5.7应用二元一次方程组确定一次函数表达式（同步课件）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（北师大版）

5.7 应用二元一次方程组 确定一次函数表达式 主讲： 北师大版 八年级 上册 第5章 二元一次方程组 学习目标 1.进一步理解二元一次方程与一次函数之间的联系，体会知识之间的普遍联系和知识之间的互相转化； 2.能利用二元一次方程组确定一次函数的表达式．（重、难点） 新课导入 复习回顾 1.一般地，以一个二元一次方程的 为坐标的点组成的图象与相应的一次函数的图象相同，是一条 . 3.二元一次方程组有哪些解法？ ①消元法：加减消元法和代入消元法. ②图象法. 2.一般地，从图形的角度看，确定两条直线 ，相当于求相应的二元一次方程组的解；解一个二元一次方程组相当于确定相应两条直线的 . 解 直线 交点的坐标 交点的坐标 代数方法 新课导入 情境引入 问题：A ,B两地相距100千米，甲、乙两人骑车同时分别从A，B两地相向而行．假设他们都保持匀速行驶，则他们各自到A地的距离 s(千米)都是骑车时间 t (h)的一次函数.1小时后乙距A地80千米; 2小时后甲距A地30千米. 经过多长时间两人相遇? 你是怎样做的？与同伴进行交流. 新课讲授 探究：用二元一次方程组确定一次函数表达式 1小时后 2小时后甲距A地30千米 乙距A地80千米 甲 A 乙 B 小明、小颖和小亮都想出了解题方法，用他们的方法做一做，看看和你的结果一致吗？ 根据上述题意，可以画出如下线段图： 新课讲授 P 可以分别作出两人s 与t 之间的关系图象，找出交点的横坐标就行了. 小明 40 30 20 0 4 1 2 3 t/h s/km 乙 甲 100 80 60 由题意得：甲的图象经过(0，0)、(2，30); 乙的图象经过(0，100)、(1，80). 由图象可知，无法准确读出交点P的横坐标， 因此小明的方法求出的结果不准确. 用图象法可以解决问题. 问题：小明的方法求出的结果准确吗？ 新课讲授 对于乙，s是t的一次函数，可设 s=kt+b.当t=0时，s=100；当t=1时，s=80.将它们分别代入s=kt+b中，可以求出k，b的值，即可以求出乙中s与t之间的函数表达式.同样可以求出甲的s与t之间的函数表达式，再联立这两个表达式，求解方程组就行了！ 小颖 你能帮她求出甲和乙的函数表达式吗？ 由题意易得甲的函数表达式为s=15t. 解：将t=0，s=100；t=1，s=80 分别代入s=kt+b中， 得 解得 ∴乙的函数表达式为s=-20t+100. 解方程组得 ∴经过h两人相遇. 用二元一次方程组可以解决问题. 新课讲授 小亮 1 时后乙距A地 80千米,即乙的速度是20千米/时，2 时后甲距A 地 30千米,故甲的速度是15千米/时，由此可以求出甲、乙两人的速度和…… 设同时出发后t小时相遇，则15t+20t=100 ∴经过h两人相遇. 解得t= 利用一元一次方程可以解决问题. 新课讲授 知识归纳 1.在上面的问题中，用画图象的方法可以直观地获得问题的结果，但有时却难以获得问题的准确结果. 2.为了获得准确的结果，我们一般用代数方法. 想一想：在以上的解题过程中你受到什么启发？ 新课讲授 例：某长途汽车客运站规定，乘客可以免费携带一定质量的行李，但超过该质量则需购买行李票，且行李费y（元）是行李质量x（kg）的一次函数．已知李明带了60kg的行李，交了行李费5元；张华带了90kg的行李，交了行李费10元． （1）写出y与x之间的函数表达式； （2）旅客最多可免费携带多少千克的行李？ 分析：（1）因为行李费y（元）是行李质量x（kg）的一次函数，所以可以设其函数表达式为y=kx+b，将x=60,y=5和x=90,y=10代入解二元一次方程组即可求出k和b的值. （2）令y=0，即可求出旅客最多可免费携带行李的千克数. x=60,y=5; x=90,y=10. 新课讲授 解：（1）设y=kx+b， 所以旅客最多可免费携带30千克的行李． 根据题意，得 ②-①，得 30k=5, k= 将 k=代入①，得 b=-5. 所以 y=x-5. （2）令y=0，即x-5=0，解得x=30；当x＞30时，y＞0. 新课讲授 知识归纳 先设出函数表达式，再根据所给条件确定表达式中未知的系数，从而得到函数表达式的方法，叫做待定系数法. 待定系数法： 学以致用 1.已知一次函数的图象过点(3，5)与(-4，-9)，求这个一次函数的解析式． 解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b. 3k+b=5， -4k+b=-9， 把点（3，5）与（-4，9）分别代入，得： 解方程组得 b=-1. k=2， ∴这个一次函数的解析式为y=2x-1. 新课讲授 方法归纳 1.用含字母的系数设出一次函数的表达式(例如y=kx+b). 2.将已知条件代入上述表达式中得k，b的二元一次方程组. 3.解这个二元一次方程组得k，b的值. 4.将k，b的值代回，写出一次函数的表达式. 利用二元一次方程组求一次函数表达式的一般步骤： 新课讲授 2.