第24章 圆复盘提升（单元复习课件）-【上好课】2024-2025学年九年级数学上册同步精品课堂（人教版）

第24章 圆 九年级数学上册同步精品课堂（人教版） 人教版 数学 九年级 上册 BY YUSHEN BY YUSHEN 单元复盘提升 BY YUSHEN BY YUSHEN 思维导图 BY YUSHEN BY YUSHEN 知识串讲 · 一、与圆有关的概念 1.圆:平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形. 2.弦:连接圆上任意两点的线段. 3.直径:经过圆心的弦是圆的直径，直径是最长的弦. 4.劣弧:小于半圆的圆弧. 5.优弧:大于半圆的圆弧. 6.等弧:在同圆或等圆中，能够互相重合的弧. 7.圆心角:顶点在圆心，角的两边与圆相交. 8.圆周角:顶点在圆上，角的两边与圆相交. · BY YUSHEN BY YUSHEN 知识串讲 9. 圆内接正多边形、外接圆：将一个圆 n (n≥3) 等分，依次连接各等分点所得到的多边形叫做这个圆的内接正多边形，这个圆是这个正多边形的外接圆. 10. 三角形的外接圆 外心：三角形的外接圆的圆心叫做这个三角形的外心. 11. 三角形的内切圆 内心：三角形的内切圆的圆心叫做这个三角形的内心. BY YUSHEN BY YUSHEN 知识串讲 12. 正多边形的相关概念 (1) 中心：正多边形外接圆和内切圆有公共的圆心， 称其为正多边形的中心. (2) 半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径. (3) 边心距：中心到正多边形一边的距离叫做正多边形 的边心距. (4) 中心角：正多边形每一条边所对的外接圆的圆心角 都相等，叫做正多边形的中心角. E F C D O 中心角 半径R 边心距r . A B BY YUSHEN BY YUSHEN 知识串讲 二、 圆的基本性质 1. 圆的对称性 圆是轴对称图形，它的任意一条_____所在的直线都是它的对称轴.圆也是中心对称图形，圆心即为对称中心. 直径 2. 有关圆心角、弧、弦的性质 (1) 在同圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦也相等； (2) 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧和两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等. 圆心角相等 弧相等 弦相等 关系 BY YUSHEN BY YUSHEN 知识串讲 三、与圆有关的位置关系 1. 点与圆的位置关系 判断点与圆的位置关系可由点到圆心的距离 d 与圆的半径 r 比较得到. 设☉O 的半径是 r，点 P 到圆心的距离为 d ，则有 点 P 在圆内； d＜r 点 P 在圆上； d = r 点 P 在圆外. d＞r BY YUSHEN BY YUSHEN 知识串讲 2. 直线与圆的位置关系 设 r 为圆的半径，d 为圆心到直线的距离 图形 公共点个数 直线与圆的 位置关系 公共点名称 直线名称 2 个 交点 割线 1 个 切点 切线 0 个 相离 相切 相交 BY YUSHEN BY YUSHEN 知识串讲 (2)垂径定理的推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧； 平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦. 四、有关定理 1. 垂径定理及其推论 (1) 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且 平分弦所对的　 . 两条弧 2. 圆周角定理及其推论 (1) 圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半. (3) 推论2：90° 的圆周角所对的弦是直径. (4) 推论3：圆的内接四边形的对角互补. (2) 推论1：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对弧相等. BY YUSHEN BY YUSHEN 知识串讲 3. 与切线相关的定理 (1) 判定定理：经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线. (2) 性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径. (3) 切线长定理：过圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等.