然后即可得 出C(4,1),再由待定系数法确定一次函数解析式即可. “.点B.C关于原点对称. 【解题详析】 .C(3,1). 解:(1)如图,过点B作BDr轴于D *MN-3-1-2.CN-1.ON-3. *S.-Sn+Sa+Sr-Soco -×2×3+-x(2+3)×1+寸x(1+3)×2- x3x1 8. .△AOB是等腰直角三角形,乙AB0-90”,A(4,0). *OA-4.v.BD-OD-AD-2. 即△ABC的面积为8. .B(2,2). 课题探究4 反比例函数与等腰三角形 4【整合精讲】 故答案为(2,2). 设A(c):B(),根据等边三角形的性质可得AB- 得-4. A0-B0-6,根据两点之间的距离公式可得十()- +()-36,进而得出(ei-一)(1-)-0.则一 .过点A(4,0)作x轴的垂线交双曲线于点C. -ab再得出AB=(6-a)×*+(-)-36,整理得 :当r-4时,y-1, &C(4.1). 设直线BC的解析式为y一z十b,将点B.C代人,得 【解题详析】 1-4+. -3. 13. .设A(n,),B() '.直线BC的解析式为y-一 课题探究6 反比例函数与相似三角形 .△OAB是等边三角形. 6【整合精讲】 .AB-AO-BO-6. (1)待定系数法求出一次函数的解析式,进而求出点C的 .}()-(){-36. 坐标,再利用待定系数法求出反比例函数的解析式即可 (2)分△AOPV△CDB和△POA△CDB,两种情况进 行讨论求解即可. ② 参考答案及解题思路 005 【解题详析】 课题探究8 反比例函数与矩形 解:(1)直线y-x+b经过A(0.-2).B(-1,0)两点 8【整合精讲】 ./-2. 解得:/--2. 由B(1.2),可得h-1×2-2.故①符合题意;连接OB 1-+6-0. --2. OD.BD.OD与AB的交点为K:利用5的几何意义可得 '=-2-2. △OBD的面积等于四边形ABDA的面积,故②符合题 当y-2时,2--2x-2,解得 --2. 意;连接AE,证明四边形ADEO为矩形,可得当OD最 .C(-2.2). 小时,AE最小,设D(v.)(t→o),可得AE的最小 'n--2x2--4. .-4(<o). 值为2,故③不符合题意;如图,设平移距离为n,可得 B(a+1.2),证明△BBDC△A'OB',可得乙BBD (2)A(0.-2).B(-1.0).C(-2.2).CD1. 乙BOA',再进一步可得答案. '$OA-2.BD=1.CD-2.$CDB= AOP-90$ 【解题详析】 当以O,A.P为顶点的三角形与△BCD相似时,分两利 解:·A(1,0).C(0:2).四边形QABC是矩形 情况进行讨论: .B(1.2). '.-1×2-2,故①符合题意 20op-0-1. 如图①.连接OB.OD.BD.OD与AB的交点为K *.P(1.0)或P(-1.0); .002. .0P-20A-4. 图1 $.P(4,0)或P(-4.0). '$-Sw-x2-1. 综上,点P的坐标为(一4,0)或(-1.0)或(1,0)或(4,0) 课题探究7 反比例函数与平行四边形 '.Snok-Ssinaxnw. 7【整合精讲】 .Sw+S△w.-Ssanwn-+Saxo. 分别过点B,D作x轴的垂线,垂足分别为F,E,根据平 .△OBD的面积等于四边形ABDA的面积,故②符合题 行四边形的性质得出B(一24:10):证明△ODEC 意; △OBF得出OE-6.DE-2.5.进而可得D(-6.2.5). 如图②,连接AE. 即可求解。 【解题详析】解: 如图,分别过点B.D作c轴的垂线,垂足分别为F.F B B 图2 ·四边形AOCB是平行四边形,点A(一7,0). :DE y轴.DAO-EOA'-90{. B(r.10).C(-17,y). .四边形A'DEO为矩形. ..OA-BC-7 .AE-OD. '=-24,即B(-24,10),则OF=24,BF-10. .当OD最小时.A'E最小. .DEL:输,BFr轴. 设D()(0) ..DE/BF. .0OEo .△ODEo△OBF .0D2. '.AE的最小值为2,故③不符合题意 .OE-6.DE-2.5. 如图③,设平移距离为n. '.D(-6.2.5). .B(n+1,2). ._-6×2.5--15. ·反比例函数为y-2.四边形ABCO为矩形, 故答案为-15 006 中考专题考点全频累积 数学 $. BBD-20AB’-90”,D(n+1,); =. 解得 2i .E(V). 2 故选D. 课题探究10 反比例函数与正方形 T【整合精讲】 (1)首先证明△AOD△DGC,再根据直线AD求出点 A.D的坐标,利用全等三角形的对应边相等,写出点( 的坐标,将点C的坐标代人反比例函数的解析式,即可 得出反比例函数的解析式 图3 (2)利用图象可以看出当0<3x十3~-时,一次函数图 .