如图 所示，过点A的一次函数的图象与正比例函数y= 2x 的图象相交于点 B则这个一次函数的表达式是（ ） A.y = 2x+3 B.y=x-3 C.y=2x-3 D.y =-x+3 D 新课讲授 做一做：已知函数 y=2x+b的图象经过点(a，7)和(－2，a)，求这个函数的表达式. 解：把点(a，7)和(-2，a)的坐标代入y=2x+b中，得 解得 所以这个函数的表达式为y=2x-5. 典例分析 例1：右图中的两条直线l1,l2的交点坐标可以看做方程组 的解. 分析：直线l1,l2的交点坐标为（1，3），即为以两直线的函数表达式组成的方程组的解.因此，利用待定系数法，分别设出直线l1,l2的函数表达式，代入已知点的坐标，列出二元一次方程组即可求出直线l1,l2的函数表达式. 典例分析 例2：在某个范围内,某产品的购买量y(单位:kg)与单价x(单位:元)之间满足一次函数,若购买1000kg,单价为800元;若购买2000kg,单价为700元.若一客户购买400kg,单价是多少? 解:设购买量y与单价x的函数解析式为y=kx+b， ∵当x=1000时 y = 800;当x=2000时y = 700， ∴ 800k + b = 1000 700k + b = 2000 ｛ 因此,购买量y与单价x的函数解析式为 y =-10x + 9000 当 y = 400时得， -10 x + 900 =400, ∴ x =860. 答:当客户购买400kg,单价是860元. 解得: k=-10 b =900 ｛ 学以致用 1.已知直线y=kx+b经过（1，-1）,（-2，-7）两点，则k-2b的值为（ ）. A.-8 B.-16 C.-4 D.8 D 2.如图所示，已知A地在B地正南方3 千米处,甲乙两人同时分别从A，B两地向正北方向匀速直行,他们行走的路程s(千米)与所用的时间t(小时)之间的函数关系分别如图中的射线OC和ED所示，当他们行走4小时后他们之间的距离为 千米. 3 学以致用 4.李老师开车从甲地到相距240千米的乙地，如果油箱剩余油量y（升）与行驶里程x(千米)之间是一次函数关系，其图象如图 所示，那么到达乙地时油箱剩余油量是 升. 20 3.星期天,小明上午8:00从家里出发,骑车到图书馆去借书,再骑车回到家.他离家的距离y(千米)与时间t(分钟)的关系如图所示，则上午8:45小明离家的距离是 千米. 1.5 学以致用 5.在弹性限度内，弹簧的长度 y(cm) 是所挂物体质量 x(kg)的一次函数，当所挂物体的质量为 1kg 时，弹簧长 15 cm;当所挂物体的质量为3kg时，弹簧长 16 cm.写出y与x之间的关系式，并求当所挂物体的质量为 4kg 时弹簧的长度. 解：设y与x之间的关系式为y=kx+b. k+b=15， 3k+b=16， 则： 解方程组得 b=14.5. k=0.5， ∴y=0.5x+14.5. 当x=4时，y=0.5×4+14.5=16.5（cm）. 学以致用 6.甲、乙两地相距300km,一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地.如图 所示,线段OA表示货车离甲地的距离y(km)与时间x(h)之间的函数关系，折线BCDE表示轿车离甲地的距离y(km)与时间x(h)之间的函数关系.根据图象,解答下列问题: (1)线段CD表示轿车在途中停留了 h; (2)求线段DE对应的函数表达式； 0.5 (2)设直线DE的表达式为y= kx+b, 因为点D(2.5,80),E (4.5,300)在直线DE上,将两点的标分别代入y=kx+b中, 得解得 所以y=110x-195. 所以线段DE对应的函数表达式为y=110x-195(25≤x≤4.5). 学以致用 (3)求轿车从甲地出发后经过多长时间追上货车. (3)设直线OA的表达式为y=mx, 因为点A(5,300)在直线y=mx上,将其坐标代入表达式得300=5m,解得m=60,所以y=60x. 解方程组得 所以3.9-1=2.9 (h) 答:轿车从甲地出发后经过2.9h追上货车. 学以致用 7.如图所示，l1,l2分别表示两个一次函数的图象,它们相交于点P. (1)求出两条直线l1,l2的表达式; (2)点P的坐标可看作是哪个二元一次方程组的解? (3)求出图中ΔAPB的面积. 解:(1)设直线l1的表达式是y= kt+b,已知l1经过点(0,3)，(1,0), 可得解得 则直线l1的表达式是y=-3x+3. 同理可得直线l2的表达式是y=x-2. (2)点P的坐标可看作是二元一次方程组的解. (3)由(1)(2)可得A(0,3),B(0,-2),P(,),则SΔAPB=. 课堂小结 应用二元一次方程组确定一次函数表达式 步骤 待定系数法 先设出函数表达式，再根据所给条件确定表达式中未知的系数，从而得到函数表达式的方法，叫做待定系数法. 1.用含字母的系数设出一次函数的表达式(例如y=kx+b). 2.将已知条件代入上述表达式中得k，b的二元一次方程组. 3.解这个二元一次方程组得k，b的值. 4.将k，b的值代回，写出一次函数的表达式. 作业布置 教材习题5.8 感谢聆听 $$