这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角 BY YUSHEN BY YUSHEN 知识串讲 3.切线的判定与性质 1）切线的判定一般有三种方法： a.定义法：和圆有唯一的一个公共点 b.距离法： d=r c.判定定理：过半径的外端且垂直于半径 2）切线的性质 圆的切线垂直于过切点的半径. BY YUSHEN BY YUSHEN 知识串讲 切线长定理： 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等.这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角. 切线长： 从圆外一点引圆的切线，这个点与切点间的线段的长称为切线长. 3）切线长及切线长定理 B P O A BY YUSHEN BY YUSHEN 知识串讲 五、圆中的计算问题 1. 弧长公式 半径为 R 的圆中，n° 圆心角所对的弧长 l =_____. 2. 扇形面积公式 半径为 R，圆心角为 n° 的扇形面积 S = ___________. 或 3. 弓形面积公式 O 弓形的面积 = 扇形的面积±三角形的面积 O BY YUSHEN BY YUSHEN 知识串讲 (3) 圆锥的侧面积为　 ； (4) 圆锥的全面积为　 　. 4. 圆锥的侧面积 (1) 圆锥的侧面展开图是一个　 　； (2) 如果圆锥的母线长为 l，底面圆半径为 r，那么这个扇形的半径为　　，扇形的弧长为　 ； 扇形 l BY YUSHEN BY YUSHEN 知识串讲 5. 圆内接正多边形的计算 (1) 正 n 边形的中心角为 (2) 正 n 边形的边长 a，半径 R，边心距 r 之间的关系为 (3) 边长为 a，边心距 r 的正 n 边形的面积为 其中 C 为正 n 边形的周长. BY YUSHEN BY YUSHEN 知识串讲 六、三角形的内切圆及内心 1.与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 2.三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心. 3.三角形的内心就是三角形的三条角平分线的交点. ┐ A C I ┐ ┐ D E F 三角形的内心到三角形的三边的距离相等. 重要结论 只适合于直角三角形 BY YUSHEN BY YUSHEN 考点梳理 考点一：圆的有关概念及性质 例1 在图中，BC是☉O的直径，AD⊥BC,若∠D=36°,则∠BAD的度数是（ ） A. 72° B.54° C. 45° D.36 ° A B C D B 解：∵∠D=36°, ∴∠B=36°, ∵AD⊥BC, ∴∠BAD=90°-36°=54° BY YUSHEN BY YUSHEN 考点梳理 例2 如图, 在☉O 中, AB 是直径, AC 是弦,连接OC, 若∠ACO ＝30°, 则∠BOC 的度数是（ ） A. 30° B. 45° C. 55° D. 60° D 解：OA=OC,∠ACO ＝30°, ∴∠A=30°, ∴∠BOC=2∠A=60° BY YUSHEN BY YUSHEN 考点梳理 例3 如图，AB 是 ⊙O 的直径，且 AB = 2，C，D 是同一半圆上的两点，并且 与 的度数分别是 96° 和 36°，动点 P 是 AB 上的任意一点，则 PC + PD 的最小值是 . A B C D P O D′ P 解析：作 D 点关于 AB 的对称点 D′， 连接 CD′，与 AB 交于点 P， 此时 PC + PD 的最小值 即为 CD′ 的长度. 先求出∠COD′ 的度数，再求 CD′. BY YUSHEN BY YUSHEN 刻意练习 练1 如图所示，在圆O中弦AB∥CD，若∠ABC=50°， 则∠BOD等于（　　） A．50° B．40° C．100° D．80° C 练2 如图, M 是 CD 的中点, EM ⊥ CD ．若 CD ＝ 4, EM ＝ 8, 则 所在圆的半径为________. BY YUSHEN BY YUSHEN 刻意练习 练3 135° 如图，四边形ABCD为☉O的内接正方形， 点P为劣弧BC上的任意一点（不与B,C重合）， 则∠BPC的度数是 . C D B A P O 练4 如图，线段AB是直径，点D是☉O上一点， ∠CDB=20 °,过点C作☉O的切线交AB的 延长线于点E,则∠E等于 . O C A B E D 50° BY YUSHEN BY YUSHEN 刻意练习 练5 如图，⊙O 的弦 AB 和直径 CD 交于点 E，且 CD 平分 AB. (2) 若 AB = 16，OC = 10，那么 CE 的长是 ； (1) 若 OC = 13，CE = 8，那么 AB 的长是______； (3) 若 AB = 8，CE = 2，那么⊙O 的半径长是______． 