△B'BD△A'OB. .B'BD- BOA. 象在A点之后,E点之前符合条件,所以将一次函数与 :BC/Ao. 反比例函数的解析式联立,求出点E的坐标,点A的坐 .CB'o-乙A'oB'. 标(1)中已求出,根据两点的横坐标,即可得到不等式组 . B'BD=乙BBO,故④符合题意 0<3r十3~三的解集. 故答案为①②④. 课题探究9 反比例函数与菱形 (3)由△DAOAABM得到点B的坐标,然后设出Q 【整合精讲】 点的坐标,分别讨论当CB=CQ.BC=BQ.QC=QB时. 根据题意得出四边形ABC0是萎形,求得D(4.2).得反 得出Q点的坐标. 8.进而根据菱形的性质得出C(5.0). 【解题详析】 比例函数- 解:(1).四边形ABCD是正方形. .AD-CD. ADC-90*. .乙AD0+CDG-90"。 函数,解析式即可求解 :CG轴: 【解题详析】 解:,AC与OB互相垂直平分, ..乙CGD-90”。 .四边形ABCO是菱形. '.CDG+ DCG-90. :D0-DB.AB/OC ./ADO-/DCG :点B的坐标为(8,4). 在△AOD和△DGC中. :D(4.2). [乙AOD-乙DGC-90”. 乙ADO-乙DCG. AD-CD. .△AOD△DGC(AAS) _: 设C(r,0). 对于直线AD:y-3x+3. .-(8一)十4. 令r-0,则y-3. 解得-5. .D(o.3). ..C(5.0),即0C-5. .OD-3. *.AB-0C5. 令y-0,则3x+3-0. ·点B的坐标为(8,4):AB/OC .--1. .A(3,4). .A(-1.0). 设直线OA的解析式为v一&x,则4一题。. :0A-1. 解得:一 $CG-OD-3.DG=0A-1. ..C(3.2). . - .反比例函数的解析式为y-.① 联立,得 (2);直线AD的解析式为v一3r十3.② ② 参考答案及解题思路 007 3=3r+3. 课题探究11 反比例函数与图 联立①②,得 1【整合精讲】 先根据A(1,2)得出 -2.设B(n.n),则nn-b-2.结 解得 1_6. 合完全平方公式的变形与应用得出m-2-3.m*-3a *.E(1.6).F(-2.-3). +2=(m-1)(m-2)=0.结合A(1,2),则B(2,1); 由图象可得不等式0<3r+3<-的解集为0<-<1. 即可作答。 【解题详析】 (3)如图,过点B作BM垂直于:轴垂足为M 解:如图,连接OA.OB ,四边形ABCD是正方形, ·反比例函数y-的图象与O交于A.B两点,且 *AD-AB.DAB-90 A(1,2) .BMr轴,r轴y轴. . DOA-乙AMB 2-,解得-2. :乙ADO+ DAO=90DAO+ BAM=90$ 设B(n,n),则nm-b-2. . ADO-BAM :0B-0A-②+-5. 在△DAO和△ABM中. '.n+n-()-5. (乙ADO-乙BAM. DOA-乙AMB. 则(m+)-n+r+2nn-5+4-9 AD-AB. ·点B在第一象限. .△DAO△ABM(AAS). 'n+n-3. *OA-BM-1.OD-AM-3. 把nmb-2代入,得n+2-3. :OM-AM-OA-2. 整理,得m-3n+2-(m-1)(n-2)-0. .B(2.-1). 'n-1.n-2. 设Q(,0), 经检验,m.-1,n。-2都是原方程的解。 CB=10,c0-(3-)+2 .A(1,2): BQ=(-2)+(0+1 .B(2,1). ①当△CBQ为等题三角形,CB-CO时 故答案为(2,1). .CB-CQ. ·.(v10)-(3-a)+2. 整合3 抛物线与几何综合 解得-3士. 课题探究1线段问题 此时Q(3+.0).Q(3-.0): 1【整合精讲】 ②当ACBO为等三角形,BC一BQ时 (1)利用待定系数法求解即可 .BC-BQ. (2)连接CN,根据题意,求得M(一1.a-2).N(1.a),进 '(10)-(a-2)+1. 而求出CN-2.CM-a-(a-2)-2.利用勾股定理求出 解得a--1,a:-5. MN-2②,求出DN=22.从而得到 NDM= 此时Q(-1.0).Q(5.0); 之NMD,结合平行线的性质即可证明结论. ③当△CBO为等腰三角形,OC一QB时 (3)设G(n,n-1),则H(m,n+b-1),1 m 3,求 .QC-QB. 出当a-1时.r.-1-b3,得到点G在点H的上方,设 .(3-a)+2-(a-2)+1. 解得a-4. 此时Q(4.0) 综上,Q点的坐标为(3+6,0)或(3-6,0)或(-1; 【解题详析】 0)或(5,0),Q(4.0). (1)解;分别将A(-1,0),B(4,0)代入y=a+b-1.