24 4 5 A B C D O E BY YUSHEN BY YUSHEN 考点梳理 考点二：与圆有关的位置关系 例1 平面直角坐标系中，M 点坐标为 (-2，3)，以 2 为半径画⊙M，则以下结论正确的是（　　） A．⊙M 与 x 轴相交，与 y 轴相切 B．⊙M 与 x 轴相切，与 y 轴相离 C．⊙M 与 x 轴相离，与 y 轴相交 D．⊙M 与 x 轴相离，与 y 轴相切 D BY YUSHEN BY YUSHEN 考点梳理 例2 ☉O的半径为R，圆心到点A的距离为d，且R、d分别是方程x2－6x＋8＝0的两根，则点A与☉O的位置关系是（ ） A．点A在☉O内部 B．点A在☉O上 C．点A在☉O外部 D．点A不在☉O上 解析：此题需先计算出一元二次方程x2－6x＋8＝0的两个根，然后再根据R与d的之间的关系判断出点A与 ☉O的关系. D BY YUSHEN BY YUSHEN 考点梳理 例3 工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm,测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm,如图所示，则这个小圆孔的宽口AB的长度为 mm. 8mm A B 8 C D O 解析 设圆心为O，连接AO,作出过点O的弓形高CD，垂足为D,可知AO=5mm,OD=3mm,利用勾股定理进行计算，AD=4mm，所以AB=8mm. BY YUSHEN BY YUSHEN 考点梳理 例4 A O B C E F 如图，点C是扇形OAB上的AB的任意一点，OA=2,连接AC,BC,过点O作OE ⊥AC,OF ⊥BC，垂足分别为E,F，连接EF，则EF的长度等于 . （ BY YUSHEN BY YUSHEN 刻意练习 练1 ☉O 的半径为 R，圆心到点 A 的距离为 d，且 R、d 分别是方程 x2－6x＋8＝0 的两根，则点 A 与☉O 的位置关系是（ ） A. 点 A 在☉O 内部 B. 点 A 在☉O 上 C. 点 A 在☉O 外部 D. 点 A 不在☉O 上 D 练2 如图, AB 是☉O 的直径, DA 与☉O 相切于 点 A , DO 交☉O 于点 C, 连接 BC．若∠ABC ＝ 21°,则∠ADC 的度数为（ ） A. 46° B. 47° C. 48° D. 49° C BY YUSHEN BY YUSHEN 刻意练习 练3 如图, AB 是☉O 的弦, BC 与☉O 相切于点 B, 连接 OA , OB．若∠ABC ＝ 65°, 则∠A 等于（ ） A. 20° B. 25° C. 35° D. 75 B BY YUSHEN BY YUSHEN 考点梳理 考点三：切线的判定与性质 例1 如图，BE 是⊙O 的直径，点 A 是圆上一点，过点 A 作⊙O 的切线交 BE 延长线于点 C，若 AB = AC，CE = 4，⊙O 的半径长为_____． 4 A B C E O BY YUSHEN BY YUSHEN 考点梳理 例2 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的☉O交AC于点D，连接BD. 点E为BC的中点，连接ED，试证明ED与☉O相切. 又∵∠OBD+∠DBC=90°，∠C+∠DBC=90°， ∴∠C=∠OBD，∴∠BDO=∠CDE. ∵AB是直径，∴∠ADB=90°， ∴∠BDC=90°， 即∠BDE+∠CDE=90°. ∴∠BDE+∠BDO=90°，即∠ODE=90°.∴ED与☉O相切. 证明：连接OD，在Rt△BDC中， ∵E是BC的中点，∴CE=DE，∴∠C=∠CDE. 又OD=OB，∴∠ODB=∠OBD. BY YUSHEN BY YUSHEN 考点梳理 例3 如图，直线AB,CD相交于点O， ∠AOD=30 °,半径为1cm的☉P的圆心在射线OA上，且与点O的距离为6cm,如果☉P以1cm/s的速度沿由A向B的方向移动，那么 秒钟后☉P与直线CD相切. 4或8 解析： 根本题应分为两种情况：(1)☉P在直线CD下面与直线CD相切；(2)☉P在直线CD上面与直线CD相切. A B D C P P2 P1 E o BY YUSHEN BY YUSHEN 考点梳理 例4 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的☉O交AC于点D，过点D的切线交BC于E. 求证：BC=2DE. 证明：连接BD， ∵AB为直径，∠ABC=90°， ∴BE切☉O于点B. 又∵DE切☉O于点D，∴DE=BE， ∴∠EBD=∠EDB. ∵∠ADB=90°， ∴∠EBD+∠C=90°，∠BDE+∠CDE=90°. ∴∠C=∠CDE，DE=CE. ∴BC=BE+CE=2DE. BY YUSHEN BY YUSHEN 刻意练习 练1 如图，以△ABC的边AB为直径的⊙O交边AC于 点D，且过点D的切线DE平分边BC.问：BC与⊙O是否相切？ 解：BC与⊙O相切．理由：连接OD，BD， ∵DE切⊙O于D，AB为直径， ∴∠EDO＝∠ADB＝90°. 又DE平分CB，∴DE＝ BC＝BE. ∴∠EDB＝∠EBD. 又∠ODB＝∠OBD，∠ODB＋∠EDB＝90°，∴∠OBD＋∠DBE＝90°，即∠ABC＝90°. ∴BC与⊙O相切． BY YUSHEN BY YUSHEN 刻意练习 练2 B 北 60° 30° A C 如图，已知灯塔A的周围7海里的范围内有暗礁，一艘渔轮在B处测得灯塔A在北偏东60°的方向，向东航行8海里到达C处后，又测得该灯塔在北偏东30°的方向，如果渔轮不改变航向，继续向东航行，有没有触礁的危险？请通过计算说明理由. （参考数据 =1.732） BY YUSHEN BY YUSHEN 刻意练习 练2 B 北 60° 30° A C D 解：如图，作AD垂直于BC于D， 根据题意，得BC=8.设AD为x. ∵∠ABC=30°，∴AB=2x. BD= x. ∵∠ACD=90°-30°=60°， ∴ AD=CD×tan60°，CD= . BC=BD-CD= =8. 解得 x= 即渔船继续往东行驶，有触礁的危险. BY YUSHEN BY YUSHEN 考点梳理 考点四：弧长与面积 例1 如图，四边形OABC为菱形，点B、C在以点O为圆心的圆上, OA=1,∠AOC=120°，∠1=∠2，求扇形OEF的面积. 解：∵四边形OABC为菱形 ∴OC=OA=1 ∵ ∠AOC=120°，∠1=∠2 ∴ ∠FOE=120° 又∵点C在以点O为圆心的圆上 BY YUSHEN BY YUSHEN 考点梳理 例2 如图，在正方形ABCD内有一条折线段，其中AE⊥EF，EF⊥FC，已知AE=6，EF=8，FC=10，求图中阴影部分的面积. 解：将线段FC平移到直线AE上，此时点F与点E重合， 点C到达点C'的位置.连接AC，如图所示. 根据平移的方法可知，四边形EFCC'是矩形. ∴ AC'=AE+EC'=AE+FC=16，CC'=EF=8. 在Rt△AC'C中，得 ∴正方形ABCD外接圆的半径为 ∴正方形ABCD的边长为 BY YUSHEN BY YUSHEN 考点梳理 例3 如图，正六边形ABCDEF内接于半径为5的⊙O，四边形EFGH是正方形． （1）求正方形EFGH的面积； 解：（1）∵正六边形的边长与其半径相等，∴EF=OF=5. ∵四边形EFGH是正方形， ∴FG=EF=5， ∴正方形EFGH的面积是25. BY YUSHEN BY YUSHEN 考点梳理 例3 （2）∵正六边形的边长与其半径相等， ∴∠OFE=600. ∴正方形的内角是900， ∴∠OFG=∠OFE +∠EFG=600+900=1500. 由⑴得OF=FG， ∴∠OGF= （1800-∠OFG） = （1800-1500）=150. （2）连接OF、OG，求∠OGF的度数． BY YUSHEN BY YUSHEN 刻意练习 练1 一条弧所对的圆心角为135 ° ，弧长等于半径为5cm的圆的周长的3倍，则这条弧的半径为 . 40cm 若一个正六边形的周长为24，则该正六边形的面积为______. 练2 练3 正六边形 ABCDEF 内接于 ☉O , 且 正六边形的周长是 12 , 则 ☉O 的半径是（ ） A. B. 2 C． D. B BY YUSHEN BY YUSHEN 刻意练习 练4 如图，已知 C，D 是以 AB 为直径的半圆周上的两点，O 是圆心，半径 OA = 2，∠COD = 120°，则图中阴影部分的面积等于_______． 练5 如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC = 90°，∠CAB = 30°，BC = 2，以 AB 的中点 O 为圆心，OA 的长为半径作圆交 AC 于点 D，则图中阴影部分的面积为 _________. BY YUSHEN BY YUSHEN $$